公园的导游图

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用C++语言设计一个公园的导游图

摘要现实生活中,常常会遇到求最短路径的问题。本课程设计旨在提供一种解决这类问题的实例,把某一公园的景点与路线抽象成顶点和边,从而构成图,进而解决一系列相关的最短路径,最佳路线等问题。在课程设计中,系统开发平台为Windows XP,程序设计设计语言采用C++,程序运行平台为Windows 98/2000/XP。对于求解最短路径,使用了著名的Dijkstra算法。对于求最佳路径,采用了常用于解决TSP问题的贪心法。程序通过调试运行,初步实现了设计目标,并且经过适当完善后,这一导游图系统将同样适用于其他公园。

关键词程序设计;数据结构;图;最短路径;Dijkstra算法;TSP问题

1 引言

现实生活中,常常会遇到求最短路径的问题,本课程设计将把这类问题实例化,把一个公园的景点顶点化、路径边化,建成一个图,再通过比较对图中各边及顶点的关系,实现对公园各个景点进行访问,并能根据要求,求出任意两个顶点的最短路径,还能给出一条依次不重复访问各点的最短路径。

【这部分应写明前人相关的研究成果、理论与实践依据,内容可包括研究的目的、意义、主要方法、范围和背景等。】

随着计算机科学的迅速发展,计算机已深入到揉社会的各个领域,它的应用已不再局限于科学计算,以解决一些数学问题,而且可以解决一些抽象化的具体问题,更多地用于控制,管理及数据处理等非数值计算的处理工作,这便为我们的日常生活提供了很多的方便,譬如说火车售票系统,学生成绩管理,车厢调度等实际问题。如今程序设计的语言很多,有发展比较完善高级语言,也有最基本的低级语言,然而再好的程序设计也要有一个比较清晰的思路——算法。为了编写好一个好程序,必须分析待处理对象的特性以及各处理对象之间的关系,于是数据结构便成为我们绝佳的选择。数据结构是计算机程序设计的重要理论技术基础,它不仅是计算机科学的核心课程,而且已成为其他理工专业的热门选修课。

2程序的功能需求分析

2. 1 程序的功能分析

一个公园的导游图,至少应该有一个简单的景点分布图,让游客能对公园概况一目了然。其次,应该能提供相关的景点信息:包括景点名称,景点简介等。以上功能是基础,在此基础上,使公园的导游图系统更具人性化,更具有实用性:为导游图系统添加景点最短路径的计算,提供依次不重复访问所有景点的最佳旅游路线。

2.2 菜单项及其基本操作

拥有了完整的功能的导游图系统,还需要有清爽,简易的操作界面,让游客一目了然,操作方便。本导游图用数字键的选择方式,加以提示,提供给用户如图2.1的简单方便的操作。

图2.1 抽象化的公园导游图

至此,已经规划好导游图系统的功能和操作的基本构架,下一步就是着手为每一个操作的实现做程序实现的考虑了。

3 程序的算法分析

要完成对整个导游图系统的功能实现,需要对的每一项功能都有清楚的设想和认识,了解并明确每一项功能的实现需要解决的问题,选择正确并且高效的算法把问题逐个解决,最终实现程序的正确调试运行。

为此,可把系统分为以下几个核心:图的初始化、图的遍历、求两点间的最短路径、求最佳路线。

3.1 图的初始化

图是一种复杂的数据结构,表现在不仅各个顶点的度可以相差很多,而且顶点之间的逻辑关系——邻接关系也错综复杂[1]。从图的定义可知,一个图包括两部分信息:顶点的信息以及描述顶点之间关系(边或弧)的信息。图的初始化是所有相关操作的基础,其存储结构将直接影响到程序的实现的难易度、空间性能和时间性能,因此选择适合本次程序的存储结构至关重要。

图的存储结构有邻接矩阵、邻接表、十字链表、邻接多重表、边集数组等多种,较常用的有邻接矩阵和邻接表,而这两者的存储方式的比较如表3-1。

表3-1 邻接矩阵与邻接表存储结构的比较

图的邻接矩阵和邻接表存储各有利弊,应用时要根据图的稠密和稀疏程度以及问题的需求进行选择[2]。仔细比较这两种存储方式容易知道,由于邻接矩阵特殊的存储方式,如图2.2所示,它非常便于快速的查找两个顶点之间的边上的权值。所以,图采用带权的邻接矩阵存储。

Vertex[5] =

∞ ∞ 9 5 7

∞ ∞ 3 4 ∞ Arc[5][5]=

9 3 ∞ 7 2 5 4 7 ∞ ∞

7

2

图3.1 无向图及其邻接矩阵存储示意图

决定了图的存储方式后,需要有一个公园的实例,本程序选择本人所在地的姑婆山国家森林公园的游览地图作为蓝本,把公园地图抽象化成顶点与边构成的图形式,如图 3.2,途中红色数字代表线的权值。

图3.2 抽象化的公园导游图

3.2 图的遍历

图的遍历是图中最基本的操作。图的遍历是指从图中某一顶点出发,对图中所有顶点访问一次且仅访问一次。导游图需要把每条路径的信息都向游客展示,就需要读取每两个顶点间的路径信息。由于采用了带权的邻接矩阵存储结构进行存储,所以需要针对这一存储结构对路线进行遍历操作。其遍历算法如图3.3所示,执行效果如图3.4所示。

图3.3 图的遍历算法流程图

图3.4 图的遍历算法执行效果示意图

3.3 最短路径(Dijkstra 算法)

基于本程序中图的存储是邻接矩阵结构存储的图结构,因而采用适合该存储结构的Dijkstra 算法用于解决求最短路径的问题。

迪杰斯特拉(Dijkstra)提出了一个按路径长度递增的持续产生最短路径的算法,其基本思想是:设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点,S的初始状态只包含源点v,对于v i∈V-S,假设从源点v到v i的有向边为最短路径。以后每求得一条最短路径v,…,v k,就将v k加入集合S中,并将路径v,…,v k,v i,与原来的假设相比较,取路径长度较小者为最短路径。重复上述过程,直到集合V中全部顶点加入到集合S中。如图3.5所示。

图3.5 图的遍历算法执行效果示意图

辅助数组dist[n]:元素dist[i]表示当前找到的从源点到终点v i的最短路径的长度。初态为:若从v到v i有弧,则dist[i]为弧上的权值;否则置dist[i]为∞。若当前求得的终点为v k,则根据下式进行迭代:

dist[i]=min{dist[i],dist[k]+arc[k][i]} 1≦i≦n

辅助数组path[n]:元素path[i]是一个串,表示当前所找到的从源点到终点v i的最短路径。初态为:若从v到v i有弧,则path[i]为“vv k”,否则置path[i]为空串。

数组s[n]:存放源点和已经生成的终点(即集合S),初态为只有一个源点v。

算法的伪代码描述是:

1.初始化数组dist、path和s;

2.while(s中的元素个数

2.1 在dist[n]中求最小值,其下标为k(则v k为正在生成的终点);

2.2 输出dist[j]和path[j];

2.3 修改数组dist和path;

2.4 将顶点v k添加到数组s中;

3.4 最佳访问路线(贪心法)

在解决最佳访问路线问题时,不得不提到TSP问题。所谓的TSP问题就是指旅行

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