《离散数学》第六章代数结构
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《离散数学》第六章 集合代数
确定下列命题是否为真
（1），（3），（4）为真， （2）为假．
幂集
定义6.5 给定集合A，由集合A的所有子集为元素组 成的集合，称为集合A的幂集，记作P(A)。 设A＝{a，b，c}，则 P(A)＝{ ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}
空集是一切集合的子集
定理6.1 空集是一切集合的子集． 证明：对于任何集合A，有子集定义有
∅ ⊆A Ù∀x(x∈ ∅ → x∈A) 右边的蕴涵式为真，所以∅ ⊆A也为真。
空集是唯一的
推论 空集是唯一的。 证明 假设存在空集∅1和∅2，
∅1 ⊆ ∅2和∅2 ⊆ ∅1 根据集合相等的定义得∅1＝∅2
设x不具有性质P1,P2,…,Pm ，那么x∉Ai，i＝ 1，2，…m。则它对等式左边计数的贡献为1，对 等式右边的计数的贡献也是1。
根据牛顿二项式定理不难得到上面式子的结果是0．而 由于x具有n个性质，它对等式左边的贡献也为0。
4.3 几个例子
例1:求1-1000之间(包括1和1000)不能被5,也不能被6, 还不能被8整除的整数有多少个?
若A是n元集，则P(A)有2n个元素。
实例
全集
定义6.6 在一个具体问题中,如果所涉及的 集合都是某个集合的子集，则称这个集合为 全集，记作E(或U)
3.2 集合的基本运算
定义6.7 设A与B为集合，A与B的并集∪ ，交集 ∩ ，B对A的相对补集-分别定义如下：
A∪B={x|(x ∈A) ∨(x ∈ B)} A∩B={X | (X ∈ A) ∧(X ∈ B)} A - B = {X | (X ∈ A) ∧(X ∉B)} 当两个集合的交集是空集时，称它们是不交的。
离散数学第6章 格与布尔代数
设c是a∧b 的任一下界，即c ≤ a,c ≤ b 则 c∧a=c, c∧b=c c∧(a∧b)=(c∧a)∧b=c∧b=c ∴c ≤ a∧b 故 a∧b是a和b的最大下界
6-1 格的概念
5）下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之，若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理：〈A，∨，∧〉代数系统，∨.∧满足交换性， 结合性，吸收性，则A上存在偏序关系≤，使〈A，≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A，∨，∧〉； 而从满足三个条件的〈A，∨，∧〉也可导出格〈A，≤〉 证明见书：（格中⑻⑼⑾三个性质很重要，决定了格）
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理：格〈A，≤〉 (1)引理6-1.1：〈A，∨，∧〉代数系统，若∨, ∧满足吸收性，
则∨, ∧满足幂等性 证：a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支，由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A，≤〉，≤偏序关系：满足自反性，反对称性， 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示：
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A，∨，∧〉是格〈A，|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
6-1 格的概念
5）下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之，若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理：〈A，∨，∧〉代数系统，∨.∧满足交换性， 结合性，吸收性，则A上存在偏序关系≤，使〈A，≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A，∨，∧〉； 而从满足三个条件的〈A，∨，∧〉也可导出格〈A，≤〉 证明见书：（格中⑻⑼⑾三个性质很重要，决定了格）
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理：格〈A，≤〉 (1)引理6-1.1：〈A，∨，∧〉代数系统，若∨, ∧满足吸收性，
则∨, ∧满足幂等性 证：a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支，由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A，≤〉，≤偏序关系：满足自反性，反对称性， 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示：
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A，∨，∧〉是格〈A，|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
离散数学代数结构部分-PPT
所以乘法运算就是封闭得。 而对于加法运算A上得 二元运算,如果对于任意得x,y∈A,都 有x*y＝y*x,则称该二元运算*就是可 交换得。
例5、2 设Q就是有理数集合,*就是Q上得 二元运算,对任意得a,b∈Q,a*b＝a+ba· b,问运算*就是否可交换。
例5、3 设A=Z,“+”就是整数中得加法: 则
“+”在Z中适合结合律。 “。”就是整数中得减法:则特取
而 运算“。”不满足结合律
➢定义5、4 设*就是定义在集合A上得 一个二元运算,如果对于任意得x∈A, 都有x*x＝x,则称运算*就是等幂得。
例5、4 设P(S)就是集合S得幂集,在P(S) 上定义得两个二元运算,集合得“并”运 算∪和集合得“交”运算∩,验证∪,∩ 就是等幂得。
➢ 定理6、19 设
例6、16 例6、17 设
➢ 定义6、18 设 例6、18 设
➢ 定义6、19 设 例6、19 4元置换
➢ 定义6、20设
➢ 定理6、20
➢ 定义6、21
例6、20 如图 进行旋转,也可以围绕她得对称轴进行翻转,但 经过旋转或翻转后仍要与原来得方格重合(方格 中得数字可以改变)。如果把每种旋转或翻转看 作就是作用在
➢定理5、2 设*就是S上得二元运算,
如果S中既存在关于运算*得左幺元 el ,
又存在关于运算得右幺元 er
则S中必存在关于运算*得幺元e并且
2、 零元 ➢定义5、8 设*就是S上得二元运算,
在自然数集N上普通乘法得零元就是0, 而加法没有零元。
➢ 定理5、3 设 *就是S上得二元运算,如果S 中存在(关于运算*得)零元,则必就是唯一得。 所以零元就是唯一得。
证明: 略。 推论6、1
例5、2 设Q就是有理数集合,*就是Q上得 二元运算,对任意得a,b∈Q,a*b＝a+ba· b,问运算*就是否可交换。
例5、3 设A=Z,“+”就是整数中得加法: 则
“+”在Z中适合结合律。 “。”就是整数中得减法:则特取
而 运算“。”不满足结合律
➢定义5、4 设*就是定义在集合A上得 一个二元运算,如果对于任意得x∈A, 都有x*x＝x,则称运算*就是等幂得。
例5、4 设P(S)就是集合S得幂集,在P(S) 上定义得两个二元运算,集合得“并”运 算∪和集合得“交”运算∩,验证∪,∩ 就是等幂得。
➢ 定理6、19 设
例6、16 例6、17 设
➢ 定义6、18 设 例6、18 设
➢ 定义6、19 设 例6、19 4元置换
➢ 定义6、20设
➢ 定理6、20
➢ 定义6、21
例6、20 如图 进行旋转,也可以围绕她得对称轴进行翻转,但 经过旋转或翻转后仍要与原来得方格重合(方格 中得数字可以改变)。如果把每种旋转或翻转看 作就是作用在
➢定理5、2 设*就是S上得二元运算,
如果S中既存在关于运算*得左幺元 el ,
又存在关于运算得右幺元 er
则S中必存在关于运算*得幺元e并且
2、 零元 ➢定义5、8 设*就是S上得二元运算,
在自然数集N上普通乘法得零元就是0, 而加法没有零元。
➢ 定理5、3 设 *就是S上得二元运算,如果S 中存在(关于运算*得)零元,则必就是唯一得。 所以零元就是唯一得。
证明: 略。 推论6、1
《离散数学》课件_第6章
a ≼ b∨d, c ≼ b∨d 这表明b∨d是a和c的一个上界， 而a∨c是a和c的最小上界，
a∨c ≼b∨d 类似地， 可以证明a∧c ≼ b∧d
推论 设〈L， ∨， ∧〉是由偏序格〈L， ≼ 〉诱导的 代数系统， 对于a， b， c∈L， 如果b ≼c， 则a∨b ≼a∨c ， a∧b a∧c。≼
第6章 格与布尔代数
6.1 格的概念 6.2 子格和格同态 6.3 特殊的格 6.4 布尔代数 6.5 布尔代数的结构和布尔函数
6.1 格 的 概 念
6.1.1 格的定义
定义6.1.1 设〈 L ， ≼ 〉是一个偏序集合， 若对任意 a, b∈L， {a, b} 均存在最小上界和最大下界， 则称〈 L ， ≼ 〉为偏序格(lattice)
6.1.2
定理6.1.1 设〈L， ∨， ∧〉是代数格， 则∨和∧满足 等幂律， 即对于任何a∈L，
a∨a=a, a∧a=a 证明 任取a∈L， a∨a=a∨(a∧(a∨a))=a， a∧a=a∧(a∨(a∧a))=a
定义6.1.3 设〈L， ≼ 〉是一个偏序格， 在L上定义两 个二元运算∨和∧, 对于任何a， b∈L， a∨b= lub{a, b}， a∧b=glb{a, b}， 则称∨和∧分别为L上的并和交运算， 称 〈L， ∨， ∧ 是由偏序格〈L， ≼ 〉诱导的代数系统。
证毕
定理6.1.5 设〈L， ∨， ∧〉是代数格， 在L上定义
二元关系 ≼ ： 对于任何a， b∈L， a ≼ba∨b＝b， 则
〈L， ≼〉是一个偏序格， 并称〈L， ≼〉是由代数格〈L，
∨， ∧〉
证明
≼L
任取a∈L， 根据定理6.1.1可知， 〈L， ∨， ∧〉满足
等幂律， 有a∨a＝a， 即a ≼a， 所以，在L
a∨c ≼b∨d 类似地， 可以证明a∧c ≼ b∧d
推论 设〈L， ∨， ∧〉是由偏序格〈L， ≼ 〉诱导的 代数系统， 对于a， b， c∈L， 如果b ≼c， 则a∨b ≼a∨c ， a∧b a∧c。≼
第6章 格与布尔代数
6.1 格的概念 6.2 子格和格同态 6.3 特殊的格 6.4 布尔代数 6.5 布尔代数的结构和布尔函数
6.1 格 的 概 念
6.1.1 格的定义
定义6.1.1 设〈 L ， ≼ 〉是一个偏序集合， 若对任意 a, b∈L， {a, b} 均存在最小上界和最大下界， 则称〈 L ， ≼ 〉为偏序格(lattice)
6.1.2
定理6.1.1 设〈L， ∨， ∧〉是代数格， 则∨和∧满足 等幂律， 即对于任何a∈L，
a∨a=a, a∧a=a 证明 任取a∈L， a∨a=a∨(a∧(a∨a))=a， a∧a=a∧(a∨(a∧a))=a
定义6.1.3 设〈L， ≼ 〉是一个偏序格， 在L上定义两 个二元运算∨和∧, 对于任何a， b∈L， a∨b= lub{a, b}， a∧b=glb{a, b}， 则称∨和∧分别为L上的并和交运算， 称 〈L， ∨， ∧ 是由偏序格〈L， ≼ 〉诱导的代数系统。
证毕
定理6.1.5 设〈L， ∨， ∧〉是代数格， 在L上定义
二元关系 ≼ ： 对于任何a， b∈L， a ≼ba∨b＝b， 则
〈L， ≼〉是一个偏序格， 并称〈L， ≼〉是由代数格〈L，
∨， ∧〉
证明
≼L
任取a∈L， 根据定理6.1.1可知， 〈L， ∨， ∧〉满足
等幂律， 有a∨a＝a， 即a ≼a， 所以，在L
离散数学_第06章代数结构概念及性质
【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
离散数学课件第六章(第2讲)
《定理》：设*是S上的二元运算,且x S,对任一m,n
I+有（1）xmxn=xm+n
（2）(xm)n=xmn
证明： （1） xmxn= (xm x) x… x = (xm+1 x) x… x
n
n-1
=….= xm+n
（2）(xm)n= xm … xm= xm+m xm … xm=…=xmn
n
例：设M= {0º,60º,120º,240º,300º,180º}表示平面上几何图形 顺时针旋转的六种位置，定义一个二元运算*，对M中任一 元素a,b有a*b=图形旋转(a+b)的角度，并规定当旋转到 360º时即为0º，试验证<M ,*>是一个群。
* 0º 60º 120º 180º 240º 300º 0º 0º 60º 120º 180º 240º 300º 60º 60º 120º 180º 240º 300º 0º 120º 120º 180º 240º 300º 0º 60º 180º 180º 240º 300º 0º 60º 120º 240º 240º 300º 0º 60º 120º 180º 300º 300º 0º 60º 120º 180º 240º
例： <I ,max>，其中max(x1,x2)取二者之大值；<I ,min>， 其中min(x1,x2)取二者之小值，均不为独异点（不存在幺 元）。<N ,max>则为独异点，其中 e =0
《定义》：设< S ,* >是一半群，TS，且*在T上是封闭的， 那么< T ,* >也是半群，称< T ,* >是< S ,* >的子半群。
离散数学第六章集合代数
15
集合算律
6.3 集合恒等式
1．只涉及一个运算的算律：
交换律、结合律、幂等律
交换 结合
幂等
AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A
AB=BA (AB)C= A(BC)
AA=A
AB=BA (AB)C =A(BC)
16
2．涉及两个不同运算的算集律合：算 律 分配律、吸收律
与
分配
A(BC)=
(AB)(AC)
A(BC)=
(AB)(AC)
吸收
A(AB)=A
A(AB)=A
与
A(BC) =(AB)(AC)
17
3．涉及补运算的算律： 集合算律 DM律，双重否定律
D.M律
双重否定
A(BC)=(AB)(A C)
A(BC)=(AB)(A C)
(BC)=BC (BC)=BC
A=A
18
4．涉及全集和空集的算律集：合 算 律 补元律、零律、同一律、否定律
解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假.
28
(1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法：
把 #2022 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可
能是集合表达式.
(2) 判断AB的四种方法
若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否 在B中出现.
（交换律）
八． = A E
（零律）
九． = A
（同一律）
22
例6 证明AB AB=B AB=A AB=
#2022
①
②
③
④
证明思路：
确定问题中含有的命题：本题含有命题 ①, ②, ③, ④
集合算律
6.3 集合恒等式
1．只涉及一个运算的算律：
交换律、结合律、幂等律
交换 结合
幂等
AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A
AB=BA (AB)C= A(BC)
AA=A
AB=BA (AB)C =A(BC)
16
2．涉及两个不同运算的算集律合：算 律 分配律、吸收律
与
分配
A(BC)=
(AB)(AC)
A(BC)=
(AB)(AC)
吸收
A(AB)=A
A(AB)=A
与
A(BC) =(AB)(AC)
17
3．涉及补运算的算律： 集合算律 DM律，双重否定律
D.M律
双重否定
A(BC)=(AB)(A C)
A(BC)=(AB)(A C)
(BC)=BC (BC)=BC
A=A
18
4．涉及全集和空集的算律集：合 算 律 补元律、零律、同一律、否定律
解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假.
28
(1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法：
把 #2022 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可
能是集合表达式.
(2) 判断AB的四种方法
若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否 在B中出现.
（交换律）
八． = A E
（零律）
九． = A
（同一律）
22
例6 证明AB AB=B AB=A AB=
#2022
①
②
③
④
证明思路：
确定问题中含有的命题：本题含有命题 ①, ②, ③, ④
离散数学课件第六章(第1讲)
,则称运算对是可分配的（或称对满足分配律）。
例：代数系统（N，+，×）。其中+，×分别代表数 的加法和乘法。 ×对+ 满足分配律 。
《定义》:设，是定义在集合S上的两个可交换二 元运算，如果对于任意的x,yS，都有：
x (x y)=x； x (xy)=x 则称运算和运算满足吸收律。
《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一x S有x x=x, 则称满足等幂律。
讨论定义： 1) S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律； 2) 若在S上存在某一元素x ，满足x x=x,则称x为S上的幂
等元素； 3) 若x是幂等元素,则有xn=x成立。
例:（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+是满足 分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不是等幂元素,在实数集 合R中,“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在(Z)中, ∩,∪均是可交换,可结合的, ∩对∪, ∪对∩均满足分配律；
《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f：ZnZ,则称f
为Z中的n元运算,整数n称为运算的阶（元,次）。 若n=1,则称f： ZZ为一元运算； 若n=2,则f： Z2Z为二元运算。
例：（1）在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而 对÷而言就不是二元运算 ;
（2）在集合Z的幂集(Z)中,,均为二元运算, 而“~”是一元运算；
∴x 若存在逆元，则x 的逆元一定是唯一的。
《推论》(x-1)-1 =x , e-1= e 例： 在实数集合R中，对“+”运算，对任一xR有 ∵x+（-x）=0，0为加法幺元 所以x-1 =-x , (x-1)-1 =x ， 0-1 =0 对“×”运算，乘法幺元为1，∵x× 1x =1， 则对任一x R有x-1 =1x（x0） , (x-1)-1 =x ， 1-1 =1
例：代数系统（N，+，×）。其中+，×分别代表数 的加法和乘法。 ×对+ 满足分配律 。
《定义》:设，是定义在集合S上的两个可交换二 元运算，如果对于任意的x,yS，都有：
x (x y)=x； x (xy)=x 则称运算和运算满足吸收律。
《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一x S有x x=x, 则称满足等幂律。
讨论定义： 1) S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律； 2) 若在S上存在某一元素x ，满足x x=x,则称x为S上的幂
等元素； 3) 若x是幂等元素,则有xn=x成立。
例:（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+是满足 分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不是等幂元素,在实数集 合R中,“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在(Z)中, ∩,∪均是可交换,可结合的, ∩对∪, ∪对∩均满足分配律；
《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f：ZnZ,则称f
为Z中的n元运算,整数n称为运算的阶（元,次）。 若n=1,则称f： ZZ为一元运算； 若n=2,则f： Z2Z为二元运算。
例：（1）在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而 对÷而言就不是二元运算 ;
（2）在集合Z的幂集(Z)中,,均为二元运算, 而“~”是一元运算；
∴x 若存在逆元，则x 的逆元一定是唯一的。
《推论》(x-1)-1 =x , e-1= e 例： 在实数集合R中，对“+”运算，对任一xR有 ∵x+（-x）=0，0为加法幺元 所以x-1 =-x , (x-1)-1 =x ， 0-1 =0 对“×”运算，乘法幺元为1，∵x× 1x =1， 则对任一x R有x-1 =1x（x0） , (x-1)-1 =x ， 1-1 =1
离散数学第六章代数系统
6.2 代数系统的基本性质
性质4 吸收率
给定<S，⊙，*>，则 ⊙对于*满足左吸收律：(x)(y)(x，y∈S→x⊙(x*y)=x) ⊙对于*满足右吸收律：(x)(y)(x，y∈S→(x*y)⊙x=x) 若⊙对于*既满足左吸收律又满足右吸收律，则称⊙对于*满足吸收律或
者可吸收的。
*对于⊙满足左、右吸收律和吸收律类似地定义。 若⊙对于*是可吸收的且*对于⊙也是可吸收的，则⊙和*是互为吸收的或
代数﹝Algebra﹞是数学的其中一门分支，可大致分为初等代数学和抽象 代数学两部分。
代数的由来
初等代数学：是指19世纪中期以前发展的方程理论，主要研究某一方程﹝ 组﹞是否可解，如何求出方程所有的根﹝包括近似根﹞，以及方程的根有 何性质等问题。
抽象代数：是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。它起始于十九世 纪初，形成于20世纪30年代。在这期间，挪威数学家阿贝尔(N.H. Abel)、 法国数学家伽罗瓦(E′. Galois)、英国数学家德·摩根(A. De Morgan) 和布尔(G. Boole)等人都做出了杰出贡献，荷兰数学家范德瓦尔登(B.L. Van Der Waerden)根据德国数学家诺特(A.E. Noether)和奥地利数学家阿 廷(E. Artin)的讲稿，于1930年和1931年分别出版了《近世代数学》一卷 和二卷，标志着抽象代数的成熟。
同态与同构
PART 同余、商代数、积代数
04
PART 05
代数系统实例
6.1 代数系统的定义
定义6.1 设S是个非空集合且函数f： Sn→S ，则称f为S上的一个 n元运算。其中n是自然数，称为运算的元数或阶。
当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元运算，等等。 定义6.2 如果对给定集合的成员进行运算，从而产生了象点，而
离散数学第六章
6.1.6 循环群和置换群
§循环群 在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样 的. 如果a是有限阶元, |a|＝n, 则称G为n阶循环群. 如 果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数 有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有 一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所 以由2生成的子群：<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定 是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.
离散数学代数结构部分
离散数学代数结构部分离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的、分离的、离散化的对象和结构。
其中代数结构是离散数学的一个重要部分，涉及到一些常见的代数结构，如群、环和域等。
下面将从群、环和域三个方面展开，对离散数学中的代数结构进行详细介绍。
一、群群是离散数学中的一个基本代数结构，它由三个主要部分组成：集合、运算和满足一定性质的公理。
具体地，一个群G是一个非空集合，也即G={a,b,c,...}，其中的元素a、b、c等叫做群的元素。
除此之外，群还具有一个二元运算，记作"·"，满足以下四个公理：1.封闭性公理：对于群的任意两个元素a、b，它们的乘积c=a·b仍然属于G，即c∈G。
2.结合律公理：对于群的任意三个元素a、b、c，(a·b)·c=a·(b·c)。
3.单位元公理：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，满足对于任意元素a，有a·e=e·a=a。
4.逆元公理：对于群中任意元素a，存在一个元素b，使得a·b=b·a=e，其中e是群的单位元。
群结构的研究对于解决各类数学问题具有重要意义。
例如，在密码学中，通信双方使用群的运算来实现加密和解密的功能。
二、环环是另一个重要的代数结构，在离散数学中有广泛的应用。
一个环R由一个非空集合以及两个满足一定条件的二元运算分别组成。
对于一个环R={G,+,·}，其中G是一个非空集合，"+"和"·"分别是R上的两个二元运算，满足以下四个公理：1.集合G关于"+"构成一个阿贝尔群，即对于任意的a、b、c∈G，满足以下性质：(a+b)+c=a+(b+c)，存在单位元0，对于任意元素a，有a+0=0+a=a，对于任意元素a，存在一个元素-b，使得a+(-b)=-b+a=0，且满足交换律性质：a+b=b+a。
离散数学 代数系统 ppt课件
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33 0 1 2 8
代数系统举例
设A={1，2，3，4，6，12} A上的运算*定义为：a*b=|a-b| （1）写出二元运算的运算表； （2）<A,*>能构成代数系统吗？
9
解答
由运算表可知*运算在集合A上不封闭
所以： <A,*>不能构成代数系统
* 1 2 3 4 6 12
1 0 1 2 3 5 11
U=<I,+, > 证明：V=< m,+m, m >
满同态
g:I→Nm 对于所有的iI,有：
g(i)=(i)(modm)
32
证明
类型映射f定义为：f(+)=+m,f()=m (1)显然U=<I,+, >和V=< Nm,+m, m >同类型
(2)运算的象=象的运算
对任意的x,yI: g(x+y)=g(x) +m g(y) g(x y)=g(x) m g(y)
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4、同类型的代数系统
V1=<S1，Ω1>:代数系统 类型映射 V2=<S2，Ω2>:代数系统 同元运算
存在一个双射函数f: Ω1 → Ω2 每一个ω∈Ω1和f(ω) ∈Ω2具有相同的阶 ωf V1和V2是同类型的代数系统
13
同类型的代数系统举例
V1=<Nm,+m , m > 和V2=<R,+, >是 同类型的代数系统吗？其中：
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满同态举例（续）
(5)对“＋”存在e=0,则: 对“+3”存在e=g(0)=0; (6)对“”存在e=1,则: 对“3”存在e=g(1)=1; (7)对“”存在零元=0,则: 对“3”存在零元=g(0)=0;
离散数学第6章+代数系统
a=e∗a=θ∗a=θ，
于是A中的所有元素都是零元，与A中至少有两个元素矛盾。
第6章 代数系统
3.逆元 定义6.2.8 设∗是集合A上的二元运算，e为A中关于运算∗ 的幺元。如果对于A中的元素a存在着A中的某个元素b，使 得b∗a=e，那么称b为a的左逆元；如果存在A中的某个元素b， 使得a∗b=e，那么称b为a的右逆元；如果存在着A中的某个 元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么称b为a的逆 元。a的逆元记为a–1。如果aA存在逆元a–1A，那么称a为 可逆元。 一般地说，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆
n个 an a a a
第6章 代数系统
当运算*满足结合律时，an的也可以递归定义如下： ⑴a1=a ⑵an+1=an∗a 由此利用数学归纳法，不难证明下列的公式： ⑴am∗an= am+n ⑵(am)n= amn 3.分配律 定义6.2.3 设*和是非空集合A上的两个二元运算，如果 对于任意a,b,cA，有
等元，对任意的正整数n，则an=a。 6.2.2特殊元素 1.幺元 定义6.2.6 设∗是定义在集合A上的二元运算，如果有一个
elA，对于任意的aA，有el ∗ a=a，则称el为A中关于运算∗的 左单位元或左幺元；如果有一个erA，对于任意的aA，有个元素，它既是左单位元又是右单位元，则称为A中关 于运算∗的单位元或幺元。
元。一个元素可以有左逆元而没有右逆元，同样可以有右逆 元而没有左逆元。甚至一个元素的左逆元或者右逆元还可以 不是惟一的。
定理6.2.6 设∗为A中的一个二元运算，A中存在幺元e且 每个元素都有左逆元。如果∗是可结合的运算，则在A中任何 元素的左逆元必定是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是 惟一的。
第6章 代数系统
于是A中的所有元素都是零元，与A中至少有两个元素矛盾。
第6章 代数系统
3.逆元 定义6.2.8 设∗是集合A上的二元运算，e为A中关于运算∗ 的幺元。如果对于A中的元素a存在着A中的某个元素b，使 得b∗a=e，那么称b为a的左逆元；如果存在A中的某个元素b， 使得a∗b=e，那么称b为a的右逆元；如果存在着A中的某个 元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么称b为a的逆 元。a的逆元记为a–1。如果aA存在逆元a–1A，那么称a为 可逆元。 一般地说，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆
n个 an a a a
第6章 代数系统
当运算*满足结合律时，an的也可以递归定义如下： ⑴a1=a ⑵an+1=an∗a 由此利用数学归纳法，不难证明下列的公式： ⑴am∗an= am+n ⑵(am)n= amn 3.分配律 定义6.2.3 设*和是非空集合A上的两个二元运算，如果 对于任意a,b,cA，有
等元，对任意的正整数n，则an=a。 6.2.2特殊元素 1.幺元 定义6.2.6 设∗是定义在集合A上的二元运算，如果有一个
elA，对于任意的aA，有el ∗ a=a，则称el为A中关于运算∗的 左单位元或左幺元；如果有一个erA，对于任意的aA，有个元素，它既是左单位元又是右单位元，则称为A中关 于运算∗的单位元或幺元。
元。一个元素可以有左逆元而没有右逆元，同样可以有右逆 元而没有左逆元。甚至一个元素的左逆元或者右逆元还可以 不是惟一的。
定理6.2.6 设∗为A中的一个二元运算，A中存在幺元e且 每个元素都有左逆元。如果∗是可结合的运算，则在A中任何 元素的左逆元必定是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是 惟一的。
第6章 代数系统
离散数学 第六章 代数
设<A，*>为代数系统，*是定义在A上的二 元运算，则运算*的某些性质以及代数常元 可以直接从运算表中得到：
运算*是封闭的，当且仅当运算表中的每个元素 都属于A；
运算*满足交换律，当且仅当运算表关于主对角 线对称；
2018/10/27
yuliang@
29
6.1本节小结
31
6.1习题
习题一
设<A,*>为代数系统，其中A={1,2,3,4},“*”定义 如下表所示： (a)运算*是可交换的吗？为什么？ (b)运算*是可结合的吗？为什么？
(c)求A中关于运算*的幺元，
并给出每个元素的逆元。 (d)A中有关于运算*的零元吗？
20
6.1代数结构
【例题8】
设集合S={a,b,c,d}, S上定义的两个二元运算*和★
的运算表如下表所示，试求出其中的左幺元和右
幺元。
* a b c d ★ a b c d
a
b c d
2018/10/27
d
a a a
a
b b b
(a)
b
c c c
c
d c d
a
b c
a
b c
b
a d
d
c a
c
则称*对 是可分配的。
2018/10/27
yuliang@
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6.1代数结构
代数运算的性质三
【例题6】设集合A={α,β},在A上定义两个二元 运算*和☆，如下表(a)和(b)所示。 * α β
(a)
α β α β β α
☆ α β
α β α α α β
d b
d
d
(b)
离散数学—代数11.24版.ppt
证 因为1l和1r是左么元和右么元。
1r = 1l·1r = 1l
证毕。
第六章 代 数 定理 6.1-2 设*是S上的二元运算, 具有左零元0l和右零元0r, 那么0l=0r, 这元素就是零元。 证明类似于定理6.1-1。
推论6.1-2 一个二元运算的么元(零元)是唯一的。
第六章 代 数
6.1.3 逆元
第六章 代 数
*
a
b
c
a
a
a
b
b
a
b
c
c
a
c
c
例6 (a) 代数A=〈{a, b, c}, *〉由上表定义。
b是么元。a的右逆元是c, b的逆元是自身, c的左逆元是a。
第六章 代 数
定理 6.1-3 对于可结合运算, 如果一个元素x有左逆元l和右逆 元r, 那么l=r(即逆元是唯一的)。
证 设1对运算 。是么元, 于是 l 。x = x 。 r = 1
(1) S' S
(2) S′对S上的运算 。和△
(3) k∈S′ 那么A′=〈S′, 。, △, k〉是A的子代数。
如果A′是A的子代数, 那么A′和A有相同的构成成分和服从相 同的公理。A的最大可能的子代数是它自己, 这个子代数是常存 在的。如果A的常数集合在A的运算下是封闭的, 那么它组成A的 最小子代数。这两种子代数称为A的平凡子代数, 其余子代数称 为真子代数。
第六章 代 数 3. 载体的特异元素, 叫做代数常数
有些代数不含常数。这里所谓“不含”只是说我们研究该代 数时并不关注这些特异元素,
代数通常用载体、运算和常数组成的n重组表示。 例 整数、 加法和常数0 (1) 载体是整数集合I=｛…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… (2) 定义在I上的运算是加法(记为+) (3) 常数是0 这个代数可记为〈I, +, 0〉。
1r = 1l·1r = 1l
证毕。
第六章 代 数 定理 6.1-2 设*是S上的二元运算, 具有左零元0l和右零元0r, 那么0l=0r, 这元素就是零元。 证明类似于定理6.1-1。
推论6.1-2 一个二元运算的么元(零元)是唯一的。
第六章 代 数
6.1.3 逆元
第六章 代 数
*
a
b
c
a
a
a
b
b
a
b
c
c
a
c
c
例6 (a) 代数A=〈{a, b, c}, *〉由上表定义。
b是么元。a的右逆元是c, b的逆元是自身, c的左逆元是a。
第六章 代 数
定理 6.1-3 对于可结合运算, 如果一个元素x有左逆元l和右逆 元r, 那么l=r(即逆元是唯一的)。
证 设1对运算 。是么元, 于是 l 。x = x 。 r = 1
(1) S' S
(2) S′对S上的运算 。和△
(3) k∈S′ 那么A′=〈S′, 。, △, k〉是A的子代数。
如果A′是A的子代数, 那么A′和A有相同的构成成分和服从相 同的公理。A的最大可能的子代数是它自己, 这个子代数是常存 在的。如果A的常数集合在A的运算下是封闭的, 那么它组成A的 最小子代数。这两种子代数称为A的平凡子代数, 其余子代数称 为真子代数。
第六章 代 数 3. 载体的特异元素, 叫做代数常数
有些代数不含常数。这里所谓“不含”只是说我们研究该代 数时并不关注这些特异元素,
代数通常用载体、运算和常数组成的n重组表示。 例 整数、 加法和常数0 (1) 载体是整数集合I=｛…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… (2) 定义在I上的运算是加法(记为+) (3) 常数是0 这个代数可记为〈I, +, 0〉。
离散数学的代数理论
2016/6/10
zhengjin,csu
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例6 (1)代数<I，· ，1,0>，· 表示乘法，有一个么元 1和零元0 (2)代数<N，+> 有么元0，但无零元。 (3)代数<N，min>有一个零元0，但无么元。
2016/6/10
zhengjin,csu
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么元和零元的性质
定理： 设* 是S 上的一个二元运算，若同时具有左么元 a 和右么 元b，则a=b,a就是么元。 证明：由a是左么元知：a*b=b 由b是右么元知：a*b=a 所以a=b, 所以a也是右么元。a就是么元 (这个定理说明：如果同时存在左么元和右么元，则二者相等， 且就是么元，么元若存在，只有一个) 对于零元也有类似结果。 定理：设*是S上的一个二元运算，若同时具有左零元a和右零元 b，则a=b,a就是零元。
2016/6/10
zhengjin,csu
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么元和零元的定义
定义 2 设 *是 S 上的二元运算， 1是 S 的元素，如果对 S 中的 每一元素x,有 1*x=x*1=x 则称元素 1 对运算 *是么元。若 0 是 S中的元素，且对 S中的 每一元素x，有 0*x=x*0=0 则称元素0对运算*是零元。
类似地，有右么元和右零元的定义。
2016/6/10 zhengjin,csu 12
例5 代数A的运算*如下表所示
很显然: a是*的左么元 a也是*的右么元， b是*的左零元。 没有右零元。
* a a b c a b c
b b b c
c c b b
判断方法：
观察运算的行和列： 若存在某一行和上边行相同，则其左边的元素就是运算的左么元。 若存在某一列与左列相同，则其上方的元素就是运算的右么元。
离散数学第六章课件
2018/11/12 4
2.格
定义6-1.1格：设<A,≤>是一个偏序集，如果 A中任意两个元素都存在着最大下界和最小上 界，则称<A，≤>是格。
以上5个图中，任何两个元素都有最小上界和最大下界
2018/11/12 5
格的判定
例6-1.1 判断下列偏序集是否是格？
e
e d
f b c
d
c
a b
2018/11/12 3
最小上界、最大下界
最小上界：设<A,≤>为一偏序集且BA，a为 B的任一上界，若对B的所有上界y均有a≤y,则 称a为B的最小上界（上确界），记作LUB B
最大下界：若b为B的任一下界，若对B的所有 下界z，均有z≤b,则称b为B的最大下界（下确 界），记作GLB B 把具有两个元素集合{a,b}的最小上界（最大 下界）称为元素a,b的最小上界（最大下界）
2018/11/12 15
6.格相关的性质定理
定理6-1.1 在一个格<A，≤>，对于任意的a,b 结论很有用！！！ A，都有 a≤a∨b, b≤a∨b a∧b≤a, a∧b≤b
证明： a和b的并是a、b的最小上界，所以 a≤a∨b 同理 b≤a∨b 由对偶原理： a∧b≤a, a∧b≤b
子格判定
注意证明方法
例6-1.4：<s,≤>是一个格，任取a s,构造s的 子集：T={x|xs且x≤a},则<T,≤>是<s,≤>的 子格.
证明：对于任意的x,yT，必有x≤a,y≤a a是x,y的上界,最小上界≤任一上界 x∨y≤a x∧y≤x≤a 所以x∨yT， x∧yT <T,≤>是<s,≤>的子格
2.格
定义6-1.1格：设<A,≤>是一个偏序集，如果 A中任意两个元素都存在着最大下界和最小上 界，则称<A，≤>是格。
以上5个图中，任何两个元素都有最小上界和最大下界
2018/11/12 5
格的判定
例6-1.1 判断下列偏序集是否是格？
e
e d
f b c
d
c
a b
2018/11/12 3
最小上界、最大下界
最小上界：设<A,≤>为一偏序集且BA，a为 B的任一上界，若对B的所有上界y均有a≤y,则 称a为B的最小上界（上确界），记作LUB B
最大下界：若b为B的任一下界，若对B的所有 下界z，均有z≤b,则称b为B的最大下界（下确 界），记作GLB B 把具有两个元素集合{a,b}的最小上界（最大 下界）称为元素a,b的最小上界（最大下界）
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6.格相关的性质定理
定理6-1.1 在一个格<A，≤>，对于任意的a,b 结论很有用！！！ A，都有 a≤a∨b, b≤a∨b a∧b≤a, a∧b≤b
证明： a和b的并是a、b的最小上界，所以 a≤a∨b 同理 b≤a∨b 由对偶原理： a∧b≤a, a∧b≤b
子格判定
注意证明方法
例6-1.4：<s,≤>是一个格，任取a s,构造s的 子集：T={x|xs且x≤a},则<T,≤>是<s,≤>的 子格.
证明：对于任意的x,yT，必有x≤a,y≤a a是x,y的上界,最小上界≤任一上界 x∨y≤a x∧y≤x≤a 所以x∨yT， x∧yT <T,≤>是<s,≤>的子格
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5 2020/2/14
第四节 子群
与集合的子集、向量空间的子空间一样. 群也有子群的概念.子群作为群的一部分. 它的结构对群的结构有重要影响.
主要概念有:平凡 元素的周期.
讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件;在某个元素生成的子群的基础上定义 循环群,把循环群的结构研究清楚了.
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2 2020/2/14
第二节 置换(1)
群论的研究始于置换群.置换群在群论里 有重要的地位.例如，五次以上方程不能 用根号求解的问题的证明就用到置换群. 置换概念本身在计算机科学中也起作重 要作用.同时置换群的记法简单，运算方 便.
本节的概念有:置换、循环置换、不相交 置换、对换、奇置换、偶置换等;
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1 2020/2/14
第一节 代数结构概述
我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系.现在我们要在一个集合的内部引入运 算，并研究其运算规律,主要内容为:
1.代数系统的定义,然后用例子说明代数 系统的丰富性;
2.代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念.
第六章 代数结构
代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系 统，即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就 是具有一个二元运算的代数系统.
本章以群为例讨论代数结构，它的思想和方 法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结果 已应用到计算机的不少方面，因此计算机科学 工作者应初步掌握其基本的理论和方法. 读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研 究的一般方法，从简单到复杂、从具体到一般， 从而发现代数系统的一般规律.本章的内容较为 抽象、难学.可根据具体情况删减一些内容.
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3 2020/2/14
第二节 置换(2)
本节的结论有: 1.置换的乘法(即合成)满足结合律; 2.两个不相交的循环置换的乘法满足交换律; 3.任意置换均可惟一地分解成不相交循环置
换的乘积(不考虑因子的次序) ； 4.每个置换都能分解成对换的乘积，且偶置
换只能分解成偶数个对换的乘积，奇置换 只能分解成奇数个对换的乘积； 5.在n个元素的所有置换中,奇偶置换各半.
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4 2020/2/14
第三节 群
本节给出了群 的定义及群 的简单性质. 主要概念有:左(右)单位元、单位元、左
(右)逆元、逆元、可除条件、消去律、 有限群、无限群、交换群; 主要结论有: 1.群的定义中条件(2) 、(3)可分别用左单 位元、左逆元替代,也可分别用右单位元、 右逆元替代,还可以用可除条件替代; 2.任意群中消去律成立.
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6 2020/2/14
第五节 陪集与正规子群
本节利用群G的一个子群H来作G的一个分类， 并由这样的分类来引入正规子群的概念.
1.利用群G的一个子群H,定义了G的一个等价 关系,这个等价关系决定了G的一个分类,每个 类Ha称为右陪集,类似地也定义了左陪集;
2.在左、右陪集的基础上定义了群的正规子 群,并讨论了子群为正规子群的条件,正规子 群是群的一类重要子群,有很好的代数性质, 应很好掌握它.
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15 2020/2/14
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7 2020/2/14
第六节 拉格朗日定理
拉格朗日定理反映了有限群的元数与其 子群的元数之间的关系.是群论的最基本 定理之一.
拉格朗日定理是:设G是有限群,H是G的 子群,则有公式|G|=|H|(G:H).
本节给出了拉格朗日定理的两个推论及 几个应用拉格朗日定理的例子.
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10 2020/2/14
第八节 商群
正规子群之所以重要，是因为这种子群 的陪集,对于与原来的群有密切关系的某 种代数运算来说作成群；
主要结论有:设N是群G的正规子群,N的 所有陪集按照以下的乘法
(aN)(bN)=abN
构成一个群(称为G对N的商群,记作G/N), 且商群G/N是群G的同态象.
学习本节时,可以把整数、有理数、实数、 复数的加法、乘法运算与环的两个运算 加以对照.
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13 2020/2/14
第十节 环(2)
本节的基本概念有: 环、环的运算表、交换环、有单位元的 环、零因子、左零因子、右零因子、无 零因子环、整环、除环、域、四元数等;
本节介绍了与环有关的最基本的结论
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第七节 群的同态(1)
同态是两个代数系统间的一种联系，通 过这种联系，可以把一个代数系统的运 算转移到另一个代数系统.使得在一个代 数系统中较难解决的问题转移到另一个 代数系统中成为较易解决的问题.例如， 我们常用的对数，实际上，它就是正实 数的乘法群到实数的加法群的一个同态. 利用对数，我们实现了把较难的乘法运 算转化成较易的加法运算，因此，同态 是代数系统间十分重要的关系
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第九节 同态定理
设f:G→G’是群同态,于是可以构造 商群G/Kerf,同态定理是:
同态基本定理设:f:G→G’是群同态,则: G/Kerf≌G’
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第十节 环(1)
前面讨论的都是只有一个代数运算的代 数系统,本节我们介绍有两个代数运算的 代数系统——环 .环的两个被称为加法、 乘法的代数运算是我们最为熟悉的代数 运算,由于本课程的限制,我们对环仅作 极其初步,简单的介绍.
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第七节 群的同态(2)
主要概念有:同态、单同态、满同态、同 构、零同态、同态象、同态核.
主要结论有:
1.设f是群G到群G’的同态映射，则G的单 位元的象是G’的单位元；且G的子群H 在f下的象f(H)是G’的子群;
2.设f是群G到群G’的同态映射,则同态核 是G的正规子群;
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本章小结
本章在简单地介绍了代数系统的概念后， 较为详细地讨论置换（它实际上是为讨 论群作准备）.然后我们就给出群的定义， 接着我们又讨论子群、陪集、正规子群、 商群、同态、同构等.最后一节我们还极 其简单地介绍了具有两个代数运算的系 统——环.这些内容对于抽象思维能力和 逻辑推理能力的培养很有帮助.