Ch3-1-地质构造分析的力学基础(应力分析)

§1 应力分析
从上可得主要公式 ： a= 1(1+cos2 a ) / 2 讨论: (1) 当a=0 时
a = 1 /2 sin2 a
∵（4）中的 cos2 a ＝1
a= 1
a = 1(sin2 *0 )/2 a= 0 结论: 在与挤压或拉伸方向垂直的截面上, 正应力最大，等于主应力。
结论: 在与挤压或拉伸方向垂直的截面上, 剪应力为零, 即无剪应力存在。
§1 应力分析
主要公式 ：a= 1(1+cos2 a ) / 2 a = 1 /2 sin2 a
讨论: () 当a=90° 时 ∵cos2 a ＝－1 ，sin2 a ＝0 a= 0 a = 0
结论: 在平行于单轴作用力的截面上,既无正应力, 也无剪应力。
§1 应力分析
2. 双轴应力状态的二维应力分析 一矩形物体, 在其相互垂直的面上, 分别作用有外力p1和
第三章 地质构造分析的力学基础
地壳中地质构造是地壳中的作用力达到和超过岩石的强度极限 或屈服极限, 岩石发生构造变形而形成的, 所以, 地质构造的形成 与力之间存在着密切的依存关系. 要研究地质构造的成因, 形成机 制, 发展和组合规律, 就要研究力在地壳中的分布规律, 活动规律, 变化规律, 时间和空间规律, 要研究地质构造与作用力的之间的几 何和空间关系, 从而由地质构造的特征去追溯地质历史时期作用力 的方式、方向和大小, 及其时空变化规律。
＝ 90+a 代人 （4） 和（6）即得
=2(1-cos2a) / 2
=-2sin2a / 2
§1 应力分析
3） 根据叠加原理: = a + 可得
= a +
=(1 + 2)/2+ (1 - 2) cos2a /2 （7）
= (1 - 2) sin2a/2
（8）
§1 应力分析
已知双轴应力状态的应力公式
结论: 两个互相垂直的截面上的剪应力值大小相等, 剪切方向相反, 这一关系称为剪应力互等
定律.
§1 应力分析
讨论: (2) 求max min max
据 =(1 + 2)/2+ (1 - 2) cos2a /2 = (1 - 2) sin2a/2
（7） （8）
① 当a=0°时: (a为作用力与所作用的截面法线之间的夹角)
§1 应力分析
4. 附加内力的分解 在物体内任意选取一个与外力作用方向不相 垂直的小截面dF, 作用于截面dF 上的附加内力 为dP , 根据平行四边形法则, 可将内力dP 分解 为垂直于截面dF 的分力dN , 及平行于截面dF 的分力dT. 合应力: f=dP/dF 正应力: 垂直于截面dF上的应力
(2) 双轴应力状态: 一个主应力的值为零, 另外两个主应力的值 不为零的应力状态
(3) 单轴应力状态: 其中只有一个主应力的值不为零, 另外两个主 应力的值都等于零的应力状态
§1 应力分析
（三）二维应力分析 前述可知，这三种类型实际上是根据外力作用方式是
单向，相互垂直的双向或相互垂直的三向外力划分的。无论 什么方式的外力作用，地壳中岩石的应力状态都是三维应力 状态,只是推导、计算和研究较为复杂。根据弹性力学应力叠 加原理, 单轴应力分析方法是分析研究相互垂直的二轴和三 轴应力状态的基础。
p2,且p1>p2,。据应力叠加原理，采用两个单轴应力状态的叠加 方法.
§1 应力分析
1）先求出由p1单独作用在Aa截面上的应力, 由单轴应力状态的应力分析公 式（4） 和（6）,即得p1单独作用形成的应力
a= 1(1+cos2 a ) / 2 （）
a = 1 /2 sin2 a
（6）
2） 再求由p2单独作用在Aa截面上的应力:
一、 应力分析
（四）图解法求应力-----应力摩尔圆
1. 应力摩尔圆的数学模型:
从双轴应力状态的应力公式
a =(1 + 2)/2+ (1 - 2) cos2a /2 a= (1 - 2) sin2a/2 可以看出, 当受力方式一定, 应力 就成为角度a的函数, 为了得出应力摩尔圆
公式，先将公式中a消去.
=dN/dF 剪应力: 平行于截面dF 上的应力
=dT/dF 规定:正应力以挤压为正、以拉张为负；顺时 针剪切为“负”, 逆时针剪切为“正”
§1 应力分析
（二）应力状态和应力椭球体
1. 应力状态:过物体中某一点的各个不同方向
截面上的应力情况。
截取包含该点的一个小单元体,一个正六面体
一 点
来研究。
§1 应力分析
主要公式 ：a= 1(1+cos2 a ) / 2 a = 1 /2 sin2 a
讨论: (2) 当a=° 时 cos90＝0 a= 1/2 sin90＝1 a = 1 /2= max (3) 当a=-° 时
a= 1/2 a = -1 /2 = max
结论:
在距主应力面45°的截 面上(即a=45°的截面上), 正应力等于主应力的一半。 剪应力值也等于主应力的一 半，并且最大。在两垂直的 截面（ α=45° 和α=45°）上剪应力互等, 剪切 方向相反
§1 应力分析
3. 应力的概念:
一物体受外力P 的作用, 物体 内部产生与外力作用相抗衡的附加
内力p, 将物体沿截面A切开, 取其
中一部分, 此时, 截面A 上的附加 内力与外力P 大小相等, 方向相反. 应力：受力物体内任意一截面单位 面积上的附加内力。 写为: =P/A
应力的单位是帕斯卡(Pa)或兆 帕(MPa), 并规定, 挤压力为 “正”, 拉张力为“负”.
（7） （8）
②当a=90°时: (a为作用力与所作用的截面法线之间的 夹角)
在（7）中代入a=90° cos2a＝－1
在（8a）=中2 代=入mian =90° sin2a＝0
a=0 结论: 在与外力平行的截面上, 存在最小主应力2, 剪应力
为零。
§1 应力分析
(2) 求max min max 据 =(1 + 2)/2+ (1 - 2) cos2a /2 = (1 - 2) sin2a/2
剪应力 a = A sina= sina p1 / Aa = sina 1 A0 / Aa= = 1cos a sina （）
用倍角公式sin2 a ＝2 cos a sina 可写成：
a = 1/2 sin2 a
（6）
（4）和（6）式为单轴应力状态下，任意切面上主应力1、正应力a及剪应力a的关系。
§1 应力分析
1. 单轴应力状态的二维应力分析
1)矩形物体平面上,作用于物体上外力为P1,内力为p1,垂直于截面A0上的主应力为:1=p1/A0 （1）
2)在与内力p1斜交的截面Aa上,设其正应力为上a,剪应力为ta,合应力为A,截面Aa的法线与p1作用 线之间的夹角为a , 则 A = p1/ALeabharlann Baidu （2）
比较圆数学方程 (x -a) 2 +(y -b) 2 =r 可知此即应力摩尔圆的圆数 学方程式。
§1 应力分析
2. 应力摩尔圆的性质:
如以为横坐标，t为纵坐标 （1）圆心一定在横轴上, 圆心坐标为 ((1 + 2)/2, 0) （2）圆的半径为(1 - 2) /2 （3）单元体中截面角a, 应力圆上为2a （4）单元体上任何一截面都对应于摩尔应力圆圆周上的的一个点, 该截面上的 一组应力值即为圆周上对应点的一组坐标 （5）已知单元体上的一个截面, 求出该截面在应力摩尔圆圆周上的对应点.
=(1 + 2)/2-(1 - 2) cos2a /2
= -(1 - 2) sin2a/2 由以上结果得: a + = 1 + 2=常量 结论: 在两个互相垂直的截面上的主应力之和为一常量, 且等 于二主应力之和。
又 由 a= (1 - 2) sin2a/2 = -(1 - 2) sin2a/2 得 a= -
在（7）中代入a=0° cos2a＝1
a =1 =max 又在（8）中代入a=0° sin2a＝0
a=0 结论: 在与外力垂直的截面上, 存在最大主应力1 , 剪应力为零, 即没
有剪应力.
§1 应力分析
(2) 据求m=ax(1+min2)/2+ma(x1 - 2) cos2a /2 = (1 - 2) sin2a/2
的
应
力
剪应力互等定理：两个正交截面上的剪应 状
态
力，其数值大小相等、方向共同指向截面交线
或背离两截面交线．即数值相等，符号相反．
——此又称为剪应力成对定理．
应力分量－１８个→９个
如单元体选择在六个面上只有正应力的作用, 而无剪应力 的作用，这六个面上的正应力叫做主应力。
§1 应力分析
若单元体六个截面上的三对主应力的值都 相等时, 称为等应力状态, 在这种应力状 态下, 物体只发生体积膨胀或收缩的变化 而不会产生形态变化(畸变).
为此移项得:
a - (1 + 2)/2= (1 - 2) cos2a /2 a -0 = (1 - 2) sin2a/2
等式两端平方得:
[a - (1 + 2)/2]2 =[(1 - 2) cos2a /2] 2
公式二式相加得:
(a -0 ) 2 = [(1 - 2) sin2a/2] 2
[a - (1 + 2)/2]2 + (a -0 ) 2 = [(1 - 2) /2]2
§1 应力分析
(1) 应力椭球体: 当物体内一点主应力性质
相同，大小不同, 即 1> 2> 3时, 可以取三个主应力的矢
量为半径, 作一个椭球体, 该椭 球体代表作用于该点的全应力状 态, 称为应力椭球体，其中长轴
代表最大主应力 1, 短轴代表 最小主应力 3,中间轴代表中间 主应力 2。
§1 应力分析
根据三角函数关系: a=A cosa 并代入（2） a= p1 cosa/ Aa
由 p1 = 1 A0 代入∴ a= 1 A0 cosa / Aa ,又 cosa = A0 /Aa ∴ a= 1 cos2a (3）
据倍角公式1＋ cos2 a ＝2 cos2a可写成:
a= 1(1+cos2 a ) / 2 （）
当单元体六个截面上的三对主应力不都相 等时，单元体截面上存在最大主应力1, 中间主应力2和最小主应力3, 这种应力 状态可导致物体形态变化(畸变), 其中 1- 3 之值称为应力差。
微小单元体六个截面上的三对主应力, 每 对主应力作用方向线叫做主应力轴, 主应 力所作用的截面称为主应力面或主平面。
(2) 应力椭圆:
沿椭球体三个主应力平面 切割椭球体, 可得三个椭圆, 叫应力椭圆, 每一个应力椭圆 中有两个主应力, 代表二维应 力状态. 这三个应力椭圆分别 为: 1与 2椭圆、 1与 3 椭圆、 2与 3椭圆。
§1 应力分析
3.一点的空间应力状态类型
(1) 三轴应力状态: 三个主应力均不为零的状态, 这是自然界最普 遍的一种应力状态
内容
➢1. 应力分析 ➢2. 变形分析 ➢3. 地壳岩石圈岩石力学性质
§1 应力分析
（一）有关力的一些概念 1. 外力的概念:
对于一个物体来说, 另一个物体施加于这个物体的的力称为外力. 外力又可分为面力和体力两种类型:
面力: 通过接触面作用于物体的力 体力:不通过接触,物体内每一个质点都受到的力, 它是相隔一定 的距离相互作用.
（7） （8）
③当a=45°时: (a为作用力与所作用的截面法线之间的 夹角)
在（7）中代入a=45° cos2a＝0
a = (1 + 2)/2 在（8）中代入a=45°
sin2a/2
a= max 结论: 在与外力呈45°的截面上, 正应力为二主应力之和的一 半, 剪应力为最大
§1 应力分析
§1 应力分析
2. 内力的概念: 物体内部各部分之间的相互作用力叫内力 内力又可分为固有内力和附加内力两种类型: 固有内力: 一物体未受外力作用时, 其内部质点之间存在的相互
作用力, 这种相互作用力使各质点处于相对平衡状态, 从而使物体保持一 定的形状, 这种力称为物体的固有内力.
附加内力: 受外力时, 其物体内部各质点的相对位置发生了变化, 它们之间的相互作用力也发生了变化，其内力的改变量，称为附加内力。 是为了阻止物体继续变形并试图恢复原来的形状。
=(1 + 2)/2+ (1 - 2) cos2a /2 （7）
= (1 - 2) sin2a/2
（8）
讨论: (1) 两个互相垂直截面Aa, A.上的应力: 先求Aa截面上的应力, 由公式（7） 和（8）可得:
a =(1 + 2)/2+ (1 - 2) cos2a /2
a= (1 - 2) sin2a/2 同理可求A截面上的应力（＝90+a）