新人教版八年级数学下册期中知识点汇总

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二次根式的知识点汇总

知识点一： 二次根式的概念

形如

（

）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是

为二次根式的前提条件，如

，

，

等是二次根式，而

，

等都不是

二次根式。

例1

（x>0）

、

x ≥0，y•

≥0）．

”；第二，被开

方数是正数或0． 知识点二：取值范围

1

、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，

有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，

没有意义。

例2．当x 在实数范围内有意义？

例3．当x 在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式（）的非负性

1

x 1

x y

+1

1

x +

（

）表示a 的算术平方根，也就是说，

（）是一个非负

数，即

0（

）。 注：因为二次根式（

）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正

数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即

（

），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类

似。这个性质在解答题目时应用较多，如若

，则a=0,b=0；若

，则a=0,b=0；若

，则a=0,b=0。

例4(1)已知

，求的值．(2)若

，求a 2004+b 2004的值 知识点四：二次根式（

）的性质

（

）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式

（

）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：

，.

例1 .计算

1．2 2．

（2 3．2 4．（）2

例2.在实数范围内分解下列因式:

（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3

x

y

2

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简

时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或

0，则等于a 本身，

即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即；

2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，

一定有意义；

3、化简时，先将它化成

，再根据绝对值的意义来进行化简。

例1 化简

（1

（2

（3

（4

例2 填空：当a ≥0

；当a<0

，•并根据这一性质回答下列问题．

（1），则

a 可以是什么数？（2）

，则a 是什么数？ （3

）

，则a 是什么数？

例3 当x>2

知识点六：与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平

方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在

中

，

而

中a 可以是正实数，0，负实数。但与

都是非负数，即

，

。因而它的运算的结果是有差别的，

，

而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，

=

；

时，

无意义，而

.

知识点七：二次根式的乘除

1、

＝（a ≥0，b ≥0）

=

·（a ≥0，b ≥0）

2

=（a ≥0，b>0）

=（a ≥0，b>0） （思考：b 的取值与a 相同吗？为什么？不相同，因为b 在分母，所以不能为0） 例1．计算

（1）

（2

（3

（4

例2

化简

（1（2

（3

（4

例3

．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1

=

（2

=4

例4．计算：（

1

（2）

（3

（4

例5．化简：

（1（2

（3）（4

例6

x为偶数，求（1+x）的值．

3、最简二次根式应满足的条件：

（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；

（2

）被开方数中不含开得尽方的因数或因式

（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）

例

1．把下列二次根式化为最简二次根式(1)

; (3)

4、化简最简二次根式的方法：

(1) 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式；

(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；

(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来．（此步需要特别注意的

=