数学实验二定积分近似值计算

for i=1:n
x0=a+(2*i-2)*(b-a)/(2*n);
x1=a+(2*i-1)*(b-a)/(2*n);
x2=a+2*i(b-a)/(2*n);
inum5=inum5+(f(x0)+4*f(x1)+f(x2))/6;
end
inum5=inum5*h;
fprintf('抛物线法计算结果:%.16f\n',inum5);
xj=a+(i-1)*h;xi=a+i*h;
fxj=subs(fx,'x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);
Sum=Sum+(fxj+fxi)*h/2;
end
fprintf('积分为%g\n',Sum);
2.（梯形法）
clear;clc;
syms x fx;fx=1/x;
a=1;b=2;n=100;h=(b-a)/n;Sum=0;
实验二定积分的近似计算
实验序号：2日期：2015年12月5日
班级
姓名
学号
实验名称
实验二定积分的近似计算
问题背景描述：
1、计算定积分的方法。
2、利用牛顿---莱布尼茨公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形。如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法。在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分。
iv=1:n
xz0=a+(2*iv-2)*(b-a)/(2*n)
xz1=a+(2*iv-1)*(b-a)/(2*n)
xz2=a+2*iv*(b-a)/(2*n)
s0=1./(1+xz0.^2)
s1=1./(1+xz1.^2)
s2=1./(1+xz2.^2)
inum5=sum((s0+4*s1+s2)/6)*h
实验原理与数学模型：
按定义计算定积分步骤：
1、大化小
2、常代变
3、近似和
1、矩形法：根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即 在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度。针对不同的 取法，计算结果会有不同。
xz=a+(i-1)*h;
s=(1/(xz^2+1))*h;%f=1/(x^2+1);
Sum=Sum+s;
end
fprintf('积分为%g\n',Sum);
（梯形法）
clear;clc;
syms x fx;fx=1/(x^2+1);
a=0;b=1;n=100;h=(b-a)/n;Sum=0;
for i=1:n
for i=1:n
xj=a+(i-1)*h;xi=a+i*h;
fxj=subs(fx,'x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);
Sum=Sum+(fxj+fxi)*h/2;
end
fprintf('积分为%g\n',Sum);
积分为0.785398
（抛物线法）
clear;
n=258;
a=0;b=1;h=(b-a)/n;
抛物线法计算结果:0.6931471805693641
clear;
clc;
x=1:1/120:2;
y=1./x;
trapz(x,y)
ans =0.6932
clear;
clc;来自百度文库
quad('1./x',1,2,10e-10)
ans =0.6931
第六大题
%矩形法
clear
clc
%f(x)=1/(1+x^2); %被积函数
fprintf('抛物线法计算结果为%.16f\n',inum5)
实验结果报告与实验总结：
1、抛物线法计算出的结果比较精确；2、直接利用数值积分函数计算比较便捷，但乘、除等一些符号运算需注意；3、分区间分的越小，结果越精确。
思考与深入：
1、感觉比之前学的简单点，记住函数和它的应用，做题就感觉简单了许多。2、对梯形法，矩形法，抛物线法理解了许多。
for i=1:n
xj=a+(i-1)*h;xi=a+i*h;
fxj=subs(fx,'x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);
Sum=Sum+(fxj+fxi)*h/2;
end
fprintf('积分为%g\n',Sum);
（矩形法）
clear;
clc
%f(x)=1/x;
a=1;b=2;
第三题：学习fuluBsum.m的程序设计方法，尝试用函数sum改写矩形法和抛物线法的程序，避免for循环。
实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：
1.（矩形法）
clear;
clc
%f(x)=1/(x^2+1);
a=0;b=1;
n=100;
h=(b-a)/n;Sum=0;
for i=1:n
for i=1:n
xz=a+(i-1)*h;
s=(1/(xz^2+1))*h;%f=1/(x^2+1);
Sum=Sum+s;
end
fprintf('积分为%g\n',Sum);
积分为0.786367
（梯形法）
clear;clc;
syms x fx;fx=1/(x^2+1);
a=0;b=1;n=258;h=(b-a)/n;Sum=0;
即 称此式为梯形公式。
1．抛物线法：将积分区间 作 等分，分点依次为 ，对应函数值为 曲线上相应点为 现把区间 上的曲线段 用通过三点 ，的抛物线。 来近似代替，然后求函数 从 到 的定积分
由于 代入上式整理后得
同样也有 将n这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：
即 这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式。
实验所用软件及版本：
Matlab2012
主要内容（要点）：
1、分别用矩形法、梯形法计算积分I= dx，n=100
2、分别用矩形法、梯形法计算积分 ,n=100
第一题：分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算 取n=258，并比较三种方法的精确程度。
第二题：分别用梯形法、抛物线法，计算 ，将积分区间[1,2]作120等分。并尝试直接使用函数trapz(),quad()进行计算求解，比较结果的差异。
a=0
b=1
n=258（n=100）
h=(a+b)/n
iv=1:n
xz=a+(iv-1)*h ; %向量
s=(1./(1+xz.^2))*h %向量
sum=sum(s) %向量求和
fprintf('积分为%g\n',sum)
%抛物线法
clear
clc
n=100
a=0
b=1
h=(b-a)/n
f=@(x) 1/(1+x^2); %定义被积函数
fprintf('抛物线法计算结果:%.16f\n',inum5);
抛物线法计算结果:0.7853981633974487
第二大题
（梯形法）
clear;clc;
syms x fx;fx=1/x;
a=1;b=2;n=120;h=(b-a)/n;Sum=0;
for i=1:n
xj=a+(i-1)*h;xi=a+i*h;
inum5=0;
f=@(x)1/(x^2+1);
for i=1:n
x0=a+(2*i-2)*(b-a)/(2*n);
x1=a+(2*i-1)*(b-a)/(2*n);
x2=a+2*i(b-a)/(2*n);
inum5=inum5+(f(x0)+4*f(x1)+f(x2))/6;
end
inum5=inum5*h;
（1） 左点法：对等分区间 ， 在区间 上取左端点，即取 。
（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间 上取右端点，即取 。
（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间 上取中点，即取 。
2.梯形法： 等分区间 ， 相应函数值为 。曲线 上相应的点为 将曲线的每一段弧 用过点 ， 的弦 （线性函数）来代替，这使得每个 上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为 ，于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，
3、积分的方法----换元积分，分部积分
实验目的：
本实验主要介绍计算定积分的三种基本近似计算法：矩形法、梯形法和抛物线法。
三种方法的原理----算法---Matlab程序（重点）
介绍Matlab自带的计算定积分的相关函数：1、数值积分函数trapz、quad、integral、integral2、bdlquad。2、符号积分函数：int
n=100;
h=(b-a)/n;Sum=0;
for i=1:n
xz=a+(i-1)*h;
s=(1/xz)*h;%f=1/x;
Sum=Sum+s;
end
fprintf('积分为%g\n',Sum);
第一大题
（矩形法）
clear;
clc；
%f(x)=1/(x^2+1);
a=0;b=1;
n=258;
h=(b-a)/n;Sum=0;
fxj=subs(fx,'x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);
Sum=Sum+(fxj+fxi)*h/2;
end
fprintf('积分为%g\n',Sum);
积分为0.693152
（抛物线法）
clear;
n=120;
a=1;b=2;h=(b-a)/n;
inum5=0;
f=@(x)1/x;