沪科版 全等三角形归类复习学习资料

全等三角形归纳复习

常见辅助线的作法有以下几种：

（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维

模式是全等变换中的“对折”．

（2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三

角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思

维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理

或逆定理．

（4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全

等变换中的“平移”或“翻转折叠”

（5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，

或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以

说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的

线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

顺口溜：

人人都说几何难，难就难在辅助线；辅助线，如何添？构造全等很关键.

图中有角平分线，可向两边作垂线；三角形中有中线，延长中线造全等；

角平分线加平行，构造等腰三角形；角平分线加垂线，三线合一试试看；

线段垂直平分线，常向两端把线连；还要刻苦加钻研，找出规律凭经验.

一、倍长中线法

A

BCD．

A

BC D

边中线AD是BC△ABC中，

BE. ，连接，使DE=AD 延长AD到E1 方式：

A A

M F DC C B BD N E

：间接倍长方式2MD到N，使DN=MD，连接延长的延长线于，作AD于FBE⊥ADE， CN. ⊥作CF连接BE.

例1、已知：如图，△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围.

A BCD

例2、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：AF=EF.

A FEBCD

F. 、E、AC于点ADB为△ABC的中线，∠和∠ADC的平分线分别交ABAD例3、如图所示， MF.，）M，使DM=DE，连接 CMEDBE+CF求证：＞EF.（提示：延长至

DF=EF.，且于点交的延长线上，在上，在，中，、已知在△例4ABCAB=ACDABEACDEBCFBD=CE.

求证：

，于点交AEF过DE=EC，D作DF∥BA上，、≠在△练习1、如图，ABC中，ABAC，DE在BC且BAC. 求证：AE平分∠DF=AC.

2AD.

AB＋AC＞的中线，求证：、如图，练习2AD为△ABC

BAE.

平分∠ADDCEBD=DC=ACABC3练习、如图，△中，，是的中点，求证：AECDB

二、借助角平分线造全等

例1、已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.

求证：∠BAD+∠BCD=180°.

OE=OD. 求证：相交于点O，CEB=60°，△ABC的角平分线AD、∠如图，例2、已知在△ABC中，

A

EO

BCD

.）（有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥中，△、已知：如图所示，在例3RtABCAB=ACBD的延长于 E.求证：BD=2CE.

三、截长补短

例1、如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC.

AD+BC.

＝E，求证：AB，EB分别平分∠DAB，∠CBACD过点，、如图，例2AD∥BCEA，

的ABCBAC的平分线，且AC=AB+BD，求∠°，、如图，在△练习1ABC中，∠BAC=60AD是∠. 度数

AC=AE+CD.

，求证：ACB、∠BAC分别平分∠CE、AD°，ABC=60中，∠ABC、如图，在△2练习．

.

四、连接已知点，构造全等三角形D.

∠求证：∠A=O相交于点，且AB=DC，AC=BD.AC例、已知：如图所示，、BD

五、取线段中点构造全等三角形DCB.

求证：∠ABC=∠∠例、已知：如图所示，AB=DC，∠A=D.

六、证明线段不等关系AB+AC>AD+AE.

，求证：BD=CE，且E、D的边上取两点ABC如图，在△例、．

AEDBC

七、旋转. EAF的度数CD上的一点，BE+DF=EF，求∠F1例、正方形ABCD中，E为BC上的一点，为AD

F

CBE

1)?ABAD?AE(,⊥作过BADACABCD如图，2例、在四边形中，平分∠，CCEAB并且，于E2. ABC+求∠∠的度数ADC

八、直角三角形的全等问题

[知识]：①直角三角形特有的HL判定定理；②SAS、AAS、ASA、SSS(转化为HL)也是完全适用直角三角形的，不要忘记；③同(等)角的余角相等应用非常广泛(重点).

例1、如图，已知DO⊥BC，OC=OA，OB=OD，求证：△BCE是直角三角形.

的延长线AD、AD，°角的直角三角板如图放置，点45D在BC上，连结BE例2、把两个含有 BE．AF 于点F．求证：⊥BE交

ACDBHDAD=BD.HBEADABC3例、如图，在△中，高与相交于点，且问△≌△？

九、等腰三角形、等边三角形的全等问题

[知识]：①等腰三角形腰相等且底角相等，等边三角形三边相等

且三个底角都是60度，即“等边对等角，等角对等边”；

②如右图，由∠1=∠2，可得∠CBE=∠DBA；反之也成立.

例、如图1、2、3，过点A分别作两个个大小不一样的等边三角形，连接BD，CE.求证BD=CE.