旋转体的体积

◆旋转体的体积计算公式
的直线， 例2 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线， x=h及 轴围成一个直角三角形， 直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕 的圆锥， x轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥，
y
计算圆锥的体积。 计算圆锥的体积。
解 ：如图所示
P(h,r)
r 直线OP的方程为 直线 的方程为 y = x ， h
∫
1
∫
1
6
y=x3 x 1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 练习：
( 4)
y=x ,
3
y = 1,
y轴
1 y
绕y轴旋转一周 轴旋转一周
Vy = ∫ π
0
1
( y)
3
2
3 dy = π 5
y=x3 1
( 5)
y = x 3 , x = 1, x 轴
绕y轴旋转一周 轴旋转一周
Vy = π − ∫ π
定积分的应用 ----旋转体的体积
2
1、微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式） 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
∫
b
a
f (x)dx == F(x)| = F(b) − F(a)
b a
其中F(x) 函数。 其中F(x) 是被积函数f(x)的原函数。
2、定积分的几何含义： 定积分的几何含义：
3、定积分基本性质
∫
2
0
2 x − ( − 2 x ) dx
8
+ ∫ 2 x − ( x − 4) dx 2 = 18
还有其他方法吗？ 还有其他方法吗？
若f ( x)为偶函数，则∫ f ( x) = 2 ∫ f ( x)
-a a 0
a
a
若f ( x)为奇函数，则∫ f ( x) = 0
-a
◆旋转体的定义
示例：圆锥、圆柱、球等的形成过程（演示）。 示例：圆锥、圆柱、球等的形成过程（演示）。 旋转体的定义： 旋转体的定义：旋转体就是由一个平面图形饶 这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直 这平面内一条直线旋转一周而成的立体． 线叫做旋转轴。 线叫做旋转轴。 可选取适当坐标系，使旋转轴为x轴或y轴 可选取适当坐标系，使旋转轴为x轴或y 最基本的情形是曲边梯形绕x轴或y轴旋转的情形。 最基本的情形是曲边梯形绕x轴或y轴旋转的情形。
0
1
( y)
3
2
2 dy = π 5
y y=x3 1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 练习：
V =2
{∫ π ( x + 1) dx + 2 π (
1 2 2 2 0
绕x轴旋转一周 轴旋转一周
2 −1
−∫
2
0
x dx =
4
}
32 2 + 3 2 15
(
)π
)
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 练习： 2 绕y轴旋转一周 轴旋转一周
1 4
V1
V2
返回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 练习：
(1)
y = x3 , x = 1,
绕x轴旋转一周 轴旋转一周
y=0
y=x3
1 Vx = π x dx = π 0 7
∫
1
6
x 1
( 2)
1
y = x3 ,
y = 1, x = 0
绕x轴旋转一周 轴旋转一周
6 Vx = π dx − π x dx = π 0 0 7
o
x
1 2 r 所求体积为 V = ∫ π x dx = π r h 0 3 h
h
x ∈ [0, h]
2
例3 计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面 轴旋转一周而成的立体的体积。 图形绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积。 解：如图所示
Vy = V1 − V2
1
3 = ∫ π ydy − ∫ π y dy = π 0 0 10
' x
x
→ f (x) = e
' '
x
1 7.若f (x) = loga x → f (x) = x ln a 1 ' 8.若f (x) = ln x → f (x) = x
定积分与平面图形的面积
例1 计算由 y = 2 x 和 成的图形的面积。 成的图形的面积。
2
y = x − 4 所围
解
A = A1 + A2 =
2.若f (x) = x
n
→ f (x) = nx (n ∈ R)
' n-1 ' '
3.若f (x) = sin x → f (x) = cos x 4.若f (x) = cos x → f (x) = -sin x 5.若f (x) = a 6.若f (x) = e
x
→ f (x) = a ln a
Vy = ∫ π
0
2
( y ) dy − ∫ π (
2 2 1
y −1 dy
)
1
2
3 = π 2
问题的提出
返回
旋转体概念
返回
返回 旋转体实例圆锥
旋转体实例圆柱
返回
旋转体体积推导
返回
体积例题 3
返回
体积例题 2
返回
体积例题 5
返回
基本初等函数的导数公式 ' 1.若f (x) = c → f (x) = 0
y=f (x)
2、 2、旋转轴为 y 轴（演示） 演示） 由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ g (y)>0)所围成 所围成 的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体 积为 V = π x dy = π [ g ( y ) ]2 dy y ∫ ∫
d 2 d c c
a
b
d c x=g (y)
(1) ∫ ( f ( x) ± g ( x))dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
a a a b b b
(2) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
a a
b
b
(3) ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a a c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
c
b
4、结论
（演示）。 演示）。
◆旋转体的体积计算公式
1、旋转轴为 x 轴（演示） 、 演示） 由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （f (x)>0)所围成 所围成 的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的 体积为 V = π y dx = π [ f ( x) ] dx x ∫ ∫
b 2 b 2 a a