2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准

2018本一试题解答与评分标准

一．填空题（ 每小题4分，共20分） (1) 设()()()()12ln arctan

,,,1u x f u x y f x u x

ϕϕ-+===+则

1

d d x y

x == .

(2) ()

2

2

sin cos2d x x x π+=⎰

.

(3) ()

2

20

1

d 1x x +∞

=+⎰

.

(4) 已知函数(),,F u v w 可微，()()0,0,01,0,0,02,u v F F ''==()0,0,03,w

F '=函数 (),z f x y =由()

22223,4,0F x y z x y z x y z -+-+=确定，满足()1,20,f =则 ()1,2x f '= .

(5) 设Γ是区域

(){}2

2,4,0x y x

y y x +≤≤≤｜的边界曲线，取逆时针方向, 则

()()()()

()

3

3

1e d e d y

y x y y x x y xy y Γ

-+-+++=⎰ .

一.答案: (1) 1;5 (2)

2

;23

π- (3) ;4π (4)2;- (5) 6.π

二. 解下列两题（ 每小题5分，共10分）

(1)

求极限 ()()()()2

132321lim ;24222n

n n n n →∞⎛⎫⋅⋅⋅-⋅- ⎪ ⎪⋅⋅⋅-⋅⎝⎭

L L (2) 求极限 ()

2244

44lim sin .x y x xy y x y x y →∞

→∞

++⋅++ 解 (1) 记 ()()

2

222

221321,242n n a n ⋅⋅⋅-=

⋅⋅⋅L L 因为

()()

()

2

212112k k k -⋅+<()*,k ∈N （1分）所以

()()()

()()2222222321133557

21210,2462222n n n n n a n n n -⋅-⋅⋅⋅--<=⋅⋅⋅⋅⋅<-L （2分） 因为 ()

2

21

lim

0,2n n n →∞

-=应用夹逼准则得 lim 0.n

n

a →∞= （2分） (2) 应用不等式的性质得

()

222222442222,2,x xy y x y xy x y x y x y ++≤++≤++≥（2分）

()

()

222244

442222

2110sin 2x y x xy y x y x y x y y x +++≤⋅+≤=++，（1分）

因为2211lim 0,x y y x →∞→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭应用夹逼准则得 ()224444lim sin 0.x y x xy y x y x y →∞

→∞

++⋅+=+（2分） 三.（10分）已知函数()f x 在x a =处可导()a ∈R ,数列{}{}

,n n x y 满足:(),,

n x a a δ∈-(),n y a a δ∈+ ()0,δ>且lim ,n n x a →∞=lim ,n n y a →∞= 试求 ()()

lim .n n n n n n

n x f y y f x y x →∞

--

解 由()f x 在x a =处可导得 ()()()lim ,x a

f x f a f a x a

→-'=- ( 2分)

()()()()lim ,n n n f x f a f a f a x a

-→∞

-''==- ()()()()lim ,n n n f y f a f a f a y a

+→∞

-''==- ( 2分)

应用极限的性质得

()()()()()(),0,n n n n n f x f a f a x a x a n αα'=+-+⋅-→→∞( 1分) ()()()()()(),0,n n n n n f y f a f a y a y a n ββ'=+-+⋅-→→∞( 1分)

代入原式得

()()

()()()()

lim lim n n n n n n n n n n n n

n n

n n x f y y f x x y a y a x f a a f a y x y x βα→∞

→∞

--+⋅-'=-++-- ( 2分)

()()lim lim n n n n

n

n

n n n n

n n y a a x f a a f a x y y x y x βα→∞→∞--'=-+++-- lim lim 0,01,01n n n n

n n

n n n n n n y a a x x y y x y x βα→∞→∞⎛⎫--==<<<< ⎪--⎝⎭

因为 ()()()()00.f a a f a f a a f a ''=-+++=-+ ( 2分)

四. (10分) 已知()()()111sin cos 1001;200x x x f x x x

x ⎧

--≤<<≤⎪

=⎨⎪=⎩

或，

试判别:

(1) ()f x 在区间[]1,1-上是否连续? 若有间断点,判断其类型;

(2) ()f x 在区间[]1,1-上是否存在原函数?若存在,写出一个原函数;若不存在, 写出理由; (3) ()f x 在区间[]1,1-上是否可积? 若可积,求出()1

1d ;f x x -⎰若不可积, 写出理由.