量子力学2012复习题

量子力学2012复习题

一、 简答题：

1. 试简述Bohr 的量子理论。

2. 试给出测不准关系的数学表达式，并说明其意义。

3. 简述量子力学的态叠加原理及其与测量概率的关系。

4. 写出在任意态|ψ〉下测量力学量F 所得平均值的一般表达式。

5. 设粒子在势场V (r )中运动，写出相应的含时薛定谔方程和定态薛定谔方程；或给定态函

数求势能表达式。

6. 简述束缚态、非束缚态及相应能级的特点。

7. 在坐标表象中写出自由粒子哈密顿量的表达式及其本征波函数，指出其本征值及其特征。 8. 下列函数哪些函数是算符

2

2dx

d 的本征函数，其本征值是什么？

①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +

9. 简述一维谐振子粒子数表象的意义，并在该表象中写出谐振子的哈密顿量表达式和相应

的本征态、本征值和本征方程。对三维谐振子，情况又怎样？ 10. 力学量F 的平均值随时间变化满足

d 1[,]d F F F H t

i t

∂=

+

∂

，由此可得出力学量F 为守恒量

的条件，试写出相应条件。

11. 简述量子力学表象变换的意义、幺正变换矩阵满足的条件及幺正变换的特征。 12. 全同粒子有何特点？对波函数有什么要求？

13. 中心力场中粒子处于定态，试讨论轨道角动量是否有确定值。 14. 写出中心力场中粒子的所有守恒量。

15. 力学量完全集2(,)z L L 的共同本征函数是什么？写出相应的本征值及本征方程。 16. 写出氢原子哈密顿算符的本征值（能级）和本证态，简要描述各量子数的意义。 17. 简要描述自旋算符与泡利矩阵的关系以及泡利矩阵的对应关系；在z σ表象中写出泡利矩

阵,,z x y σσσ的具体表示。

18. 简述微扰论的基本思想，写出非简并微扰论的能量公式（至二级修正）及波函数（至一

级修正），并能计算相关问题。

19. 简述变分法的基本思想及选取试探波函数的一般原则。

20. 写出一维谐振子升降算符对粒子数本征态的作用结果，并用粒子数本征态的相干叠加表

示湮灭算符a 的本证态，即相干态。

二、 填空题

1. 算符A

ˆ和B ˆ的对易关系[]=B A ˆ,ˆ_____________；测不准关系≥∆⋅∆B A ________________。 2. 自由粒子的质量为m ，能量为E ，其德布罗意波长为_________________(不考虑相对论效

应)

3. 写出一个证明光的粒子性的实验__________________________；写出一个证明电子具有自

旋的实验__________________________。

4. 一维谐振子处于其能量本征态n ψ，则其动能的平均值为__________________；势能的平

均值为___________________。

5. 根据氢原子的能级公式，写出电子偶素(e +-e -

束缚体系)的能谱_____________________。 6. 二维各向同性谐振子的能级为________________，其简并度为_____________________。 7. 两个自旋为1/2的电子偶合后，其总自旋角动量量子数为____________；相应的简并度

分别为__________________和_________________。

8. 设一体系含有两个粒子，每个粒子可处在两个单粒子态1ϕ和2ϕ中的任何一个，则体系可

能的状态数目是: (1)两个全同Bose 子__________； (2)两个全同Fermi 子_________； (3)两个不同粒子________________。

9. 在动量表象中，动量的本征态为_____________；坐标的本征态为________________。 10.若电子的状态用旋量波函数

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=)2/,()2/,(),(

r r s r z ψψψ描述，则2

)

2/,(

r ψ表示

__________________________；2

)2/,(

-r ψ表示______________________________。 11.在球坐标中，粒子的波函数为),,(ϕθψr ，则在球壳()dr r r +,中找到粒子的概率是

_______________；在()ϕθ,方向的立体角Ωd 中找到粒子的概率是____________________。 12.在动量表象中，位置算符x

的本征态是_______________；动量的本征态是

___________________。

13.设粒子处在状态2211ψψψc c +=（设ψ已经归一化），式中1c 和2c 的物理意义是：

__________________________________________________________。 14.粒子在一维无限深势阱中运动，设)0(sin

)(a x a

x

A x ≤≤=ψπ，则该波函数的归一化常数为

__________________。

15.在0K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏特，则其德布罗意波长为_____________。 16.正常Zeeman 效应是指：___________________________________________。

17.三维各向同性谐振子能级N E 的简并度为：____________________；氢原子能级n E （n 为

主量子数）的简并度为：____________________ 。

18.设有两个全同粒子组成的体系，一个处在1

k ϕ态，另一个处在2

k ϕ态。若这两个粒子是Bose

子，则体系对称化的波函数为：_________________________；若这两个粒子是Femi 子，则体系反对称化的波函数为：_________________________________________。 19.电子的内禀磁矩与自旋之比为：______ ___；轨道磁矩与轨道角动量之比为：

___________。

20.证明电子具有自旋的实验是：__________________________________实验。 21.定态是_________________________________________________________。 22.守恒量是_______________________________________________________。 23.正常Zeeman 效应是指：___________________________________________。

24.物质波的波长λ和频率ν与其动量p 和能量E 的关系为：(1)______________；

(2)_______________________。

25.波函数的统计诠释要求波函数应该:______________；_______________；

_________________。

26.写出下列表达式的物理意义（1）23132

),(r d r d 21r r ψ________________________________；

（2）2

20

2),,(sin ϕθψϕθθπ

π

r d d dr r ⎰⎰____________________________________________。

27.设在0=t 时刻粒子处在某一能量本征态)(r E ψ，则在t 时刻粒子所处状态的波函数为

_________________________________________________。

28.Bohr 的角动量量子化条件是___________________________________。

29.角动量z 分量ϕ

∂∂

-= i l z 的归一化的本征函数为：_______________________________；

本征值为____________________________。

三、 证明题

1. 证明:[]z y x L i L L =,

2. 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。