九年级数学函数的综合运用复习

函数的综合运用

知识考点：

会综合运用函数、方程、几何等知识解决与函数有关的综合题以及函数应用问题。 精典例题：

【例1】如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A 、B 两点，与y

轴交于C 点，与x 轴交于D 点，OB ＝

10

，tan ∠DOB ＝

3

1

。 （1）求反比例函数的解析式；

（2）设点A 的横坐标为m ，△ABO 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式；并写出自变量m 的取值范围。

（3）当△OCD 的面积等于2S 时，试判断过A 、B 两点的抛物线在x 轴

上截得的线段长能否等于3？如果能，求出此时抛物线的解析式；

请说明理由。

解析：（1）x

y 3

=

（2）A （m ，

m 3），直线AB ：m

m

x m y -+

=

31D （3-m ，0）

)3

1(321m

m S S S ADO

BDO +⋅-=+=∆∆ 易得：30<

m S 292-=

（30<

（3）由2

S S OCD

=

∆有

m

m m m 29212)3(2

2-⋅

=-，解得11=m ，32=m （舍去） ∴A （1，3），过A 、B 两点的抛物线的解析式为a x a ax y 32)21(2-+++=，设抛物线与x 轴

两交点的横坐标为1x 、2x ，则a

a

x x 2121

+-

=+，a

a

x x 322

1-=

若

321=-x x 有9324212

=-⨯

-⎪⎭

⎫

⎝⎛+-a a a a 整理得01472

=+-a a ，由于△＝－12＜0方程无实根

故过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长不能等于3。

评注：解此题要善于利用反比例函数、一次函数、二次函数以及三角形面积等知识，并注意挖掘问

题中的隐含条件。

【例2】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润； （2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为

y 元，求y 与x 之间的函数关系式（不必写出自变量

x 的取值范围）；

（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

例1图

（4）商店要想月销售利润最大，销售单价应定为多少元？最大月销售利润是多少？ 解析：（1）[]675010)5055(500)4055(=⨯--⨯-（元）

（2）

[]10)50(500)40(⨯---=x x y 40000

1400102-+-=x x （3）当8000=y 时，801=x ，602=x （舍去）

（4）

9000

)70(102+--=x y ，销售单价定为70元时，月销售利润最大为9000元。

评注：本题是一道实际生活中经济效益的决策性应用问题，解答时要认真审题，从实际问题中建立

二次函数的解析式，然后应用其性质求解。 探索与创新：

【问题】如图，A （－8，0），B （2，0），以AB 的中点P 为圆心，AB 为直径作⊙P 与y 轴的负半轴

交于点C 。

（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）设M 为（1）中抛物线的顶点，求顶点M 的坐标和直线MC 的解析式；

（3）判定（2）中的直线MC 与⊙P 的位置关系，并说明理由； （4）过原点O 作直线BC 的平行线OG ，与（2）中的直线MC 交于点G ，连结AG ，求出G 点的坐标，并证明AG ⊥MC 。

解析：（1）OB OA OC

⋅=2

，42

3

412-+=

x x y ；

（2）M （－3，425），直线MC ：44

3

-=x y

（3）直线MC 交x 轴于N （3

16，0），易证2

22PN CN PC =+，直线MC 与⊙P 相切；

（4）直线BC ：42-=x y ，直线OG ：x y 2=，由⎪⎩

⎪

⎨⎧-==443

2x y x y 解得： G （5

16

-

，532-），∵BC ∥OG ，∴GN ON CN BN =，易证△NBC ∽△NGA ，有NA CN CN BN =

∴NA

CN GN ON =，又∠CNO ＝∠ANG ，∴△NOC ∽△NGA ，∴∠AGN ＝∠CON ＝900，故AG ⊥MC 。 评注：这是一道代数、几何横向联系的综合开放题，解这类问题的关键是运用数形结合的思想方法，从数量关系与图形特征两个方面入手来解决。 跟踪训练： 一、选择题： 1、若抛物线

1222+++-=m m mx x y 的顶点在第二象限，则常数m 的取值范围是（ ）

A 、1-m

B 、01<<-m

C 、21<<-m

D 、0>m

2、抛物线

c bx ax y ++=2（a ＞0）与y 轴交于P ，与x 轴交于A （1x ，0），B （2x ，0）两点，且

问题图