人教新课标版数学高一A版必修2备课资料 2.3.2平面与平面垂直的判定
人教课标版高中数学必修2《平面和平面垂直的判定和性质》教学设计
2.3.2平面和平面垂直的判定和性质一、教学目标（一）核心素养（1）通过本节教学，提高学生空间想象能力．（2）通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识．（3）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．（二）学习目标（1）两个平面互相垂直的判定．（2）两个平面互相垂直的性质．（三）学习重点两个平面垂直的判定、性质．（四）学习难点（1）两个平面垂直的判定定理、性质定理运用．（2）正确作出符合题意的空间图形．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第67页到第69页，填空：二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．（2）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（3）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是（）A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β【解题过程】由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β，故选D.【答案】D2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题过程】若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.【答案】A3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α.B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α.C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α.D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.【解题过程】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．【答案】C(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线和平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α（2）直线和平面垂直的判定的另外一种判定方法文字语言图形语言符号语言判定方法如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．ba//，α⊥a．则α⊥b（3）直线和平面垂直的性质定理性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．问题探究探究一实例引领，认识平面和平面垂直的概念★●活动①简单类比，引出定义两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的．请同学思考两个平面互相垂直的定义.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图．平面α和β垂直，记作α⊥β．●活动②实例引领，思维激活实例：如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,这是为什么?曲尺的一边在一面内转动即为形成一个平面,而另一边与此平面垂直,且又紧靠在另一平面上,即垂线在另一平面内．所以我们得到面面垂直的判定定理．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．）下面我们一起给出分析，证明：已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α．【解题过程】要证α⊥β，需证α 和β 构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．证明：设α∩β＝CD，则由AB⊂α知，AB、CD共面．∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD，垂足为点B．在平面β内过点B作直线BE⊥CD．则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．现在同学们明确了面面垂直的判定定理，请思考：建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［学生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线．［老师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直请同学们接着思考如下问题：在所给正方体中，下式是否正确：①平面ADD1A1⊥平面ABCD；②D1A⊥AB；③D1A⊥面ABCD．［学生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB⊂面ABCD．∴平面ABCD⊥平面ADD1A1．②∵AB⊥面ADD1A1，D1A⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A③∵AA1⊥面ABCD，∴AD1与平面ABCD不垂直．平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，A是平面ADD1A1内一点．过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直．从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法．下面我们一起来完成证明.证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a，AB⊂α，AB⊥a于B．【解题过程】：在平面β内作BE⊥a垂足为B，则∠ABE就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β可知，AB⊥BE．又AB⊥a，BE与a是β内两条相交直线，∴AB⊥β．证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的.【设计意图】构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．【答案】见解题过程.探究二层层深化，掌握平面和平面垂直的判定定理和性质定理．●活动①互动交流，初步实践例1 求证：（1）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；（2）如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直．【知识点】平面和平面垂直的判定.【数学思想】化归思想.【解题过程】（1）已知：l∥α，l⊥β，求证：α⊥β.证明：在平面α内任取一点P．∵l ∥α，∴P ∉l ．P 、l 可确定一平面γ．设α∩γ＝l ′则l ∥l ′．⎪⎭⎪⎬⎫⊂'⊥'⇒⎭⎬⎫'⊥αββl l l l l //⇒α⊥β［该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形．］ (2)已知：α⊥β，β∥γ．求证：α⊥γ证明：过β 内一点P 作直线l ，使l ⊥α则l ⊂β． l 与γ内任一点Q 确定平面δ，设δ∩γ＝l ′，则l ∥l ′． l ′⊥α，因此γ⊥α．【思路点拨】题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决．由此我们又多了两个判断面面垂直的结论. 【答案】见解题过程. ●活动②巩固基础，检查反馈例2 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC ．【知识点】平面和平面垂直的判定 【数学思想】化归思想【解题过程】证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有BC ⊥AC ①．因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则P A ⊥BC ②． 由①②及AC ∩PA ＝A ，得BC ⊥平面P AC ．因为BC⊂平面PBC，有平面P AC⊥平面PBC．【思路点拨】低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．【答案】见解题过程.例3 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【知识点】平面和平面垂直的判断和性质.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：在平面P AC内作AD⊥PC，交PC于D．因为平面P AC⊥平面PBC于PC，AD⊂平面P AC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC①．另外P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A ⊥BC．由①②及AC∩PA＝A，可知BC⊥平面P AC．因为AC⊂平面P AC，所以BC⊥AC．【思路点拨】在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】见解题过程.例4 P为120°角α-a-β内一点，P到α和β的距离均为10，求点P到棱a的距离．【知识点】二面角的概念，距离.【数学思想】化归思想.【解题过程】如图，过点P 作P A ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，设相交直线P A 、PB 确定的平面为γ，a ∩γ＝O ，则α∩γ＝OA ，β∩γ＝OB 连结PO ，则AP =BP =10∵P A ⊥α，PB ⊥β，∴a ⊥γ，而PO ⊂平面γ，∴a ⊥PO ， ∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离． 又∵a ⊥γ，γ⊂OA ，γ⊂OB∴∠AOB 是二面角α-a -β的平面角，即∠AOB =120°．而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径． ∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用△APB ． 在△APB 中，AP =BP =10，∠APB =60°，∴AB =10． 由正弦定理：332060sin 2=︒==AB R PO ． 【思路点拨】(1)该题寻找120°的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．（2）充分借助于四边形P AOB 为一圆内接四边形，∵P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边形的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．【答案】.3320活动③ 强化提升，灵活应用例5.过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，∠BSC =90°，∠ASC =∠ASB =60°，若截取SA =SB =SC =a .(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．【知识点】面面垂直的证明，距离. 【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：∵SA =SB =SC =a ， 又∠ASC =∠ASB =60°，∴△ASB 和△ASC 都是等边三角形，∴AB =AC =a ， 取BC 的中点H ，连结AH ，∴AH ⊥BC ． 在Rt △BSC 中，BS =CS =a ， ∴SH ⊥BC ，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在△SHA 中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴AH ⊥SH ，∴AH ⊥平面SBC ．∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． 或：∵SA =AC =AB ，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为△BSC 的外心， 又△BSC 为Rt △，∴H 在斜边BC 上，又△BSC 为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴AH ⊥平面BSC ． ∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．(2)由前所证：SH ⊥AH ，SH ⊥BC ，∴SH ⊥平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==，∴点S到平面ABC的距离为a22．【思路点拨】（1）要证明平面ABC⊥平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线；（2）外心为三角形外接圆的圆心，即三条中垂线的交点.【答案】（1）见解题过程；（2）a22．同类训练如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥B C.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】(1)证明：在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF 平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.(2)线段BE上存在点G，且BG＝13BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD、GF，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥GF .GF CE GF DE GF CDE CE DE E ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥⊥⊥平面＝.又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE .此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ，∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知12BG GE =，即13BG BE =. 【思路点拨】“探索性问题”的规律方法：一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．【答案】（1）见解题过程；（2）线段BE 上存在点G ，且13BG BE =，使得平面DFG ⊥平面CDE .3. 课堂总结知识梳理（1）证明面面垂直的方法（2）重难点归纳空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．（三）课后作业基础型 自主突破一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.【思路点拨】由题意，画出满足条件的图形，依据面面垂直的性质以及线面平行的性质等知识解答.【答案】D.2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过a一定存在平面β，使得β∥αB．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．【思路点拨】A.根据面面平行的定义和性质判断；B.利用面面垂直的性质和定义判断；C.根据线面垂直的性质判断；D.根据线面平行的性质判断.【答案】B．3.设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，（）A．若m∥α，则l∥m B．若α∥β，则l⊥mC．若l⊥m，则α∥β D．若α⊥β，则l∥m【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B.【思路点拨】通过线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理即可判断A；由一直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，结合线面垂直的性质定理即可判断B；举反例，由线面垂直的性质定理即可判断C；举反例，结合线面垂直和面面垂直的性质定理即可判断D.【答案】B.4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D 中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．【思路点拨】通过线面垂直的性质定理判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质判断D.【答案】C.5.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE【知识点】面面垂直的判定.【解题过程】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，所以选C.【思路点拨】缺少【答案】C.6.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直”，则______．【解题过程】此题是突破以往高考命题模式的又一典范，丰富的想象和联想是增强创新意识的利器，本题如果能联想构造一长方体，用一平面去截长方体易得满足条件的棱锥A -BCD ，进而易证结论：“2222ABC ACD ADB BCD SS S S ++=．” 【答案】2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为正确的条件即可)．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥P C.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD ⊥平面PC D.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD ＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明。
人教版高中数学必修2(A版) 2.3.2平面与平面垂直的判定 PPT课件
类似地，下面的这个二面角应该如何表示？
Q l
B P
二面角的表示
(1)二面角－AB－ (2)二面角P AB Q (3)二面角 l (4)二面角P l Q
A
三.新知的探索 思考4：我们常说“把门开得大一些”，是指哪个角
大一些？
三.新知的探索
在上述变化过程中，图形在变化，形成的二面角也在变化， 我们应该怎样刻画二面角的大小？
2.3.2平面与平面垂直的判定
一.复习与回顾
1.1如何作出两条异面直线的夹角？ 1.2如何作出斜线与平面的夹角？ “空间问题平面化” 1.3在研究上述两个问题时，我们采用了相同的方法，即将 空间角的问题转化为平面角进行处理.
P
a
a
O
a
b/
A
B
b
二.新知的引入
三.新知的探索
我们知道直线上的一点将直线分割成两部分， 每一部分分别叫射线. 那么平面上的一条直线将整个平面一分为二， 每一部分应该叫做什么呢？
（2）角的两边分别在两个面内
（3）角的两边都要垂直于二面角的棱
三.新知的探索 观察：
1.教室相邻的两个墙面分别与地面所成的二面角是多少度？ 相邻的两个墙面所成的二面角又是多少度？
2.教室相邻的两个墙面分别与地面有什么样的位置关系？ 相邻的两个墙面又有什么位置关系呢？
三.新知的探索 3.4定义：
线线垂直
线面垂直
面面垂直
3.转化与化归思想：空间问题平面化处理 习题2.3 必做题A组 第1题、第2题 选做题B组 第1题
P
PA BC PA AC A
BC AC
高一数学人教A版必修二课件：2.3.2 平面与平面垂直的判定
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
又由题意知∠BAD=90°,
∴二面角B-PA-D平面角的度数为90°. (3)∵PA⊥平面ABCD, ∴AB⊥PA,AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形,
∴∠BAC=45°,
即二面角B-PA-C平面角的度数为45°.
一二三
2.3.2 平面与平面垂直的判定
目标导航 预习导引
学习 目标
重点 难点
1.记住二面角、二面角的平面角、两个平面互相垂直的定 义,会求一些简单的二面角的大小; 2.记住两个平面垂直的判定定理,并会应用该定理判定或证 明两个平面垂直. 重点:两个平面垂直的判定定理及应用; 难点:二面角、二面角平面角定义的理解,求二面角.
∵F 是 PD 的中点,∴FG������12CD.
又 AE������1CD,∴AE������FG.
2
∴四边形 AEGF 是平行四边形.∴AF∥EG.
又 AF⊄平面 PEC,EG⊂平面 PEC,
∴AF∥平面 PEC.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD,且PA∩AD=A,求二面角的大小常用方法如下: (1)用定义法作二面角的平面角:在棱上取一点,分别在两个 面内作棱的垂线,这两条射线组成二面角的平面角.利用定义 作二面角的平面角,关键在于找棱及棱上的特殊点,学习时要 特别注意平移和补形方法的灵活运用. (2)用垂面法作二面角的平面角:作垂直于二面角的棱的垂 面,则该垂面与二面角的两个半平面交线所成的角就是二面
B的大小. 审题:抓信息,找思路.
案例探究 误区警示
常见错解:如图所示,过A在底面ABCD内作AE⊥CD于E,连 接PE,AC.
高中数学2.3.2平面与平面垂直的判定教案新人教A版必修2
2.3.2 平面与平面垂直的判定一、教材分析在空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种超级重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的概念是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面彼此垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培育学生的创新精神.二、教学目标1．知识与技术（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面彼此垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.2．进程与方式（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的气宇方式及两个平面垂直的判定定理.3．情态、态度与价值观通过揭露概念的形成、发展和应有和进程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生踊跃思维，培育学生的观察、分析、解决问题能力.三、教学重点与难点教学重点:平面与平面垂直判定.教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角.四、课时安排1课时五、教学设计（一）温习两平面的位置关系：（1）若是两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.（2）若是两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图1.图1（二）导入新课思路1.(情境导入)为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时，为了使水坝牢固耐用必需使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成必然的角度.为此，咱们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角.思路2.(直接导入)前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，如何描述这种转变呢？今天咱们一路来探讨两个平面所成角问题.（三）推动新课、新知探讨、提出问题①二面角的有关概念、画法及表示方式.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的概念.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：①二面角的有关概念.二面角的概念：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.二面角常常利用直立式和平卧式两种画法：如图2（教师和学生一路动手）.直立式：平卧式：(1) (2)图2二面角的表示方式：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱之外的半平脸部份）别离取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.图3若是棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.②二面角的平面角的概念.如图4,在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内别离作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.图4再取棱上另一点O′，在α和β内别离作l 的垂线O ′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.因为OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB 及∠A′O′B′的两边别离平行且方向相同, 即∠AOB=∠A′O′B′.从上述结论说明了：依照上述方式作出的角的大小，与角的极点在棱上的位置无关. 由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内别离作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.③直二面角的概念.二面角的大小可以用它的平面角来气宇，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是彼此垂直的.两个平面彼此垂直的概念和平面几何里两条直线彼此垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来概念，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角. 两个平面彼此垂直的概念可表述为：若是两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面彼此垂直. 直二面角的画法：如图5.图5④两个平面垂直的判定定理.若是一个平面通过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面彼此垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB ⇒α⊥β.两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.图6证明如下：已知AB⊥β，AB∩β=B，AB ⊂α. 求证：α⊥β.分析：要证α⊥β,需证α和β组成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.证明：设α∩β=CD，则由AB ⊂α,知AB 、CD 共面. ∵AB⊥β，CD ⊂β,∴AB⊥CD，垂足为点B. 在平面β内过点B 作直线BE⊥CD, 则∠ABE 是二面角αCDβ的平面角.又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角, ∴α⊥β.⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.（四）应用示例思路1例1 如图7,⊙O 在平面α内，AB 是⊙O 的直径，PA⊥α，C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点.图7求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O 所在平面为α,由已知条件，PA⊥α,BC ⊂α,∴PA⊥BC. ∵C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点,AB 是⊙O 的直径, ∴BC⊥AC.又∵PA 与AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线， ∴BC⊥平面PAC.∵BC ⊂平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC. 变式训练如图8，把等腰Rt△ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD=AC ，图8（1）求证：平面ABD⊥平面ABC ； （2）求二面角CBDA 的余弦值. （1）证明：由题设,知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC ，O 为垂足，则OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点. ∴O∈AB ，即O ∈平面ABD. ∴OD ⊂平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC.（2）解:取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC, ∵△BCD 为正三角形，∴CE⊥BD.又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE⊥BD. ∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角. 同（1）可证OC⊥平面ABD.∴OC⊥OE.∴△COE 为直角三角形. 设BC=a ，则CE=a 23，OE=a 21，∴cos∠OEC=33=CE OE .点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.例2 如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤角的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m 时人升高了多少？（精准到0.1 m ）图9解：取CD 上一点E ，设C E=10 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F ，并连接FG,则FG⊥AB,即∠EFG 就是河堤斜面与水平面ABG 所成二面角的平面角, ∠EFG=60°,由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×2352321=⨯≈（m ）. 答：沿直道行走到10 m 时人升高约4.3 m.变式训练已知二面角αABβ等于45°，CD ⊂α，D ∈AB ，∠CDB=45°.求CD 与平面β所成的角.解：如图10，作CO⊥β交β于点O ，连接DO ，则∠CDO 为DC 与β所成的角.图10过点O 作OE⊥AB 于E ，连接CE ，则CE⊥AB. ∴∠CEO 为二面角αABβ的平面角， 即∠CEO=45°. 设CD=a,则CE=a 22,∵CO⊥OE，OC=OE ， ∴CO=a 21.∵CO⊥DO,∴sin∠CDO=21=CD CO . ∴∠CDO=30°,即DC 与β成30°角.点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常常利用的方式是：在一个半平面α内找一点C ，作另一个半平面β的垂线，垂足为O,然后通过垂足O 作棱AB 的垂线，垂足为E,连接AE,则∠CEO 为二面角α-AB-β的平面角.这一进程要求学生熟记.思路2例1 如图11，ABCD 是菱形，PA⊥平面ABCD ，PA=AD=2，∠BAD=60°.图11（1）求证：平面PBD⊥平面PAC ； （2）求点A 到平面PBD 的距离； （3）求二面角APBD 的余弦值.（1）证明：设AC 与BD 交于点O ，连接PO, ∵底面ABCD 是菱形,∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD,BD ⊂平面ABCD,∴的PA⊥BD. 又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.又∵BD ⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.(2)解：作AE⊥PO 于点E,∵平面PBD⊥平面PAC,∴AE⊥平面PBD. ∴AE 为点A 到平面PBD 的距离.在△PAO 中,PA=2,AO=2·cos30°=3,∠PAO=90°, ∵PO=722=+AO PA ,∴AE=7212732==•PO AO PA .∴点A 到平面PBD 的距离为7212. 3）解：作AF⊥PB 于点F,连接EF, ∵AE⊥平面PBD,∴AE⊥PB. ∴PB⊥平面AEF,PB⊥EF.∴∠AFE 为二面角APBD 的平面角. 在Rt△AEF 中,AE=7212,AF=2, ∴sin∠AFE=742=AF AE ,cos∠AFE=77)742(12=-. ∴二面角APBD 的余弦值为77. 变式训练如图12，PA⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 别离是AB 、PC 的中点.（1）求证：MN∥平面PAD ； （2）求证：MN⊥CD；（3）若二面角PDCA=45°，求证：MN⊥平面PDC.图12 图13证明：如图13所示,（1）取PD 的中点Q ，连接AQ 、NQ,则QN21DC,AM 21DC, ∴QN AM.∴四边形AMNQ 是平行四边形.∴MN∥AQ.又∵MN ⊄平面PAD,AQ ⊂平面PAD,∴MN∥平面PAD. （2）∵PA⊥平面ABCD ，∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD. 又∵AQ ⊂平面PAD,∴CD⊥AQ. 又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD.（3）由（2）知，CD⊥平面PAD, ∴CD⊥AD,CD⊥PD.∴∠PDA 是二面角PDCA 的平面角.∴∠PDA=45°. 又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD. 又∵MN∥AQ,∴MN⊥CD.又∵MN⊥PD,∴MN⊥平面PDC.例2 如图14,已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA 1，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点.图14（1）求证：直线MF∥平面ABCD ； （2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；（3）求平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小. （1）证明：延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连接AN. ∵F 是BB 1的中点，∴F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点. 又M 是线段AC 1的中点，故MF∥AN. 又∵MF ⊄平面ABCD,AN ⊂平面ABCD, ∴MF∥平面ABCD.（2）证明：连接BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1,可知AA 1⊥平面ABCD, 又∵BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A⊥BD. ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC⊥BD. 又∵AC∩A 1A=A,AC 、A 1A ⊂平面ACC 1A 1,∴BD⊥平面ACC 1A 1.在四边形DANB 中，DA∥BN 且DA=BN ， ∴四边形DANB 为平行四边形. 故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC 1A 1. 又∵NA ⊂平面AFC 1,∴平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.（3）解：由（2）,知BD⊥平面ACC 1A 1，又AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴BD⊥AC 1. ∵BD∥NA，∴AC 1⊥NA.又由BD⊥AC,可知NA⊥AC，∴∠C 1AC 就是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角. 在Rt△C 1AC 中，tan∠C 1AC=311=CA C C ，故∠C 1AC =30°. ∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°.变式训练 如图15所示，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD ，且AB=2，SC=SD=2.图15（1）求证：平面SAD⊥平面SBC ；（2）设BC=x ，BD 与平面SBC 所成的角为α，求sinα的取值范围. （1）证明：在△SDC 中，∵SC=SD=2，CD=AB=2,∴∠DSC=90°,即DS⊥SC.∵底面ABCD 是矩形,∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD,∴BC⊥面SDC. ∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC.∵DS ⊂平面SAD,∴平面SAD⊥平面SBC.（2）解：由（1）,知DS⊥平面SBC,∴SB 是DB 在平面SBC 上的射影. ∴∠DBS 就是BD 与平面SBC 所成的角，即∠DBS=α. 那么sinα=DBDS. ∵BC=x,CD=2⇒DB=24x +,∴sinα=242x+.由0＜x ＜+∞,得0＜sinα＜22.（五）知能训练讲义本节练习.（六）拓展提升如图16，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N 是PB 中点，过A 、D 、N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点.图16（1）求证：EN∥平面PCD ；（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN ；（3）求平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值. (1)证明：∵AD∥BC,B C ⊂面PBC,AD ⊄面PBC, ∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN, ∴AD∥MN.∴MN∥BC. ∴点M 为PC 的中点.∴MN21BC. 又E 为AD 的中点，∴四边形DENM 为平行四边形. ∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.（2）证明：连接PE 、BE,∵四边形ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD=60°, ∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB. 又∵PA=AB 且N 为PB 的中点, ∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN. ∴平面PBC⊥平面ADMN.（3）解：作EF⊥AB，连接PF ，∵PE⊥平面ABCD,∴AB⊥PF. ∴∠PFE 就是平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的平面角. 又在Rt△AEB 中，BE=3，AE=1，AB=2,∴EF=23. 又∵PE=3,∴tan∠PFE=233=EFPE=2,即平面PAB 与平面ABCD 所成的二面角的正切值为2.（七）课堂小结知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方式总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.（八）作业讲义习题2.3 A组一、二、3.。
人教A版高中数学必修二课件2.3.2平面与平面垂直的判定
A1
AA1 BD
BD AC
D
且AC AA1 A
A
BD 面AA1C1C
BD 面A1BD
面AA1C1C 面A1BD
C1 B1
C B
AC BC PA BC AC BC
PA AC A PA 面PAC, AC 面PAC
BC 面PAC BC 面PBC
面PAC 面PBC
探究1：如图为正方体,请问哪些平面与垂面直A1?B
D1 A1
C1 B1
面A1B 面AC
面A1B 面BC1 面A1B 面A1C1
高中数学课件
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面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(1)除了定义之外,如何判定两个平面 互相垂直呢?
(2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平
面垂直.
β
a
符号:
A α
a a 面
简记：线面垂直，则面面垂直
线面线面垂垂直直
线面垂直
例1、如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的 平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面 PAC⊥平面PBC.
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面, BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径
面ABC 面BCD AB 面BCD A
面ABC 面ACD CD 面ABC
面ABD 面BCD AB 面BCD
B
D C
例三.如图,四面体P-ABC中 PA 平面ABC
P
高一数学人教A版必修2通用课件平面与平面垂直的判定
图示 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂
平 文 足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射
面 字 线，则这两条射线构成的 角 叫做这个二
如图所示，已知△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在 平面外一点，PA＝PB＝PC.求证：平面PAC⊥平面ABC.
[分析] 设P在平面ABC内射影为O，∵PA＝PB＝PC，∴ OA＝OB＝OC，∴O为Rt△ABC的外心，即AC中点．
[证明] 取AC中点O，连接PO，OB.因为AO＝OC，PA＝ PC，所以PO⊥AC.因为∠ABC＝90°，所以OB＝OA.又PB＝ PA，PO＝PO，所以△POB≌△POA，所以∠POB＝∠POA， 即PO⊥OB.所以PO⊥平面ABC.因为PO⊂平面PAC，所以平面 PAC⊥平面ABC.
当点P在二面角α－l－β外部时，如右图． 过点P作PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，则PA⊥l，PB⊥l，
如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，找出图中所有 互相垂直的平面．
[解析] ∵AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABC和AB⊂平面 ABD，
∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD. ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD. 又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC. ∵CD⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD. 故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD ⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.
∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角．
由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α知AO⊥OB，AO⊥OC.
高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2
Q T
a
18
证明：法一：取 CD 的中点 E，连接 NE，ME，MC、PM. PA⊥平面 ABCD⇒PA⊥AD，
∠PDA＝45°⇒PA＝AD＝BC， 又 M 是 AB 的中点，
Rt△PAM≌Rt△NC是BMPC⇒的M中P＝点MC⇒MN⊥PC.
PA⊥CD AD⊥CD ⇒CD⊥平面 PAD⇒ PA∩AD＝A
C
在平面α内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角，
α
B E
D
∵AB⊥ α ，BE α ，
∴AB⊥BE. ∴二面角α-CD-β是直二面角，∴α⊥β.
a
13
平面与平面垂直的判定
证一证
例2.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平
面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点.
D1 A1
C1 D1 B1 A1
C1 B1
D A
D
C
B
A
a
O
C B
9
平面与平面垂直的判定
找一找
例1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，找出下列二面角的平面角：
（1） 二面角 A1-DC-1 B
你能求其余弦值吗？
D1
C1
C1
A1
E B1 A1
D A
CD B
a
B 10
平面与平面垂直的判定
找一找
例1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，找出下列二面角的平面角： （2） 二面角 A1-AB-D 和 D1-BD-C的大小？
D1 A1
C1 D1 B1 A1
o1
C1
B1
D A
C
D
B aA
高中数学(人教A版)必修二课件：2.3.2平面与平面垂直的判定
A．m⊥n，m∥α，n∥β C．m∥n，n⊥β，m⊂α
答案：C
已知 l⊥α，则过 l 与 α 垂直的平面( A．有 1 个 C．有无数个
答案：C
)
B．有 2 个 D．不存在
如图 P 是二面角 αlβ 内的点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别 为 A， B． 若∠APB＝80° ， 则二面角 αlβ 的大小为________．
1．已知 Rt△ABC，斜边 BC⊂α，点 A∉α， AO⊥α，O 为垂足，∠ABO＝30° ，∠ACO＝45° ，则二面角 A BC O 的大小为__________．
解析： 如图， 在平面 ABC 内， 作 AD⊥BC， 且垂足为 D，连接 OD，则∠ADO 即为 二面角 A BC O 的平面角，设 OA
(3)垂线法：过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面的 垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平 面角或其补角．此种方法通用于求二面角的题目．具体步骤 为：一找、二证、三求．如图③．
图①
图②
图③
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有 关．( × ) (2) 二 面 角 可 以 看 成 是 一 个 半 平 面 以 其 棱 为 轴 旋 转 而 成 的．( √ ) (3)如果平面 α 内有一条直线垂直于平面 β 内的一条直线，则 α⊥β．( × )
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2．3．2 平面与平面垂直的判定
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
1．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的 大小． 2．理解两平面垂直的定义． 3．掌握两平面垂直
的判定定理．
1．二面角
两个半平面 所组成的图形叫做 (1)定义：从一条直线出发的____________ 棱 ， 二面角， 这条直线叫做二面角的_______ 这两个半平面叫做
新课标高中数学人教A版必修二全册课件2 .3.2平面与平面垂直的判定
3．画二面角
3．画二面角 ⑴ 平卧式：
A l B
3．画二面角 ⑴ 平卧式：
A
A
l
l
B
B
3．画二面角 ⑴ 平卧式：
A
⑵ 直立式：
A
l
l
B
B
A
l
B
4．二面角嘚大小 怎样度量二面角嘚大小？能否转化为两相交直线所成嘚角？
l
4．二面角嘚大小 怎样度量二面角嘚大小？能否转化为两相交直线所成嘚角？
在二面角 -l- 嘚
4．二面角嘚大小 二面角嘚大小可以用它嘚平面角来
度量．即二面角嘚平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度．
① 二面角嘚两个面重合： 0o； ② 二面角嘚两个面合成一个平面：180o；
二面角嘚范围：[ 0o, 180o ]． ③ 平面角是直角嘚二面角叫直二面角．
5. 二面角嘚平面角嘚作法
5. 二面角嘚平面角嘚作法 (1)定义法
根据定义作出来
(2)垂面法 作与棱垂直嘚平面与 两半平面嘚交线得到
(3)
A
l
OB
l
O
A
B
A
D
O
l
6. 平面与平面垂直
两个平面相交，如果它们所成嘚二 面角是直二面角，就说这两个平面互相 垂直. 平面 与 垂直，记作 ⊥ .
6. 平面与平面垂直
两个平面相交，如果它们所成嘚二 面角是直二面角，就说这两个平面互相 垂直. 平面 与 垂直，记作 ⊥ .
P
C
A
B O
练习1：教材P.69探究
(1) 四个面嘚形状怎样？ (2) 有哪些直线与平面垂直？ (3) 任意两个平面所成嘚二面角嘚平面角
如何确定？ A
人教A版高中数学必修二第2章 2.3 2.3.2 平面与平面垂直的判定
重点 二面角的概念及面面垂直的判定 1．二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做
二面角的面．记作二面角α－AB－β(简记为 P－AB－Q)． 2．二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱 l 上任取一点
O，以点 O 为垂足，在半平面α，β内分别作垂直于棱 l 的射线 OA和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角． 二面角的范围：0°≤θ≤180°.
3．面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．记作α⊥β.
∴AQ⊥平面 PDC，∴AQ⊥PD. ∵Q 为 PD 的中点， ∴△PAD 为等腰直角三角形， ∴∠PDA＝45°，即二面角 P－CD－B 的大小为 45°.
例 4：在直二面角α－AB－β棱 AB 上取一点 P，过 P 分别在 α、β平面内作与棱成 45°角的斜线 PC、PD，则∠CPD 的大小是
2－1.下列说法正确的是( D ) A．二面角的大小范围是大于 0°且小于 90° B．一个二面角的平面角可以不相等 C．二面角的平面角的顶点可以不在棱上 D．二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直
2－2.在正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于 D，沿 AD 折成二面 角 B－AD－C 后，BC＝12AB，这时二面角 B－AD－C 的大小为
∵CD⊥AD，CD⊥PA ，∴CD⊥平面 PAD， ∴CD⊥AQ，∴AQ⊥平面 PDC. 由(1)MN∥AQ，∴MN⊥平面 PDC. 又∵MN⊂平面 PMC，∴平面 PMC⊥平面 PDC.
高中数学人教A版必修2第二章2.3.2 平面与平面垂直的判定教学课件
CD 面ABC 面ABC 面ACD
B
D
C
由面面垂直性质定理，可得两个推论：
推论1 如果两个平面互相垂直，那么经
过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的
直线，在第一个平面内。
α⊥β，A
在β内，
AB⊥α，
则AB在β
内
推论2 如果两个相交平面都和第三个平面垂 直，那么它们的交线也和第三个平面垂直。
(1)你能举出一些平面与平面垂直的 实例吗?
(2)除了定义之外,如何判定两个平 面互相垂直呢?
ι
观 察
注意观察：
1.门轴与地 面的关系
2.门轴与门 面的关系
3.门面与地 面的关系
你发现了什么？
如果一个平面经过了另一个平面的 一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
如果:AB⊥β, α经过AB ,
那么:α⊥β
证明： ∵AB⊥β,CD 是交线 ∴AB⊥CD 在平面β内过点B作直线BE⊥CD ∴ ∠ABE是二面角α—CD — β的平面角 ∵ AB⊥β BE在β内 ∴AB⊥BE 即∠ABE=90。 ∴二面角α—CD — β是直二面角 ∴α⊥β
α
A
B
D
β E
C
二、两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直.
[探索研究 ]： 如果两个平面互相垂直，那么在第一个平
面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平 面呢？用实例来说明。
E
三、定理（面面垂直性质定理） 如果两个平面互相垂直，那么在一
个平面内垂直于它们的交线的直线垂 直于另一个平面。
设β⊥α， AB为平面β内 的一条直线，且AB ⊥CD， 则AB⊥α。
2.3.2 平面与平面垂直的判定
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
高中数学人教A版必修二 2.3.2平面与平面垂直的判定定理课件
2.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面 直线所成的角. 范围：( 0o, 90o ]． 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
C
A
B
二面角B--B’C--A
A
B
D
O
E
C
二面角A--BC--D
（定义法）
（垂线法）
14高中数学人教A版必修二 2.3.2平面与平面垂直的判定定理课件
高中数学人教A版必修二 2.3.2平面与平面垂直的判定定理课件
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下和A’-AB-D；
C B
高中数学人教A版必修二 2.3.2平面与平面垂直的判定定理课件
归纳小结：
(1)判定面面垂直的两种方法： ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理
(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面 互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平 面的另一个平面的依据；
(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面 面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来
一、二面角的概念
(1) 半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 半平面．
(2) 二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
半
半
平
l平
面
面
面 面
棱l
(3) 二面角的画法和记法： 面1－棱－面2 ①平卧式： 二面角－ l－
人教新课标A版高一数学《必修2》2.3.2 平面与平面垂直的判定
初中学过的角的定义是什么? 从同一顶点出发的两条
射线构成的几何图形叫作角.
如何刻画立体几 何中如图所示的 α 平面α与平面β的 关系呢？
l
半平面 一个平面内的一条直线将一个平面
分成两部分，其中的每一部分叫做一个半平面.
新课讲授
二面角的定义
推广到空间
如图所示形成的几何图形叫什么呢？
二面角的定义 从同一条直线出发的两
B A
C O
D
达标训练
平面与平面垂直判定定理的应用
例2 已知 Rt△ABC 中，AB＝AC＝a，AD 是斜边上的高， 以 AD 为折痕使 BDC 成直角，如图． 求证：(1) 平面 ABD⊥平面 BDC ，平面ACD⊥平面BDC； (2) BAC＝60 ． 证明 (1) 如图(2)，因为 AD⊥BD，AD⊥DC，所以 AD ⊥ 平面 BDC，因为平面 ABD 和平面 ACD 都过 AD，所以平面 ABD⊥平面 BDC，平面 ACD⊥平面 BDC . B
平面与平面垂直的条件探求
平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直．
A
用符号表示为：
AB ⊥ ，AB ⊥ ． 线线垂直 线面垂直 面面垂直
B
AB AB
典例精析
二面角的平面角 D1 B1 D O C
O
Q
B
刻画
立体几何问题转化为平面几何问题
新课讲授
平面与平面垂直的定义
平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面组成的二面角为直角，
则称这两个相交平面互相垂直．
记法：平面 与 垂直，记作： ⊥ ． 画法：两个互相垂直的
人教新课标版数学高一必修2课件2.3.2平面与平面垂直的判定
反思与感悟
解析答案
探究点3 求二面角的大小 例3 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱 柱)ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB 的中点. (1)求点C到平面A1ABB1的距离； 解 由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB， 又CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1， 所以 C 到平面 A1ABB1 的距离为
建筑施工时，为了保证墙面是竖直的，常使用铅锤来检测，这是什么道 理呢？
自主学习
知识点一 二面角
1.定义：从一条直线出发的_两__个__半__平__面__所组成的图形. 2.相关概念： ①这条直线叫二面角的_棱__，②两个半平面叫二面角的_面__. 3.画法：
答案
4.记法：二面角_α_－__l_－__β__或__α_－__A_B_－__β__或_P_－__l_－__Q_，或P－AB－Q. 5.二面角的平面角： 若有①O_∈__l；②OA_⊂__α，OB_⊂__β；③OA_⊥__l，OB_⊥__l，则二面角 α－l－β的平面角是__∠__A_O_B__.
CD＝ BC2－BD2＝ 5.
解析答案
(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值.
反思与感悟
解析答案
当堂测试
1.直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是( C )
A.平行
B.可能重合
C.相交且垂直
D.相交不垂直
解析 由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.
1 23 4
解析答案
2.下列命题：
1 23 4
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a、b分别和一个
二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或
人教A版高中数学必修二 2.3.2 平面与平面垂直的判定课件
探究1：
D1 A1
C1 B1
D A
C B
探究2： 已知AB 面BCD, BC CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD A
AB 面BCD 面ABD 面BCD
CD 面ABC 面ABC 面ACD
B
D
C
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面
为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M
β
a
A
b
α
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂 直呢?
(2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
建筑工人砌墙时， 应 如何使所砌的墙和水平面垂直？
用 于 生 活
观 察 生 活
你发现了什么？
平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两
个平面垂直.
β
a
符号:
A αa a 面 来自为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面
PCD.
P
F
E
D
C
A
M
B
例3 在四面体ABCD中，已知AC⊥BD， BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°， 求证：平面ABC⊥平面ACD.
D
C
B
E
A
课堂小结
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理
2.线线垂直
线面垂直 面面垂直
AC 面PAC
BC 面PAC
BC 面PBC
面PAC 面PBC
探究1：如图为正方体,请问哪些平面与 面A1B 垂直?
D1 A1
C1 B1
面A1B 面AC
面A1B 面BC1 面A1B 面A1C1
人教版数学必修22.3.2平面与平面垂直的判定
§2.3.2 平面与平面垂直的判定
问题重现
1、直线与平面垂直的定义及判定定理。 2、空间中两平面的位置关系有几种？
思考1:直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分叫什 么？ 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分 叫什么名称？
射线 射线
半平面 半平面
β
B
O
lA
α
β
B′ B
o′
α
lO
A′
A
Hale Waihona Puke 思考4:在上图中如何调整OA、OB的位 置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确 定？这个角的大小是否与顶点O在棱 上的位置有关？
β
B
l O
A
α
定义
以二面角的棱上任意一点为端点，以该点为垂 足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角
A O⊥ l ，B O⊥ l
二面角的平面角的三个特征:
A
l O
B
1.点在棱上 2.边在面内 3.边棱垂直
二面角的大小可以用它的平面角来 度量，二面角的平面角是多少度， 就说二面角是多少度.
0 180
练习：三棱锥A-BCD,AB垂直于底面ＢＣＤ,底面ＢＣＤ
为等边三角形,求二面角D-AB-C的大小.
例3：AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，
C是圆周上不同于A, B的任意一点， 求证：平面PCA 平面PBC。
p
C
A
O
B
证明: 设已知⊙O所在平面为α PA 面, BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径
AC BC
PA BC PPAAA面CACPABCCA AC 面PAC
[精品]新人教A版必修2高中数学2.3.2平面与平面垂直的判定优质课教案
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第二课时平面与平面垂直的判定（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.2．过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.3．情态、态度与价值观通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.（二）教学重点、难点重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小.（三）教学方法实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？学生自由发言，教师小结，并投影两个平面所成角的实际例子：公路上的表面与水平面，打开的门与门椎所在平面等，怎样定义两个平面所成的角呢？复习巩固，以旧导新探索新知一、二面角1．二面角（1）半平面平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.（2）二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）.教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示（可将角与二面角从图形、定义、构成、表示进行列表对比）.师生共同实验(折纸)思考二面角的大小与哪一个角的大小相同？这个角的边与二面角的棱有什么通过模型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（3）二面角的求法与画法棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角ABαβ--. 有时为了方便，也可在,αβ内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P–AB –Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角lαβ--或P–l–Q.2．二面角的平面角如图关系？生：过二面角棱上一点O在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角与二面角大小相等.师：改变O的位置，这个角的大小变不变.生：由等角定理知不变.通过实验，培养学生学习兴趣和探索意识，加深对知识的理解与掌握.（1）在二面角cαβ--的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.（3）二面角的平面角的范围是[0，180°] （4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.探索新知二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就学生自学，教师点拔一下注意事项.师：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂培养学生自学能力,通过实验，培养学生观察能力，归纳说这两个平面互相垂直.两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.2．两个平面互相垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 直于地面，即αβ⊥，请同学给出面面垂直的判定定理.能力，语言表达能力.典例分析例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.师：平面与平面垂直的判定方法有面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本题二面角A –PC–B的平面角不好找，故应选择判定定理，而应用判定定理正面面垂直的关键是在其中巩固所学知识，培养学生观察能力，空间想象能力，书写表达能力.证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，PA⊥α，BC在α内，所以PA⊥BC.因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条直线.所以BC⊥平面PAC.又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC⊥平面PBC. 一个平面内找(作)一条直线与另一平面垂直，在已有图形中BC符合解题要求，为什么？学生分析，教师板书随堂练习1．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是学生独立完成巩固知识提升能力G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S –EFG中必有（ A ）A．SG⊥EFG所在平面B．SD⊥EFG所在平面C．GF⊥SEF所在平面D．GD⊥SEF所在平面2．如图，已知AB ⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？答：面ABC ⊥面BCD 面ABD ⊥面BCD 面ACD ⊥面ABC . 归纳总结1．二面角的定义画法与记法.2．二面角的平面角定义与范围.3．面面垂直的判定方法.4．转化思想.学生总结、教师补充完善回顾、反思、归纳知训提高自我整合知识的能力课后作业 2.3 第二课时 习案学生独立完成固化知识 提升能力备选例题例1 如图，平面角为锐角的二面角EF αβ--，A ∈EF ，AG α⊂，∠GAE = 45°若AG 与β所成角为30°，求二面角EF αβ--的平面角.【分析】首先在图形中作出有关的量，AG 与β所成的角(过G 到β的垂线段GH ，连AH ，∠GAH = 30°)，二面角EF αβ--的平面角，注意在作平面角是要试图与GAH 建立联系，抓住GH ⊥β这一特殊条件，作HB ⊥EF ，连接GB ，利用相关关系即可解决问题.【解析】作GH ⊥β于H ，作HB ⊥EF 于B ，连结GB ， 则CB ⊥EF ，∠GBH 是二面角的平面角. 又∠GAH 是AG 与β所成的角， 设AG = a ，则21,22GB a GH a ==，2sin 2GH GBH GB ∠==.所以∠GBH = 45°反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系.例2 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，直线SC ⊥平面ABCD ，E 是S A 的中点，求证：平面EDB ⊥平面ABCD ．【分析】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需 要寻找已知条件“SC ⊥平面ABCD ”与需证结论“平面EDB ⊥平面ABCD ”之间的桥梁． 【证明】连结AC 、BD ，交点为F ，连结EF ， ∴EF 是△SAC 的中位线，∴EF ∥SC ． ∵SC ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ． 又EF ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABCD ．【评析】将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键． 例3 如图，四棱锥P – ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD ．证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°．BSC【分析】由△PAD ≌ △PCD ，可利用定义法构造二面角的平面角，证明所成角的余弦值恒小于零即可．【解析】不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形．作AE ⊥DP ,垂足为E ，连接EC ，则△ADE ≌△CDE ．∴AE = CE ，∠CED = 90°．故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角．设AC 与BD 相交于点O ．连接EO ，则EO ⊥AC ．∴22a OA AE AD a =<<=， 在△AEC 中，222(2)cos 2AE EC OA AEC AE EC+-∠=⋅=2(2)(2)0AE OA AE OA AE +-<，∴∠AEC ＞ 90°．所以面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°． 【评析】求二面角的大小应注意作（找）、证、求、答．。