高等数学2017年最新课件第一节函数

角的拉力F，要使平行于地面的
分力和物体与地面的摩擦力相等，求拉力F与角
之间的
函数关系.
例7
设北京到某地的行李费按如下规定收费,当行李不超
过50千克时,按基本运费0.30元/千克计算;当超过50千克时,
超过部分按0.45元/千克收费,试求北京到该地的行李费
y (元)与行李量
x (千克)之间的函数关系.
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例2 设
f (x) x2, g(x) 2x,求f [g(x)], g[ f (x)].
例3 分析下列函数的复合过程：
(1)y sin2 x;
(2)y esin . x21
例4 设函数
1x, x 0, 求 f (x) 2x, x 0.
f [ f (3)].
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数 {xx 集 a } 称a 的 为 邻 ,点 域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
N (a ,) { xa x a } .
a
a
a x
点 a的去心 邻的 ,域 记作N(aˆ,).
N(a ˆ,){x0xa}.
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4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量.
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数集分类:
N----自然数集 Q----有理数集
Z----整数集 R----实数集
数集间的关系:
N Z ,Z Q ,Q R .
若 A B ,且 B A ,就称 A 与 B 相 集 .(A等 合 B)
例如 A{1,2},
C{xx23x20},则AC.
不含任何元素的集合称为空集.
) 因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.
例如 y， 1x2 例如y， 1
1x2
D:[1,1] D:(1,1)
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如果自变量在定义域内任取一个数 值时，对应的函数值总是只有一个，这
y
种函数叫做单值函数，否则叫与多值函
数．
W y
(x, y)
o
x
x
例如 x2， y2a2．
注意
常量与变量是相对“过程”而言的.
常量与变量的表示方法：
通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
二、函数的概念
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定 义 设 x 和 y 是 两 个 变 量 , D 是 一 个 给 定 的 数 集 ， 如 果 对 于 每 个 数xD,变 量 y按 照 一 定 法 则 总 有 确 定 的 数 值 和 它 对 应 ， 则 称 y是 x的 函 数 ， 记 作
例如 yarcu s,iun2x2; y arcsin(2 x2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
例如y coxt, y u, u cot v, v x .
2
2
2、初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成 并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.
3l 2
l 2
l 2
3l 2
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五、初等函数
（一）基本初等函数及其图像
1、幂函数
yx (是常)数
y
y x
y x2
1
y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
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2、指数函数
yax (a0 ,a1 ) y e x
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a1)
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y arcsin x
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反余弦y函 ar数 ccxos
y arccos x
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反正切y函 ar数 ctxan
y arctan x
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反余切y 函 arc数 coxt
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
或x0, (x ) x 2 1 , 或x0, (x)x211,
综上所述
ex2,
f
[(x)]
x 2, ex21,
x2 1,
x 1 1 x 0
. 0 x 2
x 2
1x0; x 2;
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六、建立函数关系的实例
例6 已知一物体的质量为
m , 它与地面的摩擦系数为
u,
设有一与水平方向成
y
y f (x)
f ( x1)
f (x2 )
o x
I
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3．函数的奇偶性:
设 D 关于原 , 对 点 x 于 对 D , 有 称 f( x ) f(x ) 称f(x)为偶函 ; 数
y yf(x)
f(x)
f (x)
-x o
x
x
偶函数
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设 D 关于原 , 对 点 于 x对 D , 有 称 f( x ) f(x ) 称f(x)为奇函 ; 数
y f ( x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
当 x 0 D 时 ,称 f(x 0)为函 x 0 处 数的 在 . 函 点
函数值全体组成的数集 W{yy f(x),xD}称为函数的 . 值域
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函数的两要素:
定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
自变量
(
W
y f (x0 )
D
定义: 点C 集 {x (,y)yf(x)x ,D }称为
函y数 f(x)的图 . 形
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在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例,如 f(x) 2 xx 2 1 1,,
x0 x0
yx2 1
y2x1
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例
设 f(x) 1 21 0 x x 2 1,求函 f(x数 3)的定 .
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3、对数函数
y lo a x( g a 0 ,a 1 )y ln x
(1,0)
•
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y log a x
(a1)
y log 1 x
a
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4、三角函数 正弦函数
ysin x
y sin x
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余弦函数
ycoxs
y cos x
y
-x
f(x)
o 奇函数
yf(x)
f (x)
x
x
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4．函数的周期性:
设函f数 (x)的定义D 域, 如为果存在一个不为零的
数 l,使得对 x于 D ,(x 任 l)D 一 .且 f(x l)f(x ) 恒成立. 则称 f(x)为周期函 ,l称 数 f为 (x)的周 . 期
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
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四、函数的特性 1．函数的有界性:
若 X D , M 0 , x X ,有 f ( x ) M 成 , 立
则称f(函 x)在 X 数 上有 .否界 则称 . 无界
y
y
M
M
y=f(x)
x o
有界 X
x0
o
x X 无界
-M
-M
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2．函数的单调性:
设函 f(x)的 数定D ,义 区I域 间 D , 为 如果 I上 对任 于 x 1 及 x 2 意 ,区 当 x 1 两 x 2 间 时 , 点 恒 ( 1 )f 有 (x 1 ) f(x 2 ),
(记作 )
例如, {xxR ,x210}
规定
空集为任何集合的子集.
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2.区间:
是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.
a ,b R ,且 a b . {xaxb} 称为开区间,
记作 (a,b)
oa {xaxb} 称为闭区间,
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oa
b
x
记作 [a,b]
则称函 f(x)在 数区 I上 间是单调 ; 增加的
y
y f (x)
f (x2 )
f ( x1 )
o x
I
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设函 f(x)的 数定D ,义 区I域 间 D , 为
如果 I上 对任 于 x 1 及 x 2 意 ,区 当 x 1 两 x 2 间 时 , 点 恒 ( 2 )f有 (x 1 ) f(x 2 ), 则称函 f(x)在 数区 I上 间是单调 ; 减少的
章函数的极限与连续 节函数
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一、基本概念
1.集合:
具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM,
A { a 1 ,a 2 , ,a n }
有限集
M{xx所具有的}特无征 限集
若 x A ,则 x B 必 ,就 A 是 说 B 的.子集 记作 AB.
b
x
4
{xaxb} 称为半开区间, {xaxb} 称为半开区间,
记作 [a,b)
记作 (a,b]
有限区间
[a,) {xax} (,b ){xxb }
无限区间
oa
x
区间长度的定义:
ob
x
两端点间的距离(线段的长度)称为区பைடு நூலகம்的长度.
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3.邻域: 设 a与 是两个 , 且 实 0.数
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（二）复合函数 初等函数
1、复合函数
设y u, u1x2,
y 1x2
定义:
设函数y f(u)的定义域Df , 而函数
u(x)的值域为Z, 若Df Z , 则称
函数y f[(x)]为x 的复合函数.
x自变量 , u中间变,量y因变量 ,
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注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;
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正切函数
ytaxn
y tan x
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余切函数
ycoxt
y cot x
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正割函数
ysexc
y sec x
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余割函数
ycsxc
y csc x
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5、反三角函数
反正弦 y函 ar数 cxsin
解
f(x) 12
0x1 1x2
f(x3) 121 0 x x 3 3 2 1
12
3x2 2x1
故 Df :[3,1]
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三、函数的表示方法 表示函数的常用方法有三种，分别是公式法、表格法和图示法.
1.公式法 2.图示法 3.表格法 在公式法中，还有分段函数，隐函数和显函数，参数式函数等形式.
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例5
设f(x) ex, x,
x x 1 1,(x) x x2 21,,
x0 ,
x0
求f[(x)].
解
e(x), (x)1 f[(x)]
(x), (x)1
10 当 (x)1时 ,
或x0, (x ) x 2 1 , 或x0, (x)x211,
x1; 0x 2;
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20 当 (x)1时 ,