第九章-拉普拉斯变换
第九章 拉普拉斯变换
构造函数：
⎧2π f (t)e−st ,
g(t) = ⎨ ⎩ 0,
t > 0, s > s0 t<0
拉氏变换：
p = s + iσ
傅氏变换：
∫ ∫ ∞
F (s + iσ ) = e− pt f (t)dt =
1
∞
g (t )e−iσ t dt
0
2π −∞
∞
∫ g(t) = g(k)eiktdk
−∞
∫ g(k) =
∫t f (τ )dτ → F ( p)
0
p
例1：
f (t) = A
∫∞
F ( p) = Ae− ptdt =
A,
Re p > 0
0
p
例2：
f (t) = Aeαt
∫∞
F ( p) = e− pt Aeαt dt =
A , Re p > Reα.
0
p −α
例3：
f (t) = sin ωt
sin ωt = eiωt − e−iωt
2π i R→∞
t>0
例1：
F ( p) = 1 e−α p , α > 0
p
解：
∑ f (t) = res{F ( p)e pt} = res{ 1 e(−α +t) p} = θ (t − α )
p
p=0
∫ lim 1 e(−α +t) pdp = 0, t < α
p R→∞ CR
1
p3( p +α)
=
A p3
+
B p2
+
C p
+
[学习]王忠仁信号与系统第九章拉普拉斯变换
![[学习]王忠仁信号与系统第九章拉普拉斯变换](https://img.taocdn.com/s3/m/04f3e066856a561253d36f66.png)
极点的右边的右半平面。 b）如果H（s）是有理的并且是一个因果系统的系 统函数，那么
系统是稳定的 j 轴在收敛域内
X s s j F x t
例9.1：
x1 t eatu t
(a为任意实数或者复数)
不稳定： ·无傅里叶变换 ·有拉普拉斯变换
X1
s
eatu
t
estdt
esat dt
0
1 esat sa
0
s
1
a
e s a
1
只在 Re s a 0的时候收敛，换句话说就是 Re s Re a
X1
s
s
1
a
,
R1 e4s4 2 4R4e3a
收敛域
例9.2
x2 t -eatu -t
X2 s
eatu -t estdt
0 esat dt
1 esat sa
0
s
1
a
1
esa
只在 Res a 0时收敛，换句话说 Re s Re aX2s Nhomakorabeas
1
a
, R1 e4s4 2 4R4e3a跟X1 s一样，但是不同收敛域
2 3
et
5 3
e2t
u
t
当t -发散
ROCⅡ：双边信号，有傅里叶变换
xt Aetu t Be2tu t
2 3
et
u
t
5 3
e2t
u
t
0 (当t )
ROCⅢ：右边信号
xt Aetu t Be2tu t
2 3
et
5 3
e2t
第9章 拉普拉斯变换
特别地,当
f (0) f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0
时,
f ( n ) (t ) s n F ( s) ℒ
可以证明
( n ) (t ) s n ℒ
证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
b
a
u d v uv | - v d u
9.2.3 积分性质
（1）象原函数的积分性质 若 ℒ f (t ) F (s),
则
F ( s) ℒ [ 0 f (t )dt ] s t -1 F ( s ) ℒ 0 f (t )dt s
t
一般地
1 ℒ [ 0 dt 0 dt 0 f (t )dt ] s n F (s)
sin k t e - st dt
k 所以 ℒ sin k t 2 s k2
Re s 0
即
k sin kt 2 2 s k
s 同理可得 cos kt 2 2 s k
2 如 ℒ sin 2t 2 s 4 s ℒ cos 3 t 2 s 9
此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.
2 相似性质
若 F ( s ) = ℒ f (t ) a 0 则 ℒ
f (at ) 1 F s a a
ℒ
-1
s F ( a ) af (at )
9.2.2 微分性质 （1）象原函数的微分性质
k - st e cos k tdt s 0
k - 2 s
- st - st k e sin k tdt e cos k t 0 0
信号与系统教学课件第九章拉普拉斯变换
其他数值计算方法简介
数值逆变换方法
介绍基于数值计算的拉普拉斯逆 变换方法，如直接数值积分法、
离散化方法等。
优缺点分析
比较各种数值计算方法的优缺点， 如计算精度、计算速度、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用范围 等。
应用场景
根据实际需求，选择适合的数值计 算方法进行拉普拉斯逆变换求解， 并给出具体应用场景和实例。
04 拉普拉斯变换在信号处理 中的应用举例
频移性质
时域函数的频移对 应频域函数的相移 和幅度变化。
积分性质
时域函数的积分对 应频域函数的除法 运算。
拉普拉斯变换与傅里叶变换关系
01
02
03
04
拉普拉斯变换是傅里叶变换的 推广，可以处理不收敛的信号
。
傅里叶变换是拉普拉斯变换在 虚轴上的特例，即s=jω时的拉
普拉斯变换。
拉普拉斯变换提供了更广泛的 信号分析工具，适用于更复杂
信号与系统教学课件第九章拉普拉 斯变换
目录
• 拉普拉斯变换基本概念 • 拉普拉斯变换在信号与系统中的应用 • 拉普拉斯逆变换及计算方法 • 拉普拉斯变换在信号处理中的应用举
例
目录
• 拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析 中的应用
• 总结回顾与拓展延伸
01 拉普拉斯变换基本概念
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变 换，用于将时间域函数转换为复
上升时间与峰值时间
上升时间是指系统响应从某一低电平上升到高电平所需的时间，峰值时间是指系统响应达到最大值所需的时 间。上升时间和峰值时间是评价系统快速性的重要指标之一。
超调量与调节时间
超调量是指系统响应在达到稳态值之前出现的最大偏离量，调节时间是指系统响应从瞬态过程进入稳态过程 所需的时间。超调量和调节时间是评价系统准确性和稳定性的重要参数。
第九章 拉普拉斯变换
例：
X ( s)
X ( s)
1 ( s 1)( s 2)
( s) 2
对X(s) 进行部分分式展开：
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
X(s) 的零极点图和ROC如图所示：
A3 A j
* 2
1 j1 j1 X (s) s s (2 j1) s (2 j1)
x(t ) (1 je( 2 j1)t je( 2 j1)t )u(t )
jt jt e e 2t (1 2e ( ))u (t ) 2j
• 拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的 像函数X(s)乘以复指数信号est后积分求得。 • 拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于 j 虚轴的一条自下而上的直线。
Im
s平面
×
×
j
Re
一、求解拉氏反变换的方法 1、留数定理；（这里不讨论） √ 2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得 未知的拉氏变换，或它们的反变换。
s 2 6s 5 Re{s} 0 求x(t) 例：已知： X (s) s( s 2 4s 5)
将X(s)进行部分分式展开：
A3 A1 A2 X (s) s s (2 j1) s (2 j1) s 2 6s 5 A1 2 |s 0 1 s 4s 5 s 2 6s 5 A2 |s 2 j1 j s[s (2 j1)]
部分分式展开的第一步是把分母 D(s)进行因式分解， 然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。
一、假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极点，且
电路原理-拉普拉斯变换PPT课件
收敛域为s平面的右半平面
[ (t)] 1
s
7
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0
0
(t
)e
st
dt
(t)estdt
0
0
est t0 1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1
[sint (t)] s2 2
10
2. 微分定理 (differentiation theorem)
d dt
f (t)
s
f (t) f (0 )
*证明：
d
dt
f (t)
e st d f (t )dt
0
dt
e stdf (t )
f (t)
0
f ()
f (0 )
lim sF(s)
s0
f
(0 )
lim f (t) limsF(s)
t
s0
利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数
F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值
和终值。
21
例8 设 f (t) (1 et ) (t) 验证初值定理和终值定理。
2!
t (t)
1 s3
t (n
n1
1)!
(
t
)
1 sn
1
1 sn
t n1 (n 1)!
(t )
16
4. 时域位移定理 (time-shift theorem)
第九章-拉普拉斯变换
(1 0 )T
表明 1 也在收敛域内。
T
x(t )e 0t dt
11
e at , 0 t T 例1. x(t ) 其它 0,
X ( s ) e e dt e
at st 0 0
T
T
( s a )t
1 ( s a )T dt [1 e ] sa
分。ROC总是以平行于 j 轴的直线作为边界的，
ROC的边界总是与 X ( s) 的分母的根(极点)相对应。
8
(s ) N (s) 若 X ( s) 是有理函数 X ( s) M D( s ) (s )
i i i i
分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。
将 X ( s ) 的全部零点和极点表示在S平面上，就构成了
s1 a
矢量 s1 称为零点矢量，它的长度 a
|表示 s1 a |
20
,其幅角即为 X (s1 )
X (s1 )
2. 单极点情况：
1 X ( s) , 极点 sa
j
sa
0
s1
a
s1
X ( s1 )
1 s1 a
a
s1 a
X ( s1 )
s a
at
X (s) e e dt e
0 当 a 时，
dt e
0
( a ) t jt
e
dt
] a 在 Re[s时，积分收敛：
1 X ( s) sa
的傅里叶变换存在 : x(t ) 1 at j t X ( j ) e e dt 0 a j
第九章1拉普拉斯变换.ppt
1
2
1
2
1[F (s) F (t)] 1[F (s)] 1[F (s)]
1
2
1
2
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20
例4 求cost的拉氏变换。
例5 已知F (s) 5s 1 ,求L1[F(s)]. (s 1)(s 2)
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21
相似性质
设L[ f (t)] F (s),则对任一常数a 0有
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34
例 8 求 L[eattm ] .
解：已知
[t
m
]
(m 1) s m 1
0
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32
例7 利用象函数性质计算 sin t etdt. 0t
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33
4. 位移性质： 若 L[ f (t)] F (s) ,则
L[e at f (t)] F (s a），(Re(s a) c)
证： F (s) f (t)estdt (Re(s) c) 0 L[e at f (t)] e at f (t) estdt 0 f (t) e(sa)tdt 0 F (s a） (Re( s a) c)
[ f (n) (t )] snF (s) sn1 f (0) sn2 f (0)
f (n1) (0)
（当 Re( s) c 成立）
其中，f (k) (0)应理解为lim f (k) (t). t 0
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23
证： [ f (t)] sF (s) f (0)
0
证： 由拉氏变换定义
L[ f (t)] f (t)estdt 0
信号与系统教学第九章拉普拉斯变换PPT课件
80%
幂级数展开
一个解析函数可以展开为幂级数 。
复数域的微积分
01
02
03
导数
复数域函数的导数定义为 函数值的增量与自变量增 量的比值。
积分
复数域函数的积分是函数 值的累积。
微分方程
在复数域中，微分方程是 描述函数行为的一种重要 工具。
03
拉普拉斯变换的求解方法
直接法
定义法
根据拉普拉斯变换的定义， 通过积分计算得出函数的 拉普拉斯变换。
02
01
03
定义法
根据卷积的定义，通过积分计算得出函数的卷积。
表格法
利用卷积表，查表得出函数的卷积。
性质法
利用卷积的性质，简化计算过程。
04
拉普拉斯变换的性质与定理
线性性质
总结词
线性性质是指拉普拉斯变换具有类似于线性代数中的线性性质，即对于两个函 数的和与积，其拉普拉斯变换可以分别通过各自拉普拉斯变换的和与积来获得。
拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析中的应用，有 助于设计更加稳定、可靠的控制系统，提高工程实 践中的控制效果。
信号处理中的拉普拉斯变换
在信号处理中，拉普拉斯变换 用于分析信号的频域特性。通 过将信号从时域转换到频域， 可以更好地理解信号的频率成 分和频率特性。
拉普拉斯变换在信号处理中的 应用包括：信号的频谱分析、 滤波器设计、信号调制与解调 等。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at)的拉普拉斯变换为 |a|F(s/a)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(t-b)的拉普拉斯变换为 e−bF(s)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f'(t)的拉普拉斯变换为 sF(s)-f(0)。
第九章 拉普拉斯变换 信号与系统
一、求解拉氏反变换的方法 1、留数定理；（这里不讨论） √ 2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得 未知的拉氏变换，或它们的反变换。
√ 3、对于有理形式拉氏变换，最常用的是部分分 式展开法。
二、部分分式展开法求解拉氏反变换
思路：
单个单边复指数信号的拉氏变换是一些简单的 有理函数，其收敛域也是单纯的。
Im x(t) e-1t e-0t
0
s平面 Re
T2
t
性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么ROC 就一定是由s平面的一条带状区域所组成， Re{s} 0 直线 位于带中。
Im
S-plane
R
Im
Re Im
L Re
R
L Re
L{ (t )} (t )e st dt 1
X ( s) 1
4 1 1 1 3 s 1 3 s 2 ( s 1) 2 , Re{s} 2 ( s 1)(s 2)
Im
-1
x
1 2
x
Re
请问：x(t)的傅立叶变换存在吗?
9.2 拉氏变换收敛域的性质 性质1:拉氏变换收敛域的形状：
Im
s平面
Re
时域信号x(t)的特点 有限长 左边时间信号
拉氏变换X(s)的ROC 整个S平面 某一左半平面
右边时间信号
双边时间信号
某一右半平面
某一带状收敛域
9.3 拉氏反变换 信号x(t)的拉氏变换为：
X( + j ) = F{x(t)e
- t
} = [x(t)e- t ]e-jt dt
第九章 拉普拉斯变换
电路原理第九章拉普拉斯变换
利用拉普拉斯变换，通过计算系统的极点和零点，判 断系统的稳定性。
电路系统的频率响应分析
频率响应定义
电路系统在不同频率下的输入与输出关系称为频率响应。
频率响应分析方法
通过拉普拉斯变换将时域函数转换为复频域函数，进而分析频率 响应。
频率响应特性
频率响应具有幅度和相位特性，这些特性决定了电路系统在不同 频率下的性能表现。
到该函数的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换具有线性性和时移性等性质，使得复杂电路的分
03
析变得简单。
拉普拉斯变换的性质
1 2 3
线性性
如果函数$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换分别为 $F(s)$和$G(s)$，那么对于任意实数$k$和$l$， 有$(kf(t)+lg(t))的拉普拉斯变换=kF(s)+lG(s)$。
04
拉普拉斯变换的逆变换
逆变换的定义和性质
逆变换的定义
如果一个函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么就存在另一个函数g(s)的拉普拉斯 变换等于f(t)，并且g(s)可以通过一定的积分运算从f(t)得到，这个过程就是逆 变换。
逆变换的性质
逆变换具有线性、时移、频移、微分、积分等性质，这些性质在求解逆变换时 非常有用。
时移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$a$，有$(f(t-a))的拉普拉斯变换 =e^{-as}F(s)$。
频移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$b$，有$(f(t)e^{bt})的拉普拉斯 变换=F(s-b)$。
拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换的微分性质
微分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么对于实数a，函数f''(t)的拉普拉斯变换等于函数f(t)的拉普拉斯变换乘以 s^2。
14第九章拉普拉斯变换
第九章 拉普拉斯变换§1. 拉普拉斯变换的概念 一. 拉普拉斯变换的定义定义： 设函数()t f 是定义在[)∞+,0内的实值函数,如果对于复参数ωβj s +=,积分()()dt e t f s F st-+∞⎰=0在复平面的某一域内收敛,则称()s F 为()t f 的拉普拉斯变换,记作()=s F L ()[]t f ; 称()t f 为()s F 的拉普拉斯逆变换, 记作()=t f L ()[]s F 1-.相应地称()s F 为()t f 的像函数,称()t f 为()s F 的像原函数.结论: L ()[]=t f F()()[]te t u tf β-.例1. 分别求出单位阶跃函数u (t ),符号函数 sgnt以及函数f (t )=1的拉普拉斯变换.例2. 分别求出函数tj tte,e,e 0ωαα-的拉普拉斯变换.(其中0ωα,为实常数, α>0).二. 拉普拉斯变换存在定理定理1 设函数()t f 满足条件:(1) 在0≥t 的任何有限区间上分段连续;(2) 当+∞→t 时, ()t f 具有有限的增长性,即存在常数M >0及0≥c ,使得()()+∞<≤≤t Me t f ct(其中c 称为()t f 的增长指数).则像函数()s F 在右半平面Re s >c 上一定存在并解析.例3. 求函数()te tf α=的拉普拉斯变换. (其中α为复常数)§2. 拉普拉斯变换的性质一. 线性与相似性质1. 线性性质设()=s F L ()[]t f ,()=s G L ()[]t g ,βα, 为常数,则有L ()()[]αβα=+t g t f ()()s G s F β+, L()()[]()()t g t f s G s F βαβα+=+-1.例4. 求t cos ω的拉普拉斯变换.例5. 已知()()()2115-+-=s s s s F ,求L()[]s F 1-.2. 相似性质设L ()[]()s F t f =,则对于任意a >0,有L ()[]⎪⎭⎫⎝⎛=a s F a at f 1. 二. 微分性质1. 导数的像函数设L ()[]()s F t f =,则有 L ()[]()()0f s sF t f -='; 一般地,有L()()[]()()()()()000121----'--=n n n nnf f s f s s F s t f .例6. 求解微分方程()(),t y t y 02=+''ω()().y ,y ω='=000例7 求()mt t f =的拉普拉斯变换.(m ≥1为正整数).2. 像函数的导数设L ()[]()s F t f =,则有 ()-='s F L ()[]t f t ,一般地,有()()()nn s F1-=L ()[]t f t n.例8．求()t t t f ωsin = 的拉普拉斯变换.例9. 求()t t t f 22cos = 的拉普拉斯变换.三. 积分性质1. 积分的像函数设L ()[]()s F t f =,则有L ()()s F sd f t 10=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ττ; 一般地,有L ()()s F s dt dt d f nt n t t n 10110011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰-- ττ.2. 像函数的积分设L ()[]()s F t f =,则有()=⎰∞S ds s F 11L ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t f , 一般地,有()=⎰⎰⎰∞-∞∞-Sn n s s n ds ds ds s F n 1111L ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡n t t f . 例10. 求()t t t f sin = 的拉普拉斯变换.例11. 计算下列积分: (1) ⎰+∞-032tdt cos et. (2)⎰∞+--01dt e tt cos t.四. 延迟与位移性质1.延迟性质设L ()[]()s F t f =,当t <0时,f (t )=0,则对任一非负实数τ有 设L ()[]()s F et f s ττ-=-.例12 设f (t )=sint , 求L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πt f .例13 求L⎥⎦⎤⎢⎣⎡---s e s 111.2. 位移性质设L ()[]()s F t f =,则有L ()[]()a s F t f e at-=.(a 为一个复常数)例14 设L ()[]t f =F （s ），求L()[]t a f e t a .(a >0)五. 周期函数的像函数设()t f 是[)∞+,0内以T 为周期的函数，且()t f 在一个周期内分段光滑，则L ()[]()⎰---=Tst sTdt e t f e t f 011.例14 求正弦波()t t f ωsin =的像函数.六.卷积与卷积定理1. 卷积若当t <0时,有()()021==t f t f 恒成立,则有 ()()=*t f t f 21()()()⎰≥-tt d t f f 0210τττ.例15 求函数()t t f =1与()t sin t f =2的卷积.2. 卷积定理 定理2设()=s F 1L ()[]t f 1,()=s F 2L ()[]t f 2,则有L ()()[]=*t f t f 21()()s F s F 21⋅. 例16 已知()()2221+=s s s F ,求()=t f L ()[]s F 1-.§3 拉普拉斯逆变换一. 反演积分公式()()()⎰∞+∞->=j j ts t ds e s F j t f ββπ021.二. 利用留数计算反演积分定理3 设F (s )除在半平面Re c s ≤内有限个孤立奇点n s s s ,,21外解析,且当∞→s 时,()0→s F ,则有()()()[]()⎰∑∞+∞-=>==j j nk k stt s t s e s F s ds e s F j t f ββπ0,Re 211.例17 已知()()()2121--=s s s F ,求()=t f L()[]s F 1-.§4拉普拉斯变换的应用及综合举例 一 求解常微分方程(组)例18 求解微分方程()()()()().x x ,t cos e t x t x t x t000222='==+'-''例19求解微分方程组()()()()()()⎩⎨⎧=-+'=-+',e t y t x t y ,e t y t x t x tt 223 x (0)=y (0)=1. 二 综合举例例20 求函数()⎩⎨⎧≤≤-=其它,t ,t t f 0101的像函数.例21 求解积分方程()()()()00≠--=⎰a .dx x f t x sin at t f t第九章 拉普拉斯变换(习题课)1. 利用拉普拉斯变换的性质计算L ()[]t f . (1)(),t sin tet f t23-= (2) ().2sin 30τττd e t t f t-⎰=2. 利用拉普拉斯变换的性质计算L ()[].s F i 1-(1) ()11111--+=s s s F ; (2) ()112-+=s s ln s F ; (3) ()()22312-=s ss F ; (4)()()22411-=ss F .3. 求下列像函数F (s)的拉普拉斯逆变换.(1) ()()()b s a s s s F --=; (2) ()4524++=s s ss F ;(3) ()45124++=s s s F .4. 求卷积nmt t*(m,n 为正整数).。
第九章 拉普拉斯变换分解
X ( s) L{x(t )}
几个典型信号的拉氏变换
(1) x(t ) e u(t )
at
1 X ( s) sa 1 X ( s) sa
Re{ s} a Re{ s} a
(2) x(t ) e u(t )
at
1 (3) x(t ) u (t ) X ( s ) s
例
1 X (s ) (s 1)(s 2)
求其可能有的所有的收敛域
Im s平面 Im s平面 Re
× × -2 -1
× × -2 -1
Re
1 X (s ) (s 1)(s 2)
Im s平面
Im
s平面
Re × × -2 -1 Re
× × -2 -1
1 X (s ) (s 1)(s 2)
能应用拉氏变换分析具体电路。
9.0 引言 Introduction
连续时间对应的复频域是用直角坐标 s j 表示的复数平面，简称为S平面或 连续时间复频域（s域）.
• S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 e st , 整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。
S平面
j 0
0
Im s平面 Re
• 性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 • Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 • Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
Im x(t) e-1t e-0t
0
s平面 Re
T2
t
性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么ROC 就一定是由s平面的一条带状区域所组成， Re{s} 0 直线 位于带中。
第九章 拉普拉斯变换
§9.1 拉普拉斯变换(LAPLACE TRANSFORM) 拉普拉斯变换( TRANSFORM)
复指数信号
e
st
是一切LTI系统的特征函数. 是一切LTI系统的特征函数. LTI系统的特征函数
如果LTI系统的单位冲激响应为 如果LTI系统的单位冲激响应为 LTI
e
st
h(t ) ,则系统对
∞
产生的响应是
ROC: 是双边信号. ROC:2 < Re[ s] < 1 此时 x ( t ) 是双边信号.
26
27
作业5月8日
9.2 9.3 9.21(b)( ) )(h) ( )(
28
§9.3 拉氏反变换
The Inverse Laplace Transform
b < Re[ s ] < b
无公共部分, 当b < 0 时,上述 ROC 无公共部分,表明 X(s) 不存在. 不存在.
24
是有理函数时, ROC总是由 当 X ( s) 是有理函数时,其ROC总是由 X(s) 的极点分割的.ROC必然满足下列规律: 必然满足下列规律 的极点分割的.ROC必然满足下列规律: 右边信号的ROC ROC一定是 1. 右边信号的ROC一定是 X ( s ) 最右边极 点的右边. 点的右边. 左边信号的ROC ROC一定是 2. 左边信号的ROC一定是 X(s) 最左边极 点的左边. 点的左边. 双边信号的ROC ROC可以是任意两相邻极点 3. 双边信号的ROC可以是任意两相邻极点 之间的带状区域. 之间的带状区域.
y(t ) = H (s)e
当
st
,其中 H (s) = ∫ h(t )e st dt
∞
第九章拉普拉斯变换
第九章 拉普拉斯变换主要内容：掌握拉普拉斯变换的基本概念以及常见函数的拉普拉斯正变换； 利用拉普拉斯变换的基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常见函数进行拉普拉斯反变换；利用拉普拉斯正反变换求解线性动态电路的常微分方程。
引 言经典法分析线性电路过渡过程的优点是物理概念清楚，层次分明，特别是把电路的稳态解和暂态解同线性电路的稳定状态与过渡过程联系起来，对于人原来的稳定状态过渡到新的稳定状态比较直观形象，但是，对于较复杂的电路的过渡过程求稳态分量就不那么容易了，况且复杂电路的微分方程的阶次较高，积分常数的个数也较多，必须用多个初始条件才能确定，比较麻烦，有的甚至解不出来，为此引入了复频域分析。
所谓复频域分析，是指线性动态电路的一种分析方法，这种方法不是在时间域里直接进行分析和求解，而是变换到复频域的范围内的一个代数方程来求解，这样低了求解电路的难度。
所使用的教学工具就是拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种积分变换，是解线性常微分方程，研究线性系统的一个重要工具。
下面回顾“变换”的概念。
1、对数与指数的变换为求乘积ab可先取对数 ln(ab)= lna+lnb 再取指数运算 lnab (lna lnb )e e ab +==2、相量与正弦量的变换为了计算正弦稳态响应，可将激励源变为相量，然后在频率域里求相量（即相量法），然后再变回时域得到正弦时间函数响应。
j t m m u(t )U s i n(t )Im U e ωωϕ⎡⎤=+=⎣⎦其中：j m m mU U e U ϕϕ==∠ ，此复数的模m U 就是正弦量u(t)的振幅值，幅角就是u(t)的初相角。
这种对应关系就是一种变换。
§9-1 拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换设有一时间函数f(t) 定义于区间[0,∞），或 0≤t≤∞单边函数st 0f (t )e d t F (s )-∞-=⎰其中，s=σ+jω 是复参变量，称为复频率。
左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(s)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S 为自变量的复频域函数F(s)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
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T
(1 0 )T
表明 1 也在收敛域内。
T
x(t )e 0t dt
12
e at , 0 t T 例1. x(t ) 其它 0,
X ( s) e e dt e
at st 0 0
T
T
( s a )t
1 ( s a )T dt [1 e ] sa
17
1 例1. X ( s) ( s 1)( s 2)
确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。
s 1, s 2 极点：
j
2 1
j
2 1
j
2 1
右边信号
左边信号
双边信号
18
1 例2. X ( s) ( s 1)( s 2)
ROC : 2 Re[s ] 1
思考题：对于本例中的X(s),若收敛域分别为： (a) Re[s]>-1;(b)Re[s]<-2,求这两种情况下的x(t)？
2t
t
19
9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值
•
可以用零极点图表示 X ( s ) 的特征。当ROC包
括 j 轴时，以s j代入 X ( s ) ，就可以得
到 X ( j ) 。以此为基础可以用几何求值的方法
第9章 拉普拉斯变换
THE LAPLACE TRANSFORM
1. 双边拉普拉斯变换与反变换； 2. 双边拉普拉斯变换的收敛域； 3. 零极点图； 4. 双边拉普拉斯变换的性质； 5. 单边拉普拉斯变换；
本章内容对应于教材第9章9.1-9.6节，以及9.9节。9.7-9.8节 关于LTI系统分析内容将在LTI系统分析部分集中讲述。
9. 3 拉普拉斯反变换的求法
对有理函数形式的 X ( s ) 求反变换一般有两种方
法,即部分分式展开法和留数法。
部分分式展开法：
1. 将 X ( s ) 展开为部分分式。 2. 根据 X ( s ) 的ROC，确定每一项的ROC 。 3. 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质, 对每一项进行反变换。
二. 拉氏变换的ROC及零极点图：
例3. x(t ) e u(t ) e u(t )
t 2t
j
1
X (s) e e dt e e dt
t st 2t st 0 0
1 e u(t ) , Re[s ] 1 s 1
t
j
2
1 e u (t ) , Re[s] 2 s2
2015-7-3
9.0 引言
复指数函数是一切LTI系统的特征函数。相当广泛的信号 都可以表示成复指数信号的线性组合 傅里叶变换是以复指数函数的特例 e j t和 e j n 为基本分解 信号。对更一般的复指数函数 e st 和 z n ，也能以此为基本 信号对信号进行分解。 将连续时间傅里叶变换推广到更一般的情况（拉普拉斯变 换）就是本章要讨论的中心问题。
0
at
u(t )
0 ( s a )t
X (s) e e dt e
at st
dt
1 在 Re[s] a 时，积分收敛：X ( s) sa
与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。
6
几点结论：
1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任 何信号的拉氏变换都存在，也不是 s 平面上的任何复 数都能使拉氏变换收敛。 2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数 s的集合，称为拉氏 变换的收敛域 (ROC) 。收敛域对拉氏变换是非常重要 的概念。 3.不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式， 只是它们的收敛域不同。只有拉氏变换的表达式连同 相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。 4. 如果一个信号的拉氏变换的ROC包含 j 轴，则信 号的傅里叶变换也存在，并且： X ( j ) X ( s) s j 7
i i i i
1 i 1 1
i
i
X (s1 )
i
s1 i s1 i
i
i
即：从所有零点向 s1 点作零点矢量，从所有极点向 s1 点 作极点矢量。所有零点矢量的长度之积除以所有极点矢 量的长度之积即为 X (s ) 。所有零点矢量的幅角之和减 1 去所有极点矢量的幅角之和即为 X (s1 ) 。 当 s1取为 j 轴上的点时，即为傅里叶变换的几何求值。 考查 s1在 j 轴上移动时所有零、极点矢量的长度和幅角 的变化，即可得出 X ( j ) 的幅频特性和相频特性。 23
X ( s )有极点
s a
( s a )T
考查零点，令 e
1
2 k（k为整数） 得 s a j T
显然 X ( s )在 s a 也有一阶零点，由于零极
点相抵消，致使在整个S平面上无极点。
13
例2. x(t ) e
bt
b t
x(t ) e u(t ) e u(t )
不满足狄里赫利条件的信号 • u(t) • 增长信号 eat u (t ), a 0
t 乘一衰减因子 e 后收敛
u(t )e t ,
0
4
eat e t u(t ), a
例1.
x(t ) e u(t )
at st ( s a )t 0 0
at
， 是振荡频率，
控制衰减速度
3
X (s) x(t )e e
t jt
[ x(t )e t ] dt [ x(t )e t ]e jt dt F[
拉氏变换是对傅里叶变换的推广，x(t ) 的拉氏变换就是 t x(t )e 的傅里叶变换。只要有合适的 存在，就可以 使本来不满足狄里赫利条件的信号在引入 e t后满足该 条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存 在。这表明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
幅频特性：是 的偶函数， 0 时，取最大值1， 随着 ，H ( j) 单调下降， 1 时，下降到最大值的1 2 | H ( j ) |
a
a
s1 a
矢量 s1 a 称为零点矢量，它的长度 | s1 a |
表示 X (s1 ) ,其幅角即为 X (s1 ) 。
21
2. 单极点情况：
1 X ( s) , 极点 sa
j
sa
0
s1
a
s1
X ( s1 )
1 s1 a
a
s1 a
X ( s1 )
11
性质4的证明： 若 x(t ) 是右边信号, T t , 0 在ROC内， 则有 x(t )e
0t
绝对可积，即：
T
x(t )e 0t dt
若1 0 ，则
e
T
x(t )e 1t dt
x(t )e 0t e (1 0 )t dt
X (s) e e dt e
1 在 Re[s] a 时，积分收敛：X ( s) sa
dt e
0
( a )t jt
e
dt
当 a 0 时， x(t ) 的傅里叶变换存在: 1 at j t X ( j ) e e dt ( a 0) 0 a j 拉氏变换收敛的区域为 a ，包括了 j 轴。
其中 s j
若 0，s j 则有: X ( j ) x(t )e jt dt 这就是 x(t ) 的傅里叶变换。 连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换
j
s 平面
在 0 (s平面的 j 轴)上的特例。
FT: 实频率， 是振荡频率
LT: 复频率
1 1 X (s) s 1 s 2
1 ROC1: Re[ s ] 1 e t u( t ) s 1 ROC1、ROC2 1 2 t ROC2: Re[ s] 2 e u (t ) 必须各自包含ROC s2
x(t ) e u(t ) e u(t )
拉氏变换具有很多与傅氏变换相同的性质，不仅能解决用 傅氏分析方法可以解决的信号与系统分析问题，还能用于 傅里叶分析方法不适用的许多 问题。拉普拉斯分析是傅里 叶分析的推广，傅里叶分析是拉普拉斯分析的特例。
2
9.1 拉普拉斯变换
一.双边拉氏变换的定义：
X (s) x(t )e dt
st
当 X ( s )是有理函数时，其ROC总是由X ( s) 的
极点分割的。ROC必然满足下列规律：
1. 右边信号的ROC一定位于 X ( s ) 最右边极点 的右边。 2. 左边信号的ROC一定位于 X ( s ) 最左边极点 的左边。
3. 双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间
的带形区域。
15
bt
j
b
1 b e u (t ) , Re[s] b sb 1 bt e u (t ) , Re[s] b s b 当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
bt
1 1 X ( s) s b s b
b Re[ s] b
当 b 0 时，上述 ROC 无公共部分，表明X ( s ) 不存在。
2 t
j
1 1 2s 3s 2
2
1
8
Re[s ] 1
j
2s 3 X ( s) 2 , Re[ s] 1 s 3s 2
2
1
极点
零点
可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部