旋转体的体积
绕x轴y轴旋转体积的积分公式
绕x轴y轴旋转体积的积分公式
绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a，b]f(x)^2dx。
一条平面曲线绕着所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。
绕y轴旋转体积公式：V=π∫[a，b]φ(y)^2dy。
绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx,其中y'^2是y对x的导数的平方，()^0.5是开平方。
绕x轴旋转得到的旋转体体积为0.5π^2，绕y轴旋转得到的旋转体体积为2π^2。
1、绕x轴旋转时，微体积dV = πy^2dx，或者：dV = π(sinx)^2dx，将dV在0到π之间对x做定积分。
得到：V = ∫π(sinx)^2dx (在0到π区间积分) = ∫π(1-cos2x)/2dx (在0到π区间积分) = 0.5π^2。
即，给定函数，绕x轴旋转得到的旋转体体积为0.5π^2。
2、绕y轴旋转时，微体积dV = π(2x)ydx，或者：dV = 2πxsinxdx，将dV在0到π之间对x做定积分。
得到：V = ∫2πxsinxdx(在0到π区间积分) =2π∫xsinxdx (在0到π区间积分) = 2π^2。
即，给定函数，绕y轴旋转得到的旋转体体积为2π^2。
一般定理
定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
定积分的应用——求旋转体的体积
直线 = 、 = 及 轴围成的曲边梯
形绕 轴旋转一周而成的立体的体积.
如图示，取 为积分变量， ∈ , ，相应于 , 上的任一小区间
, + 的窄曲边梯形绕 轴旋转而成的薄片的体积近似等于以 = ()
轴围成的曲边梯形，绕 轴旋转一周而成的旋转体（如图示）的体积为：
B
= ()
= න = න [()]
例1 求抛物线 = 与直线 = 及 轴所围成的平面图形分别绕 轴和
轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
解 （1）如图所示，平面绕 轴旋转
4、利用定积分进行体积计算.
（ 点的纵坐标 ）为底半径、 为高的圆柱体的体积，
= ()
体积微元为
+ 源自 = = [ ]
所求旋转体的体积 为： =
=
[
]
用上述类似地方法可以推出：由连续曲线 = ()、直线 = , = 与
立体. 这直线叫做旋转轴.
旋转体的特点：任何一个垂直于旋转轴的平面，截旋转体所得的截口图形
均为圆.
如圆柱、圆锥、圆台它们都是旋转体.如下图示:
可选取适当的坐标系，使旋转轴为 轴或 轴. 最基本的情形是曲边梯形绕
轴或 轴旋转.
2、旋转体的体积公式
= ()
（1）旋转轴为 轴
定积分的应用
----------------求旋转体的体积
参数方程旋转体体积公式
参数方程旋转体体积公式参数方程的旋转体体积：x＝x(θ)y＝y(θ)-π≤θ≤π。
y(x)是不等于ψ(t)的！y(x)应该等于ψ[t(x)]，这里t=t(x)是x=φ(t)的反函数。
例如求旋转体体积时的表达式πy^2*dx=π{ψ[t(x)]}^2*dx=π{ψ[t(φ(t))]}^2*dφ(t)=π[ψ(t)]^2*φ'(t)*dtt(φ(t))=t—旋转体的体积公式：v=(α+β+γ)。
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体；旋转体表面积的公式S=∫2πf(x)*(1+y²)dx，体积公式为Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。
在x轴上取x→x+△x【△x→0】区域，该区域绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积，即表面积积分元。
等于以f(x)为半径的圆周周长×弧线长度，即它可以看做是沿x轴方向上，将△x宽度的圆环带剪断，得到一个以圆环带周长为长，宽为x→x+△x弧线长度的矩形的面积。
以f(x)为半径的圆周长=2πf(x)，对应的弧线长=√(1+y^2)△x，故此，其面积=2πf(x)*√(1+y^2)△x这个问题就得到表面积积分元，故此表面积为∫2πf(x)*(1+y^2)dx体积，几何学专业术语。
当物体占据的空间是三维空间时，所占空间的大小叫做该物体的体积。
体积的国际单位制是立方米。
一维空间物件（如线）及二维空间物件（如正方形）都是零体积的。
x^2/a^2+y^2/b^2=1 绕x轴旋转： y^2=b^2(1-x^2/a^2) V=∫-a,a π·y^2 dx =π·b^2 ∫-a,a (1-x^2/a^2) dx =π·4/3·a·b^2 ---- 绕y轴旋转： x^2=a^2(1-y^2/b^2) V=∫-b,b π·x^2 dy =πa^2 ∫-b,b (1-y^2/b^2)dy， =π·4/3·a^2·旋转体表面积的公式S=∫2πf(x)*(1+y'²)dx，体积公式为Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。
旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式
标题：旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式概述旋转体体积公式是数学中的重要概念，它用于计算由曲线或曲面旋转产生的立体图形的体积。
在这篇文章中，我们将重点讨论旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的具体公式及推导过程。
一、绕x轴旋转体积公式当曲线y=f(x)在x轴的区间[a,b]上绕x轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vx可由以下公式计算：Vx = π∫[a,b] f(x)² dx其中，π为圆周率。
推导过程：为了推导该公式，我们可以将曲线y=f(x)绕x轴旋转一周后，得到不同x处的截面面积πf(x)²。
然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。
举例说明：假设我们有曲线y=x²，要计算其在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据公式，我们可以得到Vx = π∫[0,1] x^4 dx = π/5二、绕y轴旋转体积公式当曲线x=g(y)在y轴的区间[c,d]上绕y轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vy可由以下公式计算：Vy = π∫[c,d] g(y)² d y推导过程：同样地，为了推导该公式，我们可以将曲线x=g(y)绕y轴旋转一周后，得到不同y处的截面面积πg(y)²。
然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。
举例说明：假设我们有曲线x=y²，要计算其在区间[0,1]上绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据公式，我们可以得到Vy = π∫[0,1] y^4 dy = π/5总结通过本文的讨论，我们可以得出绕x轴和绕y轴旋转体积的计算公式，并了解到其推导过程。
这些公式在数学和工程领域有着广泛的应用，能够帮助我们计算由曲线旋转产生的立体图形的体积，具有重要的理论和实际意义。
为了更深入地理解旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的推导过程，我们可以进一步探讨不同类型曲线的旋转体积公式，并应用这些公式解决实际问题。
第七节 旋转体的体积计算
y
y f ( x)
o
x x dx
x
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积 为体积元素，dV [ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为 V [ f ( x )] dx
2 a
b
y dx a
2
[(b a 2 y 2 )2 (b a 2 y 2 )2 ]dy
a
a
4b
a a
a y dy 8b
2 2
a
0
2 2 a 2 y 2 dy 2a b
2.平行截面面积为已知的立体的体积
A( x ) 设一立体位于 过点 x =a, x =b y 且垂直于 x 轴的两平面之间， 用垂直于 x 轴的任一平面截 此立体所得的截面积 A(x) 是 x 的已知函数， 求这个立体的体积V . x x+dx o a 用微元法： 取 x 为积分变量，在区间 [a, b] 上任取一小区间 [x , x+dx] ，过其端点作垂直 x 轴的平面，
1 2 1
2 1
2
0
例4 求星形线 x y a (a 0) 绕 x 轴旋转
构成旋转体的体积 . 解 y a x ,
2 3 2 3 2 3
y
2 3
2 3
2 3
y a x
2 2 3
a
2 3
3
x [ a , a ]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公y 4 x 2及y 0所围成的图形为底， 而垂
直于y轴的所有截面均是高为 2的矩形的立体的体积 .
第六章 体积
4 b2 2 2 2 V1 2 a x dx ab 3 a a
②与上同理 椭球体也可以看成由半个椭圆
a
a 2 x b y2 b 及 y 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转而成的立体
a2 2 4 2 2 V2 2 b y dy a b b 3 b
特别当 a = b 时 旋转体成为球体
2 3
2 3
2 3
四、求摆线 x a ( t sin t ) ， y a ( 1 cos t ) 的一拱， y 0 ，绕直线 y 2a 旋转所成旋转体的体积.
五、 求 x 2 y 2 a 2 绕 x b ( b a 0) 旋转所成旋转 体的体积 . 六、 设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴长 分别为2 A , 2 B 和 2a , 2b ,高为 h ，求这截锥体的体 积 . 七、 设直线 y ax b 与直线x 0 ，x 1 及 y 0 所围 成梯形面积等于A ，试求a , b 使这个梯形 绕 y 轴 旋转所得体积最小 .
r ( z ) | MQ | z 2 (1 z )2 1 2z 2z 2
截面面积 S ( z ) r 2 ( z ) (1 2 z 2 z 2 ) 1 2 立体体积 V S ( z )dz 3 0
例8 已知点A（1,0,1), B(0,1,0) ，线段AB绕 z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由S和 两平面 z = 0,z = 1所围立体的体积
y
y f ( x)
o
x
x dx
x
取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 dV [ f ( x )]2 dx 片的体积为体积元素，
旋转体的体积为
圆的旋转体体积
圆的旋转体体积圆的旋转体体积是指由一个圆绕某一条轴线旋转造成的立体形状的体积，其计算方法与一般的立体体积计算方法略有不同。
下面将详细介绍圆的旋转体体积的计算方法及其应用。
我们需要知道一个圆绕其直径旋转一周所得到的旋转体为一个圆柱体。
在这个基础上，如果我们将一个圆绕其直径旋转一周，得到的圆柱体体积为：圆柱体体积=πr²h其中，r为圆的半径，h为圆的直径。
接着，我们考虑一个圆绕其切线旋转一周所得到的旋转体。
这个旋转体形状如同一个圆锥体，其体积为：圆锥体体积=1/3πr²h其中，r为圆的半径，h为圆的直径。
除了以上两种情况，我们还可以考虑一个圆绕任意一条轴线旋转所得到的旋转体。
这个旋转体形状不再是简单的圆柱体或圆锥体，而是一个复杂的形状。
在这种情况下，我们可以通过积分的方法来计算旋转体的体积。
具体来说，我们将圆分成若干个小块，将每个小块绕轴线旋转得到的小体积加起来，就可以得到整个旋转体的体积。
数学上，这个过程可以表示为：旋转体体积=∫a^bπf(x)²dx其中，a和b分别为圆的起点和终点，f(x)为圆上某一点到轴线的距离。
需要注意的是，在计算圆的旋转体体积的时候，我们需要先确定旋转轴线的位置，然后再根据旋转轴线的位置来确定旋转体的形状和计算方法。
如果我们选择的旋转轴线与圆的位置关系比较复杂，那么计算过程也会比较复杂。
在实际应用中，圆的旋转体体积有很多种应用。
例如，在工程中，我们可以通过计算圆柱体或圆锥体的体积来确定某个零件的体积，从而为工艺设计和材料选择提供依据。
另外，在数学和物理学中，圆的旋转体体积也是一个重要的研究对象，通过研究其性质和计算方法，我们可以深入理解立体的形状和变换，为后续的研究提供基础。
圆的旋转体体积是一个重要的数学和物理概念，其计算方法较为复杂，但在实际应用中有着广泛的应用。
对于学习者来说，理解和掌握圆的旋转体体积的计算方法是非常必要的，可以帮助我们更好地理解和应用立体几何的知识。
旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线 旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴。
圆柱
圆锥
圆台
曲边梯形： y=f(x)，x=a, x=b, y=0 绕 x 轴旋转
y=f(x)
a
Байду номын сангаас
b
x
一般地，若旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、 直线 x a 、 x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
y d dy c O x=(y) x
V x dy ( y ) dy
d 2 d c c
2
2 4 2 0
4
2
4 y 2 ]0
8
小 结
曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所 围成的曲边梯形绕x轴旋转所形 成的旋转体的体积V为:
O a b x y y=f(x)
V y dx f ( x) dx
b 2 b 2 a a
曲线x=(y),直线y=c,y=d及y轴所 围成的曲边梯形绕y轴旋转所形 成的旋转体的体积V为:
2 3
a
2
2
例4 求由抛物线y=x2及x=2，x轴所围成的平面图形绕y轴
旋转一周所形成的旋转体的体积.
解:取y为积分变量，变量y的变化区间为[0,4], 利用公式：
V x dy ( y ) dy
d 2 d c c
2
所求的旋转体的体积为：
V
4
0
2 dy ( y ) dy 0 (4 y)dy [4y
2 b 解：将椭圆方程化为 y 2 2 (a 2 x 2 ) a
旋转体的表面积和体积计算
旋转体的表面积和体积计算旋转体是指通过绕某一轴旋转而形成的立体图形。
在几何学中，计算旋转体的表面积和体积是一种重要的技巧。
本文将介绍旋转体的表面积和体积计算方法，以及一些常见的旋转体示例。
一、旋转体的表面积计算方法要计算旋转体的表面积，我们可以使用定积分的方法。
设旋转体由曲线y=f(x)（0≤x≤a）绕x轴旋转而成，其中f(x)在闭区间[0,a]上连续且非负。
基于定积分的表面积计算公式为：S = 2π∫[a→0] y·ds其中，ds表示曲线的微小弧长。
在极坐标下，微小弧长ds可以表示为：ds = √(1+(dy/dx)²)·dx通过将dy/dx替换为f'(x)，我们可以将表面积计算公式简化为：S = 2π∫[a→0] f(x)·√(1+f'(x)²)·dx通过求解上述定积分，即可得到旋转体的表面积。
二、旋转体的体积计算方法旋转体的体积计算同样可以使用定积分的方法。
仍假设旋转体由曲线y=f(x)（0≤x≤a）绕x轴旋转而成。
体积计算公式为：V = π∫[a→0] y²·dx通过将y替换为f(x)，我们可以将体积计算公式写为：V = π∫[a→0] f(x)²·dx求解上述定积分即可得到旋转体的体积。
三、旋转体计算示例下面将以圆锥为例，演示旋转体的表面积和体积计算方法。
圆锥由一条斜边和底面形成，底面是一个半径为r的圆。
我们将底面放置在坐标轴上，圆锥的斜边与x轴的交点记为（0，h）。
要计算圆锥的表面积和体积，首先我们需要确定圆锥的方程。
通过类似三角函数的方法，我们可以得到圆锥的方程为：y = h/r·x其中，0≤x≤r，0≤h≤√(r²-x²)。
根据上述方程，我们可以计算出圆锥的表面积和体积。
四、总结通过本文的介绍，我们了解了旋转体的表面积和体积计算方法，并以圆锥为例进行了演示。
旋转体的体积计算(课堂PPT)
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c d x 2dy c
d
x ( y) c
o
x
3
例1. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
0
x )2 dx
1
xdx
0
o
x
x2
1
22
0
4
例2. 求由曲线 x 2 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
y
解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积,
选x为积分变量
(2, 1)
1
Vx
12 2 2 ( x 2 )2 dx 04
b
左半圆弧方程为 x x2( y) b a2 y2 O A
Bx
体积微元
-a
D
dV
[ x1(
y)]2 dy
[ x2 (
y)]2 dy
[ x12 (
y)
x
2 2
(
y)]dy
环体体积为 V
a
(
a
x12
x22
)dy
a
[(b
a2 y2 )2 (b
a2 y2 )2 ]dy
a
a
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公式，知：
V
a [ f ( x)]2dx
旋转体体积公式参数方程形式
旋转体体积公式参数方程形式在咱们的数学世界里，旋转体体积公式的参数方程形式就像是一个神秘的宝藏，等待着我们去挖掘和探索。
先来说说啥是旋转体。
想象一下，你手里拿着一根曲线，然后让它绕着某条轴快速地转起来，形成的那个像立体玩具一样的东西，就是旋转体啦。
比如说，把一个半圆绕着它的直径旋转一周，就得到了一个球。
那旋转体体积公式的参数方程形式到底是啥呢？这可有点复杂，但别怕，咱们慢慢捋。
比如说有个曲线，它的参数方程是 x = f(t) ，y = g(t) ，然后让它绕着 x 轴旋转。
这时候，旋转体的体积公式就是V = π∫[g(t)]²f'(t) dt ，积分的上下限根据参数 t 的取值范围来确定。
给大家举个例子吧。
有一次我在课堂上给学生们讲这个知识点，就拿一个简单的抛物线 y = x²来说。
咱们假设它的参数方程是 x = t ，y =t²。
那按照公式，绕 x 轴旋转一周得到的旋转体体积就是V = π∫(t²)² dt 。
当时啊，好多同学都一脸懵，觉得这也太难了。
我就一点点引导他们，从最基本的积分运算开始，一步一步地算。
有个同学特别可爱，一直皱着眉头，嘴里还念念有词，我走过去一听，原来他在小声地重复着公式和步骤，特别认真。
经过一番努力，大家终于算出了结果，那一刻，教室里充满了兴奋和成就感的气氛。
其实在生活中，旋转体体积的计算也有很多用处呢。
比如说，工厂里生产一个旋转形状的零件，工程师就得知道它的体积，才能确定材料的用量。
再比如，建筑设计师在设计一些独特的旋转造型建筑时，也得通过计算体积来保证结构的合理性和稳定性。
学习旋转体体积公式的参数方程形式，虽然过程可能有点曲折，但当你真正掌握了它，就会发现数学的世界真是奇妙无穷。
就像我们在探索的道路上，虽然会遇到困难，但只要坚持不懈，总能找到那把打开知识宝库的钥匙。
所以啊，同学们，别害怕数学中的难题，只要咱们用心去学，都能把它们拿下！。
定积分求旋转体的体积
y ex
1
ox = 1 x = 2 x
练习 求由抛物线 y x 2、直线 x 2及 x 轴所围成平面图形绕 x
轴旋转一周所得旋转体的体积.
A: 3 2 5
C: 8 5
解 选A
B: 1 6 5
D: 6 4 5
三、平面图形绕 轴旋转所得旋转体的体积
y
求由连续曲线 x (y)、直线 y c 、y d 及y 轴所围成的 曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积.
V02y2dy
2
2
y2
2
dy
2 y4dy 3 2
0
0
5
O
y x x y2 x
练习 求由曲线 y ln x 、直线 y 1 及 y 轴所围成平面图形绕 轴y
旋转一周所得旋转体的体积.
A: 1 e4 e2 2
B: 1 e 4 e 2 2
C: 1 e2 1 2
由一个平 面图形绕 这平面内 一条直线 旋转一周
而
成的立 体．这条 直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
Байду номын сангаас 微元法（切片法）求体积：
x 二、平面图形绕 轴旋转所得旋转体的体积
求由连续曲线 yf(x)、直线 xa、xb及x 轴所围成的 曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的旋转体的体积.
（1） xa,b
（2） d V f x2dx 体积微元
D: 1 e 2 1 2
解 选C
01
小结
x
V b[f(x)]2dx b y 2dx
02 a
平面图形绕a 轴旋转所得旋转体的体积
y
V
d[(y)]2dy
c
d
c
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a a a b b b
(2) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
a a
b
b
(3) ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a a c
b
c
b
4、结论
0
1
( y)
3
2
2 dy = π 5
y y=x3 1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 练习：
V =2
{∫ π ( x + 1) dx + 2 π (
1 2 2 2 0
绕x轴旋转一周 轴旋转一周
2 −1
−∫
2
0
x dx =
4
}
32 2 + 3 2 15
(
)π
)
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 练习： 2 绕y轴旋转一周 轴旋转一周
y=f (x)
2、 2、旋转轴为 y 轴（演示） 演示） 由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ g (y)>0)所围成 所围成 的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体 积为 V = π x dy = π [ g ( y ) ]2 dy y ∫ ∫
d 2 d c c
a
b
d c x=g (y)
1 4
V1
V2
返回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 练习：
(1)
y = x3 , x = 1,
绕x轴旋转一周 轴旋转一周
y=0
y=x3
1 Vx = π x dx = π 0 7
∫
1
6
x 1
( 2)
1
y = x3 ,
y = 1, x = 0
绕x轴旋转一周 轴旋转一周
6 Vx = π dx − π x dx = π 0 0 7
' x
x
→ f (x) = e
' '
x
1 7.若f (x) = loga x → f (x) = x ln a 1 ' 8.若f (x) = ln x → f (x) = x
定积分与平面图形的面积
例1 计算由 y = 2 x 和 成的图形的面积。 成的图形的面积。
2
y = x − 4 所围
解
A = A1 + A2 =
若f ( x)为偶函数，则∫ f ( x) = 2 ∫ f ( x)
-a a 0
a
a
若f ( x)为奇函数，则∫ f ( x) = 0
-a
◆旋转体的定义
示例：圆锥、圆柱、球等的形成过程（演示）。 示例：圆锥、圆柱、球等的形成过程（演示）。 旋转体的定义： 旋转体的定义：旋转体就是由一个平面图形饶 这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直 这平面内一条直线旋转一周而成的立体． 线叫做旋转轴。 线叫做旋转轴。 可选取适当坐标系，使旋转轴为x轴或y轴 可选取适当坐标系，使旋转轴为x轴或y 最基本的情形是曲边梯形绕x轴或y轴旋转的情形。 最基本的情形是曲边梯形绕x轴或y轴旋转的情形。
∫
2
0
2 x − ( − 2 x ) dx
8
+ ∫ 2 x − ( x − 4) dx 2 = 18
还有其他方法吗？ 还有其他方法吗？
（演示）。 演示）。
◆旋转体的体积计算公式
1、旋转轴为 x 轴（演示） 、 演示） 由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （f (x)>0)所围成 所围成 的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的 体积为 V = π y dx = π [ f ( x) ] dx x ∫ ∫
b 2 b 2 a a
∫
1
∫
1
6
y=x3 x 1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 练习：
( 4)
y=x ,
3
y = 1,
y轴
1 y
绕y轴旋转一周 轴旋转一周
Vy = ∫ π
0
1
( y)
3
2
3 dy = π 5
y=x3 1
( 5)
y = x 3 , x = 1, x 轴
绕y轴旋转一周 轴旋转一周
Vy = π − ∫ π
2.若f (x) = x
n
→ f (x) = nx (n ∈ R)
' n-1 ' '
3.若f (x) = sin x → f (x) = cos x 4.若f (x) = cos x → f (x) = -sin x 5.若f (x) = a 6.若f (x) = e
x
→ f (x) = a ln a
定积分的应用 ----旋转体的体积
2
1、微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式） 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
∫
b
a
f (x)dx == F(x)| = F(b) − F(a)
b a
其中F(x) 函数。 其中F(x) 是被积函数f(x)的原函数。
2、定积分的几何含义： 定积分的几何含义：
3、定积分基本性质
Vy = ∫ π
0
2
( y ) dy − ∫ π (
2 2 1
y −1 dy
)
1
2
3 = π 2
问题的提出
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旋转体概念
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返回 旋转体实例圆锥
旋转体实例圆柱
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旋转体体积推导
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体积例题 3
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体积例题 2
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体积例题 5
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基本初等函数的导数公式 ' 1.若f (x) = c → f (x) = 0
◆旋转体的体积计算公式
的直线， 例2 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线， x=h及 轴围成一个直角三角形， 直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕 的圆锥， x轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥，
y
计算圆锥的体积。 计算圆锥的体积。
解 ：如图所示
P(h,r)
r 直线OP的方程为 直线 的方程为 y = x ， h
o
x
1 2 r 所求体积为 V = ∫ π x dx = π r h 0 3 h
h
x ∈ [0, h]
2
例3 计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面 轴旋转一周而成的立体的体积。 图形绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积。 解：如图所示
Vy = V1 − V2
1
3 = ∫ π ydy − ∫ π y dy = π 0 0 10