NOIP复赛试题类型归纳

数学类问题
• 精度处理（高精度、实数处理、REAL类型 处理方法）
• • 组合数学问题（Fibonacci数列、类数、卡
特兰数、POLYA原理、排列组合计数、加 法原理与乘法原理） • • 进制问题（特定二进制串的统计、二分查 找、利用二进制进行路径、状态描述、二 进制转换）
数学类问题
• 递推与递归关系（递推关系式、通项公式、 数列、博弈问题）
整数，表示所有的满足的自然数的个数。 • 输入输出样例
• Function.inFunction.out53
字符、字串处理类问题
• 读入、分离和统计问题（文件结束符、行 结束符、空格符、回车符、字符组合分离、 统计）
• 插入、删除、修改、替换等相关编辑问题 （字符距离、优美编辑、初始状态与目标 状态的变换、迭代等处理性问题）
• 由于，分解质因数的算法时间复杂度为平 方根级的，因此这个算法的时间复杂度为 O((m-n)*m0.5)。
（二）标号法：枚举不同的因数，标记它们 的倍数。
• <方法三>分段统计法：将给定区间分成不重复且 不遗漏的若干个子区间，然后按方法二统计。
• 由于方法一每次处理单一元素，因此时间耗费高， 方法二将所有元素统一处理，因此空间需求大， 而方法三则综合前两种方法的优点，在充分利用 空间的情况下，得到较高的时间效率。
– 按条件描述直接模拟 – 注意事件发生的起止时间、状态的变化 – 按某一指标（时间）排序进行预处理 – 注意事项：
– 准确理解题意，切忌加入个人想当然思想，严 格按题意进行模拟
– 一般来说要考虑的因素较多，容易让人思路糊 涂，做题前要有绝对清晰的思路并逐步修正要 考虑的各种因素
搜索类问题
• 枚举类问题 • 产生式系统 • 无任何好的解决办法或其他方法不能完成的问题 • 搜索与其他方法的结合（与动态规划的结合、与贪心思想
的结合等）
– 确定搜索对象和搜索策略 – 选取适合的搜索方法（深度、广度、记忆化搜索） – 注意与其他方法的结合（贪心回朔、动态规划） – 减少搜索量（剪枝） – 注意事项：
– 剪枝条件的正确性（加剪枝条件与不加剪条件的程序 结果对照）
– 搜索也是解决问题的一种方法，有时搜索程序也可以 收到较好的效果，只要有较好的优化措施
• 多次读文件、边读边处理等大数据文件的处理技 巧
• 求正整数N和M之间具有最多真因子的数。 本题中的真因子是这样定义的：如果R<P 而且R能整除P，我们就称R是P的真因子， 对于特殊整数1，我们认为1是1的真因子。
• 参数范围：1≤N＜M≤999999999；M-N＜ 999999；
• <方法一>顺序查找法：依次统计规定范围 内的各整数的真因子个数，记录最优解。
• 数位、数字、特定数值的查找、统计（数 值处理、质因子分解、幂次分解、数值表 达式、添加运算符、分式与实数运算）
• 数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题（回文数字、矩阵处理、约瑟夫 与反约瑟夫问题）
• 数学剪枝（无解判定、解线性方程组、限 定搜索范围）
数学类问题的思维过程
– 相关公式、定理、原理的应用 – 寻找规律、归纳整理递归与递推关系式 – 按照数学方法构造、二进制转化等技巧性处理 – 注意事项： – 规律准确（小数据手工推算、搜索程序验证） – 数据类型是否合理、数据范围是否超界（大数
据处理）
Kathy函数(function.exe)
Tiger非常喜欢数学，所以他参加了学校组 织的数学课外兴趣小组。在兴趣小组的学 习当中，老师向Tiger介绍了Kathy函数， Kathy函数是这样定义的：
f (1) 1 f (3) 3 f (2n) f (n) f (4n 1) 2 f (2n 1) f (n) f (4n 3) 3 f (2n 1) 2 f (n)
正方形剖分问题
问题描述： 将n ×n 个小格组成的大正方形分割成若干个较小的整 数边长的正方形，要求分成的小正方形数目最小。 范围：1≤n≤32。 编程环境：FreePascal。可用64MB空间
n=7时的一个最小数目的剖分方案，
需要9个小正方形。
分析
当n为偶数时最少需要4个小正方形：
n/2 n/2
统计类问题
• 方案总数统计（矩阵、三角形划分方案统 计、问题解集个数统计）
• 特定、离散元素统计（01统计等二进制统 计问题）
• 横向、纵向规模化问题（数据范围、数据 维数巨大）
• 离散化问题
• 扫描技术、归类统计及平面、空间坐标体系变换 等几何学知识
• 离散化思想 • 线段树处理方法 • 降维、剪枝 • 借助于数学方法进行统计 • 注意事项： • 统计计数：避免待统计元素的遗漏、重复
• KMP算法及其改正
• 回文串、高精度运算及其以字符（串）作 为处理对象的相关问题
– 一般性字符处理 – 动态规划方法 – 字符树（查找、树的前序、中序、后序遍历） – 注意事项： – 读入时小心（READ、READLN语句及结束标
记）
– 字符串类型与字符数组存贮及其压缩存取
• 表达式值的计算
1
2 n/2
3
4 n/2
当n为奇数时，很难发现有什么数学规律。
设fi,j表示一个i×j的矩形最少可以被剖分成多少个小正 方形:

0
i0或 j0
fi,j m iffn ik,k ,j ffi1 i, j kk ,j((0 0 kk ij))
• 方法三实质就是分解法的应用，由此我们将 “分解法”定义如下：
• 以一定的算法为原型，将大规模的问题分解成若 干个不遗漏且尽量不重复的相对独立的子问题， 使得所有子问题解集的全集就是原问题的解集。
模拟类问题
• 按题设描述进行直接模拟 • 队列模型模拟（银行事件驱动、公交车站、
牙医诊所） • 按时间（刻）顺序模拟状态（商船运输） • 类Pascal语言程序（算法）运行模拟
• Tiger对Kathy函数产生了浓厚的兴趣，他通过研 究发现有很多的数n都满足。
• 对于一个给定的数m，他希望你求出所有的满 足的自然数n的个数，其中。
• 输入输出要求 • 输入由文件”function.in”读入，仅有一行，为正整
数m，。 • 输出到文件”function.out”，输出文件仅有一个正