几种构造辅助函数的方法及应用
简析导数问题中构造辅助函数的常用方法
简析导数问题中构造辅助函数的常用方法作者：杨光关键来源：《新课程·中旬》2013年第09期导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题，年年必考，在这道压轴的大题中，解答时常涉及构造函数，我简单谈一下常用的构造方法.一、作差法（直接构造法）这是最常用的一种方法，通常题目中以不等式形式给出，我们可以作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论.当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负.例1.设x∈R，求证ex≥1+x构造函数f （x）=ex-1-x，对函数求导可得f ′ （x）≥ex-1，当x≥0时，f ′ （x）≥0，f （x）在[0，+∞）上是增函数，f （x）≥f （0）=0，当xf （0）=0，因此，当x∈R，f （x）≥f （0）=0，即ex≥1+x例2.x>-1，求证1-■≤ln（x+1）≤x以证明右侧为例，设f （x）=x-ln（x+1），f ′ （x）=1-■（x>-1）令f ′ （x）=0，x=0，当x∈（-1，0）时，f ′ （x）0，函数递增，所以x=0时，函数取最小值f （0）=0，∴f （x）≥0.二、先去分母再作差有的问题直接作差构造函数后，求导非常麻烦，不具有可操作性，可先去分母再作差.例3.x>1，求证■分析：设f （x）=■-lnx，f （x）=■-■-lnx，f ′ （x）=■x-■+■x-■-■，f ′ （x）=■≥0，f （x）≥f （1），f （1）=0，∴f （x）>0三、先分离参数再构造例4.（哈三中2012期末试题21）已知函数f （x）=xlnx，g （x）=-x2+ax-3（1）求f （x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f （x）≥g （x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有lnx>■-■成立.分析：（1）略（2）2xlnx≥-x2+ax-3恒成立，∵x>0，原不等式等价于a≤2lnx+x+■.令g （x）=2lnx+x+■，则g′ （x）=■，所以g （x）的最小值为g （1）=4，即a≤4（3）利用前面提到的第二种方法，先去分母再构造，目的就是使得构造的函数易于求导，易于分析.原不等式等价于xlnx>■-■，令F （x）=xlnx，G （x）=■-■则可求F （x）的最小值为F （■）=-■；G （x）的最大值为G （1）=-■，所以原不等式成立.四、从条件特征入手构造函数证明例5.若函数y=f （x）在R上可导且满足不等式xf ′ （x）>-f （x）恒成立，且常数a，b 满足a>b，求证：af （a）>bf （b）分析：由条件移项后xf ′ （x）+f （x），可以构造函数F （x）=xf （x），求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf ′ （x）>f （x），则移项后xf ′ （x）-f （x），要想到是一个商的导数的分子，构造函数F （x）=■，求导去完成证明.五、由高等数学中的结论构造利用泰勒公式，可以把任意一个函数用幂函数近似表示.f （x）=f （x0）+f ′ （x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+…当f （x）=lnx，取x=1，则lnx=x-1-■+…lnx≈x-1例6.数列{an}，a1=1，an+1=lnan+an+2，求证an≤2n-1分析：设f （x）=lnx-（x-1），f ′ （x）=■-1=■，当x∈（0，1），f ′ （x）>0当x∈（1，+∞），f ′ （x）lnan≤an-1，an+1=lnan+an+2≤2an+1，∴an+1+1≤2（an+1）迭代，1+an≤2（1+an-1）≤…≤2n-1（1+a1）=2n∴an≤2n-1例7.（2008年山东理21）已知函数f （x）=■+aln（x-1）其中n∈N*，a为常数.（1）当n=2时，求函数f （x）的极值；（2）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f （x）≤x-1分析（2）：当a=1时，f （x）=■+ln（x-1）.当x≥2时，对任意的正整数n，恒有■≤1，故只需证明1+ln（x-1）≤x-1.令h （x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），则h ′ （x）=1-■=■，当x≥2时，h ′ （x）≥0，故，h （x）在[2，+∞）上单调递增，因此x≥2时，当h （x）≥h （2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立.故当x≥2时，有■+ln（x-1）≤x-1.即f （x）≤x-1.另外，高等数学中有一个极限结论：■■=1由以上极限不难得出，当x>0时，sinx所以函数 f （x）在（0，+∞）上单调递增，f （x）>f （0）=0.所以x-sinx>0，即sinx导数问题中构造辅助函数还有其他的方法，例如变更主元法，二次求导再构造，难度偏大，这里先不做详解.（作者单位杨光：黑龙江省哈尔滨师范大学数学系关键：黑龙江省大庆市第四中学）？誗编辑谢尾合。
根据微分中值公式构造辅助函数的3种类型及其方法
证 明： 设 （ ）＝ ３ ｚ ｆ １一 ｚ ｚ ｆ（ ） （ ）一厂（ １一
ｚ） （ ， ∈ （ ， ） 由题 设 令 ｑ ｘ）＝ ｆ ｘ） （ ｆ ｘ） ｚ ０ １， （ （ ｆ １一
ｚ）代入 式 （）得 ， １，
在（ ｂ ａ， ）内恒 成立 ， 中 （ 见 下述 步骤 ① ， 其 ｚ） 就可 统
怎样构 造适 当的辅助 函数 是证 明一 些 与微分 中值 有关 的题 目的关 键 ， 对 所 给题 目中与 微 分 中值 有关 针 的等 式 的不 同特 征 ， 根据微 分 中值公 式 ， 归纳 出 ３种构
造辅 助 函数 的方 法 ．
（ ． 根据 命 题 ２ 求 ｑ ｚ） ２个零 点定 出函数 ｚ）② 要 （ 有 ｑ ｘ）③ 将 步骤 ① 所设 的 和 步 骤 ② 所 定 的 代 入 式 （ ． （） １ ，求 出 函 数 Ｐ（ ． 对 辅 助 函 数 Ｆ（ ＝ ｚ） ｑ（ ａ， ）使 ）＋ ｑ ） （ （ ）＝ ０ ． 证 明 ： Ｆ（ 设 ｚ）＝ ｑ ｚ） ）则 由命 题 １ 存 在 （ ， 知
∈ （ ｂ ， Ｆ（ ａ， ）使 ）＝ ０ 由此 便得 ．
ｑ （ ＋ ｑ ） ）＝ ０ ） （ Ｐ（ 证毕．
命题 ２ ：若 函 数 ｑ ｚ）Ｐ（ （ ， ｚ）满 足 以 下 条 件 ：
① ｑ ｘ） ［ ｂ 连 续 ， （ ｂ （ 在 ａ， ］ 在 ａ， ）内可 导 ， 口 ａ 且 （ ）＝ ｑｂ （ ）＝ ０ ② （ 在 ［ ｂ 广 义连续 ， （ ｂ ． ｚ） ａ， ］ 在 ａ， ）内可
④ 作 辅助 函数 Ｆ（ ＝ ｑ ｘ）ｐ ） ｆ ｘ）一 使 ｘ） （ ｅ（ ＝ （ ｅ妇．
ｑ ｚ） ｐ 使 用罗 尔定 理 ， （ ｅ 即得 出需证 明 的结果 ． 这种 类 型 的辅 助 函数 ， 又称 为指 数 型辅助 函数 ．
罗尔定理中辅助函数的构造与应用
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罗尔定理中辅助函数的构造与应用
作者：郭欣红
来源：《消费导刊·理论版》2008年第14期
[摘要]构造辅助函数是解决罗尔定理问题的一种重要方法，本文介绍了几种巧妙构造辅助函数的有效方法。
[关键词]罗尔定理辅助函数
微分中值定理中的罗尔定理是高等数学中的一个重要内容，因为它的应用非常广泛，而构造辅助函数是解决罗尔定理问题的最主要的方法。
若辅助函数构造得合理巧妙,满足定理的三
个条件，则问题很快就能迎刃而解。
本文将主要讨论几种构造辅助函数的常用方法。
一、归纳法构造辅助函数
参考文献
[1] 汪诚义. 高等数学与微积分[M]. 群言出版社
[2] 微积分辅导.[M].华中科技大学高等数学教研室.华中科技大学出版社
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
数学证明中的构造辅助函数方法
数学证明中的构造辅助函数方法摘要数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。
遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂.这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。
文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路.关键词辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；函数表达式；极值1.引言数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数.基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止.构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.2.微分中值定理证明中构造辅助函数的方法与技巧2.1 拉格朗日（Lagrange ）中值定理辅助函数的作法定理1（Rolle ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导； （iii ）()()f a f b =；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.定理2（Lagrange ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()f b f a f b aξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为Rolle 定理的结论。
微分中值定理(怎样构造辅助函数)
怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键，下面介绍怎样构造的方法，还有附带几个经典例题，希望对广大高数考生有所帮助。
先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)=f(ε)证明过程： f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y,所以 y dx dy =,即dx dy y =1，所以对两边简单积分，即⎰⎰=dx dy y11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C ，但这只是我的经验方法，所以不加）就是x y =ln ，也就是x e y =，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把x e 除下来，就是1=x ey ，所以左边就是构造函数，也就是x e y -⋅，而y 就是f(x)，所以构造函数就是x e x f -)(，你用罗尔定理带进去看是不是。
再给大家举几个例子。
二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证：在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0 证：一样的，xy dx dy 2-=，把x,y 移到两边，就是xdx dy y21-=，所以积分出来就是2ln x y -=，注意y 一定要单独出来，不能带ln ，所以就是=y 2x e -，移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2)(x e x f ，再用罗尔定理就出来了。
三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a ，a ）中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0.证：02=+y x dx dy ，移项就是dx x dy y 121-=，所以x y ln 2ln -=，所以就是21x y =，移项就是12=⋅x y ，所以构造的函数就是2)(x x f ⋅，再用罗尔定理就可以了。
注：这种方法不是万能的，结合下面例题尝试做下。
微分中值定理的证明题1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ∀∈，(,)a b ξ∃∈使得：()()0f f ξλξ'+=。
辅助函数的构造
F (a) F (b)
即 F ( x ) 满足罗尔定理，
于是，至少 一个 (a , b) ，使得 F ( ) 0
f (b) f (a ) 1 f ( ) 0 即 ， ln b ln a
ab 0
b 亦即 f (b ) f (a ) f ( ) ln a
一般来说，命题中涉及闭区间上连续函数， 但不涉
及可导，会考虑利用介值定理或零点定理. 如果证明中
缺少区间端点的函数值的性质， 要考虑利用最值定理后,
再利用介值定理.
例 1.设 f (x) 在 [a, b]上连续，xi [a, b]，ti 0 (i 1, 2, , n) ，
t 且
i 1
则 F ( x ) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a , b) 内可导，
f (b ) f (a ) 又 F ( a ) f ( a ) ln b ln a ln a
ln b f (a ) ln a f (a ) ln a f (b) ln a f (a ) ln b ln a
例 5： （P146 习题 3.1 第 7 题） 设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续， 在 (a, b) 内可导， a b 0 ，证明：在 ( a , b ) 内至少存在一个
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba bf ( b ) a f ( a ) bf ( b ) kb af ( a ) ka k， 【分析】令 ba
显然，这是一个对称式( a 与 b 互换等式不变)
故作辅助函数 F ( x ) xf ( x ) kx xf ( x )
bf (b ) a f (a ) x， 【证明 1】 令 F ( x ) xf ( x ) ba
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。
今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。
首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。
因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。
至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。
一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。
解析：这是非常常见的一道题。
估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。
其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
构造辅助函数法在《数学分析》中的应用
关键词 ：辅助 函数 ； 方程 ； 不等式 ； 恒等式 ； 有界 ； 一致连续
中图分类号 ： １４ ０ ７
构造辅助 函数法是在《 数学分析》 中解题经 常用到的方
法， 它能将 问题化繁为简 ， 使隐含条件变得 明显 、 具体． 所谓 构造辅助 函数就是在解题 中 ， 依据题设和结论 ， 构造 出一个 新 的函数 ， 把结论转化为研究该 函数的性质 ， 以此达到解题
ｎ十 Ｊ
＝
＋ ，则 ｆｘ ｃ ’） （
Ｃ ＋ ｘ … ＋ ｌ－ ｏ Ｃ１＋ ＣＩｌ 】 【
在判别方程根的存在性 时 ，主要依据是零点存在 定理
和 罗尔 定 理 ．
因 为 ｆ ） 【，］ 连 续 ， （ ， ） 可 导 ， ｆ ）０ ｆ ） （在 ０ １ ｘ 上 在 ０ １内 且 （＝ ，１ ０ （
２１ 利用 函数的单调性证明不等式 ． 例 ４ 证明不等式 ｘ ＜ ｉ ＜ （＞ ） 一 ｓ ｘ ） ｘｏ． ｎ 【
证明 （ｉ） ｆ ）ｓ ｘ ｘ 则 （ ￣ＯＸ １ ， 以 ｆ ） 令 （ ＝ｉ — ， ｘ ｎ Ｘ ＣＳ一 ≤０ 所 ｉ ） ｘ
令 ｘ ｘ￣ｉｘ ｂ 则 ｆ ） ０ ＋ 】 ） 一 ｓ — ， （在［， ｂ上连续 ， ＝ ｎ ｘ ａ 且
ｓｎ ｘ ｉｘ＜ ．
超 过 ａ ｂ的正 实 根 ． ＋
（） ｇ＝ ｎ则 ’ １ｏ 手 ２ 一 ｉ令 （ｘ ｘ ｇ） ｃ 一 ｉ 等 ｉ ｘ一 ） ， （ 一ｓ ｓ争 ｘ ｘ ： ｎ
＋
Ｘ—
例 ２ 证 明方程
Ｘ— ｌ
＋ 』 ： ０在 （ ２ 与 （ ， ） １ ） ２ ３
，
ｃ ＋ ＝ 据 尔 理ｔ０【］ 少 Ｄ … ０ 罗 定 ，）在 ， 至 有 ＋ ＋ 根 争 ｆ ｏ内 （ １ ｘ ＝
求中值定理证明的几种构造函数的方法
求中值定理证明的几种构造函数的方法1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点1)将要证的结论中的换成；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数 . 例1:证明柯西中值定理分析:在柯西中值定理的结论中令，得，先变形为再两边同时积分得，令，有故为所求辅助函数. 例2:若, , ,…, 是使得的实数.证明方程在（0，1）内至少有一实根. 证:由于并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设（取），则 1）在[0，1]上连续 2）在（0，1）内可导 3） =0，故满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在使，即亦即 . 这说明方程在（0，1）内至少有实根.2 积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数. 例3:设在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，， .证明存在使 . 分析:结论变形为，不易凑成 .我们将换为，结论变形为，积分得: ，即，从而可设辅助函数为，有 .本题获证. 例4:设函数，在上连续，在内可微， .证明存在，使得: . 证:将变形为，将换为，则，两边关于积分，得: ，所以，其中，由可得 .由上面积分的推导可知，为一常数，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的.因而令，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证.3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数. 例5:证明拉格朗日中值定理. 分析:通过弦两个端点的直线方程为，则函数与直线AB的方程之差即函数在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数. 例6:若在上连续且 .试证在内至少有一点，使 . 分析:由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数的图形曲线必跨越这一条直线，而两者的交点的横坐标，恰满足 .进而还可由图知道，对上的同一自变量值，这两条曲线纵坐标之差构成一个新的函数，它满足 <0, >0,因而符合介值定理的条件.当为的一个零点时，恰等价于 .因此即知证明的关键是构造辅助函数 .4 常数k值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点: 1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为 . 2）恒等变形使等式一端为及构成的代数式，另一端为及构成的代数式. 3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式.若是，则把其中一个端点设为，相应的函数值改为 . 4）端点换变量的表达式即为辅助函数 . 例7:设在上连续，在内可导，，试证存在一点，使等式成立. 分析:将结论变形为，令，则有，令，可得辅助函数 . 例8:设在上存在，在，试证明存在，使得 . 分析:令，于是有，上式为关于，，三点的轮换对称式，令（or: ，or: ），则得辅助函数 .5 分析法分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论. 例9:设函数在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点，使得 . 分析:所要证的结论可变形为: ，即，因此可构造函数，则对与在[0，1]上应用柯西中值定理即可得到证明. 例10:设函数在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且 =0，对任意有 .证明存在一点使（为自然数）成立. 分析:欲证其成立，只需证由于对任意有，故只需证: 即，于是引入辅助函数（为自然数）. 例11:设函数在区间［0，+ ］上可导，且有个不同零点: .试证在[0，+ ]内至少有个不同零点.（其中，为任意实数）证明:欲证在[0，+ ）内至少有个不同零点，只需证方程 =0在[0，+ ]内至少有个不同实根. 因为，，，故只需证方程在内至少有个不同实根. 引入辅助函数，易验证在区间[ ]，[ ]，…，[ ]上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这个区间上应用罗尔定理，得，其中且以上说明方程在[ ] [ ] … [ ] [0，+ ]内至少有个不同实根，从而证明了方程 =0在[0，+ ]内至少有个不同实根。
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧构造辅助函数是应用微分中值定理的一种常用技巧，通过构造合适的辅助函数，可以简化定理的证明过程，使得结论更容易得到。
下面将介绍几种常见的构造辅助函数的技巧。
1.构造差商辅助函数：差商是在微积分中常用的一个概念，表示函数在一点附近的平均变化率。
通过构造差商辅助函数，可以将函数的变化率转化成差商的形式，从而应用差商的性质进行分析和证明。
具体来说，如果要证明一个函数在一些区间上的平均变化率等于两个点之间的差商，可以构造一个辅助函数，使得辅助函数的导数等于差商，从而可以利用微分中值定理得到所需的结果。
2.构造导函数辅助函数：导函数是函数在一点处的斜率，表示函数的变化速率。
通过构造导函数辅助函数，可以转化函数在区间上的斜率问题为导函数在特定点上的函数值问题。
具体来说，可以通过构造辅助函数的导函数等于原函数的导函数，再利用微分中值定理得到结论。
3.构造积分辅助函数：积分是函数的反导数，表示函数在一点处与坐标轴之间的面积。
通过构造积分辅助函数，可以将函数的积分转化为函数在区间上的平均值。
具体来说，可以通过构造辅助函数的积分等于原函数的积分，再利用微分中值定理得到所需的结论。
4.构造复合函数辅助函数：复合函数是两个或多个函数通过函数运算得到的新函数。
通过构造复合函数辅助函数，可以将定理的证明转化为复合函数的导数的证明。
具体来说，可以通过构造复合函数辅助函数使得辅助函数的导数等于复合函数的导数，再利用微分中值定理得到结论。
总之，构造辅助函数是证明微分中值定理的一种常见技巧，可以简化证明过程，使得结论更容易得到。
不同的辅助函数类型适用于不同的证明问题，具体的构造方法需要根据具体的问题进行选择。
在构造辅助函数时，需要充分发挥函数的性质和微积分的基本概念，灵活运用各种技巧，才能得到令人满意的结果。
高等数学辅助函数的构造方法及应用
高等数学辅助函数的构造方法及应用1.极限函数构造方法：极限函数是研究极限存在性、计算极限值的重要辅助工具。
在构造极限函数时，可以利用基本初等函数（如指数函数、对数函数、三角函数等）的性质和运算法则，通过运算、组合或分解等方法得到所需的函数。
应用：a.利用极限函数构造方法可以证明柯西收敛准则、介值定理等数学定理。
b.在计算极限的过程中，可以应用极限函数构造方法将原式转化为更容易计算的形式。
2.反函数构造方法：反函数是研究函数的性质、解方程、求极值等问题时经常用到的工具。
在构造反函数时，需要保证原函数为一一映射（即可逆），并通过交换自变量和因变量的位置得到反函数。
应用：a.反函数构造方法可以应用于解方程，通过求解反函数可以得到原方程的解。
b.在求函数的导数时，可以应用反函数构造方法将原函数转化为反函数的形式，从而简化计算。
3.特殊函数构造方法：特殊函数是高等数学中具有特定性质和重要应用的函数，包括阶乘函数、伽马函数、贝塞尔函数等。
这些函数在构造时需要考虑其特定的性质和定义条件。
应用：a.特殊函数构造方法可以应用于求解微分方程、积分等问题，通过引入特殊函数可以简化问题的求解过程。
b.特殊函数的性质和应用广泛，可以用于研究数学、物理、工程等各个领域的问题。
4.递推函数构造方法：递推函数是指通过前一项和已知条件来递推出后一项的函数。
在构造递推函数时，需要给出递推公式和初始条件，并通过递推关系得到所需的函数。
应用：a.递推函数构造方法可以应用于解决递推关系式、数列求和等问题，通过递推公式可以快速计算出数列的项或求和结果。
b.在组合数学中，递推函数构造方法常用于证明组合恒等式、计算组合数等问题。
总之，高等数学辅助函数的构造方法多种多样，根据问题的具体要求和性质选择适当的构造方法非常重要。
这些函数的应用广泛，涉及数学、物理、工程等各个领域，对于问题的分析和求解都起到了重要的作用。
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，它可以用来构造辅助函数。
在这里，我将介绍三种常见的方法。
方法一：构造辅助函数来证明微分中值定理我们首先回顾微分中值定理的陈述：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
为了证明这一定理，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。
我们可以计算g(a)和g(b)：g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=f(a)g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)由于g(x)是f(x)的线性函数，我们可以得出g(a)=f(a)和g(b)=f(b)。
根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
将g(x)展开得到：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)当x=c时：0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
方法二：构造辅助函数来确定函数的最大值和最小值微分中值定理的一个重要应用是确定函数的最大值和最小值。
我们可以利用此定理构造辅助函数来确定函数在给定闭区间上的最大和最小值。
假设我们要确定函数f在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。
我们可以构造辅助函数h(x)=f(x)-M(x-a)，其中M是一个足够大的常数。
我们可以选择一个足够大的M，使得h(x)在[a,b]上永远不小于0。
当x=a时，h(a)=f(a)-M(a-a)=f(a)>=0当x=b时，h(b)=f(b)-M(b-a)=f(b)-M(b-a)<=0根据微分中值定理，存在c∈(a,b)，使得h'(c)=0。
几种构造辅助函数的方法及应
几种构造辅助函数的方法及应构造辅助函数是在编程过程中，为了简化代码、提高可读性和可维护性而创建的功能函数。
它们通常用于处理常见的、重复的或复杂的操作，以减少重复性代码的编写和维护工作。
下面将介绍几种常见的构造辅助函数的方法及其应用。
1.检查函数参数的有效性在函数内部，可以构造一个辅助函数用于检查传递给函数的参数的有效性。
这种辅助函数可以验证参数的类型、范围和必要性，并返回一个布尔值或抛出一个异常来指示参数的有效性。
通过使用这种辅助函数，可以减少代码重复，提高代码的可读性和可维护性。
例如，考虑以下函数：```pythondef divide(a, b):if isinstance(a, int) and isinstance(b, int) and b != 0:return a / belse:raise ValueError("Invalid arguments")```这里可以构造一个辅助函数来检查参数的有效性：```pythondef check_valid_args(a, b):if not (isinstance(a, int) and isinstance(b, int) and b != 0):raise ValueError("Invalid arguments")def divide(a, b):check_valid_args(a, b)return a / b```2.格式化数据```pythondef format_date(date):year = date[:4]month = date[4:6]day = date[6:]return f"{year}-{month}-{day}"```这里可以构造一个辅助函数来处理日期的格式化：```pythondef format_date(date):return f"{date[:4]}-{date[4:6]}-{date[6:]}"def format_data(data):formatted_data = []for date in data:formatted_date = format_date(date)formatted_data.append(formatted_date)return formatted_data```3.实现常用算法或数据结构为了简化代码，可以构造辅助函数来实现常用的算法或数据结构。
几种构造辅助函数的方法及应用
几种构造辅助函数的方法及应用许生虎（西北师X 大学数学系， 730070）摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。
关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法1. 引言在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。
构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。
但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。
但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。
2. 构造辅助函数的七中方法2.1“逆向思维法”例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()⎰=2121dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，使()()θθθf f -='.证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数. 将()()θθθf f '变为()()0='⋅+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '⋅+='=,可考虑辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F 因为()()ξξf f =1 ,而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F =所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF 即:()()θθθf f -='.证毕原函数法在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: (1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ(2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式;(3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;(4)移项,将等式一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数.例2: ()[]()(),0,0,,>>a f a b a b a x f 且内可导，其中上连续，在在设 ()()()ξξξξf ab f b a '⋅-=∍∈∃,,证明： 分析: ()()ξξξf ab f '⋅-=()()x f ax b x f x'⋅-=−−→−=ξ令()()xb ax f x f -='⇒()()c x b x f a ln ln ln +-=−−→−-积分()()c x f x b a=-⇒可令 ()()()x f x b x F a-=证明: 作辅助函数 ()()()x f x b x F a-=()x F 在[]()内可导，又上连续，在b a b a ,, ()()()())0(0==-=a f a f a b a F a()()()0=-=b f b b b F a故 ()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件 于是，()b a ,∈∃ξ，使()0='ξF()()()()()01='-+--ξξξξf b f b a a 即：亦即：()()ξξξf ab f '⋅-=证毕 2.3设置变量法当结论中含两个中值ηξ,时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数()x F 。
微分中值定理辅助函数构造
4 、常数k值法 此方法构造辅助函数的步骤分为以下四
点：
11〕将结论变形，使常数局部别离出来并令为． 22〕恒等变形使等式一端为a及f(a)构成的代数式，
另一端为b及f(b)构成的代数式． 33〕观察分析关于端点的表达式是否为对称
式．假设是，那么把其中一个端点设为x，相 应的函数值改为f(x)． 4〕端点换变量x的表达式即为辅助函数F(x)．
〔四〕、构造结论法
构造结论法，就是按照命题的条件和要 求构造出符合结论的数学对象，从而断 定命题正确性的证题方法．有些数学命 题是断言存在着具有某种性质的数学对 象，或者是断言某种数学对象具有某种 特定的性质，对于这种类型的数学命题， 证明的关键往往是构造出符合要求的数 学对象，用构造结论的方法对数学命题 作出证明，称为“构造性证明〞 。
由题设条件及所给的数量关系，构造一种新的函数、方程、多项式等具体数学关系，使问题在新的关系下实现转化从而获得解决的方 法称为构造数学关系法．
通 过 几 何 图 形 考 查 两 函 数 在 区 间 端 点 处 分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出的条件和结论．
〔二〕、构造数学关系法
微分中值定理辅助函数构造
〔一〕、构造数学命题法
1．构造等价命题
如果遇到的数学问题直接证明有困难时， 可构造其等价命题，并通过证明其等价 命题成立从而使所论命题获证．
2．构造辅助命题
在解答某些数学问题时，如果缺乏现成的 根据，那么我们不妨构造一个辅助命题 作为根据，只要证明了辅助命题是真命 题，原问题就迎刃而解．
为了说明一个命题不真，常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例．这个过程叫做构造反例．选择特殊值，极端情形，常常是 构造反例的关键．
第6讲 构造辅助函数的方法
第6讲 构造辅助函数的方法对于证明与函数有关的不等式、零点或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围,讨论一些方程解的个数等类型问题时,常常需要构造辅助函数,并通过求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决.题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,解题的繁简程度也不同,所以为了构造出合理的函数,方便我们解题,我们需要遵循一大构造原则是“导函数可判定原则”.所谓的“导函数可判定原则”就是所构造的函数,求导之后要能够判定出函数的正负号,从而研究原函数单调性,如果无法判定导函数正负号,则说明原函数构造得有问题,需要重新构造.本节会总结出一些常用的构造函数的方法,如果解题过程中求导很复杂或者进行不下去就需要思考函数构造得是否合理,而且在解题过程中函数的构造方式有很多种,要选择合理的构造方式,而所要遵循的就是“导函数可判定原则”.构造法一:移项作差构造函数移项作差构造是我们最常用的方法,当试题中给出简单的基本初等函数,例如()()3,ln f x x g x x ==,进而证明在某个取值范围内不等式()()f x g x 成立时,可以通过移项作差,构造函数()()()F x f x g x =-,进而证明min ()0F x 即可,在求最值的过程中,可以利用导数作为工具.注意:下面的例题用到了隐零点相关的内容,读者如果有疑惑可以在看完后面隐零点部分的章节后再回来看.【例1】已知函数()()21e x f x x =-,其中(),0,1a x f x ax ∈∀-R ,求实数a 的取值范围. 【解析】0x =时,不等式()1f x ax -为11--,对任意实数a 都成立.当0x >时:0a >时,不等式()f x ax 1-化为()10f x ax -+,令()()g x f x =-1ax +, 则()()g x f x a '=-'.由()()221e x f x x x =+-',令()h x =()()()2221e ,41e 0x x x x h x x x +-='++>,()h x ∴即()f x '在()0,∞+上单调递增,()()01f x f '>=-'.()()01g x g a '>=-'∴-.若10a --,即1a -,则()0g x '>在()0,∞+上恒成立,()g x 在()0,∞+上递增.()()00g x g >=,不等式()1f x ax -+0成立.若1a >-,由上讨论知存在00x >,使得()00g x '=,且当00x x <<时,()0g x '<,()g x 递减.0x x >时,()()0,g x g x '>递增,()min 0()g x g x =.而()00g =,因此00x x <<时,()g x <()()00,0g g x =不成立. 综上1a -.【例2】已知函数()e xf x x =(其中e 为自然对数的底数),求证:()1e ln 2x f x x >+-. 【解析】证明：要证()1e ln 2x f x x >+-, 只需证明:()11e ln 02x x x --+>对于0x >恒成立, 令()()11e ln 2x g x x x =--+,则()1e (0)x g x x x x=->'. 当0x >时,令()()1e x h x g x x x'==-, 则()()()211e 0,x h x x h x x =++>'在()0,∞+上单调递增,即()1e xg x x x=-'在()0,∞+上为增函数.又222333223227e e 33238g ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=-< ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦'⎣()0,1e 10g -'=>. ∴存在02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00g x '=.由()0200000e 11e 0xx x g x x x x -=-=='得 020e 1x x =,即0201e x x =,即00002ln ,ln 2x x x x -==-. ∴当()00,x x ∈时,()1e 0x g x x x=-<',()g x 单调递减. 当()0,x x ∞∈+时,()1e x g x x x=->'()0,g x 单调递增. ()()0min000()1e ln x g x g x x x ∴==--+32000002200122112222x x x x x x x -++-=++=. 令()3222213x x x x x ϕ⎛⎫=++-<<⎪⎝⎭, 则()22132233x x x x ϕ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭'503>()x ϕ∴在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.()0220327x ϕϕ⎛⎫∴>=> ⎪⎝⎭.()()()0020,2x g x g x xϕ∴=>()11e ln 02x x x ∴--+>()1e ln .2x f x x >+-即构造法二：等价变形构造函数通常我们对不等式移项构造出来的函数无法直接判定导函数的正负号,所以需要利用不等式性质对所证不等式进行等价变形,先做一个简化,再构造函数,而简化的原则通常是“减少分式,去掉分母”,构造出一些常用的,可判定的函数. 【例1】设函数()1e xf x -=-.证明:当x >1-时,()1x f x x +.【分析】本题依然考虑构造函数解决不等式,但如果仅仅是移项,则所证不等式为1-e 01x x x --+,令()1e 1x xg x x -=--+,其导函数比较复杂,不容易求出函数最值,所以考虑先对不等式进行等价变形再构造,转变为形式较为简单的不等式,再构造函数进行证明,这个也就是导函数可判定原则. 【解析】证明：1111e 1e 1x x x x x x -⇔-⇔++11.e1xx +1,x >-∴所证不等式等价于e 1e 10x x x x +⇔--设()e 1.xg x x =--∴只需证min?()0g x 即可()e 1,x g x =-'令()00g x x >⇒>'，令()010g x x <⇒-<<',()g x ∴在()1,0-上单调递减,在()0,∞+上单调递增. ()()()min ()00,00g x g g x g ===,故不等式得证.【例2】已知函数()11x e f x ax x-=--()a ∈R ,若对任意的()()0,,0x f x ∞∈+>恒成立,求a 的取值范围.【解析】()()0,0,,0x x f x ∞>∴∈+>恒成立转化为2e 10x ax x --->在0x >上恒成立.设()2e 1(0)xh x ax x x =--->,()e 21x h x ax ∴'=--.设()()e 21(0)xx h x ax x ϕ=='-->,()e 2x x a ϕ=-'∴.①当12a时,()0x ϕ'>, ()x ϕ∴在()0,∞+上单调递增.()()00x ϕϕ∴>=,即()0h x '>.()h x ∴在()0,∞+上单调递增.从而()()00h x h >=,即对任意的x ∈()()0,,0f x ∞+>恒成立.12a∴符合题意. ②当12a >时,由()e 20xx a ϕ=-='得()ln 2x a =, 令()()0,0ln 2x x a ϕ<∴<<'. 令()()0,ln 2x x a ϕ>∴>'.∴函数()x ϕ在()()0,ln 2a 上单调递减,在()()ln 2,a ∞+上单调递增.()()()()ln 2212ln 2x a a a a ϕϕ∴=--. ()()()ln 221h x h a a ∴='--'()2ln 2a a .设()1ln (1)t x x x x x =-->,()ln 0t x x ∴='-<.()t x ∴在()1,∞+上单调递减.()()()()10.ln 20t x t h a ∴'<=∴<.()00,x ∞∴∃∈+,使得()00h x '=.∴当()00,x x ∈时,()0h x '<,函数在()00,x 上单调递减.()()000,0,h x x =∴∈时,()0h x <.12a ∴>时不符合题意.综上,a 的取值范围为12a .构造法三:拆分转化构造函数有些函数经直接移项作差构造出来的新函数,求导后无法直接判断导函数的正负号,变形后也不行,则需要利用不等式性质对所证不等式拆分为()()f x g x >的形式,若能证明min max ()()f x g x >,即可得()()f x g x >.本方法的优点在于对x 的项进行分割变形,可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强,如果min ()f x 与max ()g x 不满足min max ()()f x g x >,则无法通过这种方式证明()()f x g x >.【例1】求证：()120,,ln 1e e x x x x ∀∈+∞+>-.【分析】所证不等式12ln 1e exx x +>-,若都移到左边构造函数,则函数12ln 1e exxy x =+-+,很难分析单调性,进而无法求出最值.本题考虑在两边分别求出最值,再比较大小即可. 【解析】 122ln 1ln .e e e ex x x x x x x x 解+>-⇔+>- 设()()ln ,1ln 1ln 2p x x x x p x x x =+=+='++. 令()()()22110,00,e e p x x p x x p x '>⇒>'<⇒<<∴在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,在21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增.()min 2211()e e p x p x p ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭.设()()()2e ,1e ex x q x x q x x --=--'=.()q x ∴在()0,1单调递增,在()1,∞+单调递减.()()max 1()1eq x q x q ∴==-.()min max ()().0,p x q x x ∞∴>∴∀∈+, ()()min max ()()p x p x q x q x >.()()p x q x ∴>,所证不等式成立.【例2】设函数()1ln f x x t x x=--，其中()0,1,x t ∈为正实数.(1)若不等式()0f x <恒成立,求实数t 的取值范围.(2)当()0,1x ∈时.证明:211e ln x x x x x+--<【解析】(1)由题意得()222111t x tx f x x x x -+=+-='设()21(01)h x x tx x =-+<<,则2Δ4,0t t =-> ①当240t -时,即02t <时,()0f x '∴函数()f x 在()0,1上单调递增,()()10f x f <=,满足题意.②当240t ->时,即2t >时,则()h x 的图像的对称轴12tx =>. ()()01,120h h t ==-<,()h x ∴在()0,1上存在唯一实根,设为1x ,则当()10,x x ∈时,()()0,0h x f x >>'. 当()1,1x x ∈时,()()0,0h x f x <<'.()f x ∴在()10,x 上单调递增,在()1,1x 上单调递减.此时()()max 110f f x f =>=,不合题意.综上可得,实数t 的取值范围是(]0,2.(2)(证明) 321e ln xx x x x x +--<等价于()()211e ln x x x x x-+<.()0,1,ln 0x x ∈∴<.∴原不等式等价于21e ln 1xx x x x ->+. 由(1)题知当2t =时,12ln 0x x x--<在()0,1x ∈上恒成立,整理得212ln x x x ->. 令()e (01)1xm x x x =<<+,则()2e 0(1)x x m x x '=>+ ∴函数()m x 在区间()0,1上单调递增.()()2e 1122ln x m x m x x -∴<=<<,即21e ln 1xx x x x ->+在()0,1上恒成立.∴当()0,1x ∈时,恒有211e ln x x x x x+--<构造法四：整体代换构造函数在处理函数时,如果函数有相同的部分,或者可以凑出相同的部分,则可以整体代换达到简化函数的目的,进而提高运算效率.这里我们常用的一个变形结构是ln e e x x x x +=,令ln t x x =+来实现指对互化的整体代换.【例1】已知函数()()2ln 21f x x x =+-,求证:()()2121e x f x x --. 【解析】证明：令210t x =->,要证()()2121e x f x x --,即证1ln t t tte ++,其中0t >,构造函数()e ln 1t g t t t t =---,其中()()()110,1e 11t t t g t t t e t t ⎛⎫⎛⎫>=+-+=+- ⎪ ⎪⎭⎝'⎝⎭令()1e t t t ϕ=-,其中0t >,则()21e 0,t t t ϕ=+>∴'函数()t ϕ在()0,∞+上单调递增.()()000000120,1e 10,211,1,e 0,e 1.2t t t t t t 存在使得即ϕϕϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎛⎫∴∈=-== ⎪⎝⎭当00t t <<时,()0t ϕ<,即()0g t '<,此时函数()g t 单调递减. 当0t t >时,()0t ϕ>,即()0g t '>,此时函数()g t 单调递增.()()0000min 00000()e lne ln 1e ln e 1110t t t t g t g t t t t t ∴==---=--=-=.∴所证不等式成立.【例2】设0x >.证明()1:1xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是增函数，且()f x e <（e 为自然对数的底数）【解析】证明：设()()()1ln ln 1ln 1ln (0)m x f x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤==+=+-> ⎪⎣⎦⎝⎭, 则()11ln 11ln 111x x x m x x x x x +'⎛⎫=++-=+- ⎪++⎝⎭令(01)1x t t x =<<+,则1ln ln x t x+=-,设()()1ln m x h t t t ==--'. 由对数不等式(见10.2.2一节)可知()0h t (1t =时取等号),()0h t ∴>,即()0m x >,0x ∴>时,()m x 是增函数,而ln y x =也是增函数,0x ∴>时,()11xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是增函数.要证明()e f x <等价于证明()ln f x <1,即证1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,即证11ln 1x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,设11k x +=,则11(1)k k x=->,即证ln 1(1)k k k <->.由对数不等式(见10.2.2一节)可知ln 1k k -,当且仅当1k =时取等号. 1k >,ln 1k k ∴<-,即()e f x <成立.【例3】已知函数()()ln ,x f x xe a x x a R =-+∈,若()f x 有两个零点,求实数a 的取值范围。
罗尔中值定理构造辅助函数
罗尔中值定理构造辅助函数
罗尔定理证明题中构造辅助函数的基本方法
罗尔定理虽是微分中值定理中最基础的一个，但其应用相当广泛，许多涉及中值定理的证明题都可以用罗尔定理解决。
中值定理证明题的普遍难点在于辅助函数的构造。
（甚至可以说这是唯一难点，如果告诉你用什么辅助函数，就差不多等于告诉你答案了。
）辅助函数的构造法虽千差万别，但也不是毫无规律可循。
“条件变形”和“原函数法”是解罗尔定理证明题时两种构造辅助函数的常用方法。
（“条件变形”能解决的题目通常比较容易，我们重点介绍“原函数法”。
）
罗尔中值定理是微积分解题需要用到的基本定理之一，是研究函数及其导函数关系的重要工具。
本文首先对罗尔中值定理进行论述，然后通过例题对其应具体应用进行分析，重点阐述应用罗尔中值定理构造辅助函数的一般方法，使学生能够掌握罗尔中值定理在微积分解题中的使用技巧。
中值定理的证明中如何构造辅助函数
中值定理的证明中如何构造辅助函数中值定理是微积分中的一种重要定理，用于描述函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
证明中值定理需要引入辅助函数，我们可以通过构造辅助函数来进行证明。
下面我们详细介绍如何构造辅助函数并利用其来证明中值定理。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
首先，我们需要构造一个辅助函数g(x)来辅助证明。
设辅助函数为：g(x)=f(x)-k(x-a)其中k为待定常数，a为[a,b]中的其中一固定点。
我们现在要证明：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，并且f'(x)连续，则存在其中一点c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
证明过程如下：1.首先，我们求辅助函数g(x)在(a,b)上的导数：g'(x)=f'(x)-k2.根据题目条件，f(x)在[a,b]上连续，并且在(a,b)上可导，则f(x)在[a,b]上连续，f'(x)在(a,b)上连续。
3.由于f'(x)在(a,b)上连续，所以根据介值定理，对于任意两个值A和B，且A<B，则存在一点c∈(A,B)，使得f'(c)=(f(B)-f(A))/(B-A)。
4.我们希望g'(c)=f'(c)-k=0。
为了满足这个条件，我们可以令k=f'(c)，则g'(c)=0。
5.因此，我们需要找到一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=k。
根据介值定理，存在点c∈(a,b)，使得f'(c)=k=f'(c)。
即存在其中一点c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
6.由于g'(c)=0，根据微积分基本定理，g(x)在[a,b]上连续，并且在(a,b)上可导。
7.根据拉格朗日中值定理，g(a)-g(b)=g'(c)(a-b)。
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由于点 的纵坐标分别为
有向线段 的重数
于是就有拉格朗日中值定理的结论
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.
[2]杨根学.待证结论构造辅助函数法[J].天水师院学报，2001，（5）：55-56
2.构造辅助函数的七中方法
“逆向思维法”
例1：设 在 上可微，且满足 ，证明在 内至少有一点 ，使 .
证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数.
将 变为 ,联想到 ,可考虑辅助函数
因为 ,
而对于 ,有 ,
所以, ,由罗尔定理知,至少存在一点 ,使得
即: .
证毕
2.2原函数法
在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下:
分析：由 知， 是下凸函数.
由图1知：
即：
即：切线总在曲线的下方（几何意义）.
由图2知：
即：
证明：方法一：有分析及（1）知
取 时
即：
方法二：由（2）知，令 ，则(2)式变为
再次引进辅助函数，
则 递增，
即：
微分方程法
所谓“微分方程法”是指遇到诸如“求证存在 ，使得 ”之类的问题时，可先解微分方程 ，得其通解： ，则可构造辅助函数
于是， ，使
亦即：
证毕
设置变量法
当结论中含两个中值 时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数 。即：将结论中的 或 看作变量，作恒等变形后与中值定理的公式相对照，即可看出辅助函数的结构。
例3：设函数 在 且 在 内 可导,且 .试证明:
分析:欲证等式
将 均看作变量,则上式写成
(1)将要证的结论中的
(2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式;
(3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;
(4)移项,将等式一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数.
例2:
分析:
可令
证明:作辅助函数
在
故 在 上满足罗尔定理的条件
（2）做恒等变化，是等式（或不等式）一端为a及f(a)构成的代数式，另一端为b和f(b)构成的代数式；
（3）分析端点a,b的表达式是否为对称式或轮换式。若是将端点改为x，相应的函数值f(a)(或f(b))改为f(x)，则关于x,f(x)的表达式即为索求的辅助函数F(x).
例6：
分析：分离a,b与 ，则待证式
则上式的左端显然是关于a,b的对称式.令其为k,得
于是，可令
证明：作辅助函数
（其中 ）
由题设条件可知
并且
可见, 于是,
即 .亦即弧弦差法利用弧弦差来构造辅助函数，称为弧弦差构造函数法。微分中值定理的相关证明就采用种方法 ，现以拉格朗日中值定理为例：(原定理叙述略)
题7： 有向线段 的函数，设直线AB的方程为
构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。
辅助函数可取：
证明： 则由题设可知 上满足柯西中值定理，于是，
因为
所以，
再令 上满足柯西中值定理，于是，
由（1），（2）得 =
几何直观法
对于某些证明题可以先从结论的几何意义进行分析，作为符合已知定义、定理的辅助曲线，再利用解析几何知识列出辅助曲线方程进而找出证明题所需要的辅助函数，打开证明思路。
例4设函数 在 内可导， 试证明：在
例5设 在 上连续,在 内可导,且
证明：对 .
分析：将结论中的 换成 ，得可分离变量的微分方程：
，
即
其通解为 ，即：
于是可是辅助函数为
则
由Rolle定理知，至少存在一点 使得
即：
常数k值法
此法适用于从结论中可分离出常数部分的命题，构造出辅助函数 的具体步骤如下：
（1）从结论中分离出常数部分，将它令为k；
几种构造辅助函数的方法及应用
几种构造辅助函数的方法及应用
许生虎
（西北师范大学数学系，甘肃兰州730070）
摘要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。
关键词：辅助函数弧弦差法原函数法几何直观法微分方程法
1.引言
在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。