《离散数学》第六章代数结构

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第四节 子群
与集合的子集、向量空间的子空间一样. 群也有子群的概念.子群作为群的一部分. 它的结构对群的结构有重要影响.
主要概念有:平凡 元素的周期.
讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件;在某个元素生成的子群的基础上定义 循环群,把循环群的结构研究清楚了.
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第二节 置换(1)
群论的研究始于置换群.置换群在群论里 有重要的地位.例如，五次以上方程不能 用根号求解的问题的证明就用到置换群. 置换概念本身在计算机科学中也起作重 要作用.同时置换群的记法简单，运算方 便.
本节的概念有:置换、循环置换、不相交 置换、对换、奇置换、偶置换等;
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第一节 代数结构概述
我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系.现在我们要在一个集合的内部引入运 算，并研究其运算规律,主要内容为:
1.代数系统的定义,然后用例子说明代数 系统的丰富性;
2.代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念.
第六章 代数结构
代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系 统，即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就 是具有一个二元运算的代数系统.
本章以群为例讨论代数结构，它的思想和方 法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结果 已应用到计算机的不少方面，因此计算机科学 工作者应初步掌握其基本的理论和方法. 读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研 究的一般方法，从简单到复杂、从具体到一般， 从而发现代数系统的一般规律.本章的内容较为 抽象、难学.可根据具体情况删减一些内容.
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第二节 置换(2)
本节的结论有: 1.置换的乘法(即合成)满足结合律; 2.两个不相交的循环置换的乘法满足交换律; 3.任意置换均可惟一地分解成不相交循环置
换的乘积(不考虑因子的次序) ； 4.每个置换都能分解成对换的乘积，且偶置
换只能分解成偶数个对换的乘积，奇置换 只能分解成奇数个对换的乘积； 5.在n个元素的所有置换中,奇偶置换各半.
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第三节 群
本节给出了群 的定义及群 的简单性质. 主要概念有:左(右)单位元、单位元、左
(右)逆元、逆元、可除条件、消去律、 有限群、无限群、交换群; 主要结论有: 1.群的定义中条件(2) 、(3)可分别用左单 位元、左逆元替代,也可分别用右单位元、 右逆元替代,还可以用可除条件替代; 2.任意群中消去律成立.
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第五节 陪集与正规子群
本节利用群G的一个子群H来作G的一个分类， 并由这样的分类来引入正规子群的概念.
1.利用群G的一个子群H,定义了G的一个等价 关系,这个等价关系决定了G的一个分类,每个 类Ha称为右陪集,类似地也定义了左陪集;
2.在左、右陪集的基础上定义了群的正规子 群,并讨论了子群为正规子群的条件,正规子 群是群的一类重要子群,有很好的代数性质, 应很好掌握它.
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第六节 拉格朗日定理
拉格朗日定理反映了有限群的元数与其 子群的元数之间的关系.是群论的最基本 定理之一.
拉格朗日定理是:设G是有限群,H是G的 子群,则有公式|G|=|H|(G:H).
本节给出了拉格朗日定理的两个推论及 几个应用拉格朗日定理的例子.
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10 2020/2/14
第八节 商群
正规子群之所以重要，是因为这种子群 的陪集,对于与原来的群有密切关系的某 种代数运算来说作成群；
主要结论有:设N是群G的正规子群,N的 所有陪集按照以下的乘法
(aN)(bN)=abN
构成一个群(称为G对N的商群,记作G/N), 且商群G/N是群G的同态象.
学习本节时,可以把整数、有理数、实数、 复数的加法、乘法运算与环的两个运算 加以对照.
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13 2020/2/14
第十节 环(2)
本节的基本概念有: 环、环的运算表、交换环、有单位元的 环、零因子、左零因子、右零因子、无 零因子环、整环、除环、域、四元数等;
本节介绍了与环有关的最基本的结论
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第七节 群的同态(1)
同态是两个代数系统间的一种联系，通 过这种联系，可以把一个代数系统的运 算转移到另一个代数系统.使得在一个代 数系统中较难解决的问题转移到另一个 代数系统中成为较易解决的问题.例如， 我们常用的对数，实际上，它就是正实 数的乘法群到实数的加法群的一个同态. 利用对数，我们实现了把较难的乘法运 算转化成较易的加法运算，因此，同态 是代数系统间十分重要的关系
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第九节 同态定理
设f:G→G’是群同态,于是可以构造 商群G/Kerf,同态定理是:
同态基本定理设:f:G→G’是群同态,则: G/Kerf≌G’
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12 2020/2/14
第十节 环(1)
前面讨论的都是只有一个代数运算的代 数系统,本节我们介绍有两个代数运算的 代数系统——环 .环的两个被称为加法、 乘法的代数运算是我们最为熟悉的代数 运算,由于本课程的限制,我们对环仅作 极其初步,简单的介绍.
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第七节 群的同态(2)
主要概念有:同态、单同态、满同态、同 构、零同态、同态象、同态核.
主要结论有:
1.设f是群G到群G’的同态映射，则G的单 位元的象是G’的单位元；且G的子群H 在f下的象f(H)是G’的子群;
2.设f是群G到群G’的同态映射,则同态核 是G的正规子群;
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本章小结
本章在简单地介绍了代数系统的概念后， 较为详细地讨论置换（它实际上是为讨 论群作准备）.然后我们就给出群的定义， 接着我们又讨论子群、陪集、正规子群、 商群、同态、同构等.最后一节我们还极 其简单地介绍了具有两个代数运算的系 统——环.这些内容对于抽象思维能力和 逻辑推理能力的培养很有帮助.