几种构造辅助函数的方法的归纳
简析导数问题中构造辅助函数的常用方法
简析导数问题中构造辅助函数的常用方法作者：杨光关键来源：《新课程·中旬》2013年第09期导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题，年年必考，在这道压轴的大题中，解答时常涉及构造函数，我简单谈一下常用的构造方法.一、作差法（直接构造法）这是最常用的一种方法，通常题目中以不等式形式给出，我们可以作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论.当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负.例1.设x∈R，求证ex≥1+x构造函数f （x）=ex-1-x，对函数求导可得f ′ （x）≥ex-1，当x≥0时，f ′ （x）≥0，f （x）在[0，+∞）上是增函数，f （x）≥f （0）=0，当xf （0）=0，因此，当x∈R，f （x）≥f （0）=0，即ex≥1+x例2.x>-1，求证1-■≤ln（x+1）≤x以证明右侧为例，设f （x）=x-ln（x+1），f ′ （x）=1-■（x>-1）令f ′ （x）=0，x=0，当x∈（-1，0）时，f ′ （x）0，函数递增，所以x=0时，函数取最小值f （0）=0，∴f （x）≥0.二、先去分母再作差有的问题直接作差构造函数后，求导非常麻烦，不具有可操作性，可先去分母再作差.例3.x>1，求证■分析：设f （x）=■-lnx，f （x）=■-■-lnx，f ′ （x）=■x-■+■x-■-■，f ′ （x）=■≥0，f （x）≥f （1），f （1）=0，∴f （x）>0三、先分离参数再构造例4.（哈三中2012期末试题21）已知函数f （x）=xlnx，g （x）=-x2+ax-3（1）求f （x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f （x）≥g （x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有lnx>■-■成立.分析：（1）略（2）2xlnx≥-x2+ax-3恒成立，∵x>0，原不等式等价于a≤2lnx+x+■.令g （x）=2lnx+x+■，则g′ （x）=■，所以g （x）的最小值为g （1）=4，即a≤4（3）利用前面提到的第二种方法，先去分母再构造，目的就是使得构造的函数易于求导，易于分析.原不等式等价于xlnx>■-■，令F （x）=xlnx，G （x）=■-■则可求F （x）的最小值为F （■）=-■；G （x）的最大值为G （1）=-■，所以原不等式成立.四、从条件特征入手构造函数证明例5.若函数y=f （x）在R上可导且满足不等式xf ′ （x）>-f （x）恒成立，且常数a，b 满足a>b，求证：af （a）>bf （b）分析：由条件移项后xf ′ （x）+f （x），可以构造函数F （x）=xf （x），求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf ′ （x）>f （x），则移项后xf ′ （x）-f （x），要想到是一个商的导数的分子，构造函数F （x）=■，求导去完成证明.五、由高等数学中的结论构造利用泰勒公式，可以把任意一个函数用幂函数近似表示.f （x）=f （x0）+f ′ （x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+…当f （x）=lnx，取x=1，则lnx=x-1-■+…lnx≈x-1例6.数列{an}，a1=1，an+1=lnan+an+2，求证an≤2n-1分析：设f （x）=lnx-（x-1），f ′ （x）=■-1=■，当x∈（0，1），f ′ （x）>0当x∈（1，+∞），f ′ （x）lnan≤an-1，an+1=lnan+an+2≤2an+1，∴an+1+1≤2（an+1）迭代，1+an≤2（1+an-1）≤…≤2n-1（1+a1）=2n∴an≤2n-1例7.（2008年山东理21）已知函数f （x）=■+aln（x-1）其中n∈N*，a为常数.（1）当n=2时，求函数f （x）的极值；（2）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f （x）≤x-1分析（2）：当a=1时，f （x）=■+ln（x-1）.当x≥2时，对任意的正整数n，恒有■≤1，故只需证明1+ln（x-1）≤x-1.令h （x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），则h ′ （x）=1-■=■，当x≥2时，h ′ （x）≥0，故，h （x）在[2，+∞）上单调递增，因此x≥2时，当h （x）≥h （2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立.故当x≥2时，有■+ln（x-1）≤x-1.即f （x）≤x-1.另外，高等数学中有一个极限结论：■■=1由以上极限不难得出，当x>0时，sinx所以函数 f （x）在（0，+∞）上单调递增，f （x）>f （0）=0.所以x-sinx>0，即sinx导数问题中构造辅助函数还有其他的方法，例如变更主元法，二次求导再构造，难度偏大，这里先不做详解.（作者单位杨光：黑龙江省哈尔滨师范大学数学系关键：黑龙江省大庆市第四中学）？誗编辑谢尾合。
罗尔定理构造辅助函数万能公式
罗尔定理构造辅助函数万能公式郭元春陈思源马晓燕1.西安思源学院基础部陕西西安 710038；2.西安思源学院高等教育营销研究中心陕西西安 710038微分中值定理在微积分学中占有十分重要的地位，是用函数局部性质推断整体性质的有力工具。
罗尔定理是微分中值定理中最为基础的一个，定理内容：若函数f(x)满足在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在某个中值ξ∈(a，b)，使得等式f′(ξ)=0。
利用罗尔定理证明中值等式问题的难点就是辅助函数的构造。
刘文武、张军、肖俊等人[1-3]采用逆向思维法对该类问题做了相应的研究。
逆向思维法是从结果出发分析中值等式的特点，选择适当的方法构造辅助函数。
微分中值等式问题常见的形式是：已知函数f(x)满足在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(x)满足某些附加条件，求证存在某个中值ξ∈(a，b)，使得等式F(ξ，f(ξ)，f′(ξ))=0。
该等式左边看作是某个函数g(x)在点ξ处的导数，即g′(ξ)=0。
由拉格朗日中值定理可知，g(x)=C 是满足该等式的最简单的函数。
显然这个隐函数是原微分方程的通解，因此，在微分中值问题中，一般把通解中的积分常数令为辅助函数。
本文采用逆向思维法，对微分中值问题中构造辅助函数的常见题型作归纳和总结。
一、利用分离变量法构造辅助函数(一)证明的等式是关于ξ，f(ξ)，f′(ξ)的微分方程例1[4]:设函数f(x)在闭区间[0，π]上连续，在开区间(0，π)内可导，证明：在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。
证明：令F(x)=f(x)sinx，显然，F(x)在闭区间[0，π]上连续，在开区间(0，π)内可导，且F(0)=F(π)，故由罗尔定理知，在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=f′(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ，也就是说，在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。
罗尔定理中辅助函数的构造与应用
龙源期刊网
罗尔定理中辅助函数的构造与应用
作者：郭欣红
来源：《消费导刊·理论版》2008年第14期
[摘要]构造辅助函数是解决罗尔定理问题的一种重要方法，本文介绍了几种巧妙构造辅助函数的有效方法。
[关键词]罗尔定理辅助函数
微分中值定理中的罗尔定理是高等数学中的一个重要内容，因为它的应用非常广泛，而构造辅助函数是解决罗尔定理问题的最主要的方法。
若辅助函数构造得合理巧妙,满足定理的三
个条件，则问题很快就能迎刃而解。
本文将主要讨论几种构造辅助函数的常用方法。
一、归纳法构造辅助函数
参考文献
[1] 汪诚义. 高等数学与微积分[M]. 群言出版社
[2] 微积分辅导.[M].华中科技大学高等数学教研室.华中科技大学出版社
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
数学证明中的构造辅助函数方法
数学证明中的构造辅助函数方法摘要数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。
遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂.这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。
文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路.关键词辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；函数表达式；极值1.引言数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数.基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止.构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.2.微分中值定理证明中构造辅助函数的方法与技巧2.1 拉格朗日（Lagrange ）中值定理辅助函数的作法定理1（Rolle ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导； （iii ）()()f a f b =；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.定理2（Lagrange ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()f b f a f b aξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为Rolle 定理的结论。
辅助函数的构造
F (a) F (b)
即 F ( x ) 满足罗尔定理，
于是，至少 一个 (a , b) ，使得 F ( ) 0
f (b) f (a ) 1 f ( ) 0 即 ， ln b ln a
ab 0
b 亦即 f (b ) f (a ) f ( ) ln a
一般来说，命题中涉及闭区间上连续函数， 但不涉
及可导，会考虑利用介值定理或零点定理. 如果证明中
缺少区间端点的函数值的性质， 要考虑利用最值定理后,
再利用介值定理.
例 1.设 f (x) 在 [a, b]上连续，xi [a, b]，ti 0 (i 1, 2, , n) ，
t 且
i 1
则 F ( x ) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a , b) 内可导，
f (b ) f (a ) 又 F ( a ) f ( a ) ln b ln a ln a
ln b f (a ) ln a f (a ) ln a f (b) ln a f (a ) ln b ln a
例 5： （P146 习题 3.1 第 7 题） 设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续， 在 (a, b) 内可导， a b 0 ，证明：在 ( a , b ) 内至少存在一个
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba bf ( b ) a f ( a ) bf ( b ) kb af ( a ) ka k， 【分析】令 ba
显然，这是一个对称式( a 与 b 互换等式不变)
故作辅助函数 F ( x ) xf ( x ) kx xf ( x )
bf (b ) a f (a ) x， 【证明 1】 令 F ( x ) xf ( x ) ba
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。
今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。
首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。
因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。
至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。
一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。
解析：这是非常常见的一道题。
估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。
其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
数学证明中的构造辅助函数方法
数学证明中的构造辅助函数方法在数学证明中，当我们需要证明一个命题或者解决一个难题时，有时候需要借助一些额外的工具或函数来进行推导和证明，这些工具或函数就称为辅助函数。
构造辅助函数是一种常用的解题方法，它能够将原问题转化为更容易处理的新问题，通过解决新问题来获得原问题的解决。
构造辅助函数的方法通常分为以下几种：1.构造差函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内单调递增或递减时，可以通过构造差函数F(x)=f(x+h)-f(x)来证明。
如果F(x)大于0，则f(x)递增，如果F(x)小于0，则f(x)递减。
2.构造积函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内取得极值时，可以通过构造积函数P(x)=f(x)g(x)来证明。
其中g(x)是一个与f(x)无关的函数，通过求解P'(x)=0来找到极值点。
3.构造和函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内周期性变化时，可以通过构造和函数S(x)=f(x)+f(x+T)来证明。
其中T为f(x)的周期，通过求解S'(x)=0来找到周期性变化的特征。
4.构造对数函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内与对数函数有相似性质时，可以通过构造对数函数L(x)=lnf(x)来证明。
通过求解L'(x)=1/f'(x)来找到f(x)的变化规律。
在使用构造辅助函数的方法时，需要注意以下几点：1.要根据题目的具体问题进行合理构造，确保辅助函数与原问题有紧密联系。
2.要明确构造的辅助函数的性质和特征，以便进行后续的推导和证明。
3.要注意辅助函数的取值范围和定义域，确保推导和证明的正确性。
4.要注意辅助函数与原问题的等价性，确保最终能够得出原问题的结论。
下面给出一个具体的例子来说明构造辅助函数的方法。
例：证明当x>1时，不等式lnx<(x-1)/（x-2）恒成立。
证明：令f(x)=lnx-(x-1)/（x-2），则f'(x)=1/x-1/（x-2）^2=(x-1)^2/（x （x-2））^2>0，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，又因为f(1)=0，所以当x>1时，f(x)>0，即原不等式恒成立。
求中值定理证明的几种构造函数的方法
求中值定理证明的几种构造函数的方法1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点1)将要证的结论中的换成；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数 . 例1:证明柯西中值定理分析:在柯西中值定理的结论中令，得，先变形为再两边同时积分得，令，有故为所求辅助函数. 例2:若, , ,…, 是使得的实数.证明方程在（0，1）内至少有一实根. 证:由于并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设（取），则 1）在[0，1]上连续 2）在（0，1）内可导 3） =0，故满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在使，即亦即 . 这说明方程在（0，1）内至少有实根.2 积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数. 例3:设在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，， .证明存在使 . 分析:结论变形为，不易凑成 .我们将换为，结论变形为，积分得: ，即，从而可设辅助函数为，有 .本题获证. 例4:设函数，在上连续，在内可微， .证明存在，使得: . 证:将变形为，将换为，则，两边关于积分，得: ，所以，其中，由可得 .由上面积分的推导可知，为一常数，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的.因而令，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证.3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数. 例5:证明拉格朗日中值定理. 分析:通过弦两个端点的直线方程为，则函数与直线AB的方程之差即函数在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数. 例6:若在上连续且 .试证在内至少有一点，使 . 分析:由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数的图形曲线必跨越这一条直线，而两者的交点的横坐标，恰满足 .进而还可由图知道，对上的同一自变量值，这两条曲线纵坐标之差构成一个新的函数，它满足 <0, >0,因而符合介值定理的条件.当为的一个零点时，恰等价于 .因此即知证明的关键是构造辅助函数 .4 常数k值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点: 1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为 . 2）恒等变形使等式一端为及构成的代数式，另一端为及构成的代数式. 3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式.若是，则把其中一个端点设为，相应的函数值改为 . 4）端点换变量的表达式即为辅助函数 . 例7:设在上连续，在内可导，，试证存在一点，使等式成立. 分析:将结论变形为，令，则有，令，可得辅助函数 . 例8:设在上存在，在，试证明存在，使得 . 分析:令，于是有，上式为关于，，三点的轮换对称式，令（or: ，or: ），则得辅助函数 .5 分析法分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论. 例9:设函数在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点，使得 . 分析:所要证的结论可变形为: ，即，因此可构造函数，则对与在[0，1]上应用柯西中值定理即可得到证明. 例10:设函数在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且 =0，对任意有 .证明存在一点使（为自然数）成立. 分析:欲证其成立，只需证由于对任意有，故只需证: 即，于是引入辅助函数（为自然数）. 例11:设函数在区间［0，+ ］上可导，且有个不同零点: .试证在[0，+ ]内至少有个不同零点.（其中，为任意实数）证明:欲证在[0，+ ）内至少有个不同零点，只需证方程 =0在[0，+ ]内至少有个不同实根. 因为，，，故只需证方程在内至少有个不同实根. 引入辅助函数，易验证在区间[ ]，[ ]，…，[ ]上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这个区间上应用罗尔定理，得，其中且以上说明方程在[ ] [ ] … [ ] [0，+ ]内至少有个不同实根，从而证明了方程 =0在[0，+ ]内至少有个不同实根。
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧构造辅助函数是应用微分中值定理的一种常用技巧，通过构造合适的辅助函数，可以简化定理的证明过程，使得结论更容易得到。
下面将介绍几种常见的构造辅助函数的技巧。
1.构造差商辅助函数：差商是在微积分中常用的一个概念，表示函数在一点附近的平均变化率。
通过构造差商辅助函数，可以将函数的变化率转化成差商的形式，从而应用差商的性质进行分析和证明。
具体来说，如果要证明一个函数在一些区间上的平均变化率等于两个点之间的差商，可以构造一个辅助函数，使得辅助函数的导数等于差商，从而可以利用微分中值定理得到所需的结果。
2.构造导函数辅助函数：导函数是函数在一点处的斜率，表示函数的变化速率。
通过构造导函数辅助函数，可以转化函数在区间上的斜率问题为导函数在特定点上的函数值问题。
具体来说，可以通过构造辅助函数的导函数等于原函数的导函数，再利用微分中值定理得到结论。
3.构造积分辅助函数：积分是函数的反导数，表示函数在一点处与坐标轴之间的面积。
通过构造积分辅助函数，可以将函数的积分转化为函数在区间上的平均值。
具体来说，可以通过构造辅助函数的积分等于原函数的积分，再利用微分中值定理得到所需的结论。
4.构造复合函数辅助函数：复合函数是两个或多个函数通过函数运算得到的新函数。
通过构造复合函数辅助函数，可以将定理的证明转化为复合函数的导数的证明。
具体来说，可以通过构造复合函数辅助函数使得辅助函数的导数等于复合函数的导数，再利用微分中值定理得到结论。
总之，构造辅助函数是证明微分中值定理的一种常见技巧，可以简化证明过程，使得结论更容易得到。
不同的辅助函数类型适用于不同的证明问题，具体的构造方法需要根据具体的问题进行选择。
在构造辅助函数时，需要充分发挥函数的性质和微积分的基本概念，灵活运用各种技巧，才能得到令人满意的结果。
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。
其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，它可以用来构造辅助函数。
在这里，我将介绍三种常见的方法。
方法一：构造辅助函数来证明微分中值定理我们首先回顾微分中值定理的陈述：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
为了证明这一定理，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。
我们可以计算g(a)和g(b)：g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=f(a)g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)由于g(x)是f(x)的线性函数，我们可以得出g(a)=f(a)和g(b)=f(b)。
根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
将g(x)展开得到：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)当x=c时：0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
方法二：构造辅助函数来确定函数的最大值和最小值微分中值定理的一个重要应用是确定函数的最大值和最小值。
我们可以利用此定理构造辅助函数来确定函数在给定闭区间上的最大和最小值。
假设我们要确定函数f在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。
我们可以构造辅助函数h(x)=f(x)-M(x-a)，其中M是一个足够大的常数。
我们可以选择一个足够大的M，使得h(x)在[a,b]上永远不小于0。
当x=a时，h(a)=f(a)-M(a-a)=f(a)>=0当x=b时，h(b)=f(b)-M(b-a)=f(b)-M(b-a)<=0根据微分中值定理，存在c∈(a,b)，使得h'(c)=0。
几种构造辅助函数的方法的归纳
则可设辅助函数为 :
F ( x) = xf ( x) - kx bf ( b) - af ( a) x b- a 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可导 , 且 F ( a) = xf ( x ) = F ( b) 。 由罗尔定理知 , 至少存在一点 ξ ∈ ( a , b) , (ξ ) = 0 , 即有 使 F′ bf ( b) + af ( a) ) +ξ (ξ ) = f (ξ f′ b- a
=
(ξ ) = 0 即 f ′ (ξ ) F′ (ξ ) = f′ f ( b) - f ( a) 2ξ b2 - a2
f ( b) - f ( a) 2ξ = 0 2 2 b - a
二 、 原函数法
在利用微分中值定理 ( 尤其是罗尔定理 ) 求解 介值 ( 或零点) 问题时 , 要证明的结论往往是某一个 函数的导函数的零点 , 因此可通过不定积分反求出 原函数作为辅助函数 , 其步骤为 : 1 . 将要证结论中的 ξ( 或 x 0 ) 换成 x ; 2 . 通过恒等变换 , 将结论化为易积分 ( 或容易 消除导数符号) 的形式 ; 3 . 用观察法或凑微分法求出原函数 ( 必要时 , 可在等式两端同乘以非零的积分因子 ) , 为简便起 见 , 可将积分常数取为零 。 4 . 移项 , 使等式一边为零 , 则等式的另一边即 为所需的辅助函数 。 例 3 设 f ( x) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可 导 , 0 < a < b , 证明在 ( a , b) 内必存在一点 ξ, 使
导数问题中构造辅助函数的方法技巧探讨
导数问题中构造辅助函数的方法技巧探讨作者：吴德满来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第05期[摘要] 构造辅助函数是求解导数问题的常用策略，而构造函数的方法技巧较为众多，需要结合具体问题合理选用. 解题时所构函数的形式不同，获得的解题效果也不相同，文章对导数问题加以剖析，结合实例简要探讨作差构造、拆分构造、换元构造和特征构造四种构造技巧，并提出相应的教学建议.[关键词] 导数;构造;函数;作差法;拆分法;换元法;特征法问题综述在近几年的高考中，出现了众多求证不等式或求参数范围的问题，问题求解的核心工具是导数知识，因此可将其归结为导数问题. 该类问题一般结构独特、综合性强，突破求解时需要采用一定的方法技巧，其中构造函数是解导数问题最为有效的方法，既可以降低思维难度，求解思路又更为清晰. 但实际教学中，学生大多没有完全掌握函数构造的技巧，经验匮乏，所构函数不合理，因此十分有必要深入剖析导数问题中函数构造的方法，总结常用的构造技巧.技巧探討导数题目本身的形式较为多变，复杂度也不一致，因此构造函数时需要根据题目特点. 总体来说，函数构造时最常用的方法有作差法、拆分法、换元法、特征法，下面结合实例加以探讨.技巧一：作差构造作差构造法，顾名思义，通过对数式进行作差变换来构建函数的一种方法. 具体作差构造时又分为多种情形，包括直接作差、变形作差，其核心内容均是通过作差来完成函数构造.例1：已知f（x）=■，试证明：对于任意的正数a，均存在正数x，使得不等式f（x）-1<a成立.解析：题干给出了函数f（x）的解析式，求证不等式成立首先需要将解析式代入，将不等式化为■-1<a，求证该式成立可以采用变形作差构造的方式：去分母，左边减去右边，将其进一步化为ex-（a+1）x-1<0.根据上式构建函数，令G（x）=ex-（a+1）x-1，求导函数G′（x）=ex-（a+1）.x=ln（a+1）时，G′（x）=0. 所以有：当0<x<ln（a+1）时，G′（x）<0;当x>ln（a+1）时，G′（x）>0. G（x）min=G（ln（a+1））=a-（a+1）ln（a+1）. 分析可知a-（a+1）ln（a+1）<0，因此可知存在正数x=ln（a+1），使得不等式f（x）-1<a，得证.点拨：上述在证明时采用了变形作差的函数构造技巧，即首先对函数f（x）-1<a进行变形作差转化，然后根据变形式构造了相应的函数，并利用函数性质确定了所构函数的最值，进而完成了不等式的证明. 利用作差构造函数时需要确保变形过程完全等价，这是求解的基础.技巧二：拆分构造对于某些不等式证明或求值问题，若直接构造时较难分析，也可以采用拆分构造的策略. 首先对不等式进行合理拆解，将其分为多个部分，然后结合构造思想来构建函数，完成求解. 从构造方式来看也称之为局部构造.例2：已知函数f（x）的解析式为f（x）=aexlnx+■，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=e（x-1）+2，试回答下列问题：（1）试求a和b的值;（2）证明：f（x）>1.解析：（1）根据条件可知切线的斜率为e，同时图像经过点（1，f（1）），显然可以根据上述两个条件来建立方程.原函数的导函数为f′（x）=aexlnx+■+■（x>0），则有f（1）=2，f′（1）=e，可解得a=1，b=2.（2）根据（1）问可知f（x）=exlnx+■（x>0）. 证明f（x）>1，等价于xlnx>xe-x-■，由不等号左侧构造函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，分析可知当x∈0，■时，g′（x）<0;x∈■，+∞时，g′（x）>0，所以函数g（x）在0，■上单调递减，在■，+∞上单调递增，从而在（0，+∞）上的最小值为g■=-■.由不等号右侧构造函数h（x）=xe-x-■，则h′（x）=e-x（1-x），分析可知函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而在（0，+∞）上的最大值为h（1）=-■.综上可知，当x>0时，g（x）> h（x），从而有f（x）>1，证毕.点拨：上述第（2）问是证明不等式成立，显然需要利用导数知识来完成，但若直接由不等式来构建函数，求导后函数会过于复杂，不易分析. 因此可以采用移项拆分的策略，将其拆分为两部分，分别构造函数，显然两个分函数的性质更容易获得.技巧三：换元构造换元同样也可以作为构造函数的一种策略，即利用新元来替换原函数的部分或全部，使之变量化多为少，从而达到减元的目的. 通过换元构造可以使函数的特征结构更为清晰，该方法多用于处理多元函数问题中.例3：试证明当n>m>0时，有lnn-lnm>■-■.解析：上述题干给定了变量关系，求证不等式成立，可以先对不等式简单变形，可得ln■-■+■>0，显然只需要该不等式成立即可.由于其中含有变量m和n，可以采用换元构造的策略. 令■=x，则x>1，构造函数g（x）=lnx-■+x（x>1），其导函数为g′（x）=■+■+1，由于x>1，所以g′（x）>0，故g（x）在（1，+∞）上单调递增. 已知n>m>0，则■>1，有g■>g（1）=0，从而可证ln■-■+■>0，则原不等式成立.点拨：上述所证不等式的最显著特征是含有两个变量，因此需要分换元、构造两步进行，即常见的换元构造策略，将问题转化为常见的一元函数求导问题，显然可以降低思维. 需要注意的是在完成换元后，需要根据条件来确定新元的取值范围，确保新函数的取值有意义.技巧四：特征构造特征法构造函数指的是根据问题式子的特征结构来构造函数的方式，可以是条件特征，也可以是结论特征. 解析时需要准确把握数式的相似结构，然后结合类比思想完成函数构造，常用于常规不等式、数列不等式问题证明，采用特征構造的方式往往可以使抽象问题直观化.例4：已知函数f（x）的解析式为f（x）=lnx+■，m∈R，如果对于任意的b>a>0，不等式■<1始终成立，试求m的取值范围.解析：本题目求证不等式成立，不等式的构建与函数f（x）有关，问题等价于求证f （b）-b<f（a）-a恒成立，可以根据该不等式的特征结构来构建函数. 令h（x）=f（x）-x=lnx+■-x（x>0），若要使不等式成立，则需使导函数h′（x）=■-■-1≤0在（0，+∞）上恒成立，从而可得m≥ -x2+x=-x-■2+■（x>0），所以有m≥■（当x=■时，等号成立）. 所以m的取值范围为■，+∞.点拨：上述是关于求解参数取值范围的导数问题，题干给出了条件函数及相关不等式，求解时通过对不等式的等价转化获得了后续函数构造的参照条件，采用的是根据条件特征构造的技巧.特征构造的方法技巧使用十分普遍，解题时需要善于观察不等式的特征结构，总结数式规律.反思教学构造函数是求解导数问题的常用策略，上述探讨的四种构造函数技巧有着极强的应用性，从函数的构造过程来看，无非就是两步：第一步对不等式进行转化变形，第二步根据转化后的情形构造函数，利用函数性质来加以探讨. 但采用函数构造解析问题时不能盲目套用公式，需要学生灵活变通，下面提出几点提升学生构造能力的建议.1. 关注数式规律，提升学生观察力从上述四道例题来看，问题中所涉不等式的结构、内容较为多样，包含了分数、指数、对数等内容，构造形式也大不相同. 在实际求解时需要学生深入分析不等式的结构特征，从中提炼数形规律，确定合理的构造策略，因此对学生的观察力有着较高的要求. 在实际教学中，不能局限于指导解题过程，还需要注重提升学生的观察力，可以通过设问来引导学生分析不等式所涉内容、形式特点、含参个数、成立条件等，强化学生对不等式的认知.2. 积累变形方式，重视知识积累利用函数构造法求解导数问题中，最为关键的一步是对不等式的等价变形，这是后续函数构造的基础. 由于不等式的多样性，变形处理的方法也大不相同，这就要求学生必须掌握一定的变形处理手段，包括移项、参数分离、去分母等. 考虑到变形手段与代数知识有着关联性，在教学中需要立足数式性质，强化基础知识，积累变形经验，提升运算能力. 不等式变形的过程是恒等变形，因此教学中需要使学生理解数式变形的本质，深刻认识等价转化的思想内容.3. 总结函数模型，增强联想思维利用函数性质化解是问题解决的重要一步，在该步中需要利用导函数的性质分析问题，化简求解. 实际上构造函数就是构造函数模型，利用模型的性质来解决问题，因此教学中十分有必要引导学生总结基本的函数模型，如指数函数、对数函数、二次函数等，并掌握复合函数的构建技巧及求导方法. 同时注重培养学生的联想思维，使学生掌握根据数式特征构建函数的方法. 思维的培养是一个长期的过程，教学中要结合具体的考题，采用引导设问的方式促进学生思考，逐步提升学生思维的灵活性和发散性.总之，掌握导数问题中常见的函数构造技巧是提升解题效率的关键，除了需要使学生理解不同构造技巧的内涵，还需要掌握相应的构造步骤. 函数构造的过程实则是创造的过程，需要联想思考，因此需要提升学生的思维品质，促进学生综合素养的发展.。
构造拉格朗日定理辅助函数的几种方法
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一类与中值公式相关的辅助函数的构造方法
一类与中值公式相关的辅助函数的构造方法微分中值定理在数学分析中起着非常重要的作用，关于定理本身的证明以及应用中值定理证明某一些等式，都需要构造相应的辅助函数，使其满足罗尔定理的条件，从而达到证明目的。
一、构造辅助函数的具体方法证明中值定理及相关等式往往与函数在某一点?灼的导数有关，因此在构造辅助函数时一般需分三个步骤：第一，先将等式两端的点?灼换成x；第二，分别求出等式两端函数的原函数；第三，求出等式两端原函数的差即为所求的辅助函数。
如拉格朗日中值定理的结论是f′（?灼）=，首先将?灼换成x，即为f′（x）=，而左端的原函数为f（x），右端的原函数为x，令f（x）=f（x）-x，则容易验证f（x）满足罗尔定理的三个条件，因此定理立即得证。
例1，设f（x）在［a，b］上可微，试证明存在?灼∈（a，b），使2?灼［f（b）-f（a）］=（b2-a2）f′（?灼）分析：将?灼换成x得2x［f（b）-f（a）］=（b2-a2）f′（x），左端的原函数为x2［f（b）-f（a）］，右端的原函数为（b2-a2）f （x），于是作辅助函数f（x）=x2［f（b）-f（a）］－（b2-a2）f （x）即可。
证明：令f（x）=x2［f（b）-f（a）］－（b2-a2）f（x），则f （x）在［a，b］上可微，且满足f（a）=a2f（b）-b2f（a）=f（b），所以f（x）在［a，b］上满足罗尔定理条件，于是存在?灼∈（a，b），使得f′（?灼）=0，即f′（?灼）=2?灼［f（b）-f（a）］-（b2-a2）f′（?灼）=0，从而得2?灼［f（b）-f（a）］=（b2-a2）f′（?灼）。
二、构造辅助函数的简单技巧某一些中值恒等式不能直接应用上述三个步骤证明，因此在证明之前需要先作恒等变形，或者先将?灼换成x后再作恒等变形。
例如：柯西中值定理结论为=，将?灼换成x后为=，而的原函数不易求得，因此将等式变形为f′（x）=g′（x），而后求得左端的原函数为f（x），右端的原函数为g（x），于是令辅助函数f（x）=f （x）-g（x），则易证f（x）满足罗尔定理的条件，于是定理容易得证。
几种构造辅助函数的方法及应用
几种构造辅助函数的方法及应用许生虎（西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070）摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。
关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法1. 引言在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。
构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。
但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。
但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。
2. 构造辅助函数的七中方法2.1“逆向思维法”例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()⎰=2121dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，使()()θθθf f -='.证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数.将()()θθθf f '变为()()0='⋅+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '⋅+='=,可考虑辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F因为()()ξξf f =1 ,而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F =所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF即:()()θθθf f -='.证毕2.2 原函数法在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下:(1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ(2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式;(3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;(4)移项,将等式一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数.例2: ()[]()(),0,0,,>>a f a b a b a x f 且内可导，其中上连续，在在设 分析: ()()ξξξf ab f '⋅-= 可令 ()()()x f x b x F a -=证明: 作辅助函数 ()()()x f x b x F a-= ()x F 在[]()内可导，又上连续，在b a b a ,,故 ()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件于是，()b a ,∈∃ξ，使()0='ξF亦即： ()()ξξξf ab f '⋅-= 证毕2.3设置变量法当结论中含两个中值ηξ,时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数()x F 。
微分中值定理辅助函数构造
4 、常数k值法 此方法构造辅助函数的步骤分为以下四
点：
11〕将结论变形，使常数局部别离出来并令为． 22〕恒等变形使等式一端为a及f(a)构成的代数式，
另一端为b及f(b)构成的代数式． 33〕观察分析关于端点的表达式是否为对称
式．假设是，那么把其中一个端点设为x，相 应的函数值改为f(x)． 4〕端点换变量x的表达式即为辅助函数F(x)．
〔四〕、构造结论法
构造结论法，就是按照命题的条件和要 求构造出符合结论的数学对象，从而断 定命题正确性的证题方法．有些数学命 题是断言存在着具有某种性质的数学对 象，或者是断言某种数学对象具有某种 特定的性质，对于这种类型的数学命题， 证明的关键往往是构造出符合要求的数 学对象，用构造结论的方法对数学命题 作出证明，称为“构造性证明〞 。
由题设条件及所给的数量关系，构造一种新的函数、方程、多项式等具体数学关系，使问题在新的关系下实现转化从而获得解决的方 法称为构造数学关系法．
通 过 几 何 图 形 考 查 两 函 数 在 区 间 端 点 处 分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出的条件和结论．
〔二〕、构造数学关系法
微分中值定理辅助函数构造
〔一〕、构造数学命题法
1．构造等价命题
如果遇到的数学问题直接证明有困难时， 可构造其等价命题，并通过证明其等价 命题成立从而使所论命题获证．
2．构造辅助命题
在解答某些数学问题时，如果缺乏现成的 根据，那么我们不妨构造一个辅助命题 作为根据，只要证明了辅助命题是真命 题，原问题就迎刃而解．
为了说明一个命题不真，常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例．这个过程叫做构造反例．选择特殊值，极端情形，常常是 构造反例的关键．
构造辅助函数
如何构造辅助函数在编程中，辅助函数是一种非常有用的工具，它可以帮助我们更好地组织代码，提高代码的可读性和可维护性。
一个好的辅助函数可以让我们的代码更加简洁、高效，同时也可以避免代码中的重复性工作。
本文将介绍如何构造辅助函数，帮助读者更好地理解和应用辅助函数。
一、什么是辅助函数辅助函数是指在程序中用来完成特定任务的函数，它通常不是主程序，而是被其他函数或模块所调用。
辅助函数通常用来实现一些通用的功能，比如字符串处理、文件操作、数据转换等。
二、为什么需要辅助函数在编程中，我们经常会遇到一些重复性的工作，比如字符串拼接、数据转换等。
如果每次都要手动完成这些工作，不仅效率低下，而且容易出错。
而辅助函数就是为了解决这些问题而存在的。
通过编写一个通用的辅助函数，我们可以将这些重复性的工作封装起来，让代码更加简洁、高效。
三、如何构造辅助函数1.确定函数的功能在编写辅助函数之前，我们需要先确定函数的功能。
一个好的辅助函数应该具有通用性，可以在多个场景下使用。
同时，我们也需要考虑函数的输入和输出，以及函数的返回值类型等。
例如，我们需要编写一个辅助函数用来计算两个数的和。
这个函数的输入应该是两个数字，输出应该是这两个数字的和。
2.编写函数代码在确定函数的功能之后，我们就可以开始编写函数代码了。
在编写代码时，我们需要注意以下几点：（1）函数的名称应该简洁明了，能够清晰地表达函数的功能。
（2）函数的输入和输出应该明确，可以通过注释或者函数签名来表示。
（3）函数的代码应该简洁、高效，并且易于理解。
例如，我们可以编写如下的辅助函数：```pythondef add(x, y):"""计算两个数的和:param x: 第一个数:param y: 第二个数:return: 两个数的和"""return x + y```3.测试函数代码在编写完函数代码之后，我们需要对函数进行测试，以确保函数的正确性。
罗尔中值定理构造辅助函数
罗尔中值定理构造辅助函数
罗尔定理证明题中构造辅助函数的基本方法
罗尔定理虽是微分中值定理中最基础的一个，但其应用相当广泛，许多涉及中值定理的证明题都可以用罗尔定理解决。
中值定理证明题的普遍难点在于辅助函数的构造。
（甚至可以说这是唯一难点，如果告诉你用什么辅助函数，就差不多等于告诉你答案了。
）辅助函数的构造法虽千差万别，但也不是毫无规律可循。
“条件变形”和“原函数法”是解罗尔定理证明题时两种构造辅助函数的常用方法。
（“条件变形”能解决的题目通常比较容易，我们重点介绍“原函数法”。
）
罗尔中值定理是微积分解题需要用到的基本定理之一，是研究函数及其导函数关系的重要工具。
本文首先对罗尔中值定理进行论述，然后通过例题对其应具体应用进行分析，重点阐述应用罗尔中值定理构造辅助函数的一般方法，使学生能够掌握罗尔中值定理在微积分解题中的使用技巧。
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得辅助函数
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乌 云 刘玉瑛 几种构造辅助函数的方法的归纳 教育教学研究 则 F ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可导 , 且
F ( a) = F ( b) = f ( b) l na - f ( a) l nb 根据罗尔定 (ξ ) = 0 , 即有 理 , 至少存在一点 ξ ∈ ( a , b) , 使 F′ f ( b) - f ( a) = ξ ln b (ξ ) f′ a [ 分析 ] 将结论中的 ξ换成 X , 得可分离变量 (ξ ) f′ dy 的微分方程 : (ξ = K ,即 = kdx f ) y 其通解为 f ( x ) = cekx 即 e - kx f ( x ) = c 于是可设辅助函数为 F ( x ) = f ( x ) e - kx 则 F ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可导 , 且 F ( a) = F ( b) = 0 , 由罗尔定理知 , 至少存在一点 ξ (ξ ) f′ (ξ ) = 0 , 即有 ∈ ( a , b) , 使 F′ = k ) f (ξ 例 6 设 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续 , 在 ( 0 , 1) 内可 f ( x) - 1 导 , f ( 0) = f ( 1) = 0 , li m = 1 , 试证 : 1 1 2 x→ ) 2 ( x 2 1 ( 1) 存在 η ∈ ( ) = η; , 1) , 使得 f (η 2 ( 2) 对任意实数 λ, 必存在 ξ ∈ ( 0 ,η ) , 使得 ( ξ ) λ ( ξ ) ξ f′ - [ f - ] = 1 [ 分析 ] 在 ( 1) 要证明的结论中 , 证至少存在 1 ) = η, 结论变形为 f (η ) 一点 η ∈ ( , 1) , 使 f (η 2 η = 0 , 即证函数有零点 , 将 η “变易” 为 x得 ( ( f x) - x = 0 则设辅助函数为 F x) = f ( x) - x f ( x) - 1 1 ) = 1 ,故 F( x) 则由 li m = 1 ,知 f ( 1 1 2 2 x→ ( x ) 2 2 1 在 [ , 1 ] 上连续 , 且 2 1 1 1 1 F( ) = f ( ) = > 0, 2 2 2 2 F ( 1) = f ( 1) - 1 = 0 - 1 = - 1 < 0 ; 1 ) 由零点定理知 , 至少存在一点 η ∈ ( , 1) , 使 F (η 2 = 0 , 即 f ( h) = η 在 ( 2) 将证结论中的 ξ换为 x , 得一阶线性微分 ( x) - λ 方程 : f ′ f ( x) = 1 - λ x
(ξ ) = f′ f ( b) - f ( a) 2ξ b2 - a2 f ( b) - f ( a) 2ξ 2 2 b - a
2 2 b f ( a) - a f ( b) 2 2 b - a f ( b) - f ( a) 2 F ( b) = f ( b) b 2 2 b - a 2 2 b f ( a) - a f ( b) = 2 2 b - a 根据零点定理 , 至少存在一点 ξ ∈ ( a , b) 使
bf ( b) - af ( a) ) +ξ (ξ ) = f (ξ f′ b- a bf ( b) - af ( a) = k ,则 b- a bf ( b) - kb = af ( a) - ka [ 分析 ] 令
则可设辅助函数为 :
F ( x) = xf ( x) - kx bf ( b) - af ( a) x b- a 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可导 , 且 F ( a) = xf ( x ) = F ( b) 。 由罗尔定理知 , 至少存在一点 ξ ∈ ( a , b) , (ξ ) = 0 , 即有 使 F′ bf ( b) + af ( a) ) +ξ (ξ ) = f (ξ f′ b- a
K
[ 责任编辑 : 张建荣 ]
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—
=
(ξ ) = 0 即 f ′ (ξ ) F′ (ξ ) = f′ f ( b) - f ( a) 2ξ b2 - a2
f ( b) - f ( a) 2ξ = 0 2 2 b - a
二 、 原函数法
在利用微分中值定理 ( 尤其是罗尔定理 ) 求解 介值 ( 或零点) 问题时 , 要证明的结论往往是某一个 函数的导函数的零点 , 因此可通过不定积分反求出 原函数作为辅助函数 , 其步骤为 : 1 . 将要证结论中的 ξ( 或 x 0 ) 换成 x ; 2 . 通过恒等变换 , 将结论化为易积分 ( 或容易 消除导数符号) 的形式 ; 3 . 用观察法或凑微分法求出原函数 ( 必要时 , 可在等式两端同乘以非零的积分因子 ) , 为简便起 见 , 可将积分常数取为零 。 4 . 移项 , 使等式一边为零 , 则等式的另一边即 为所需的辅助函数 。 例 3 设 f ( x) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可 导 , 0 < a < b , 证明在 ( a , b) 内必存在一点 ξ, 使
λ x 其通解为 f ( x ) = x + Ce , λ - x ( ) 即 e [ f x - x ] = C 于是构造辅助函数为 : F ( x ) = e - λx [ f ( x) - x ] ) 内可导 , 且 F ( x ) 则 F ( x ) 在 [ 0 ,η] 上连续 , 在 ( 0 ,η ) = 0 , 由罗尔定理知 , 至少存在一点ξ ∈ ( 0 , = F (η η ) , 使得 F′ (ξ ) = 0, -λ (ξ ) = e ξ{ f ′ (ξ ) - λ[ f (ξ ) - ξ] - 1} = 0 则 F′ (ξ ) - λ[ f (ξ ) - ξ] = 1 即有 f ′
期)
几种构造辅助函数的方法的归纳
乌 云1 刘玉瑛2
( 1. 内蒙古大学职业技术学院 ,内蒙古 呼和浩特 010023 ; 2. 内蒙古科技大学数理学院 ,内蒙古 包头 014000)
一 、 参数变易法
四 、 微分方程法
所谓 “微分方程法” 是指遇到诸如 “求证存在 ξ (ξ ) = φ[ξ, f (ξ ) ]” ∈ ( a , b) , 使得 f ′ 之类的问题 φ ( ) 时 , 可先解微分方程 y′= x , y , 得其通解 G ( x , y ) = c , 则可构造辅助函数为 F ( x ) = G ( x , y ) 例 5 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可 导 , 且 f ( x ) ≠0 , x ∈ ( a , b) , 若 f ( a) = f ( b) = 0 。 (ξ ) f′ 证明 :对任意实数 k , 存在点 ξ ∈ ( a , b) 使 (ξ = f )
三 、 常数 k 的值法
若要证明的命题中 , 常数已分离 , 可考虑用以 下步骤求辅助函数 : 1 . 将常数部分记作 k ; 2 . 恒等变形 , 使等式一端为 a 构成的代数式 , 另一端为 b 构成的代数式 ; 3 . 分析关于端点的表达式是否为对称式 , 若 是 , 只要把端点 a 改成 x , 则换变量后的端点表达式 就是所求辅助函数 。 例 4 设 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可导 , 证明 :在 ( a , b) 内至少存在一点 ξ, 使
[ 分析 ] 将要证明结论中的 ξ换为 x , 再变形
1 b ( x) 两边积分 , 得 为 [ f ( b) - f ( a) ] = ln f′
a b [ f ( b) - f ( a) ] l nx = l n f ( x ) + C 取 C = 0 , a F ( x) = [ f ( b) - f ( a) ] l nx - l n b f ( x) a x
f ( b) - f ( a) = ξ ln b (ξ ) f′ a
(ξ ) = [ 分析 ] 本题要证明 f ′
即证 :存在唯一的 ξ ∈ ( a , b) , 使
f ( b) - f ( a) (ξ ) f ′ 2ξ = 0 2 2 b - a
将ξ “变易” 为变量 x , 得辅助函数
f ( b) - f ( a) 2 x b2 - a2 则 F ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可导 , 且 F ( x) = f ( x) F ( a) = F ( b) f ( b) - f ( a) 2 F ( a) = f ( a) a 2 2 b - a