椭圆的基本性质教学设计

《椭圆的几何性质（1）》教学设计
信丰二中邓丽华
一、教学目标：
1 、知识掌握目标：通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并能正确作出图形。

2 、基本技能和一般能力培养目标：培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。

3 、创新素质和创新人格的培养目标：培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识。

4 、德育目标：通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。

二、教学重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。

三、教学难点：利用椭圆方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。

四、教材分析：
德育点：在研究性质的过程中，培养学生大胆猜想，敢于发表个人见解，培养学生喜欢探究的情感和态度。

过对椭圆对称性的体验，使学生得到美的感受。

创新点：①教学中不拘泥于教材，改变教材的安排，有利于学生进行探究。

在范围这一性质的教学中，鼓励用多种方法推倒，培养学生的创新思维；②在反馈训练中，让学生自己编拟方程并研究其性质。

③留研究性作业，鼓励学生进一步探索。

空白点：①研究性过程中多处留白，鼓励学生大胆猜想并根据方程给予论证②反思性小结中设计表格留空白，调动学生积极参与。

五、教学过程
1 、创设情境引导目标与内容
教师： 2003 年 10 月 15 日是每一个中国人为之骄傲的日子（课件展示飞船绕地球运行模拟图），大家还记得这一天吗？
学生：神州五号飞船发射成功。

通过前面的学习我们知道，飞船在变轨前是沿着地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行的，如果告诉你飞船的轨道方程，你怎样作出飞船的轨迹呢？这个问题的实质是什么？
学生：已知一个椭圆的方程，画出这个椭圆。

教师：让学生拿出预习中用描点法画出所示的图形，同时计算机给出作图过程，纠正学生作图中存在的问题后给出：这种作图方法虽然比较准确，同学们通过作图体会到了什么？
学生：麻烦。

教师：有简单的方法吗？如果有，需要知道什么呢？
学生：研究曲线的特点。

教师：对，如果我们能根据椭圆的方程，探讨出它的几何特征，那么作图就很方便了。

这节课我们就一起来学习椭圆的简单几何性质（引出课题）教师：前面我们学习了椭圆的哪些知识？
学生：学习了定义和标准方程。

教师：你还记得标准方程吗？
学生：或
教师：这节课就以（ a ＞ b ＞ 0 ）为例来研究。

2 、教师点拨、指导，学生研究、合作、体验
（ 1 ）对称性
教师：（大屏幕展示所示的图形）请同学们观察这个图形在 x 轴的上方、下方， y 轴的左侧、右侧有怎样的关系呢？（此处是空白点，激发学生思考）学生：有对称性，关于 x 轴、 y 轴、原点都对称。

教师：正确。

那么一般的椭圆是否也具有这种对称性，你能根据方程得到结论吗？
学生： A ：（充分讨论后）也有同样的对称性。

在上任取一点 P （ x,y ）则 P 点关于 x 轴、 y 轴和坐标原点的对称点分别是（ x,-y ）（ -x ， y ）、（ -x ， -y ），而代入方程知这三个对称点都适合方程，即点 P 关于 x 轴、y 轴和坐标原点的对称点仍然在椭圆上，可得结论。

教师：回答得非常正确。

课件展示对称过程后总结：所表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，坐标原点是其对称中心，对称中心也叫椭圆的中心，椭圆是有心曲线。

做人应向椭圆学习，做一个有心之人。

（ 2 ）顶点
教师：（大屏幕展示所表示的图形）请同学们继续观察这个椭圆与坐标轴有几个交点呢？
学生 B ：与坐标轴有四个交点。

教师：对，一般的椭圆与坐标轴有几个交点呢？
学生 B ：同样是四个。

教师：你能根据方程求得四个交点的坐标吗？（计算机给出图形，椭圆与 x 抽的交点分别是、，与 y 轴的交点分别是、）
学生 B ：分别令 x=0,y=0 ，得 (-a,0) 、（ a,0 ）、（ 0,-b ）（ 0,b ） .
教师：回答得很好。

这四个点是椭圆与坐标轴的交点，也是椭圆与其对称点的交点。

及时总结并给出顶点的定义（强调是与对称轴的交点）。

结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长半轴长、短半轴长，点明方程中 a 、 b 的几何意义。

教师：（根据课件中的图）如果过、、分别作 y 轴的平行线，过、分别做 x 轴的平行线，则这四条直线将构成 ----？
学生：一个矩形。

教师：椭圆在矩形 ----？
学生：内部
教师：正确，这说明了什么？
学生：有的说有界，有的说有范围。

教师：指出椭圆是有范围的，根据前面求得的、、、的坐标，你能说出x 、 y 的范围吗？
学生 C ： -a ≤ x ≤ a ， -b ≤ y≤ b.
教师：完全正确。

那么你根据方程研究 x 、 y 的取值范围吗？请同学们想一想，并互相讨论讨论。

（此处既是空白点、又是创新点，学生能够动脑思考，
动手实践，亲身体验，积极地投入到“创新性研究”中，把数学的重点放在了学生的学习过程，而不是获得一个简单的结果）
（ 3 ）范围
引导学生用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。

学生 D ：由利用两个实数的平方和为 1 ，结合不等式知识得≤ 且≤ ，则有 -a ≤ x ≤ a ， -b ≤ y ≤ b.
教师：很好，谁还有不同意见？
学生 E ：利用三角换元，令θ，θ，θ∈ R 。

由弦函数有界可得范围。

教师：这个想法也不错，谁还有不同见解？
学生 F ：从中解出，利用≥ 0 可得 y 的取值范围，同样可得 x 的取值范围。

教师：这种想法也不错，谁还有不同见解？
此时学生陷入深思中，教师及时点拨，前面我们学习过函数的定义域、植域，这对你研究椭圆的范围有何启示呢？
学生议论纷纷，有的开始动笔推导，有的几个人一起在商量。

教师：谁研究出来了，或哪个小组研究出来了？请到前面给大家讲一讲。

学生 G ：（实物展台展示）由则y= ± ，可通过求这个函数的定义域、值域得范围。

教师：y= ± 是函数吗？
学生 G ：（思考后）说不是。

教师：怎么处理呢？
学生 G ：把 y= 和 y=- 分别看作是一个函数。

教师：正确。

往下怎么研究呢？
学生 G ：先求函数 y= 的定义域、值域。

利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得 -a ≤ x ≤ a ，0 ≤ y ≤ b ，同样得 y= 中 -a ≤ x ≤ a ， -b ≤ y ≤ 0 ，于是得到范围。

（课堂响起一片掌声，表示对这位同学的支持、肯定与鼓励
教师：前面我们研究了椭圆的对称性，谁能简化学生 G 的推导过程呢？
学生 H ：老师，我想只需求y= (0 ≤ x ≤ a) 的定义域、值域即可，然后利用对称性可得范围。

教师：很好。

教师：通过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即它围在一个矩形框内。

有了前面这几个性质，我们就可以很快地作出焦点在 x 轴上的椭圆的草图了教师在黑板上示范作图（先找到标准方程所表示的椭圆与坐标轴的四个交点，画出矩形框，光滑曲线连接，并注意对称性）
教师：请同学们根据这种作图方法，在同一坐标系下画出方程和所示的椭圆，并思考这两个椭圆的形状有何不同？
学生 M ：实物展台展示画图，指出一个扁一些，一个圆一些。

教师：（追问）圆扁与什么有关系？（提示学生注意两个方程）
学生 M ：与 b 有关系。

教师：是这样吗？
学生 N ：在 a 不变的情况下与 b 有关系， b 大则圆， b 小则扁，因此与 a 、 b 有关系。

教师课件动画展示（ a 不变，随 b 变化，椭圆形状的变化）印证学生的猜测是正确的，同时提出问题：在推导方程中曾令，这又意味着形状还与什么有关系呢？
学生有的说与 b 、 c 有关，有的说与 a 、 b 、 c 有关。

（鼓励学生大胆猜测）
教师：在给出椭圆的定义中，大家还记得吗？影响椭圆形状的最关键的要素是什么？
学生：是 a 和 c
教师：下面我们就一起看一下在 a 不变的情况下，随 b 的变化 c 是如何变化的（动画演示）。

从而引出离心率。

（ 4 ）离心率
教师在动画演示过程中，引导学生发现 a 不变， b 大则 c 小，椭圆较圆，b 小则 c 大，椭圆较扁，特别当 a=b 时， c=0 椭圆为圆。

教师指出：当 a 不变， b 大则 c 小，此时也变小，学生通过观察指出此时椭圆较圆，反之较扁，c=0 时变成了圆。

及时总结并给出离心率的定义、符号和范围及特例。

（强调离心率是焦距与长轴长之比，与坐标系选取无关，并引导学生分析出：固定 a 、 b 、c 中任何一个量，改变另外两个量可得到同样的结论，即 e 大则扁， e 小则圆，特别 e=0 时为圆）
因此离心率是一个刻画椭圆圆扁程度的量。

（此处是难点，教学中借助动画演示，结合教师启发引导，帮助学生理解离心率的定义及离心率对椭圆形状的影响）
3 、巩固与创新应用
请你自己设计一个焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程，并指出它的几何性质。

（此题把主要权交给学生，提高学生的参与意识）
利用本节所学的知识，说出椭圆的简单几何性质。

（此处也是一个创新点，培养学生运用类比化归的思想解决实际问题的能力，也通过本题使学生体验这节课所学的性质是椭圆自身固有的性质与坐标系的选取无关）
椭圆 (k ＞ 0) 的长轴是短轴的 2 倍，则 k=
如果一个椭圆短轴上的一个顶点与两个焦点构成一个三角形，求椭圆的离心率，（通过第（ 3 ）（ 4 ）两题巩固本节所学知识）
4 、反思与小结
教师引导学生从知识、思想方法和研究问题的方法三个方面进行总结。

教师：通过这节课的学习，你学到了什么？体验到了什么？掌握了什么？
学生讨论、反思。

师生合作：
（ 1 ）知识总结：教师设计关于性质的表格，学生填表，并总结：记住这些性质的关键是抓住两条线（对称轴），一个框（范围），七个点（一个中心、两个焦点、四个顶点）和用 e 刻画圆扁。

思想方法总结：本节课主要利用了数形结合的思想和类比化归的思想研究性质的，平时学习中要注意数学思想方法的运用。

（ 2 ）掌握利用曲线方程研究曲线性质的基本方法，即通过研究曲线的对称性、顶点、范围、离心率等，这样就可以从整体上把握曲线了。

六、板书设计：
椭圆的简单几何性质
1 、对称性； 4 、离心率
2 、顶点； 5 、板书学生推导
3 、范围； 6 、作图
七、教后反思：
1、渗透教学思想方法重在平时
当学生有一天不再学习数学了，我们给学生留下的是什么？我想应该是学生遇到具体问题时那种思考问题的方式和解决问题的方法。

本节课始终是引导学生观察图形后研究方程，即数形结合的思想。

华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。

”因此在平时教学中，要注意渗透数学思想方法的教学。

2 、信息技术走进课堂
在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。

不足：在对具体例子的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。

还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。

感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。

面对新课改教师惟有主动适应，创造新生。

现代教育技术既作为教的工具，也作为学的工具。