【精品】数学丢番图问题
关于一类二次丢番图方程的解
关于一类二次丢番图方程的解一类二次丢番图方程是一种式子，它包括一个平方项和两个一次项，通常写为：ax2 + bx + c = 0。
解决这类方程是很多学科中十分重要的一部分，几乎涉及到数学、物理、化学等学科中的所有专业。
了解这类方程的解决方案对于学生学习、科学研究以及实际应用都是非常必要的，因此本文致力于介绍一类二次丢番图方程的解决方案。
一.据一般的解决方案，一类二次丢番图方程的解可以由两个定义的实根求出。
一类二次丢番图方程有两种可能的解法：一是“平方根公式”，是一类二次丢番图方程的标准解法；二是“分解法”，这种解法在一类二次丢番图方程有负数解时更有用。
（1）平方根公式。
平方根公式是一类二次丢番图方程的标准解法，它可以用来求出一个二次方程的两个根，一般情况下，令D表示方程的判别式，公式如下：若D>0：x1＝-b+√D/2a， x2＝-b-√D/2a若D=0：x＝-b/2a若D＜0：无实根（2）分解法。
分解法是一类二次丢番图方程的另外一种解法，当一类二次丢番图方程有负数解时，分解法就比平方根公式更有用。
其具体过程如下：首先，将存在负数解的一类二次丢番图方程写成一组二次方程组，然后对两个含有次方项的二次方程分别求解，得到实根。
二.一种“解方程律”方法也可以用来解决这类问题。
“解方程律”是一种使用的方法，它可以用来求解一类二次丢番图方程。
解方程律的步骤如下：（1）将一类二次丢番图方程转化为主要形式：ax2 + bx + c = 0。
（2）使用“解方程律”求解：x=2c/（-b±√(b2-4ac)）（3）将求得的解代入原方程，验证求解的正确性。
三.一类二次丢番图方程求解只有一个实根时，可以使用“简化判别式法”和“零根法”来解决。
（1）简化判别式法。
简化判别式法是将一类二次丢番图方程简化为一个一次方程来求解，这种方法只适用于有一个实根的情况，一般情况下，将方程转化为一次方程x=y/a，将得到的值代入原方程，即可求解得到实根，公式如下：y=±√(b2-4ac)，x=y/a（2）零根法。
阅读材料丢番图-浙教版七年级数学上册教案
阅读材料丢番图 - 浙教版七年级数学上册教案一、教材背景《丢番图》是浙江教育出版社出版的七年级数学上册教材中的一篇文章。
该教材是根据新课程标准编写的，与国际接轨，注重培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。
同时，教材还注重培养学生的思维能力，强化学生的数学思想和数学观念。
二、丢番图教案2.1 教学目标•了解丢番图游戏的规则；•掌握解决丢番图游戏的方法，能够根据游戏规则计算出游戏结果；•训练学生逻辑思维和数学思想；•培养学生的合作意识和竞争意识。
2.2 教学重点•游戏规则的讲解；•游戏结果的计算方法。
2.3 教学难点•训练学生逻辑思维和数学思想。
2.4 教学内容及过程2.4.1 教师引导教师先通过举例来引出丢番图这个游戏，让学生对游戏有个初步的了解。
同时，考虑到学生对数学知识的理解程度不同，教师需要对游戏规则进行适当地解释。
2.4.2 学生合作教师将班级分为若干个小组，每个小组由3-4名学生组成。
学生根据游戏规则自行操作，互相帮助，积极讨论。
2.4.3 教师点评教师巡视每个小组的活动情况，指导学生讨论所遇到的问题。
同时，教师要注意点评学生的逻辑思维和数学思想，引导学生深入思考，加深对问题的理解和认识。
2.4.4 班级总结教师在课堂结束前对本节课的教学内容做一个总结，让学生对自己所学到的知识有一个更深刻的认识。
三、教学方法本节课采用了情境教学法和合作学习法。
通过情境教学法，学生可以更好地理解游戏规则和解决方法，从而更加深入地理解数学知识。
通过合作学习法，学生可以在游戏过程中相互协作，不断学习和思考问题，培养学生的合作精神和竞争意识。
四、总结《丢番图》这篇教材给我们提供了一个非常好的数学学习机会。
不仅可以帮助我们掌握游戏规则和解决问题的方法，还可以训练我们的逻辑思维和数学思想。
同时，通过合作学习，我们还可以与同学们互相学习，一起进步。
初中数学数学名师丢番图
丢番图丢番图(Diophantus of Alexandria) 公元250年前后活跃于亚历山大．教学．丢番图生存的年代，是根据下面的记载来确定的．在他的著作《多角数》(De polygonis numeris)中，引用了许普西克勒斯(Hypsicles of Alexandria，约公元前175年)关于多角数的定义，而赛翁(Theon of Alexandria)的书又引用丢番图的著作．这样界定的上、下限是公元前175年到公元390年．另外，M．C．普赛勒斯(Psellus，1018—约1078)写过一封信，提到阿纳托利厄斯(Anatolius，约公元280年)将他所著的关于埃及计算方法的小册子献给丢番图，因此两人应同时代或丢番图稍早．据此断定丢番图的活跃时期是公元250年前后．丢番图将他的杰作《算术》(Arithmetica)献给迪奥尼修斯(Dionysius)．历史上用这一个名字的有好几个，估计这一个是亚历山大的迪奥尼修斯，他是当地的主教．在任主教(公元247年)之前，曾在那里建立基督教学校(从公元231年起)．丢番图的《算术》可能就是为这些学校编写的教科书．这种推想是合情合理的，年代也和前面所说的一致．关于丢番图的生平，还有一则别开生面的记载．在一本《希腊诗文选》(The Greek anthology)中，收录了丢番图奇特的墓志铭：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．这相当于方程x=84．由此知他享年84岁．丢番图的著作确实知道他有两种著作，一是《算术》，大部分保存了下来；另一种是《多角数》，只有少部分留下来．还有两种书，一是《推论集》 (Porismata)它只是在《算术》中几次提到，可能是若干数论问题的汇编，独立成册，也可能是附属在《算术》中的失传部分．此外，伊安布利霍斯(lamblichus，约公元250—约330年)所著《尼科马霍斯〈算术〉评注》一书的注释者还提到丢番图另外一本书《分数算法》(Moriastica)，它记载了分数计算的法则，可惜已失传．丢番图的《算术》是一部划时代的著作，它在历史上影响之大可以和欧几里得《几何原本》(Elements)一比高下．这书的序中说，全书共分13卷．可是现在见到的希腊文本只有6卷．长期以来，大家都认为其余的7卷早在10世纪以前已经失传．5世纪时希帕提娅(Hypatia)注释这部书，只注了6卷，也许这正是其余部分被人忽视终致失传的原因．近年来，发现4卷阿拉伯文本，改变了传统的看法．1973年，G．图默(Toomer)获悉在马什哈德圣地(Mashhad Shrine)图书馆有一本阿拉伯文手抄本，经过研究，确认为《算术》的失传部分(但还不全)．这是由古斯塔伊本卢加(Qustā ibn Lūqā，活跃于860年前后)译成阿拉伯文的．后来J．塞夏诺(Sesiano)将它译成英文并加以详细注释(见[6])．经过反复推敲，塞夏诺指出这4卷在《算术》中原来的位置应该是紧接着希腊文本卷1，2，3的卷4，5，6，7，而希腊文的其余部分应是卷8，9，10．下面将按这新的顺序编排来介绍它的内容．原来的6卷希腊文本，最初是J．雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，1436—1476)发现的．1464年2月15日，他写信给L．比安基(Bianchi)，提到他在威尼斯找到了丢番图的《算术》，从此西方学术界才知道有6卷希腊文手抄本流传下来．最早的拉丁文译本是G．克胥兰德(Xylander，1532—1576)的“Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亚历山大的丢番图算术6卷，多角数1卷》)．以后又有C．－G．巴歇(Bachet de Méziriac，1581—1638)校订注释的希腊-拉丁文对照本“Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亚历山大的丢番图算术6卷，多角数1卷》)．关于这个译本，有一段饶有趣味的历史．1637年左右，P．de费马(Fermat，1601—1665)读到这译本第2卷第8题：“将一个平方数分为两个平方数”时，在书页的空白处写出了著名的“费马大定理”．1670年费马的儿子S．de费马(Fermat)将他父亲的全部批注插入正文，重新出版巴歇的希-拉对照本近代，不包括新发现4卷的“丢番图全集”，标准的版本是P．唐内里(Tannery，1843—1904，法国数学史家)编辑、校订的希-拉对照本“Diophanti Alexandrini opera omnia cum Graecis mentariis”(《亚历山大的丢番图全集，包括希腊文注释》)．最流行的英译本是T．L．希思(Heath，1861—1940)的“Diophantus of Alexan－dria，A Study in the history of Greek algebra(《亚历山大的丢番图，希腊代数学史研究》)．此外，还有德、法、英、俄及现代希腊语等多种译本．代数学的特征希腊时代“算术”(arithmetica)一词，主要指“数的理论”而言，大致相当于现在的“数论”．而数字的加、减、乘、除等运算则叫做“计算的技巧”(logistica)，和前者有明显的区别．这种分法从毕达哥拉斯时代开始，一直延续到近代，例如C．F．高斯(Gau－ss)的数论名著就叫做《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae，1801)．丢番图《算术》也是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程．现在对于具有整系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支．不过丢番图并不要求解答是整数而只要求是正有理数．从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围．代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算，根据问题的条件列出方程，然后解方程求出未知数．算术也有未知数，这未知数一般就是问题的答案，一切运算只允许对已知数来施行．在代数中既然要对未知数加以运算，就需要用某种符号来表示它．就引入未知数，创设未知数符号以及建立方程的思想(虽然未有现代方程的形式)这几方面来看，丢番图《算术》完全可以算得上是代数．当时代数学没有专门的名称，algebra是9世纪花拉子米(al－Khowarizmi)以后才出现的名称，而且直到17世纪还没被欧洲人普遍接受．丢番图将这方面的成果冠以算术之名是很自然的．他被后人称为“代数学之父”也是有一定道理的．希腊数学自毕达哥拉斯学派以后，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命他才是可靠的．为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣，一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入僵硬的几何模式之中．直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊．例如，(a＋b)2=a2+2ab＋b2的关系在欧几里得《几何原本》中是一条重要的几何定理(卷Ⅱ命题4)，而在丢番图《算术》中只是简单代数运算法则的必然结果．下面通过一个例子来说明丢番图解决问题的手法．卷Ⅱ第20题：求两数，使得任一数的平方加上另一数等于一个平方数．([10]，p．101．)这相当于不定方程x2+y=m2y2+x=n2要求所有的未知数x，y，m，n都是正有理数．丢番图只设一个未知数，也只使用一个未知数的符号，这是他的特点之一，今暂记作x．其余的未知数根据问题的具体条件用含x的一个简单式子表示出来．本例的条件是x2加上另一个未知数等于一个平方数，故可设这个未知数是2x+1，因为x2+ 2x+1正好是一个完全平方．其次，还应该满足(2x+1)2+x=平方数．丢番图设右端是(2x-2)2，显然是想使展开后左右两端相同的4x2项-2是怎样来的？不妨先令右端是(2x+a)2=4x2+4ax+a2，原文很简单，没有说明这样设未知数的理由，更没有给出一般的法则．他虽然知道问题有多个答案，但常常得到一个答案就已满足．他认为代数方法(可理解为一种倒推法，先假设未知数存在，列出方程然后求解)比几何的演绎陈述更适宜于解决问题．解题的过程中显示出高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜．有的数学史家说，如果丢番图的著作不是用希腊文写的，人们就不会想到这是希腊人的成果，因为看不出有古典希腊数学的风格，从思想方法到整个科目结构都是全新的．如果没有丢番图的工作，也许人们以为希腊人完全不懂代数．有人甚至猜想他是希腊化了的巴比伦人．代数符号G．H．F．内塞尔曼(Nesselmann，1811—1881)根据符号使用的情况，将代数学分为三类(见[12]，pp．301—306)：(1)文词代数(rhetorische algebra)，完全用文字来叙述而不用符号；(2)简字代数(synkopierte algebra)；(3)符号代数(symbolischealgebra)，除了个别地方，一切全用符号来表示．按照这个分类，丢番图《算术》应该属于第二类．符号的使用，在数学史上是一件大事．一套优良的符号，绝不仅仅是起到加快速度、节省时间的作用，它能够准确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系．一个较复杂的式子，如果不用符号而日常语言来表述，会十分冗长而含混不清．符号的发明在数学史上是一次飞跃，也是代数的特征之一，其作用是不容低估的．丢番图创设了一些符号，多半采自相应文字的字头，而问题的叙述主要仍然是用文字，和现代的符号代数相去甚远，只可算是较原始的简字代数．号来表示它．由于丢番图本人的原始手稿早已失传，后人传抄的手稿上这个符号又不很统一，故很难确知他用的是什么符号．不过几种手稿都记数法系统是用字母表数，如α，β，γ，δ，…分别表示1，2，3，4…；ι，κ，λ，μ，…分别表示10，20，30，40，…；ρ，σ，τ，υ，…分别表示100，200，300，400，…等等，24个字母值得注意的是，在一份大约写于2世纪的纸草书上，也出现和丢番图未知数相类似的符号，上面所列的三个算题，解题方法也具有丢番图的风格．可以想象，丢番图的工作不是孤立的，他受到强烈的外来影响．丢番图所处理的问题大部分是多元的，但他只设一个未知数的符号，相当于现在的x．而和x2，x3，…，x4相当的各次幂，都有专门的名称和符号：名称符号符号是名称的缩写，注意Δ，Υ，Κ是字母δ，υ，κ的大写．这些乘幂的倒数也有专名和符号，6次以上的幂不再创设符号．未知数的系数相乘的法则：“‘缺乏’乘以‘缺乏’得到‘存在’；‘缺乏’乘以‘存在’得到‘缺乏’”，即负乘负得正，负乘正得负，由于没有加号，书写时所有的负项都放在减号的后面，如x3-5x2+8x-1写成原意是“属于部分”，相当于“除以”或分数线/)，接着写分母．例如卷10(原希腊文本卷6)第19题，将(2x3＋3x2＋x)/(x2+2x+1)写成这已非常接近现代方程的形式．最后一个符号表示数字6，是希腊字母表以外的记号，读作digamma．丢番图创用符号是一大进步，美中不足的是只用符号表示一个未知数，遇到多个未知数时仍用同一符号，这使得计算过程越来越晦涩．为了避免混淆，不得不运用高度的技巧，但这常常使方法失去普遍性．8—9世纪以后，阿拉伯人吸取了许多希腊人的成果，然而却没有看到符号的优点，花拉子米等人完全回到文词代数上去，这是历史上的倒退．《算术》的典型问题和解答(一)一、二、三次方程《算术》没有系统地给出一、二次方程的解法．大概是一元一次方程太简单，没有必要单独论述，实际它已包含在axn=b类型的方程之中．经过移项、消去等手续，有些问题化为这类方程之后，立即得到解答．不管答案有几个，丢番图仅满足于一个答案．他完全排斥负数解答，例如卷9(原希腊文本卷5)第2题最后化为4=4x+20，他认为是荒谬的．无理数的解答也不取。
著名的丢番图方程，最有趣的“世界难题”，从古研究至今
著名的丢番图⽅程，最有趣的“世界难题”，从古研究⾄今2019年9⽉6⽇，由布⾥斯托尔⼤学和⿇省理⼯学院的研究⼈员领导的⼀个团队宣布，他们发现了所谓的“三个⽴⽅数和”的问题的最终解，即求⽅程x³+ y³+ z³= k的整数解，k的值在1到100之间。
⾃1954年提出以来，直到2016年，除了k=33和k=42的两个解之外，所有的解都被找到了。
19年3⽉，数学家安德鲁·R·布克（Andrew R. Booker）发表的⼀篇论⽂中宣布，他在布⾥斯托尔的超级计算机上花费了数周的计算时间，找到了k=33的正确解。
不久后，k=42的解也被发现了（布克和⿇省理⼯学院的安德鲁·萨瑟兰），答案是：对于k在1到1000之间的值，114、165、390、579、627、633、732、906、921和975的解仍然没有被发现。
丢番图⽅程三个⽴⽅和的问题是求丢番图⽅程解的⼀个例⼦，它可以定义为：定义丢番图⽅程是⼀个有⼏个未知数、系数为整数的代数⽅程。
也就是说，丢盘⽅程是有⼏个未知变量（x，y，z， ……）的⽅程，它的解（=0）只有当⽅程的系数是整数时才会出现。
线性丢番图⽅程线性丢番图⽅程是⼀阶⽅程，其解被限制为整数。
线性丢番图⽅程为：其中a、b、c为整数系数，x，y为变量。
例如：有多少个整数解？因为这是⼀个有两个未知数的⽅程，我们不能⼀次解⼀个变量（就像⼀个典型的线性⽅程组⼀样）。
相反，对于线性情况，我们可以使⽤以下定理：线性丢番图⽅程有整数解当且仅当c是a和b的最⼤公约数的倍数。
如果整数（x， y）构成给定a，b，c的线性丢番图⽅程的解，那么其他的解有（x + kv, y - ku）的形式，其中k是任意整数，u和v是a和b的最⼤公约数的商。
两个或两个以上整数的最⼤公约数（它们都不为零）是能整除每个整数的最⼤正整数。
对于上⾯的例⼦，我们可以先提出公约数5，得到：a和b的最⼤公约数是1和5。
丢番图逼近
1丢番图逼近数论的一个分支,以研究数的有理逼近问题为主。
这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。
数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。
由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。
1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。
由此可得，如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜<q-2。
当α是有理数时，上式不成立。
1891年，A.胡尔维茨将上式改进为并指出,对于某些无理数,常数是最佳值，不可再减小。
但是对于很多无理数，常数不是最佳值，还可再减小。
1926年，A.Я.辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式｜α-p/q｜<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对,由级数是发散的还是收敛的而定，这里ψ(q)(q>0)是正的非增函数。
此即所谓丢番图逼近测度定理。
例如，对几乎所有的实数α和任意的δ>0,不等式｜α-p/q｜<q只有有穷多对整数解，而不等式｜α-p/q｜<q-2(ln q)-1有无穷多对整数解。
丢番图逼近与连分数有密切联系。
一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。
例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数p n/q n,满足不等式1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C（α）>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有｜α-p/q｜>C(α)/q d。
亦即如果μ>d，那么不等式｜α-p/q｜<q-μ只有有穷多个解p/q。
根据这一结果，刘维尔构造出了历史上的第一个超越数。
以后一些数学家不断改进指数μ的值，直到得出μ与d无关的结果。
丢番图墓碑上的数学题
丢番图墓碑上的数学题
丢番图（即现在的阿尔泰地区）的文明古老，可以追溯到公元前六世纪，而其中最著名的遗迹就是丢番图墓碑上的数学题，在1972年由苏联考古学家斯米尔斯拉夫罗宾斯基（Smirnovs M. Robbinski）发现。
这个墓碑形状为方形，内部刻有一道非常复杂的数学题，在上面写着：“建立一个三角形，它以相等的角度旋转运行，让它的内接圆和外接圆的距离保持不变，有多少种方法可以实现？”
解答这道题的方式有很多，但最简洁的方法就是将三角形的三个顶点固定在一条直线上，然后通过改变线段的中点坐标，改变三角形的位置和面积，使三角形适应求解要求。
通过这种方法，可以计算出任意相等角度旋转运行的三角形，从而达到保持内接圆和外接圆距离不变的要求。
这道数学题极大地提高了人们对阿尔泰早期文明和他们聪明的
智慧的认识，也把当时的数学知识推向了一个新的高度。
因此，丢番图墓碑上的数学题成为了文明史的重要组成部分，足以证明丢番图文明的古老和辉煌。
可以说，丢番图墓碑上的数学题既是文明史上重要的结构性组成部分，也是数学史上重要的突破成果。
因为，这道数学题不仅考验着人们动手解决问题的能力，而且让人们知道，古代的文明也拥有超前的科学知识。
除此之外，这道数学题也提高了我们对古代文明的尊重，有助于我们对历史文明和古代文化的探究与发现。
总之，这道数学题有着极高的文学和历史价值，这引起了许多学者和考古学家的极大兴趣，同时也提供了许多有用的资料和信息，使我们更加了解古代文明，从而可以更好地保护古文明遗产，让更多的人们认识古代文明的辉煌，保持人类文明的长久繁荣。
华师版九年级数学广角 数学素材 丢番图方程一瞥
[科目]数学[关键词]丢番图/方程/算术[标题]丢番图方程一瞥[内容]丢番图方程一瞥丢番图是古希腊亚历山大里亚时期的数学家，对他的生平人们知之甚少。
传说公元4世纪的一部诗集中有一首短诗，以谜语体裁叙述了他的经历；又传说在一本问题集里有一道解方程问题，反映了他的生平；还传说在他的墓志铭中讲述了他的一生。
所有这些传说，无非是如下一段文字： 此人一生中，幼年占61，青少年占121，又过71岁月结婚，婚后5年喜得子，但先父4年而卒，寿为其父之半。
这段文字可以列成方程x 61+x 121+x 71=5+x 21+4=x,解之得x=84。
丢番图活了84岁。
丢番图对数学有两大贡献，其一是采用缩写方式简化数学表达，人称缩写代数，推进了数学符号的采用；其一是求解不定方程，人称丢番图方程，开辟了数论研究的一个重要领域，这个领域后来被称为丢番图分析。
丢番图曾写过三部书，其中13卷本的《算术》最为出色，后失传。
大约在1463年雷琼蒙塔努力发现了这部书的6卷，1560年，帕茨发现了这部书原稿抄本，1621年出版了《算术》的拉丁文、希腊文版本。
《算术》中大部分问题是求解不定方程的，其解法非常巧妙，很少给出一般法则，即使性质相近的题，其解法也会大不相同。
著名数学家汉克尔说：“研究丢番图100道题后，去解第101道，仍然感到困难重重。
”请看3道例题：例1“对于给定的两个数分别加上某个数，使它们成为两个平方数。
”丢番图的解法用现代记号可表示如下（后同）：设方程组a +x =y 2b +x =z 2取a =2,b =3；构成差（3+x ）-（2+x ）=1；找两个数，令其乘积等于这个差，取4和41，； 设2+x =22414⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-或3+x =22414⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+; 由此解得x =6497，为所求。
例2“已给定一个数为两个平方数之和，把它分成另外两个平方数之和。
” 设方程x 2+y 2=z 12+z 2 2例3“求四个数，使这四个数之和的平方加上或减去这四个数中的任意一个数，所得的仍是一个平方数。
丢番图墓碑上的数学题
丢番图墓碑上的数学题汉代丢番图墓碑是一件十分珍贵的历史文物，其中刻有一道数学题目，被誉为中国最古老的数学题目。
该题目曾在汉代被提出，是当时中国数学发展范围最广的一道数学题目。
它来自丢番图墓碑，具有极高的历史价值和文化价值，同时也是很多数学爱好者所崇拜的一道数学难题。
丢番图墓碑上的数学题为：“问一个人拿着三根竹竿，长度分别为6米，8米，10米，把它们拼接起来，使其长度最长，请问总长度有多长？”采用数学推导的方法，解这道题目的正确答案是：总长度为14米。
丢番图墓碑上的数学题目的解答很具有启发意义，它更像是一种启发性的思考。
它告诉我们，不管是什么样的问题，都可以使用数学推导的方法来解决，而更实际的是，发散性思考能够指导我们去解决问题。
从丢番图墓碑上的数学题中，我们可以看到，只要有清晰的目标，就能够灵活调整手头的资源，实现目标的最佳状态。
同时，这道题目也有着重要的宗教意义，指导人们如何用自己的行为去表现自己的信仰。
此外，从数学的角度来看，丢番图墓碑上的数学题目也为后世提供了一定的指导意义。
它引导人们去用数学的角度来思考问题，通过灵活运用推导方法去解决问题，而不是凭借经验和直觉来解决问题。
它也为后世数学发展提供了重要的参考，比如乘法表的发明，在汉代就有了重要的发展，使得后来更多复杂的数学问题得到解决。
最后，丢番图墓碑上的数学题目对于今天的数学研究者也有重要的作用，它强调了运用逻辑思维的重要性，而非依赖于经验和直觉。
今天的数学研究者也应该深入到研究古代数学文献，不断思考历史问题，从中汲取精华，使数学的发展得以不断进步。
总之，丢番图墓碑上的数学题目是一道具有重要历史价值和文化价值的题目，人们可以从中学习到很多关于如何逻辑思考及灵活利用资源去解决抽象问题的经验，人们也可以从中学习到古代数学理论的发展，从而为今天的数学研究发展提供一定的指引。
丢番图方程及其在数学竞赛中的应用
丢番图方程及其在数学竞赛中的应用
丢番图方程（Tarski's equation）是一种数学竞赛中常用的技巧，它是一种用于求解复杂多项式等式的方法。
丢番图方程的基本原理是，将多项式等式分解成两个部分，每个部分都具有相同的变量，而且每个部分的值都是一个确定的常数。
在数学竞赛中，丢番图方程可以用来解决各种复杂的多项式等式，如求解多项式方程，求解多项式不等式，求解三角形面积等等。
它还可以用来解决一些复杂的几何问题，例如求解多边形的面积，求解圆的面积等等。
此外，丢番图方程还可以用来解决一些概率问题，如求解概率分布函数、求解概率和统计量等。
它还可以用来解决一些抽象的数学问题，例如求解抽象代数问题、求解抽象几何问题等等。
丢番图方程x+(2n)2=y9（1≤n≤7)的整数解
第38卷第1期Vol.38 No.1重庆工商大学学报(自然科学版)J Chongqing Technol &Business Univ(Nat Sci Ed)2021年2月Feb.2021doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2021.0001.014丢番图方程x 2+(2n )2=y 9(1≤n ≤7)的整数解陈一维,柴向阳(华北水利水电大学数学与统计学院,郑州450045) 收稿日期:2020-02-23;修回日期:2020-05-20.作者简介:陈一维(1996—),男,河南信阳人,硕士,从事数论研究.摘 要:在高斯整环中,利用代数数论理论和同余理论的方法研究丢番图方程x 2+(2n )2=y 9(x ,y ,n ∈Z ,1≤n ≤7)的整数解问题;首先统计了1≤n ≤7时已有的证明结果,之后在n =3,5,6,7时对x 分奇数和偶数情况讨论,证明了n =3,5,6,7时丢番图方程x 2+(2n )2=y 9无整数解,即证明了丢番图方程x 2+(2n )2=y 9(x ,y ,n ∈Z ,1≤n ≤7)无整数解。
关键词:高斯整环;代数数论;同余理论;丢番图方程;整数解中图分类号:O156.4 文献标志码:A 文章编号:1672-058X (2020)01-0092-070 引 言设B ∈N ,研究指数型Lebesgue-Nagell 不定方程:x 2+B =y k(1)的整数解是数论中的一类重要课题,已经有了不少研究成果[1-10]。
在B =(2n )2,k =9时,式(1)的整数解问题研究中,李伟[11]证明了n =1时,不定方程x 2+4=y 9无整数解;杨全[12]证明了n =2时,不定方程x 2+16=y 9无整数解;许宏鑫等[13]在求解不定方程x 2+4k =y 9的整数解时,证明了n =4时,不定方程x 2+64=y 9无整数解,n =8时x 2+256=y 9仅有整数解(x ,y )=(±16,4)。
一类丢番图方程的解
一类丢番图方程的解
一元二次方程的解法是一个古老的数学问题，但也是一个有趣的课题。
一元二次方程可以定义为一个有一个未知量的平方型方程，形式如下：ax² + bx + c =
0。
其中a、b和c是系数，x是未知量。
一元二次方程的解一般有两种：一是利用公式法，即求解“ax² + bx + c = 0”的解；二是利用图像法，把方程的解图像化，从而获得解。
在利用公式法求解一元二次方程的解时，首先要确定方程的系数a、b和c，然后把它们代入公式中：x = (-b ± √(b² -
4ac)) / 2a，这样就可以求出该方程的解。
利用图像法求解一元二次方程的解，首先要画出方程的图形，用一个坐标系表示。
其次，把方程的左边和右边分别画成两条不同的直线，即y = ax² + bx + c和y =
0，这样就可以求出方程的解。
在求解一元二次方程的解时，无论采用哪种方法，都需要注意：在求解方程的解时，要确保系数a、b和c都有实数值，不能是虚数，否则就会出现错误。
总之，一元二次方程的解是一个古老的数学问题，但也是一个有趣的课题，应用解析法和图像法都可以求出方程的解，但在求解过程中，要注意系数的实数性。
关于“丢番图(Diophantus)猜想”的论证
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ｌ 广．． ｛ ＋ｘ２ ｂ＝ ／ａ５ ｌ 一 ． ． Ｉ ＝ ＋５＋ｘ ａ Ｃ ／ ６ ２
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丢番图方程x_3_1_8y_2的整数求解
2008年9月 陕西理工学院学报(自然科学版)S e p t .2008第24卷第3期 J o u r n a l o f S h a a n x i U n i v e r s i t yo f T e c h n o l o g y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n )V o l .24 N o .3[文章编号]1673-2944(2008)03-0064-04丢番图方程x 3+1=8y 2的整数求解王艳秋(汉中职业技术学院师范学院,陕西汉中723000)[摘 要] 为了研究丢番图方程x 3+1=D y 2(D>0)的求解问题,利用唯一分解定理,证明了丢番图方程x 3+1=8y 2仅有整数解(x ,y )=(-1,0),(23,±39),丢番图方程x 3+1=72y 2仅有整数解(x ,y )=(-1,0),(23,±13),丢番图方程x 3+1=1352y 2仅有整数解是(x ,y )=(-1,0),(23,±3),丢番图方程x 3+1=12168y 2仅有整数解(x ,y )=(-1,0),(23,±1),并归纳得出了形如x 3+1=8k 2y 2的丢番图方程的解的形式。
[关 键 词] 丢番图方程; 整数解; 唯一分解定理[中图分类号] O 156 [文献标识码] A收稿日期:2008-04-03作者简介:王艳秋(1967—),女,陕西省南郑县人,汉中职业技术学院讲师,主要研究方向为初等数论。
丢番图方程x 3+1=D y 2(D>0)是一类基本而又重要的三次D i o p h a n t i n e 方程,有关它的研究可以追溯到欧拉的时代。
此方程的求解较为困难,至今为止只得到了一些零散的结果。
1991年,王镇江和佟瑞洲证明了x 3+1=13y 2仅有整数解(x ,y )=(-1,0)[1]。
也谈数学公式关于丢番图年纪的思考
也谈数学公式——关于丢番图年纪的思考“代数学之父”丢番图的墓志铭如是写道：“他生命的1/6是幸福的童年。
再活了寿命的1/12，胡须长上了脸。
又过去一生的1/7，丢番图结了婚。
再过5年，儿子降临人世，他幸福无比。
可是这孩子的生命只有父亲的一半。
儿子死后，老头儿在悲痛中度过4年，终于了却尘缘……”于是就有人提出来了：丢番图究竟活了多大年纪？很多时候，多数人对于此问题的思考是由一个一元一次方程开始的。
不知道大家是否会考虑到人的寿命必然为一个正整数，那么丢番图的年纪岂不是6、7和12的最小公倍数的整数倍。
而6、7和12的最小公倍数为84，试问会有哪个人的寿命会达到168，然则丢番图的年纪仅84而已。
一.数学公式的意义应该说，数学的本身是没有多大的意义的。
然而“存在即合理”，数学的存在自有它存在的道理，人类自学会结绳计数之后，直到古巴比伦时期（公元前2000年-公元前600年），才学会运用“最笨的”线性方程。
当然，那个时候方程式的出现并不是为了应付考试，而是为了造福人类，帮助人们处理日常问题。
在古巴比伦时代的楔形文字泥板上，记载着许多关于土地分割的问题，比如“1/4的宽加长等于7手，长加宽等于10手，那么长和宽是多少？”从文字记载来看，古巴比伦人已经学会把长和宽设为两个未知数，列出一个二元一次方程组求解。
但是这种解法并不能真正解决土地分割问题，因为其中包含了古代人常犯的一种错误——认为一个图形的面积完全取决于它的周长。
在古希腊，许多人不相信一个围墙为48视距的斯巴达，其容量可能是周长为50视距的麦加罗城的两倍。
因此直到公元5世纪，某些城邦的官员仍习惯于欺骗他们的公民。
他们所用的方法就是把周长较大而面积较小的土地换给别人，获利的同时还赢得慷慨的美名。
一些历史学家推测，或许是为了保护民众不受这些骗子的伤害，尽责的古代数学家将二次方程及其解法公之于众。
比如在一块楔形文字泥板上就有这样的问题，“我从我的正方形面积中减去边长得870”。
一般二元二次丢番图方程的解法
一般二元二次丢番图方程的解法一般二元二次方程的解法在高中的数学教学中，一元二次方程是一个重要的内容，它是掌握数学解决实际问题的基础，也是培养学生抽象思维和精确计算能力的基础。
本文将主要介绍一般二元二次方程的解法，该解法是一种解决一般二元二次方程的常见方式。
一般二元二次方程指的是一个有两个变量x和y组成的方程，一般可以写成ax^2+bxy+cy^2=d的形式，其中a,b,c,d均为实数，当abc 不等于0时，此方程有解。
要求解一般的二元二次方程，可以使用变换的方法，将其变成可以解的常见方程，再利用常见方程的解法求解解析式。
首先，要将一般的二元二次方程变换成可以解的形式。
一般的二元二次方程可以写成ax^2+bxy+cy^2=d的形式，我们可以使用消元法，将其变换为ax^2+by^2=f的形式。
将a,b改为两个实数a',b'，使得a'a+b'b=1，用a'x^2+b'y^2=f'表示，代入原方程，求得f'=ad-bc/a'a+b'b，即可变换。
接着，我们计算求解一般的二元二次方程的解析式。
上面的变换，将一般的二元二次方程变换为ax^2+by^2=f的形式，此时方程有解析式：x=±(a^1/2 * f^1/2)/b y=±(b^1/2 * f^1/2)/a 。
由此可得，一般二元二次方程有两组解析式，可以根据题目给定的条件，正确选择方程的解析式。
本文主要介绍了一般二元二次方程的解法，说明了使用变换法可以将方程变换为可以解的形式，通过计算，可以求得方程的解析式，可以根据题目的要求，正确选择方程的解析式。
在高中数学的学习中，学懂此方法，能够有效的提高学生的数学解题能力，培养学生的抽象思维及精确计算能力，也是掌握数学，解决实际问题的基础。
丢番图恒等式在解题中的应用
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丢番图逼近
1丢番图逼近数论的一个分支,以研究数的有理逼近问题为主。
这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。
数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。
由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。
1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。
由此可得，如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜<q-2。
当α是有理数时，上式不成立。
1891年，A.胡尔维茨将上式改进为并指出,对于某些无理数,常数是最佳值，不可再减小。
但是对于很多无理数，常数不是最佳值，还可再减小。
1926年，A.Я.辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式｜α-p/q｜<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对,由级数是发散的还是收敛的而定，这里ψ(q)(q>0)是正的非增函数。
此即所谓丢番图逼近测度定理。
例如，对几乎所有的实数α和任意的δ>0,不等式｜α-p/q｜<q只有有穷多对整数解，而不等式｜α-p/q｜<q-2(ln q)-1有无穷多对整数解。
丢番图逼近与连分数有密切联系。
一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。
例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数p n/q n,满足不等式1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C（α）>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有｜α-p/q｜>C(α)/q d。
亦即如果μ>d，那么不等式｜α-p/q｜<q-μ只有有穷多个解p/q。
根据这一结果，刘维尔构造出了历史上的第一个超越数。
以后一些数学家不断改进指数μ的值，直到得出μ与d无关的结果。
丢番图墓碑上的数学题
丢番图墓碑上的数学题
中国古代著名数学家丢番图（公元前3世纪－公元前2世纪）曾经留下了许多著名的数学实例，其中有一道特别有名的问题：丢番图墓碑上的数学题。
这道数学题出自古代中国著名的《九章算术》一本写给古代皇帝的《九章算术》，在古代中国有很高的地位。
丢番图墓碑上的数学题是这样的：一个正整数分为三个不同的部分，使得积等于这个正整数，那么有多少种方法可以满足这个条件？
这道数学题的解法有很多，最简单的就是利用三角数的性质，先计算出三角数，然后用其求出解。
据《九章算术》，丢番图的解法是：令墓碑上的数字叫做n，那么有n种方法可以满足数学题的要求。
而且，丢番图提出的解法可以推广到其他类似的问题中，比如：如何将一个正整数分成n个不同的部分，使得积等于这个正整数，那么有多少种方法可以满足条件？案是n!
丢番图的这种分解方法，可以从数论上介绍，他的分解方法可以间接地把一个正整数分解成一系列的因子，而这个因子就是分解方程的解。
这种分解方法有着深刻的数学意义。
此外，丢番图的这项成果不仅对古代中国的发展有着重要的影响，而且至今仍然在影响着数学的发展，它的精神仍在传承。
古人犯难，今人解难，丢番图的数学成果，给了人们无限的启发，为我们探索知识的旅程指引了道路，以此鼓励我们勇敢地探索，寻找知识的真相。
丢番图，他是古代中国历史上伟大的数学家，他的成果令人惊叹不已，他为数学发展做出了巨大的贡献，而他所留下的丢番图墓碑上的数学题，也让我们体会到古人的智慧和数学的魔力。
丢番图方程整数解方法
实用标准文档求不定方程整数解的常用方法不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。
不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。
我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。
一般常用的求不定方程整数解的方法包括：(1)分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.例1 求不定方程025=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 231232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以23+x 也是整数. 由此x+2=1，-1，3，-3，即x=-1，-3，1，-5，相应的.0,2,0,4=y所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2)辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;第三步，用辗转相除法解不定方程.例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解.用辗转相除法求特解:18433,413337,33237107+⨯=+⨯=+⨯=从最后一个式子向上逆推得到19107)26(37=⨯+-⨯所以25)259(107)2526(37=⨯⨯+⨯-⨯则特解为⎩⎨⎧=⨯=-=⨯-=225259650252600y x通解为Z t t t y t t x ∈⎩⎨⎧++=+=+--=--=,)6(37337225)6(1078107650 或改写为.,3731078Z t ty t x ∈⎩⎨⎧+=--=(3)不等式估值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.例3 求方程1111=++zy x 适合z y x ≥≥的正整数解. 解 因为z y x ≥≥所以zy x 111≤≤ 所以 z z z z y x z 1111111++≤++〈 即 zz 311≤〈 所以31≤〈z所以.32==z z 或当2=z 时有 2111=+y x所以yy y x y 11111+≤+〈 所以y y 2211≤〈 所以42≤〈y所以;46,43或相应地或===x y y当3=z 时有3211=+y x 所以y y y x y 11111+≤+〈 所以 y y 2321≤〈 所以.3;3,3==≤x y y 相应地所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(=z y x(4)逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1±的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.例4 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=，所以原方程有整数解.有10737〈，用y 来表示x ，得 37412313710725y y y x +-+-=-=则令 12374,37412=-∈=+-m y Z m y 即由4<37,用m 来表示y ,得 49343712m m m y ++=+=令.4,4t m Z t m =∈=得将上述结果一一带回，得原方程的通解为 Z t ty t x ∈⎩⎨⎧=+--=,3731078注①解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求c by ax =+的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.②对于二元一次不定方程c by ax =+来说有整数解的充要条件是c b a ),(.⎩⎨⎧⎩⎨⎧∈-=+=∈+=-=)(,)(,0000Z t at y y bt x x Z t at y y bt x x 或(5)分离常数项的方法对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.例5 求不定方程14353=+y x 的整数解.解 原方程等价于0)28(5)1(331405314353=-+-⇔+=+⇔=+y x y x y x因为()15,3=所以⎩⎨⎧∈=-=-Z t ty t x ,32851所以原方程的通解为.,32851Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=-=(6)奇偶性分析法从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n 2或)(12Z n n ∈+代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.例6 求方程32822=+y x 的正整数解.解 显然y x ≠,不妨设0〉〉y x因为328是偶数，所以x 、y 的奇偶性相同，从而y x ±是偶数.令112,2v y x u y x =-=+则1u 、.0,111〉〉∈v u Z v 且所以1111,v u y v u x -=+=代入原方程得1642121=+v u同理，令2211211(2,2u v v u u v u =-=+、)0,222〉〉∈v u Z v 且于是，有822222=+v u 再令3223222,2v v u u v u =-=+得412323=+v u此时，3u 、3v 必有一奇一偶，且 []641033=≤〈〈u v取,5,4,3,2,13=v 得相应的16,25,32,37,4023=u 所以，只能是.4,533==v u从而2,18==y x结合方程的对称性知方程有两组解()().18,2,2,18(7)换元法利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.例7 求方程7111=+y x 的正整数解. 解 显见，.7,7〉〉y x 为此，可设,7,7n y m x +=+=其中m 、n 为正整数. 所以原方程7111=+y x 可化为717171=+++n m 整理得 ()()()().49,777777=++=+++mn n m n m 即所以49,1;7,7;1,49332211======n m n m n m相应地56,8;14,14;8,56332211======y x y x y x所以方程正整数解为()()().56,8,14,14,8,56(8)构造法构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.例8 已知三整数a 、b 、c 之和为13且bc a b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 的值.解 由题意得⎩⎨⎧==++ac b c b a 213，消去b 得()ac c a =--213 整理得到关于c 的一元二次方程()().0132622=-+-+a c a c 因为()().3520,01342622≤≤≥---=∆a a a 解得因,0≠a若,916,014425,12===+-=c c c c a 或解得则有符合题意，此时;9311641⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或若17=a 时，则有,01692=+-c c 无实数解，故;17≠a若16=a 时，则有,09102=+-c c 解得,91==c c 或符合题意，此时;912161416⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或综上所述，a 的最大值和最小值分别为16和1，相应的b 与c 的值分别为.9316491214⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=c b c b c b c b 或和或(9)配方法把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.例9 若.,24522的值求x y y x y x y x ++=++ 解 由题意 045222=+-+-y y x x 即()021122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x 所以 21,1==y x 所以23211=+=+x y y x(10)韦达定理韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如b a +、b a ⋅形式的式子，最后用韦达定理.例10 已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()051082=+--pq x q p x 至少有一个正整数根，求所有的质数对().,q p解 设方程的两根分别为1x 、(),212x x x ≤由根与系数关系得⎩⎨⎧=⋅-=+pq x x q p x x 51082121 因为p 、q 都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数. 所以⎩⎨⎧==p q p q pq pq x q p q p x ,,5,5,,55,5,,,5,121 所以.5,5,5,1521q p p q pq pq x x ++++=+①当1521+=+pq x x 时，即,10815q p pq -=+因为p 、q 均是质数，所以,1081015q p p pq -〉〉+故此时无解.②当5521+=+pq x x 时，即,1085q p pq -=+所以()(),85810-=-⋅+q p 因为p 、q 都是质数，且,810-〉+q p 所以,1,5885,1710⎩⎨⎧--=-=+q p 解得符合条件的质数对为()().3,7,=q p③当p q x x +=+521时，即,1085q p p q -=+所以,157q p =满足条件的质数对. ④当q p x x +=+521时，即,1085q p q p -=+所以,113q p =于是()()()().3,11,3,7,==q p q p 或综上所述，满足条件的质数对为()()()().3,11,3,7,==q p q p 或(11)整除性分析法用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线k kx y x y +=-=或3的交点为整数时，k 的值可以取()A.2个B.4个C.6个D.8个解 当1=k 时，直线13+=-=x y x y 与平行，所以两直线没有交点;当0=k 时，直线()轴即与x y x y 03=-=交点为整数;当1≠k 、0≠k 时，直线k kx y x y +=-=与3的交点为方程组⎩⎨⎧+=-=k kx y x y 3的解，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧--=---=1413k k y k k x 因为x 、y 均为整数,所以1-k 只能取4,2,1±±±解得.3,5,1,3,0,2-=k综上，答案为C.(12)利用求根公式在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.例12 已知k 为整数，若关于x 的二次方程()01322=+++x k kx 有有理根，求k 值. 解 因为0≠k ，所以()01322=+++x k kx 的根为()()(),25223229843222k k k k k k k x ++±+-=++±+-= 由原方程的根是有理根，所以()5222++k 必是完全平方式.可设(),52222m k =++则(),52222=+-k m 即()(),512222⨯=--++k m k m因为m 、k 均是整数,所以⎩⎨⎧=--=++522122k m k m , ⎩⎨⎧=--=++122522k m k m⎩⎨⎧-=---=++112522k m k m , ⎩⎨⎧-=---=++522122k m k m解得,02或-=k 因为,0≠k 所以k 的值是-2.(13)判别式法一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式ac b 42-=∆的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.例13 求方程431112=++xy y x 的整数解. 解 已知方程可化为()044342=-+-xy y x因为x 、y 均为整数，所以,06448162≥+-=∆x x 且为完全平方数.于是，令(),464481622n x x =+-其中n 为正整数所以()04322=-+-n x x因为x 、n 均为整数所以(),04492≥--=∆n 且为完全平方数，即有，742-n 为完全平方数.于是，再令,7422m n =-其中m 为正整数所以()()722=-+m n m n因为m n m n -+22与奇偶性相同，且m n m n -〉+22所以12,72=-=+m n m n由上.2=n相应的,032=-x x 解得()303===x x x ，所以舍去或把3=x 代入已知方程中得(),522舍去或==y y 所以2=y 所以()()2,3,=y x(14)因式分解法因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程()0≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路:将()0≠=+abc cxy by ax 转化为()()ab b cy a x =--后,若ab 可分解为,11Z b a b a ab i i ∈=== 则解的一般形式为,⎪⎩⎪⎨⎧+=+=c b b y c a a x ii 再取舍得其整数解. 例14 方程a b a ,4132=-、b 都是正整数，求该方程的正整数解. 解 已知方程可化为ab a b =-128所以()()9696812-=+-+b a ab即()()96128-=+-b a因为a 、b 都是正整数所以1212,0〉+〉b b这样964832241612或或或或=+b所以4=b 或12或20或36或84相应地2=a 或4或5或6或7所以方程的正整数解为:()()()()().84,7,36,6,20,5,12,4,4,2丢番图（Diophantus）：古代希腊人，代数学的鼻祖，早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称整系数的不定方程为丢番图方程。
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丢番图的年龄–初一学生如何学会用方程解
决问题
对于初一新生，从用数学的思维方式解决问题转到用方程的思维方式解决
问题是很关键一步，成年人都知道方程的解题方法比数学简单，但对于孩子这种解题观念的转变却不容易。
下面用一个相对复杂的习题总结一下解
题套路，习题选自北师大版《数学》七年级上册P196页8题：
古代希腊数学家丢番图（公元3-4世纪）的墓碑上记载着：“他生
命的1/6是幸福的童年；再活了他生命的1/12，两颊长起了细细
的胡须；又度过了一生的1/7，他结婚了；再过5年，他有了儿子，
感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在
极度痛苦中度过了4年，与世长辞了。
”
1、他结婚时的年龄是多少？
2、他去世时的年龄是多少？
首先，要扭转孩子一上来就用数学的方法去思考的习惯，就这个题来说，
不需要去想5年相当于数学家生命的几分之几、4年相当于数学家生命的几分之几，这是数学的思考方式；而是不管那么多，先按照用方程解决问题的套路，确定一个合理的变量x：
用方程解决问题的第一步：设未知量 x 。
对于初一数学而言，设那个量为 x 也一般不会绕弯：
一般情况下，题中问什么，就设什么为 x 就好。
对于本题，则设数学家去世时的年龄为 x 。
接下来：
用方程解决问题的第二步：找等量关系，列出含有未知量 x 的方
程式。
这一步是解方程应用题的关键，对大多孩子而言也是难点，这里的技巧是：
把题中给出的条件先用数学语言表示出来，再思考其中的等量关
系。
这样一个过程可以帮助学生理清思路，降低难度。
比如本题，可让孩子将每一条件用数学语言翻译一遍：既然已经设了数学家的生命为 x ，那么，针对题中每句话的数学语言描述就是：
题中的自然语言翻译成数学语言他生命的1/6是幸福
的童年
童年时代＝1/6x
再活了他生命的
1/12，两颊长起了细细的胡须活到长胡须＝童年+1/12x＝1/6x+1/12x
又度过了一生的1/7，他结婚了同样道理，数学家活到结婚＝1/6x+1/12x+1/7x
再过5年，他有了儿子同理，活到他有儿子＝1/6x+1/12x+1/7x+5
可是儿子只活了他全部年龄的一半活到他儿子死＝
1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x
儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了活到他自己死＝
1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4
分析至此，一般孩子都能悟到实际上上式右边的
1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4
就是数学家从生到死的年龄，也就是我们设的那个未知量 x ，于是也就自然而然地找到了等量方程：
1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4 = x
那么剩下的事情就简单了：
用方程解决问题的第三步：解方程。
解方程也是有现成的套路的，用方程解决问题简单就简单在：你只需要按既定套路按部就班地去思考，而不必像用数学方法解题那样，需要想清楚全部的数学逻辑和数量关系。
再回顾一下解方程的套路：
解方程的方法是：
（1）有分母去分母；
（2）有括号去括号；
（3）分母、括号都去完后，合并同类项；
（4）将未知数的系数化 1 ，求出 x 的具体值。
本题没有括号问题，只需要去分母。
具体做法可以灵活些，比如，先等式两边同乘以12，化为：
2x+x+12/7x+60+6x+48 = 12x 简单整理：
12/7x+108 = 3x 两边同乘以 7 ：
12x+756 = 21x 合并同类项：
9x = 756 未知数系统化 1 ：
x = 84
想一想，我们设的是什么为 x ？对，设的是数学家的年龄为 x ，那么现在它出来了；再回头看看，题中除此之外还要求什么？对，还要求他结婚时的年龄呢！我都差点忘了（这可是大忌哦）！
回过头看表中第 4 行：
数学家结婚时的年龄 = 1/6x+1/12x+1/7x
将 x 代入这个式子：
数学家结婚时的年龄 = 1/6x+1/12x+1/7x = 14+7+12 = 33
我们终于把要求的都求完了，最后一步，别忘记写答啊！所谓应用题，就是用自然语言向我们提出问题，而我们将其转换为数学语言去解决它，所以，最后，你还应该将求得的答案转换为自然的语言回应之，是吧？
用方程解决问题的第四步：作答。
1、数学家丢番图结婚时的年龄是33岁
2、他去世时的年龄是84岁。