大学概率论习题七详解
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大学概率论习题七详解 （A ）
1、设样本n X X X ,,,21 取自服从几何分布的总体X ，其分布列为
1
)
1()(--==k p p k X P , k =1,2,……
其中p 未知，0
解 因为总体X 服从参数为p 的几何分布，故p
X E 1)(=
，
令 X p
X E ==
1)(
解得参数p 的矩法估计量为 X
p
1ˆ=
2、设总体X ~),(p n B ，从总体X 中获取样本n X X X ,,,21 ，求出参数n 、p 的矩法估计量。 解 因为总体X 的一阶原点矩为np X E =)(，二阶中心矩为)1()(p np X D -=。样本的一阶原点矩为X ，二阶中心矩为2
n S ，则令
⎪⎩⎪⎨⎧=-=2
)1(n
S p np X
np
⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=X S p S X X n n n
2
221ˆˆ
解得参数n 、p 的矩法估计量为2
2
ˆn
S
X X
n
-=，X
S X p
n
2
ˆ-=。
3、设总体X 的密度函数为⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=其它
00)
(2
);(2
a x x a a a x p ，从中获得样本n X X X ,,,21 ，求a 的
矩法估计量。
解 因为总体X 的数学期望为3
)(2)(0
2
a dx x a a
x
X E a
=
-=
⎰
令 X a =3
解得参数a 的矩法估计量为 X a
3ˆ= 4、设n X X X ,,,21 是取自下列指数分布的一个样本：
⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0
01);(x x e
x p x θθ
θ
证明X 是θ的无偏、一致估计，并求出X 的方差。
证 因为
θθ
==
=11)()(X E X E
所以X 是θ的无偏估计。而X 的方差为
2
2
11
11)(1)(θθ
n
n
X D n
X D =⨯==
又因为，对于任意的0>ε，有 2
22
)
()(ε
θε
εθn X D X P =
≤
≥-
0lim
)(lim 2
2=≤≥-∞
→∞
→ε
θεθn X P n n
即
0)(lim =≥-∞
→εθX P n
成立，故X 是θ的一致估计。
5、设总体X 服从参数为λ的泊松分布，从中抽取样本n X X X ,,,21 ，求λ的极大似然估计。
解 因为总体)(~λP X ，分布列为λ
λ
λ-=
e
x x p x
!
);(
则似然函数为λ
λ
λ
λ
λn n
i i
x i x n
i e
x e
x x L n
i i
i
-=-=∑∏∑=
=
=1
1
!
)!
(
);(1
对数似然函数为 λλλn x
x
x l n
i i
n i i
--=
∑∑==1
1
ln
ln );(
求关于λ的导数，得
01
);(1
∆
==-=
∑n x
x l d d n
i i
λ
λλ
解得 x x
n
n
i i
==∑=1
1ˆλ
6、设X 服从几何分布 ,2,1,)1()(1=-==-k p p k X P k ,从中获得样本n X X X ,,,21 ，求p 与
)(X E 的极大似然估计。
解 因为X 服从参数为p 几何分布时，有
p
X E 1)(=
故应求出参数p 的极大似然估计，故应写出似然函数为
1
1
)
1()(-=-=
∏
i x n
i p p p L
n
x n
n
i i p p -∑-==1
)1(
则对数似然函数为
)1l n ()(ln )(1
p n x p n p l n
i i --+=∑=
求参数p 的导数 p
n x p
n p l p
n
i i ---=
∂∂∑=11)
()(1
令
011)
(1
=---∑=p
n x p
n n
i i
p n x p n n
i i )()1(1
-=-∑=
解得
x
x
n
p
n
i i
1ˆ1
=
=∑=
由极大似然估计的不变原则，可知总体期望)(X E 的极大似然估计为
x X E =∧
)(