信号的采样与恢复
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grid
当输入n=10时，所得结果如下：
图3 当n=10时采样后的信号和频谱
当输入n=50时，所得结果如下：
图4 当n=50时采样后的信号和频谱
由抽样定理可知，抽样后的信号频谱是原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓形成的，周期性在上面两个图中都有很好的体现。但是从10点和50点采样后的结果以及与员连续信号频谱对比可以看出，10点对应的频谱出现了频谱混叠而并非原信号频谱的周期延拓。这是因为N取值过小导致采样角频率 ，因此经周期延拓出现了频谱混叠。而N取50时，其采样角频率 ，从而可以实现原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓，并不产生混叠，从而为下一步通过低通滤波器滤出其中的一个周期（即不失真的原连续信号）打下了基础。
若设 是带限信号，带宽为 ， 经过采样后的频谱 就是将 在频率轴上搬移至 处（幅度为原频谱的 倍）。因此，当 时，频谱不发生混叠；而当 时，频谱发生混叠。
一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列 的幅值调制器，即理想采样器的输出信号 ，是连续输入信号 调制在载波 上的结果，如图2所示。
图2 信号的采样
对连续信号y=sin(t)进行抽样并产生其频谱，采样后的信号和频谱如图3、图4所示
MATLAB部分程序为:
n1=input('请输入采样点数n:');
n=0:n1;
zb=size(n);
figure
sinf=sin(8*pi*n/zb(2));
subplot(211);
stem(n,sinf,'.');
[5]方建邦锁相环原理及应用1988
[6]刘彩霞、刘波粒 高频电子线路 科学出版社 2008.7
[7]罗兰锁相环的设计,模拟与应用2003
[8]宋丽梅 李刚 《国外电子元器件》 1999 第6期 - 维普资讯网
[9]陈霞 《电讯技术》 2003 第4期 - 万方数据
[10]黄继江 王彦瑜 《核电子学与探测技术》 2007 第5期 - 维普资讯网
参考文献
[1]David RosemarinAccurately Compute PLL Active-Filter Parameters[外文期刊]2000
[2]张厥盛;张会宁;刑静锁相环频率合成器1997
[3]高码速率锁相FM解调器设计- 电讯技术 - 2002, 42(4)
[4]叶华;骆永健;林镇材数字鉴相稳频的8mm固态源1994(04)
= * = （2.2.3）
2设计内容及步骤
2.1 用MATLAB产生连续信号y=sin(t)和其对应的频谱
设计中用MATLAB产生连续信号y=sin(t)和其对应的频谱验证信号的采样与恢复原理
Y=sin(t)的时域连续信号与频谱如图2所示
图2 Y=sin(t)的时域连续信号与频谱
2.2对连续信号y=sin(t)进行抽样并产生其频谱
致谢
此次实验首先感谢老师的热心耐心指导，老师的热情帮助总能使我们的忙乱的思路得以清晰，而且还时不时对我们的进展提供建议和纠错，并时常鼓励我们，真诚感谢老师！其次也感谢同学的热情帮助，由于自己水平所限，自己经常遇到各种各样的问题，而这些问题又不能经常麻烦老师，但在同学的帮助下也同样得以完美解决，自己才能够按时做完这次实验，也同样真诚感谢他们！
ｎ＝50时恢复后的信号和频谱如图7所示
图7ｎ＝50时恢复后的信号和频谱
经上面的两个图可以看出，采样50点的恢复波形明显比10点的好。但是由于滤波器设计的还有待于改进，所以波形并不是显示的很圆滑，但是已经可以基本达到实验目的，将原输入连续信号恢复。
结束语
经过此次试验，感觉自己确实收获了很多，无论是对知识的理解和应用，还是实验过程中自我的遇到问题解决问题的信心、恒心以及同学间的相互鼓励、支持和帮助。本实验用到的理论知识并不是很多，也很容易理解，理论知识是基础，学以致用才是关键。实验中，MATLAB的使用很重要，一些关于矩阵的基础知识自己应该非常清楚，另外还要学会如何调用、查询MATLAB函数库中的函数，只有自己切实的懂，才会明白如何恰如其分的使用。
grid;
Y=fft(y,512);w=(0:255)/256*500;
subplot(2,1,2);plot(w,abs([Y(1:256)]));
xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');
title('频谱图');
grid;
ｎ＝10时恢复后的信号和频谱如图6所示
图6 n=10时恢复的信号和频谱
学习态度尚好，遵守组织纪律，基本保证设计时间，按期完成各项工作
学习态度尚可，能遵守组织纪律，能按期完成任务
学习马虎，纪律涣散，工作作风不严谨,不能保证设计时间和进度
技术水平与实际能力
25
设计合理、理论分析与计算正确，实验数据准确，有很强的实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力，文献查阅能力强、引用合理、调查调研非常合理、可信
关键词：连续信号、频谱、采样定理、滤波
1连续信号的采样定理
模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理（如图1所示）。时域采样定理从采样信号 恢复原信号 必需满足两个条件：
课程设计指导教师评定成绩表
项目
分值
优秀
(100>x≥90)
良好
(90>x≥80)
中等
(80>x≥70)
及格
(70>x≥60)
不及格(x<60)
评分
参考标准
参考标准
参考标准
参考标准
参考标准
学习态度
15
学习态度认真，科学作风严谨，严格保证设计时间并按任务书中规定的进度开展各项工作
学习态度比较认真，科学作风良好，能按期圆满完成任务书规定的任务
另外，要学会用自己掌握的理论知识对结果进行分析，以实现对程序代码进行不断改进，得出正确的结果。经过此次实验，我认识到，知识只有会用才是真正意义上的学会，只有在不断的遭遇问题与解决问题间自己才能不断的进步，这进一步说明，自己并不能单纯的学习理论知识，应该加强实践，只有这样自己的专业能力才会有质的提高。此次实验中，同学间的相互帮助也让自己受益颇多，同时也认识到，应该怎么与别人更好协作。
(1) 必须是带限信号，其频谱函数在 ＞ 各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。
(2)取样频率不能过低，必须 ＞2 （或 ＞2 ）。（对取样频率的要求，即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）如果采样频率 大于或等于 ，即 （ 为连续信号 的有限频谱），则采样离散信号 能无失真地恢复到原来的连续信号 。一个频谱在区间（- ， ）以外为零的频带有限信号 ，可唯一地由其在均匀间隔 （ ＜ ）上的样点值 所确定。根据时域与频域的对称性，可以由时域采样定理直接推出频域采样定理。一个时间受限信号 ，它集中在（ ）的时间范围内，则该信号的频谱 在频域中以间隔为 的冲激序列进行采样，采样后的频谱 可以惟一表示原信号的条件为重复周期 ，或频域间隔 （其中 ）。采样信号 的频谱是原信号频谱 的周期性重复，它每隔 重复出现一次。当 ＞2 时，不会出现混叠现象，原信号的频谱的形状不会发生变化，从而能从采样信号 中恢复原信号 。（注： ＞2 的含义是：采样频率大于等于信号最高频率的2倍；这里的“不混叠”意味着信号频谱没有被破坏，也就为后面恢复原信号提供了可能！）
信号的采样与恢复
摘要：通过产生一个连续时间信号并生成其频谱，然后对该连续信号抽样，并对采样后的频谱进行分析，最后通过设计低通滤波器滤出抽样所得频谱中多个周期中的一个周期频谱，并显示恢复后的时域连续信号。实验中，原连续信号的频谱由于无法实现真正的连续，所以通过扩大采样点的数目来代替，理论上当采样点数无穷多的时候即可实现连续，基于此尽可能增加采样点数并以此来产生连续信号的频谱。信号采样过程中，通过采样点的不同控制采样频率实现大于或小于二倍最高连续信号的频率，从而可以很好的验证采样定理。信号恢复，滤波器的参数需要很好的设置，以实现将抽样后的信号进行滤波恢复原连续信号。
(a)
(b)
(c)
图1 抽样定理
a)等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）
b)高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）
c)低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）
1.1信号采样
如图1所示，给出了信号采样原理图
信号采样原理图（a）
由图1可见， ，其中，冲激采样信号 的表达式为：
其傅立叶变换为 ，其中 。设 ， 分别为 ， 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得
结构合理，层次较为分明，文理通顺，基本达到规范化要求，书写比较工整；图纸比较工整、清晰
结构基本合理，逻辑基本清楚，文字尚通顺，勉强达到规范化要求；图纸比较工整
内容空泛，结构混乱，文字表达不清，错别字较多，达不到规范化要求；图纸不工整或不清晰
指导教师评定成绩：
指导教师签名：年月日
创新
10
有重大改进或独特见解，有一定实用价值
有较大改进或新颖的见解，实用性尚可
有一定改进或新的见解
有一定见解
观念陈旧
论文(计算书、图纸)撰写质量
50
结构严谨，逻辑性强，层次清晰，语言准确，文字流畅，完全符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸非常工整、清晰
结构合理，符合逻辑，文章层次分明，语言准确，文字流畅，符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸工整、清晰
用数学表达式描述上述调制过程，则有
理想单位脉冲序列 可以表示为
其中 是出现在时刻 ，强度为1的单位脉冲。由于 的
数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设
所以 又可表示为
1.2信号的恢复
可用传输函数 的理想低通滤波器不失真地将原模拟信号 恢复出来，只是一种理想恢复。
因为
（2.2.2）
理想低通滤波器的输入输出 和 ，
title('低通滤波器');
grid;
低通滤波器的频谱图如图5所示
图5 低通滤波器的频谱图
figure
y=filter(B,A,sinf);
subplot(2('t');ylabel('x(t)');
title('恢复后的连续信号y=sin(t)');
xlabel('n');ylabel('x(n)');
title('采样后的时域信号y=x(n)’);
w=0:(pi/100):4*pi;
subplot(212)
plot(w,fft1(w,sinf,n));
xlabel('w');ylabel('x(w)');
title('采样后的频域信号y=FT（sin(n)）');
2.3通过低通滤波恢复原连续信号
经低通滤波恢复原信号MATLAB部分程序如下：
[B,A]=butter(8,350/500);
[H,w]=freqz(B,A,512,2000);
figure;
plot(w*2000/(2*pi),abs(H));
xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');
设计合理、理论分析与计算正确，实验数据比较准确，有较强的实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力，文献引用、调查调研比较合理、可信
设计合理，理论分析与计算基本正确，实验数据比较准确，有一定的实际动手能力，主要文献引用、调查调研比较可信
设计基本合理，理论分析与计算无大错，实验数据无大错
设计不合理，理论分析与计算有原则错误，实验数据不可靠，实际动手能力差，文献引用、调查调研有较大的问题
当输入n=10时，所得结果如下：
图3 当n=10时采样后的信号和频谱
当输入n=50时，所得结果如下：
图4 当n=50时采样后的信号和频谱
由抽样定理可知，抽样后的信号频谱是原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓形成的，周期性在上面两个图中都有很好的体现。但是从10点和50点采样后的结果以及与员连续信号频谱对比可以看出，10点对应的频谱出现了频谱混叠而并非原信号频谱的周期延拓。这是因为N取值过小导致采样角频率 ，因此经周期延拓出现了频谱混叠。而N取50时，其采样角频率 ，从而可以实现原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓，并不产生混叠，从而为下一步通过低通滤波器滤出其中的一个周期（即不失真的原连续信号）打下了基础。
若设 是带限信号，带宽为 ， 经过采样后的频谱 就是将 在频率轴上搬移至 处（幅度为原频谱的 倍）。因此，当 时，频谱不发生混叠；而当 时，频谱发生混叠。
一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列 的幅值调制器，即理想采样器的输出信号 ，是连续输入信号 调制在载波 上的结果，如图2所示。
图2 信号的采样
对连续信号y=sin(t)进行抽样并产生其频谱，采样后的信号和频谱如图3、图4所示
MATLAB部分程序为:
n1=input('请输入采样点数n:');
n=0:n1;
zb=size(n);
figure
sinf=sin(8*pi*n/zb(2));
subplot(211);
stem(n,sinf,'.');
[5]方建邦锁相环原理及应用1988
[6]刘彩霞、刘波粒 高频电子线路 科学出版社 2008.7
[7]罗兰锁相环的设计,模拟与应用2003
[8]宋丽梅 李刚 《国外电子元器件》 1999 第6期 - 维普资讯网
[9]陈霞 《电讯技术》 2003 第4期 - 万方数据
[10]黄继江 王彦瑜 《核电子学与探测技术》 2007 第5期 - 维普资讯网
参考文献
[1]David RosemarinAccurately Compute PLL Active-Filter Parameters[外文期刊]2000
[2]张厥盛;张会宁;刑静锁相环频率合成器1997
[3]高码速率锁相FM解调器设计- 电讯技术 - 2002, 42(4)
[4]叶华;骆永健;林镇材数字鉴相稳频的8mm固态源1994(04)
= * = （2.2.3）
2设计内容及步骤
2.1 用MATLAB产生连续信号y=sin(t)和其对应的频谱
设计中用MATLAB产生连续信号y=sin(t)和其对应的频谱验证信号的采样与恢复原理
Y=sin(t)的时域连续信号与频谱如图2所示
图2 Y=sin(t)的时域连续信号与频谱
2.2对连续信号y=sin(t)进行抽样并产生其频谱
致谢
此次实验首先感谢老师的热心耐心指导，老师的热情帮助总能使我们的忙乱的思路得以清晰，而且还时不时对我们的进展提供建议和纠错，并时常鼓励我们，真诚感谢老师！其次也感谢同学的热情帮助，由于自己水平所限，自己经常遇到各种各样的问题，而这些问题又不能经常麻烦老师，但在同学的帮助下也同样得以完美解决，自己才能够按时做完这次实验，也同样真诚感谢他们！
ｎ＝50时恢复后的信号和频谱如图7所示
图7ｎ＝50时恢复后的信号和频谱
经上面的两个图可以看出，采样50点的恢复波形明显比10点的好。但是由于滤波器设计的还有待于改进，所以波形并不是显示的很圆滑，但是已经可以基本达到实验目的，将原输入连续信号恢复。
结束语
经过此次试验，感觉自己确实收获了很多，无论是对知识的理解和应用，还是实验过程中自我的遇到问题解决问题的信心、恒心以及同学间的相互鼓励、支持和帮助。本实验用到的理论知识并不是很多，也很容易理解，理论知识是基础，学以致用才是关键。实验中，MATLAB的使用很重要，一些关于矩阵的基础知识自己应该非常清楚，另外还要学会如何调用、查询MATLAB函数库中的函数，只有自己切实的懂，才会明白如何恰如其分的使用。
grid;
Y=fft(y,512);w=(0:255)/256*500;
subplot(2,1,2);plot(w,abs([Y(1:256)]));
xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');
title('频谱图');
grid;
ｎ＝10时恢复后的信号和频谱如图6所示
图6 n=10时恢复的信号和频谱
学习态度尚好，遵守组织纪律，基本保证设计时间，按期完成各项工作
学习态度尚可，能遵守组织纪律，能按期完成任务
学习马虎，纪律涣散，工作作风不严谨,不能保证设计时间和进度
技术水平与实际能力
25
设计合理、理论分析与计算正确，实验数据准确，有很强的实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力，文献查阅能力强、引用合理、调查调研非常合理、可信
关键词：连续信号、频谱、采样定理、滤波
1连续信号的采样定理
模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理（如图1所示）。时域采样定理从采样信号 恢复原信号 必需满足两个条件：
课程设计指导教师评定成绩表
项目
分值
优秀
(100>x≥90)
良好
(90>x≥80)
中等
(80>x≥70)
及格
(70>x≥60)
不及格(x<60)
评分
参考标准
参考标准
参考标准
参考标准
参考标准
学习态度
15
学习态度认真，科学作风严谨，严格保证设计时间并按任务书中规定的进度开展各项工作
学习态度比较认真，科学作风良好，能按期圆满完成任务书规定的任务
另外，要学会用自己掌握的理论知识对结果进行分析，以实现对程序代码进行不断改进，得出正确的结果。经过此次实验，我认识到，知识只有会用才是真正意义上的学会，只有在不断的遭遇问题与解决问题间自己才能不断的进步，这进一步说明，自己并不能单纯的学习理论知识，应该加强实践，只有这样自己的专业能力才会有质的提高。此次实验中，同学间的相互帮助也让自己受益颇多，同时也认识到，应该怎么与别人更好协作。
(1) 必须是带限信号，其频谱函数在 ＞ 各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。
(2)取样频率不能过低，必须 ＞2 （或 ＞2 ）。（对取样频率的要求，即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）如果采样频率 大于或等于 ，即 （ 为连续信号 的有限频谱），则采样离散信号 能无失真地恢复到原来的连续信号 。一个频谱在区间（- ， ）以外为零的频带有限信号 ，可唯一地由其在均匀间隔 （ ＜ ）上的样点值 所确定。根据时域与频域的对称性，可以由时域采样定理直接推出频域采样定理。一个时间受限信号 ，它集中在（ ）的时间范围内，则该信号的频谱 在频域中以间隔为 的冲激序列进行采样，采样后的频谱 可以惟一表示原信号的条件为重复周期 ，或频域间隔 （其中 ）。采样信号 的频谱是原信号频谱 的周期性重复，它每隔 重复出现一次。当 ＞2 时，不会出现混叠现象，原信号的频谱的形状不会发生变化，从而能从采样信号 中恢复原信号 。（注： ＞2 的含义是：采样频率大于等于信号最高频率的2倍；这里的“不混叠”意味着信号频谱没有被破坏，也就为后面恢复原信号提供了可能！）
信号的采样与恢复
摘要：通过产生一个连续时间信号并生成其频谱，然后对该连续信号抽样，并对采样后的频谱进行分析，最后通过设计低通滤波器滤出抽样所得频谱中多个周期中的一个周期频谱，并显示恢复后的时域连续信号。实验中，原连续信号的频谱由于无法实现真正的连续，所以通过扩大采样点的数目来代替，理论上当采样点数无穷多的时候即可实现连续，基于此尽可能增加采样点数并以此来产生连续信号的频谱。信号采样过程中，通过采样点的不同控制采样频率实现大于或小于二倍最高连续信号的频率，从而可以很好的验证采样定理。信号恢复，滤波器的参数需要很好的设置，以实现将抽样后的信号进行滤波恢复原连续信号。
(a)
(b)
(c)
图1 抽样定理
a)等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）
b)高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）
c)低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）
1.1信号采样
如图1所示，给出了信号采样原理图
信号采样原理图（a）
由图1可见， ，其中，冲激采样信号 的表达式为：
其傅立叶变换为 ，其中 。设 ， 分别为 ， 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得
结构合理，层次较为分明，文理通顺，基本达到规范化要求，书写比较工整；图纸比较工整、清晰
结构基本合理，逻辑基本清楚，文字尚通顺，勉强达到规范化要求；图纸比较工整
内容空泛，结构混乱，文字表达不清，错别字较多，达不到规范化要求；图纸不工整或不清晰
指导教师评定成绩：
指导教师签名：年月日
创新
10
有重大改进或独特见解，有一定实用价值
有较大改进或新颖的见解，实用性尚可
有一定改进或新的见解
有一定见解
观念陈旧
论文(计算书、图纸)撰写质量
50
结构严谨，逻辑性强，层次清晰，语言准确，文字流畅，完全符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸非常工整、清晰
结构合理，符合逻辑，文章层次分明，语言准确，文字流畅，符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸工整、清晰
用数学表达式描述上述调制过程，则有
理想单位脉冲序列 可以表示为
其中 是出现在时刻 ，强度为1的单位脉冲。由于 的
数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设
所以 又可表示为
1.2信号的恢复
可用传输函数 的理想低通滤波器不失真地将原模拟信号 恢复出来，只是一种理想恢复。
因为
（2.2.2）
理想低通滤波器的输入输出 和 ，
title('低通滤波器');
grid;
低通滤波器的频谱图如图5所示
图5 低通滤波器的频谱图
figure
y=filter(B,A,sinf);
subplot(2('t');ylabel('x(t)');
title('恢复后的连续信号y=sin(t)');
xlabel('n');ylabel('x(n)');
title('采样后的时域信号y=x(n)’);
w=0:(pi/100):4*pi;
subplot(212)
plot(w,fft1(w,sinf,n));
xlabel('w');ylabel('x(w)');
title('采样后的频域信号y=FT（sin(n)）');
2.3通过低通滤波恢复原连续信号
经低通滤波恢复原信号MATLAB部分程序如下：
[B,A]=butter(8,350/500);
[H,w]=freqz(B,A,512,2000);
figure;
plot(w*2000/(2*pi),abs(H));
xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');
设计合理、理论分析与计算正确，实验数据比较准确，有较强的实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力，文献引用、调查调研比较合理、可信
设计合理，理论分析与计算基本正确，实验数据比较准确，有一定的实际动手能力，主要文献引用、调查调研比较可信
设计基本合理，理论分析与计算无大错，实验数据无大错
设计不合理，理论分析与计算有原则错误，实验数据不可靠，实际动手能力差，文献引用、调查调研有较大的问题