微积分的历史发展及其应用

科学技术创新2019.27

微积分是一门建立在实数、函数和极限基础上的学科，它主要研究函数的微分、积分以及相关概念和应用。微积分是微分

和积分的总称，微分即“无限细分”，积分即“无限求和”。微积分

的产生起源于极限思想，最早可追溯到我国的战国时期。魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”，古希腊数学家欧多克斯的“穷竭法”，阿基米德的“平衡法”等都蕴含着微积分的基本思想。17世纪牛顿莱布尼兹公式的提出标志着微积分理论开始成为一门独立的学科。微积分推动了人类文明的进步，在数学、物理、天文以及经济学等许多领域都起到了关键的作用。

1微积分的起源与发展

微积分思想的起源最早可以追溯到我国战国时期，

《庄子·天下篇》中曾提到过“一尺之棰，日取其半，万事不竭”；魏晋时期

刘徽在求圆周率时提出了“割圆术”的方法，其中蕴涵着分割、

求和、极限等思想。还有古希腊数学家欧多克斯的“穷竭法”，被认

为是微积分的第一步；阿基米德的“平衡法”，运用微元的思想计

算面积和体积等。这些都是微积分思想萌芽的最早体现，为后世微积分的诞生打下了基础。

从15-16世纪欧洲文艺复兴时代开始，培根、韦达、费马、笛卡尔、开普勒等人发展和完善了前人的思想，深入研究了求切

线、求面积和体积这两类基本问题，

并提出了无穷小的方法，但他们都没有意识到“求切线”和“求面积”这两者之间存在着互逆关系。直到17世纪，英国数学家巴罗引入了“微分三角形”的概念，以明确形式给出了求切线和求面积之间互逆关系的几何形

式，对后来微积分的创立起到了巨大的推动作用，

因此被认为是微积分创立的先驱者[1]。

17世纪以来，随着科学和生产力的进一步发展，以下四种类型的问题亟需解决：求变速运动中的即时速度；求曲线的切线；求函数的最值；求曲线长度、曲边梯形面积等。这些问题的

提出是促使微积分产生的重要因素，

牛顿对此做出了巨大贡献。牛顿在其三大著作《论流数》《无穷多项方程的分析》

《流数法和无穷级数》中，将求切线和求面积之间的互逆关系从巴罗的纯几何形式推广到了代数形式，第一次以明确形式给出了微积分

基本定理，并将其应用到许多动力学和运动学问题中，

在经典物理学领域做出了卓越的贡献。同时，德国数学家莱布尼兹在

前人理论的基础上也独立创建了微积分，

并且他所创设的微积分符号至今为我们使用。然而牛顿和莱布尼兹都没能严格定义

自己建立的微积分理论，尤其是对无穷小量的阐述存在矛盾，

由此引发了数学史上的第二次危机。后来柯西严格定义了无穷小

量、函数的极限和连续性等概念，

并在此基础上，重新阐述了微积分理论，从而消除了无穷小量引起的混乱，

第二次数学危机得到解决。经过数学家们的不懈努力，微积分最终发展成为一

门逻辑严密完善的学科[2]。

2微积分基本定理

微积分理论包含许多重要的定理，其中牛顿莱布尼兹公式是最核心的定理，也被称为微积分基本定理。本节我们重点介绍一下牛顿莱布尼兹公式。

微积分基本定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且F(x)

是f(x)在[a,b]上的一个原函数，

则有[3]牛顿莱布尼兹公式是联系微分与积分的桥梁，它证明了微

分与积分是可逆运算，揭示了定积分与被积函数的原函数之间的联系。它将定积分的计算转化为求被积函数的原函数，给求解曲线的长度、曲线围成的面积以及曲面围成的体积等问题提供了一个简单有效的方法。下面给出利用微积分基本定理计算的一些具体实例。

例1：计算。解：

。

例2：求曲线和x 轴在区间

上围成图形的面积。

解：题中求曲线围成的面积就是求在区间

上

的积分，即面积

。

3微积分的广泛应用

微积分的整个发展历程与实际问题密切相关。微积分可以

描述事物变化的过程，从数学的角度讲，

是研究变量在函数中的作用；从物理学的角度讲，可以用来研究物体变速运动或变力做功等问题；从经济学角度讲，能够用于企业的生产优化和决策等。

3.1微积分在数学中的应用例3：设f(x)在[a,b]上有一阶连续导数，。求证：

其中M 为在[a,b]上的最大值。

微积分的历史发展及其应用

马雨嘉

（清华大学附属中学，北京100084）

摘要：微积分是高等数学中的核心内容，也是近代数学的基础，微积分基本定理是微积分理论中最重要的定理。微积分在许

多领域发挥着关键作用。本文首先介绍了微积分的起源与发展历程，

其次重点介绍了微积分基本定理及其解题实例。然后结合实际问题，分别给出了微积分在数学、物理学和经济学方面的具体应用。最后总结了微积分的重要意义。

关键词：微积分思想；微积分基本定理；

微积分应用中图分类号:O172文献标识码:A 文章编号:2096-4390(2019)27-0008-022

1x+dx x

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证：题设满足拉格朗日中值定理条件，

由此可得所以有

则由定积分性质得

3.2微积分在物理学中的应用

例4：有一个充满水的圆柱形水池，高2m ，半径1m 。底部有一个半径1cm 的塞子。现在拔去塞子，

水以的速度开始流出，其中h 为水面离出水口的高度。求水面高度h

随时间变化的规律，并求经过多久水池中的水完全排空？[3]

解：设t 时刻水面的高度为h,经过dt 时间后，水面高度改变

了dh,则由题意可得

即

上式两边同时积分，并代入初始条件可得

此即为水面高度随时间变化的规律。当h=0时，代入可解得

大约经过1.06x104(s)后，水池中的水完全排空。

3.3微积分在经济学中的应用

例5：设企业生产某种商品的固定成本是7千元/千克，边际成本为

)千元/千克，边际收益为

千元/

千克。求企业生产该商品获得最大利润时的产量。如果产量继续增加1千克，企业获得的利润会如何变化？[4]

解：由所给条件可得，

企业的收益函数企业的成本函数

则企业的利润函数

边际利润

令可得x=4是唯一驻点，容易得出此时即为企

业利润最大时的产量。即当企业生产该商品4千克时能够获得最大利润，代入可得此时利润为5千元。并且此时边际收益正好等于边际成本，企业利润达到最大值。

如果产量继续增加1千克，则企业利润变化为

即在利润达到最大值后，商品每多生产1千克，企业利润反

而减少0.75千元。因此，企业应该综合考虑成本和收益变动情

况，保持合理的商品生产量，

从而实现利润最大化。4结论

微积分反映了自然界和社会的运动变化规律，是近代数学

中最伟大的成就。微积分是微分学和积分学的总称，

包括实数理论、极限理论、导数理论、微分理论、

积分理论等。它极大地促进了数学学科的发展，产生了许多以微积分为基础的数学分支，比如微分方程、复变函数、拓扑学、微分流形等[5]。微积分在天文、物理、经济学等领域也都有着广泛的应用，被誉为近代技

术文明产生的关键事件之一。可以说，

在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中，微积分起到了决定性作用。

参考文献

[1]陈宁.微积分基本定理———微积分历史发展的里程碑[J].工科数学,2000(6):76-79.

[2]常会敏.探索国家开放大学数学与应用数学专业应用型人才培养研究-从微积分理论谈起[J].新疆广播电视大学学报,2018,22(3):8-11.

[3]陈纪修,於崇华,金路.数学分析-第2版[M].北京：

高等教育出版社,2004.

[4]王宏军,贾月仙.数学微积分在经济方面的应用分析[J].科技创新导报,2017.

[5]黎海英.基于高师数学专业学生能力培养的微积分思想方法应用探析[J].大学教育

,2018,102(12):78-80.

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