功能关系的综合应用

【举一反三】
假设某次罚点球直接射门时 ,球恰好从横梁下边
缘踢进 ,此时的速度为 v.横梁下边缘离地面的高度为 h,足球质 量为 m,运动员对足球做的功为 W1,足球运动过程中克服空气 阻力做功为 W2,选地面为零势能面 ,下列说法正确的是 ( B ) 1 2 A.运动员对足球做的功为 W1＝ mgh＋ mv 2 B.足球机械能的变化量为 W1－ W2 1 2 C.足球克服阻力做功为 W2＝ mgh＋ mv － W1 2 1 2 D.运动员刚踢完球的瞬间 ,足球的动能为 mgh＋ mv 2
【典例 1】 (2013 年高考全国大纲卷改编)如图，一固定粗糙斜面 倾角为 30° ，一质量为 m 的小物块自斜面底端以一定的初速度，沿 斜面向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小 g. 若物块上升的最大高度为 H，则此过程中，物块的( A ) ①动能损失了 2mgH ②动能损失了 mgH ③机械能损失了 mgH 1 ④机械能损失了 mgH 2 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
上乙轨道，最后离开两圆轨道。若小球在两圆轨道的最高点对轨道
压力都恰好为零，试求水平CD段的长度。
真题回放
如图所示，是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施，轨道除CD部分粗糙外，其 余均光滑．一挑战者质量为m，沿斜面轨道滑下，无能量损失地滑入第1个圆管形 轨道，根据设计要求，在最低点与最高点各放一个压力传感器，测试挑战者对轨 道的压力，并通过计算机显示出来．挑战者到达A处时刚好对管壁无压力，又经 过水平轨道CD滑入第2个圆管轨道，在最高点B处挑战者对管的内侧壁压力为0.5
mg，A、B分别是两轨道的最高点，然后从平台上飞入水池内，水面离轨道的距离
为h＝2.25 r．若第1个圆管轨道的半径为R，第2个圆管轨道的半径为r，g取10 m/s2，管的内径及人的尺寸相对圆管轨道的半径可以忽略不计，则 (1)挑战者若能完成上述过程，则他应从离水平轨道多高的地方开始下滑？ (2)挑战者从A到B的运动过程中克服轨道阻力所做的功是多少？ (3)挑战者入水时的速度大小是多少？
C．由于F1、F2大小不变，所以m、M各自一直做匀加速运动
D．由于F1、F2均能做正功，故系统的机械能一直增大
课堂速练
1、 （2015天津）如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小 圆环．圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙 上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L， 圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆 环下滑到 最大距离的过程中（ A．圆环的机械能守恒 B．弹簧弹性势能变化了 √ 3 mgL C．圆环下滑到最大距离时．所受合力为零 D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
【易错点再练】
如图所示 ，一轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与小木块m
连接，且m与M及M与地面间摩擦不计．开始时，m和M均静止，现同
时对m、M施加等大反向的水平恒力F1和F2，设两物体开始运动以 后的整个运动过程中，弹簧形变不超过其弹性限度．对于m、M和
弹簧组成的系统( B )．
A．由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒 B．当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m、M各自的动能最大
B．弹簧的弹性势能先减小后增大
C．弹簧的弹性势能变化了mgh D．弹簧的弹性势能最大时圆环动能最大
3．(2014年合肥八校联考)如图所示，质量为M、长为L的木板置于光 滑的水平面上，一质量为m的滑块放置在木板左端，滑块与木板间 滑动摩擦力大小为Ff，用水平的恒定拉力F作用于滑块．当滑块运动
到木板右端时，木板在地面上移动的距离为s，滑块速度为v1，木板
过平行于传送带的轻绳跨过光滑轻滑轮与物块b相连，b的质量为m，开 始时，a、b及传送带均静止且a不受传送带摩擦力作用，现让传送带逆
时针匀速转动，则在b上升h高度（未与滑轮相碰）过程中（
A．物块a重力势能减少mgh B．摩擦力对a做的功大于a机械能的增加
ABD ）
C．摩擦力对a做的功小于物块a、b动能增加之和
B ）Biblioteka Baidu
课堂速练
2、（2015浙江）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m、套 在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从A处由 静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，AC=h。圆环 在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A；弹簧始终在弹性限度之 内，重力加速度为g，则圆环（ BD ） A．下滑过程中，加速度一直减小
速度为v2，下列结论中正确的是( D )
（1）摩擦力做功的特点 （2）几组常见的功能关系 （3）体会功能关系在具体问题中的应用和解题的基本思路
功能关系的应用---习题课
3.如图所示，足够长传送带与水平面的夹角为θ ，物块a通过平行于传 送带的轻绳跨过光滑轻滑轮与物块b相连。开始时，a、b及传送带均静
1 2 B．下滑过程中，克服摩擦力做功为 4 mv 1 2 C．在C处，弹簧的弹性势能为 mv mgh 4 D．上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度
如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环， 圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定 在地面上的A点，弹簧处于原长h．让圆环沿杆滑下，滑到 杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中（ AC ） A．圆环机械能不守恒
A．4个小球在整个运动过程中始终不分离 B．在AB上运动时，2号球对3号球不做功
C．在CD上运动时，2号球对3号球做正功
D．4号球在CD上运动的最大高度与1号球初始位置等高
如图所示，斜面体斜面AC长为L，倾角为30°，B是斜面的中点，BC段放
D．任意时刻，重力对a、b做功的瞬时功率大小相等
4. 如图所示，一质量为m的物块以一定的初速度v0从斜面底端沿斜面
向上运动，恰能滑行到斜面顶端。设物块和斜面的动摩擦因数一定， 斜面的高度h和底边长度x可独立调节(斜边长随之改变)，下列说法
错误的是( D )
A．若增大m，物块仍能滑到斜面顶端 B．若增大h，物块不能滑到斜面顶端，但上滑最大高度一定增大
第1课时
【知识清单整合】
1.常见的几种力做功的特点
重要功能关系的应用
(1)重力、弹簧弹力、静电力做功与 路径 无关. (2)摩擦力做功的特点 ①单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功,也可以做负功,还可以 不做功. ②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和 一定为零 ,在静摩擦力做功的过 程中,只有机械能的转移,没有机械能转化为其他形式的能； 相互作用的一对滑 动摩擦力做功的代数和 一定不为零 ,且总为 负值 ,在一对滑动摩擦力做功 的过程中 ,不仅有相互摩擦物体间机械能的转移 ,还有机械能转化为内能 .转化 为内能的量等于系统机械能的减少量,等于滑动摩擦力与 相对位移 的乘积.
【疑难点突破】
一对滑动摩擦力做功的代数和与该过程中产生的
摩擦热有何联系？请举例说明
情景设置—最终保持相对静止
A
V0
B
在物体的运动中，做功的过程一定伴随着能量的转化，能量的转
化也必须通过做功才能实现
2.几个重要的功能关系 (1)重力的功决定 重力势能 的变化,即 WG＝ －ΔEp重 . (2)弹力的功决定 弹性势能 的变化,即 W 弹＝ －ΔEp弹 . (3)电场力的功决定 电势能 的变化,即 W 电＝ －ΔEp电 . (4)合力的功决定 动能 的变化,即 W＝ ΔEk .
【典例 2】 如图所示,光滑斜面固定在水平地面上,匀强电场平行于斜面向下, 弹簧另一端固定 ,带电滑块处于静止状态,滑块与斜面间绝缘 .现给滑块一个 沿斜面向下的初速度,滑块最远能到达 P 点.在这过程中( AD )
A.滑块的动能一定减小 B.弹簧的弹性势能一定增大 C.滑块电势能的改变量一定小于重力 与弹簧弹力做功的代数和 D.滑块机械能的改变量等于电场力与 弹簧弹力做功的代数和
A.B 物体受到细线的拉力保持不变 B.B 物体机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量 C.A 物体动能的增量等于 B 物体重力对 B 做的功与弹 簧弹力对 A 做的功之和 D.A 物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细 线拉力对 A 做的功
【感悟小结】 1.本题要注意几个功能关系： 重力做功决定重力势能的变化； 重力以外其他力做的功等于机械能的变化； 合力做的功等于动能的变化. 2. 本题在应用动能定理时 , 应特别注意研究过程的选取 .并且要弄 清楚每个过程各力做功的情况和对应的能量转化转系.
如图所示，有一固定轨道ABCD，AB段是四分之一光滑圆弧轨道，其半径
为R，BC段是水平光滑轨道，CD段是光滑斜面轨道，BC和 CD间用一小段
光滑圆弧连接．有编号为1、2、3、4完全相同的4个小球(小球不能视为 质点，其半径r＜R)，紧挨在一起从圆轨道上某处由静止释放，经BC到
CD上，忽略一切阻力，则下列说法正确的是( A )
C．若增大x，物块不能滑到斜面顶端，但滑行水平距离一定增大
D．若再施加一个水平向右的恒力，物块一定从斜面顶端滑出
方法技巧巩固 如图所示，小滑块从斜面顶点A由静止滑至水平部分C点 而停止。已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为x，
设转角B处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动
摩擦因数相同，求此动摩擦因数。
(5)重力之外(除弹簧弹力)的其他力的功决定 机械能 的变化. W 其他＝Δ E 机. (6)一对滑动摩擦力做功代数和的绝对值决定 系统内能 的变化. Q＝F·X 相对. (7) 导体棒在磁场中切割磁感线时,导体棒中出现感应电流，导体棒克服安培 力做的功等于 回路中产生的电能 ，即 W 克=
E电 .
【高考分析】
本单元综合应用动力学、能量的观点来解
决物体运动的多过程问题．本专题是高考的重点和热点，命题 情景新，联系实际密切，综合性强，也是高考压轴题考查的主 要方向． 【应考策略】 本节知识在高考中主要以两种命题形式出 现：一是综合应用功能关系和能量守恒定律，结合动力学方法 解决多运动过程问题；二是运用功能关系和能量的转化与守恒 解决电场、磁场内带电粒子的运动或电磁感应问题．由于本专 题综合性强，因此要在审题上狠下功夫，弄清运动情景，挖掘 隐含条件，有针对性地选择相应规律和方法．
止且mb＞masin θ 。现使传送带顺时针匀速转动，则物块在运动(物块
未与滑轮相碰)过程中( ABD A．一段时间后可能匀速运动 )
B．一段时间后，摩擦力对物块a可能做负功
C．开始的一段时间内，重力对a做功的功率 大于重力对b做功的功率
D．摩擦力对a、b组成的系统做的功等于a、b
机械能的增量
变式练习：如图所示，足够长传送带与水平方向的倾角为θ ，物块a通
【高考改编】如图所示,轻质弹簧的一端与固定的竖直板 P 拴接,另一端与物 体 A 相连,物体 A 置于光滑水平桌面上,A 右端连接一细线,细线绕过光滑的定 滑轮与物体 B 相连.开始时托住 B,让 A 处于静止且细线恰好伸直,然后由静止 释放 B,直至 B 获得最大速度.下列有关该过程的分析中正确的是 ( D )
【感悟小结】 在解决电学中功能关系问题时应注意以下几点： (1)洛伦兹力在任何情况下都不做功； (2)电场力做功与路径无关,电场力做功决定电势能的变化； (3)力学中的几个功能关系在电学中仍然成立.
【典例3】如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨 道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小 球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑
思考与讨论：滑块处于静止状态时,滑块受几个力的作用,弹簧一定处于 伸长状态吗？
【举一反三】
如图所示,一竖直绝缘轻弹簧的下端固定在地面上,上
端连接一带正电小球 P,小球所处的空间存在着竖直向上的匀强电场, 小球平衡时,弹簧恰好处于原长状态：现给小球一竖直向上的初速度, 小球最高能运动到 M 点,在小球从开始运动至达到最高点 M 的过程中, 以下说法正确的是 ( C ) A.小球机械能的改变量等于电场力做的功 B.小球电势能的减少量大于小球重力势能的增加量 C.弹簧弹性势能的增加量等于小球动能的减少量 D.小球动能的减少量等于电场力和重力做功的代数和