哈尔滨中考数学——旋转的综合压轴题专题复习

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM 上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．

（1）如图1，猜想：△CDE的形状是三角形．

（2）请证明（1）中的猜想

（3）设OD=m，

①当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．

②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）3；②当m=2或14时，以D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形．

【解析】

【分析】

（1）由旋转的性质猜想结论；

（2）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；

（3）①当6＜m＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到

C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；

②存在，分四种情况讨论：a）当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；

b）当0≤m＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m；

c）当6＜m＜10时，此时不存在；

d）当m＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m=14．

【详解】

（1）等边；

（2）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE 是等边三角形．

（3）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得：BE=AD，

∴C △DBE =BE +DB +DE =AB +DE =4+DE ，由（1）知，△CDE 是等边三角形，∴DE =CD ，∴C △DBE =CD +4，由垂线段最短可知，当CD ⊥AB 时，△BDE 的周长最小，此时，CD =23，∴△BDE 的最小周长=CD +4=23+4；

②存在，分四种情况讨论：

a ）∵当点D 与点B 重合时，D ，B ，E 不能构成三角形，∴当点D 与点B 重合时，不符合题意；

b ）当0≤m ＜6时，由旋转可知，∠ABE =60°，∠BDE ＜60°，∴∠BED =90°，由（1）可知，△CDE 是等边三角形，∴∠DEB =60°，∴∠CEB =30°．

∵∠CEB =∠CDA ，∴∠CDA =30°．

∵∠CAB =60°，∴∠ACD =∠ADC =30°，∴DA =CA =4，∴OD =OA ﹣DA =6﹣4=2，∴m =2；

c ）当6＜m ＜10时，由∠DBE =120°＞90°，∴此时不存在；

d ）当m ＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE =60°，又由（1）知∠CDE =60°，

∴∠BDE =∠CDE +∠BDC =60°+∠BDC ，而∠BDC ＞0°，∴∠BDE ＞60°，∴只能∠BDE =90°，从而∠BCD =30°，∴BD =BC =4，∴OD =14，∴m =14．

综上所述：当m =2或14时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

2．如图1，菱形ABCD ，AB 4=，ADC 120∠=，连接对角线AC 、BD 交于点O ， ()1如图2，将

AOD 沿DB 平移，使点D 与点O 重合，求平移后的A'BO 与菱形ABCD 重合部分的面积．

()2如图3，将A'BO 绕点O 逆时针旋转交AB 于点E'，交BC 于点F ， ①求证：BE'BF 2+=；

②求出四边形OE'BF 的面积．

【答案】()() 13?2①证明见解析3②

【解析】

【分析】

(1)先判断出△ABD 是等边三角形，进而判断出△EOB 是等边三角形，即可得出结论；

(2)先判断出 ≌△OBF ，再利用等式的性质即可得出结论；

(3)借助①的结论即可得出结论．

【详解】

()1四边形为菱形，ADC 120∠=，

ADO 60∠∴=，

ABD ∴为等边三角形，

DAO 30∠∴=，ABO 60∠=，

∵AD//A′O ，

∴∠A′OB=60°，

EOB ∴为等边三角形，边长OB 2=，

∴重合部分的面积：343⨯=， ()2①在图3中，取AB 中点E ，

由()1知，∠EOB=60°，∠E′OF=60°，

∴∠EOE′=∠BOF ，

又∵EO=BO ，∴∠OEE′=∠OBF=60°，

∴△OEE′≌△OBF ，

∴EE′=BF ，

∴BE′+BF=BE′+EE′=BE=2；

②由①知，在旋转过程中始终有△OEE′≌△OBF ，

∴S△OEE′=S△OBF，

∴S

四边形OE′BF =

OEB

S3

=.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.

3．如图（1）所示，将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角△CED 拼在一起．现将△CED绕点C顺时针旋转至△CE’D’，旋转角为a．

（1）如图（2），旋转角a=30°时，点D′到CD边的距离D’A=______．求证：四边形ACED′为矩形；

（2）如图（1），△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G，使得GD’=E’D；并说明理由．

（3）△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，∠CE’D=90°时，直接写出旋转角a的值．【答案】1

【解析】

分析：（1）过D′作D′N⊥CD于N．由30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论．

由D’A∥CE且D’A=CE=1，得到四边形ACED’为平行四边形．根据有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可得出结论；

（2）取BC中点即为点G，连接GD’．易证△DCE’≌△D’CG，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．

（3）分两种情况讨论即可．

详解：（1）D’A=1．理由如下：

过D′作D′N⊥CD于N．

∵∠NCD′=30°，CD′=CD=2，∴ND′= 1

2

CD′=1．

由已知，D’A∥CE，且D’A=CE=1，∴四边形ACED’为平行四边形．