20162017学年贵州省贵阳市高一(上)期末数学试卷

2016-2017学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B=（）A．{1，2，3}B．{0，1，2，3}C．{2}D．{0，1，3}
2．（4分）化简÷（b）（a＞0，b＞0）结果为（）
A．a B．b C．D．
3．（4分）正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）
A．x=0 B．C．D．x=π
4．（4分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）
A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx
5．（4分）设y1=log0.70.8，y2=log1.10.9，y3=1.10.9，则有（）
A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2
6．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，则•=（）
A．1 B．C．D．2
7．（4分）如果cos（π+A）=﹣，那么sin（+A）的值是（）A．B．C．D．
8．（4分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
9．（4分）函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（）
A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）
10．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f
（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（4分）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，该班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人．两次运动会中，这个班共有名同学参赛．
12．（4分）溶液酸碱度是通过pH值刻画的，pH值的计算公式为pH=﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10﹣7摩尔/升，则纯净水的pH=．
13．（4分）已知，那么=．
14．（4分）计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25=．
15．（4分）设A，B是非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合中B都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，设f：x→是从集合A到集合B的一个映射．①若A={0，1，2}，则A∩B=；②若B={1，2}，则A ∩B=．
三、解答题（共4小题，满分32分）
16．（8分）已知向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．
（Ⅰ）λ为何值时，+λ与垂直？
（Ⅱ）若（m+n）∥，求的值．
17．（8分）已知函数f（x）=x﹣．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
18．（8分）已知函数f（x）=sin2+sin cos．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[，π]，求f（x）的最大值与最小值．
19．（8分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程|f（x）•（2x+1）|=m有1个实根，求实数m的取值范围．四、阅读与探究（共1小题，满分8分）
20．（8分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．
阅读材料：
我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．
在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．
对于函数y=，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：
（1）在函数y=中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．
（2）在函数y=中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；
（3）在函数y=中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；
（4）由函数y=可知f（﹣x）=﹣f（x），即y=是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．
结合以上性质，逐步才想出函数y=对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．
2016-2017学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B=（）A．{1，2，3}B．{0，1，2，3}C．{2}D．{0，1，3}
【解答】解：∵集合A={0，1，2}，B={2，3}，
则集合A∪B={0，1，2，3}，
故选：B．
2．（4分）化简÷（b）（a＞0，b＞0）结果为（）
A．a B．b C．D．
【解答】解：原式==a，
故选：A
3．（4分）正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）
A．x=0 B．C．D．x=π
【解答】解：f（x）=sinx图象的一条对称轴为+kπ，k∈Z，
∴当k=0时，函数的对称轴为，
故选：C．
4．（4分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）
A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx
【解答】解：对于A，是奇函数；
对于B，是偶函数，不存在零点；
对于C，非奇非偶函数；
对于D，既是偶函数又存在零点．
故选：D．
5．（4分）设y1=log0.70.8，y2=log1.10.9，y3=1.10.9，则有（）
A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2
【解答】解：y1=，1）；y2=；y3=，
可得y3＞y1＞y2．
故选：A．
6．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，则•=（）
A．1 B．C．D．2
【解答】解：．
故选A．
7．（4分）如果cos（π+A）=﹣，那么sin（+A）的值是（）A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得：，根据诱导公式可得cosA=，
所以=cosA=，
故选B．
8．（4分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），
∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，
故选：B
9．（4分）函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（）
A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）
【解答】解：由图象知A=1，
∵=，
∴T=π，
∴ω=2，
∴函数的解析式是y=sin（2x+φ）
∵函数的图象过（）
∴0=sin（2×+φ）
∴φ=kπ﹣，
∴φ=﹣
∴函数的解析式是y=sin（2x﹣）
故选B．
10．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f （x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为2的周期性函数，
又x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2．
根据函数的周期性画出图形，如图，
由图可得y=f（x）与y=log5x的图象有4个交点
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（4分）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，该班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人．两次运动会中，这个班共有17名同学参赛．
【解答】解：设A={x|x是参加田径运动会比赛的学生}，B={x|x是参加球类运动会比赛的学生}，
A∩B={x|x是两次运动会都参加比赛的学生}，
A∪B={x|x是参加所有比赛的学生}．
因此card（A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）=8+12﹣3=17．
故两次运动会中，这个班共有17名同学参赛．
故答案为：17．
12．（4分）溶液酸碱度是通过pH值刻画的，pH值的计算公式为pH=﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10﹣7摩尔/升，则纯净水的pH=7．
【解答】解：由题意可得：该溶液的PH值为﹣lg10﹣7=7
故答案为：7
13．（4分）已知，那么=．
【解答】解：因为，
所以||=．
故答案为．
14．（4分）计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25=2．
【解答】解：原式=2 lg5+lg2•（1+lg5）+（lg2）2=2 lg5+lg2（1+lg5+lg2）
=2 lg5+2 lg2=2；
故答案为2．
15．（4分）设A，B是非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合中B都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，设f：x→是从集合A到集合B的一个映射．①若A={0，1，2}，则A∩B={0，1} ；②若B={1，2}，则A∩B={1}或∅．
【解答】解：①根据题意，A={0，1，2}，
通过对应关系f：x→，B={0，1，}，
所以A∩B={0，1}；
②根据题意，B={1，2}时，
过对应关系f：x→，得
A={1}或{4}或{1，4}；
所以A∩B={1}或∅．
故答案为：{0，1}，{1}或∅．
三、解答题（共4小题，满分32分）
16．（8分）已知向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．
（Ⅰ）λ为何值时，+λ与垂直？
（Ⅱ）若（m+n）∥，求的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．
∴=（1+λ，λ），
∵+λ与垂直，∴（）•=1+λ+0=0，
解得λ=﹣1，
∴λ=1时，+λ与垂直．
（Ⅱ）∵=（m，0）+（n，n）=（m+n，n），
又（m+n）∥，
∴（m+n）×1﹣（﹣1×n）=0，∴=﹣2．
∴若（m+n）∥，则=﹣2．
17．（8分）已知函数f（x）=x﹣．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x﹣的定义域是D=（﹣∞，0）∪（0，+∞），任取x∈D，则﹣x∈D，
且f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x﹣）=﹣f（x），
∴f（x）是定义域上的奇函数；
（Ⅱ）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣）﹣（x2﹣）
=（x1﹣x2）+（﹣）
=；
∵0＜x1＜x2，∴x1x2＞0，
x1﹣x2＜0，x1x2+1＞0，
∴＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
18．（8分）已知函数f（x）=sin2+sin cos．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[，π]，求f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2+sin cos
=+sinx
=sinx﹣cosx+
=sin（x﹣）+，
由T==2π，
知f（x）的最小正周期是2π；
（Ⅱ）由f（x）=sin（x﹣）+，
且x∈[，π]，
∴≤x﹣≤，
∴≤sin（x﹣）≤1，
∴1≤sin（x﹣）+≤，
∴当x=时，f（x）取得最大值，
x=π时，f（x）取得最小值1．
19．（8分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程|f（x）•（2x+1）|=m有1个实根，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=1﹣（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即1﹣=0，∴a=2；
（Ⅱ）设h（x）=|f（x）•（2x+1）|，g（x）=m，如图所示，
m=0或m≥1，两函数图象有一个交点，
∴关于x的方程|f（x）•（2x+1）|=m有1个实根时，实数m的取值范围是m=0或m≥1．
四、阅读与探究（共1小题，满分8分）
20．（8分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．
阅读材料：
我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．
在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．
对于函数y=，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：
（1）在函数y=中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．
（2）在函数y=中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；
（3）在函数y=中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；
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（4）由函数y=可知f（﹣x ）=﹣f（x），即y=是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．
结合以上性质，逐步才想出函数y=对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．
【解答】解：（1）在y=x2﹣中，x≠0，可以推测出：对应的图象不经过y轴，即与y轴不相交，
（2）令y=0，即x2﹣=0，解得x=±1，可以推测出，对应的图象与x相交，交点坐标为（1，0）和（﹣1，0），
（3）在y=x2﹣中，当0＜x＜1时，＞1＞x2，则y＜0，当x＞1时，＜1＜x2，则y＞0，可以推测出：对应的图象在区间（0，1）上图象在x轴的下方，在区间（1，+∞）上图象在x 轴的上方，
（4）在y=x2﹣中，若x∈（0，+∞），则
当x逐渐增大时逐渐减小，x2﹣，逐渐增大，即y逐渐增大，所以原函数在（0，+∞）是增函数，
可以推测出：对应的图象越向右逐渐升高，是单调递增的趋势，
（5）由函数y=x2﹣可知f（﹣x）=f（x），即函数为偶函数，可以推测出：对应的图象关于y轴对称
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