高等代数多项式
高等代数 第五章 多项式
充分性：由 ，而 ，知 是 的一重根。又由于 ，知 是 的二重根，依此类推，可知 是 的 重根。
23．举例说明段语“ 是 的 重根，那么 是 的 重根”是不对的。
解例如，设
那么 以0为 重根，但0不是 的根。
24．证明：如果 ，那么 。
证要证明 ，就是要证明 （这是因为我们可以把 看作为一个变量）。
再令 得 。
因此
原式
5）因为
原式=
由于
所以
原式
6）因为
原式
其中
所以
原式
30．用初等对称多项式表出下列n元对称多项式：
1）
2）
3）
4）
（ 表示所有由 经过对换得到的项的和。）
解1）因为多项式的首项为 ，所以
指数组
对应 的方幂乘积
4000…0
3100…0
2200…0
2110…0
1111..0
设
原式
令
得 。
所以
2）类似可得
3）因为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
所以
5．求 与 的最大公因式：
1）
2）
3）
解1）
2）
3）
6．求 使
1）
2）
3）
解1）因为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
所以
再由
解得
于是
2）仿上面方法，可得
且
3）由 可得
７．设 与 的最大公因式是一个二次多项式，求 的值。
解令 ，则
显然当 时，只有当 才有三重根。
下设 ，且 为 的重根，那么 也为 与 的根，即
由（1）可得 ，再由（2）有 。所以
高等代数 第三版§1.9 有理系数多项式
则称 g ( x ) 为本原多项式．
有关性质
1． f ( x ) Q[ x ], r Q , 使 f ( x ) rg ( x ),
其中 g ( x )为本原多项式．
（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）． 2．Gauss引理 定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
f ( x ) an x n an1 x n1 a0 , 证： 设 g( x ) bm x m bm 1 x m 1 b0
矛盾．
例3
证明： x n 2 在 Q 上不可约．
证：（令 p 2 即可）． (可见存在任意次数的不可约有理系数多项式) 例4
x2 x3 xp , 判断 f ( x ) 1 x 2! 3! p!
（ p 为素数）在 Q 上是否可约．
解： 令 g( x ) p ! f ( x ), 即
f (1) 3, f ( 1) 5.
而
矛盾．
所以 f ( x )不可约．
定理13
设
艾森斯坦因Eisenstein判别法
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 ,
是一个整系数多项式，若有一个素数 p, 使得
1 2 3
p | an p | an1 , an 2 ,, a0 p | a0
例1
4 3 求方程 2 x x 2 x 3 0 的有理根.
1 3 解： 可能有理根为 1, 3, , , 2 2
用综合除法可知，只有1为根．
例2
f ( x ) x 3 5 x 1 在 Q 上不可约． 证明:
证： 若 f ( x ) 可约，则 f ( x ) 至少有一个一次因式， 也即有一个有理根． 但 f ( x ) 的有理根只可能是 1,
高等代数第1章多项式
f(x)-g(x)q1(x)=f1(x) deg f1(x)n-1 f1(x)-g(x)q2(x)=f2(x) deg f2(x)n-2 fk(x)-g(x)qk+1(x)=fk+1(x) f1(x), f2(x),, fk(x)的次数渐减,直到小于g(x)的次数
上式可改写为 f(x) = f1(x) + g(x)q1(x) f1(x)= f2(x) +g(x)q2(x) +) fk(x)=fk+1(x)+g(x)qk+1(x) . f(x)=fk+1(x)+g(x)[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)] 于是,令q(x)=[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)], r(x)=fk+1(x), deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0. 唯一性 假设另有q1(x)和r1(x),满足 f(x) = q1(x)g(x) + r1(x) 其中deg(r1(x))<deg(g(x))或者r1(x)=0
四、综合除法
• 指用一次多项式除任一多项式的简便方法 • 1、理论根据
• • • • • • •
设 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 (an0) 则f(x)被x-c除所得商式是一个n-1次多项式, 设为 q(x)=bn-1xn-1+bn-2xn-2++b1x+b0 所以 f(x)=(x-c)q(x)+r, 其中r为余数,即 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 =(x-c)(bn-1xn-1+bn-2xn-2++b1x+b0)+r 比较两边系数,得
高代多项式
第一章 多项式多项式是高等代数的重要组成部分一、基本概念1、一元多项式定义 设n 是一非负整数，形式表达式()111n n n n 0f x a x a x a x a −−=++++", (1)其中全属于数域n a a a ,,,10"P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.P 在多项式（1）中，称为i 次项，称为次项的系数. 称为常数项. 如果，那么称为多项式的首项，称为首项系数，n 称为多项式的次数.多项式的次数记为.系数全为零的多项式称为零多项式. 零多项式是唯一不定义次数的多项式.i i x a i a i 0a 0≠n a n n x a n a )(x f ))((x f ∂2、整除 设(),()[]f x g x P x ∈,若存在()[]h x P x ∈，使)()()(x h x g x f =，则称整除.记，其中称为的因式.)(x g )(x f )(|)(x f x g )(x g )(x f 3、最大公因式 设(),(),()[]f x g x d x P x ∈，若(i),即为与的一个公因式；()|(),()|()d x f x d x g x )(x d )(x f )(x g (ii)对与的任一公因式，都有，)(x f )(x g ()h x ()|()h x d x 则称为与的最大公因式.把首系数为1的最大公因式记作)(x d )(x f )(x g ()(),()f x g x .4、互素 设(),()[]f x g x P x ∈，若与除零次多项式外没有其它的公因式，则称与互素，记为())(x f )(x g )(x f )(x g (),()1f x g x =上述两个定义可推广到n 个多项式的情形.需要注意的是，个多项式(2n n >)12(),(),()n f x f x f x "互素时，它们不一定两两互素.5、不可约多项式 中次数大于零的多项式不能表示成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积，则称为数域上不可约多项式.换句话说，在中只有平凡因式.[]P x )(x p P )(x p )(x p P )(x p []P x 对此需注意两点，其一对零和零多项式不定义它们的可约性；其二多项式的可约性依赖于系数域.6、重因式 设是数域上的不可约多项式，且，但， )(x p P )(|)(x f x p k )(|)(1x f x p k /+则称是的重因式.特别地，当)(x p )(x f k 1k =时，称是的单因式.)(x p )(x f 7、多项式的微商 设1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x −−=++++∈"，规定它的微商(也称导数或一阶导数)是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++−+=′−−−"此定义不是用函数与极限概念给出的，而是借用于数学分析中函数的导数形式的定义.上述诸定义都是把多项式看作形式表达式给出的，并且定义2～7都限制在数域上一元多项式环中讨论.多项式的重要性在于它是最基本的函数，用它可去逼近一个比较复杂的函数，这对数学分析、微分方程等学科，在理论和实际求解上有重要意义.因此下面我们将从函数观点来讨论多项式.P []P x 8、多项式函数 设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=−−" (2)是中的多项式，][x P α是中的数，在(2)中用P α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++−−ααα"称为当)(x f α=x 时的值,记为)(αf .这样，多项式就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.)(x f 9、本原多项式 系数互素的整系数多项式.二、基本理论1、次数定理：设(),()[]f x g x P x ∈(i) )))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂(ii) 若，则0)(,0)(≠≠x g x f 0)()(≠x g x f ，且))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂2、整除性质：(1) 任一多项式都能整除零多项式0.)(x f (2) ，,都有∀0c ≠∀()[]g x P x ∈|(),()|()c f x cf x f x(3) 若，则.(整除的传递性))(|)(),(|)(x h x g x g x f )(|)(x h x f (4) 若，则)(|)(),(|)(x f x g x g x f )()(x cg x f =,其中c 为非零常数.(5) 若，则()|(),()|()h x f x h x g x ()()|()()h x f x g x ±(6) 若，对，则()|()h x f x ∀()[]g x P x ∈()|()()h x f x g x (7) ，对都有()|()i h x f x ∀()[]i g x P x ∈()11()|()()()()r r h x f x g x f x g x ±±"，其中 1,2,,i r =".3、带余除法: 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使][x P )(x f )(x g 0)(≠x g ][x P )(),(x r x q )()()()(x r x g x q x f += (3)成立，其中或者))(())((x g x r ∂<∂0)(=x r ，并且这样的是唯一决定的. )(),(x r x q 多项式和称为除的商式和余式.)(x q )(x r )(x g )(x f 因此得到两个推论(1)()|()()0g x h x r x ⇔=(2) 多项式的整除性不因数域的扩大而改变.4、最大公因式存在唯一定理：中任意两个多项式与一定有最大公因式，除相差一个零次因式外，与的最大公因式是唯一的.][x P )(x f )(x g )(x f )(x g 需注意的是两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变，但它们的公因式却不然.5、倍式和定理: 对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使][x P )(x f )(x g ][x P )(x d )(x d )(x f )(x g ][x P )(),(x v x u )()()()()(x g x v x f x u x d +=6、互素判别: 中两个多项式，互素][x P )(x f )(x g ⇔1))(),((=x g x f ⇔(),()[]u x v x P x ∃∈,使1)()()()(=+x g x v x f x u互素性质：(1) 如果，且,那么.1))(),((=x g x f )()(|)(x h x g x f )(|)(x h x f (2) 如果,1))(),((1=x g x f 1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f (3) 如果，且)(|)(),(|)(21x g x f x g x f 1))(),((21=x f x f ,那么. )(|)()(21x g x f x f 此性质可推广大有限多个多项式的情形.7、不可约多项式的判别：在上不可约的充要条件是在中任一分解式)(x f P )(x f ][x P 12()()()f x f x f x =中的因式1()f x 与2()f x 总有一个是零次的 不可约多项式的性质:(1) 若是不可约多项式，则)(x p )0)((≠c x cp 也是不可约多项式.即不可约多项式的相伴元仍是不可约的.(2) 若是不可约多项式，对)(x p ∀()[]f x P x ∈，则有或者或者)(|)(x f x p 1))(),((=x f x p (3) 若是不可约多项式，对于)(x p ∀(),()[]f x g x P x ∈，有，则或)()(|)(x g x f x p )(|)(x f x p )(|)(x g x p 8、多项式因式分解唯一定理：数域上次数的多项式都可以唯一地分解成数域P 1≥)(x f P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ""==,那么必有，并且适当排列因式的次序后有t s =s i x q c x p i i i ,,2,1,)()("==.其中是一些非零常数.),,2,1(s i c i "=一般地有(4))()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r "=其中其中c 是的首项系数，是互不相同的首项系数为1的不可约多项式，而是正整数.这种分解式称为的标准分解式或典型分解式.)(x f )(,),(),(21x p x p x p s "s r r r ,,,21")(x f9、重因式的判别：(1) 如果不可约多项式是的一个重因式,那么是的重因式.)(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f ′1−k (2) 如果不可约多项式是的一个重因式, 那么是，,…,)的因式,但不是的因式. )(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f )(x f ′()1(x f k −)()(x f k 特别，当时不是的因式.反之，若，且为的重因式，则是的重因式1k =)(x p )(x f ′()|()p x f x )(x p )(x f ′1k −)(x p )(x f )1(≥k k (3) 不可约多项式是的重因式的充要条件是是与的公因式)(x p )(x f )(x p )(x f )(x f ′(4) 无重因式)(x f 1))(),((=′⇔x f x f .由此可知无重因式不因数域扩大而改变.同时当形如(4)式，则)(x f )(x f ()12'()()()()()(),()s f x q x cp x p x p x f x f x ==" 即与有完全相同的不可约多项式，且都是单因式.()q x )(x f 10、余式定理：设()[]f x P x ∈，P α∈，用x α−除所得余式是常数)(x f ()f α11、因式定理：()()0x f x f αα−⇔=12、中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算. ][x P n )0(≥n P n 13、。
高等代数02多项式
注意： 注意：
定理2.3.2的逆命题不成立.但是当（2）式成立，而d(x)是f(x)与 g(x)的一个公因式时， d(x)一定是f(x)与g(x)的一个最大公因式. 定义3 定义3 F[X]的两个多项式 与 互素的充分必要条件是： F[X]的两个多项式f(x)与g(x)互素的充分必要条件是：在 的两个多项式 互素的充分必要条件是 F[X]中可以求得多项式u(x)与v(x)，使 中可以求得多项式u(x) 中可以求得多项式u(x)与v(x)， f(x)u(x)+g(x)v(x)=1
最大公因式的定义可以推广到n（n>2）个多项式的情形： n n>2） 若是多项式h(x)整除多项式中 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的每一个，那么 h(x)叫做这n个多项式的一个公因式.若是 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的公因式d(x)能被这n多个多项式的每一个公因式整除，那么d(x)叫 做 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的一个最大公因式。 容易推出：若d0 ( x)是多项式 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x ) 的一个最大公因式 容易推出 那么 d 0 ( x) 与多项式f(x)的最大公因式也是多项式 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的最大公因式。
§2.4 多项式的分解
我们知道，给了F(X)的任何一个多项式f(x)，那么的任何不为零 的元素c都是f(x)的因式.另一方面，c与f(x)的成绩cf(x)也总是f(x)的因 式.我们f(x)把的这样的因式叫做他的平凡因式 平凡因式. 平凡因式 定义 令f(x)是F[X]的一个次数大于零的多项式.若是f(x)在F[X] f(x)是F[X]的一个次数大于零的多项式.若是f(x)在 的一个次数大于零的多项式 f(x) 中只有平凡因式，f(x)就是说在数域 上不可约. f(x)除平凡 就是说在数域F 中只有平凡因式，f(x)就是说在数域F上不可约.若f(x)除平凡 饮食外， F[X]中还有其它因式 f(x)就是说在 上可约。 中还有其它因式， 就是说在F 饮食外，在F[X]中还有其它因式，f(x)就是说在F上可约。 对于零多项式与零次多项式我们既不能说它们是可约的，也 不能说它们是不可约的。在任一多项式环F[X]中都存在不可约多 项式，因为F[X]的任何一个一次多项式总是不可约的. 注意： 注意：我们只能对给定的数域来谈论多项式可约或不可约
高等代数第4章多项式4.6重因式与重根ppt课件
把 f x,qx 代入 f x x cqx r
中展开后比较方程两边的系数得：
a0 b0
b0 a0
2024/4/1
高等代数
a1 b1 cb0
a2 b2 cb1
b1 a1 cb0
高等代数
于是得 q x b0xn1 b1xn2 bn2x bn1,
r an cbn1.
例1.7.1：求用 x 2去除 f x x5 x3 2x2 8x 5
的商式和余式。 解：由综合除法
1 0 1 2 8 5 2
2 4 10 16 48
1 2 5 8 24 53
因此 q x x4 2x3 5x2 8x 24
pk1 x k24/4/1
高等代数
p x p x g x, 从而 px kpx g x px gx,
于是 p x 是 f x 的k-1重因式。
推论1： 若不可约多项式 p x 是 f x 的k重因式
（k>1），则 p x 是 f x, f ' x, , f (k1) x 的因式，但 不是 f (k) x 的因式。
r 53
2024/4/1
高等代数
利用综合除法求 qx 与r时应注意：
1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；
2、除式 x b 要变为 x b
例1.7.2：把 f x x5 x3 2x2 8x 5 表成 x 2
的方幂和。
2024/4/1
高等代数
定理1.7.2（因式定理）：多项式 f x 有一个 因式 x c 的充要条件是 f c 0。
以利用综合除法来判断其余数是否为零。
2024/4/1
高代-多项式（PDF）
第一章 多项式多项式是高等代数的重要组成部分一、基本概念1、一元多项式定义 设n 是一非负整数，形式表达式()111n n n n 0f x a x a x a x a −−=++++", (1)其中全属于数域n a a a ,,,10"P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.P 在多项式（1）中，称为i 次项，称为次项的系数. 称为常数项. 如果，那么称为多项式的首项，称为首项系数，n 称为多项式的次数.多项式的次数记为.系数全为零的多项式称为零多项式. 零多项式是唯一不定义次数的多项式.i i x a i a i 0a 0≠n a n n x a n a )(x f ))((x f ∂2、整除 设(),()[]f x g x P x ∈,若存在()[]h x P x ∈，使)()()(x h x g x f =，则称整除.记，其中称为的因式.)(x g )(x f )(|)(x f x g )(x g )(x f 3、最大公因式 设(),(),()[]f x g x d x P x ∈，若(i),即为与的一个公因式；()|(),()|()d x f x d x g x )(x d )(x f )(x g (ii)对与的任一公因式，都有，)(x f )(x g ()h x ()|()h x d x 则称为与的最大公因式.把首系数为1的最大公因式记作)(x d )(x f )(x g ()(),()f x g x .4、互素 设(),()[]f x g x P x ∈，若与除零次多项式外没有其它的公因式，则称与互素，记为())(x f )(x g )(x f )(x g (),()1f x g x =上述两个定义可推广到n 个多项式的情形.需要注意的是，个多项式(2n n >)12(),(),()n f x f x f x "互素时，它们不一定两两互素.5、不可约多项式 中次数大于零的多项式不能表示成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积，则称为数域上不可约多项式.换句话说，在中只有平凡因式.[]P x )(x p P )(x p )(x p P )(x p []P x 对此需注意两点，其一对零和零多项式不定义它们的可约性；其二多项式的可约性依赖于系数域.6、重因式 设是数域上的不可约多项式，且，但， )(x p P )(|)(x f x p k )(|)(1x f x p k /+则称是的重因式.特别地，当)(x p )(x f k 1k =时，称是的单因式.)(x p )(x f 7、多项式的微商 设1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x −−=++++∈"，规定它的微商(也称导数或一阶导数)是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++−+=′−−−"此定义不是用函数与极限概念给出的，而是借用于数学分析中函数的导数形式的定义.上述诸定义都是把多项式看作形式表达式给出的，并且定义2～7都限制在数域上一元多项式环中讨论.多项式的重要性在于它是最基本的函数，用它可去逼近一个比较复杂的函数，这对数学分析、微分方程等学科，在理论和实际求解上有重要意义.因此下面我们将从函数观点来讨论多项式.P []P x 8、多项式函数 设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=−−" (2)是中的多项式，][x P α是中的数，在(2)中用P α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++−−ααα"称为当)(x f α=x 时的值,记为)(αf .这样，多项式就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.)(x f 9、本原多项式 系数互素的整系数多项式.二、基本理论1、次数定理：设(),()[]f x g x P x ∈(i) )))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂(ii) 若，则0)(,0)(≠≠x g x f 0)()(≠x g x f ，且))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂2、整除性质：(1) 任一多项式都能整除零多项式0.)(x f (2) ，,都有∀0c ≠∀()[]g x P x ∈|(),()|()c f x cf x f x(3) 若，则.(整除的传递性))(|)(),(|)(x h x g x g x f )(|)(x h x f (4) 若，则)(|)(),(|)(x f x g x g x f )()(x cg x f =,其中c 为非零常数.(5) 若，则()|(),()|()h x f x h x g x ()()|()()h x f x g x ±(6) 若，对，则()|()h x f x ∀()[]g x P x ∈()|()()h x f x g x (7) ，对都有()|()i h x f x ∀()[]i g x P x ∈()11()|()()()()r r h x f x g x f x g x ±±"，其中 1,2,,i r =".3、带余除法: 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使][x P )(x f )(x g 0)(≠x g ][x P )(),(x r x q )()()()(x r x g x q x f += (3)成立，其中或者))(())((x g x r ∂<∂0)(=x r ，并且这样的是唯一决定的. )(),(x r x q 多项式和称为除的商式和余式.)(x q )(x r )(x g )(x f 因此得到两个推论(1)()|()()0g x h x r x ⇔=(2) 多项式的整除性不因数域的扩大而改变.4、最大公因式存在唯一定理：中任意两个多项式与一定有最大公因式，除相差一个零次因式外，与的最大公因式是唯一的.][x P )(x f )(x g )(x f )(x g 需注意的是两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变，但它们的公因式却不然.5、倍式和定理: 对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使][x P )(x f )(x g ][x P )(x d )(x d )(x f )(x g ][x P )(),(x v x u )()()()()(x g x v x f x u x d +=6、互素判别: 中两个多项式，互素][x P )(x f )(x g ⇔1))(),((=x g x f ⇔(),()[]u x v x P x ∃∈,使1)()()()(=+x g x v x f x u互素性质：(1) 如果，且,那么.1))(),((=x g x f )()(|)(x h x g x f )(|)(x h x f (2) 如果,1))(),((1=x g x f 1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f (3) 如果，且)(|)(),(|)(21x g x f x g x f 1))(),((21=x f x f ,那么. )(|)()(21x g x f x f 此性质可推广大有限多个多项式的情形.7、不可约多项式的判别：在上不可约的充要条件是在中任一分解式)(x f P )(x f ][x P 12()()()f x f x f x =中的因式1()f x 与2()f x 总有一个是零次的 不可约多项式的性质:(1) 若是不可约多项式，则)(x p )0)((≠c x cp 也是不可约多项式.即不可约多项式的相伴元仍是不可约的.(2) 若是不可约多项式，对)(x p ∀()[]f x P x ∈，则有或者或者)(|)(x f x p 1))(),((=x f x p (3) 若是不可约多项式，对于)(x p ∀(),()[]f x g x P x ∈，有，则或)()(|)(x g x f x p )(|)(x f x p )(|)(x g x p 8、多项式因式分解唯一定理：数域上次数的多项式都可以唯一地分解成数域P 1≥)(x f P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ""==,那么必有，并且适当排列因式的次序后有t s =s i x q c x p i i i ,,2,1,)()("==.其中是一些非零常数.),,2,1(s i c i "=一般地有(4))()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r "=其中其中c 是的首项系数，是互不相同的首项系数为1的不可约多项式，而是正整数.这种分解式称为的标准分解式或典型分解式.)(x f )(,),(),(21x p x p x p s "s r r r ,,,21")(x f9、重因式的判别：(1) 如果不可约多项式是的一个重因式,那么是的重因式.)(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f ′1−k (2) 如果不可约多项式是的一个重因式, 那么是，,…,)的因式,但不是的因式. )(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f )(x f ′()1(x f k −)()(x f k 特别，当时不是的因式.反之，若，且为的重因式，则是的重因式1k =)(x p )(x f ′()|()p x f x )(x p )(x f ′1k −)(x p )(x f )1(≥k k (3) 不可约多项式是的重因式的充要条件是是与的公因式)(x p )(x f )(x p )(x f )(x f ′(4) 无重因式)(x f 1))(),((=′⇔x f x f .由此可知无重因式不因数域扩大而改变.同时当形如(4)式，则)(x f )(x f ()12'()()()()()(),()s f x q x cp x p x p x f x f x ==" 即与有完全相同的不可约多项式，且都是单因式.()q x )(x f 10、余式定理：设()[]f x P x ∈，P α∈，用x α−除所得余式是常数)(x f ()f α11、因式定理：()()0x f x f αα−⇔=12、中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算. ][x P n )0(≥n P n 13、。
(完整版)高等代数多项式
第二章 多项式1． 设f (x )，g (x )和h (x )是实数域上的多项式．证明：若f (x )2 = x g (x )2+x h (x )2，那么 f (x ) = g (x ) = h (x ) = 0．1． 求f (x )被g (x )除所得的商式和余式：(i) 14)(24--=x x x f ,13)(2--=x x x g(ii) 13)(235-+-=x x x x f ,23)(3+-=x x x g证明：kx f x )(|必要且只要)(|x f x2． 令)(),(),(,)(2121x g x g x f x f 都是数域F 上的多项式，其中0)(1≠x f 且)()(21x g x g |)()(21x f x f ，)(1x f |)(1x g ．证明：)(2x g |)(2x f ．3． 实数m, p , q 满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式q px x ++4？、4． 设F 是一个数域，F a ∈．证明：a x -整除nn a x -．5． 考虑有理数域上多项式 1)1)(2()1()(-+++++=n k n k x x x x fn k x x )1()2(++⋅⋅⋅+，这里n 和k 都是非负整数．证明：1+k x |1)1()()1(++++-n k x x f x ．6． 证明：1-d x 整除1-nx 必要且只要d 整除n1． 计算以下各组多项式的最大公因式：(i)32103)(,343)(23234-++=---+=x x x x g x x x x x f ；(ii) i x i x i x i x x f ----+-+-+=1)21()42()22()(234；i x i x x g -+-+=1)21()(2．2． 设)()()(1x f x d x f =，)()()(1x g x d x g =．证明：若)())(),((x d x g x f =，且)(x f 和)(x g 不全为零，则1))(),((=x g x f ，反之，若1))(),((=x g x f ，则)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式．从而可知)(x ϕ|)(x f ，)(x ϕ|)(x g ．既)(x ϕ是)(x f 、)(x g 的一个公因式，所以)(x ϕ|)(x d ．由定义知))(),(()(11x g x f x d =．3． 证明：(i) h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式；4． 、设432()242f x x x x x =+---，432()2f x x x x x =+--2-都是有理数Q 域上的多项式．求u (x ),][)(x Q x v ∈使得))(),(()()()()(x g xd f x v x g x u x f =+．5． 设(f , g )=1．令n 是任意正整数，证明：( f , g n ) = 1．由此进一步证明，对于任意正整数m ，n ，都有( f m , g n ) = 1．、6． 设( f , g ) = 1．证明：( f , f + g ) = ( f + g , g ) = 1．证明：因为( f , g ) = 1．所以有u ,v 使uf + vg = 1，进而有( u – v ) f + v ( g + f ) = 1, 所以( f , g + f ) = 1.同理( g + f , g ) = 1利用互素性质得( f g , f + g ) = 17． 证明：对于任意正整数n 都有( f , g )n = ( f n , g n )．8． 证明：若是f ( x )与g ( x )互素，并且的次数都大于0．那么定理2.3.3里的可以如此选取，u ( x )次数低于g ( x )的次数，v ( x )次数低于f ( x )的次数，并且这样的u ( x )与v ( x )是唯一的．9． 决定k ，使2(6)42x k x k ++++与2(2)2x k x k +++的最大公因式是一次的．10． 证明：如果 ( f ( x ) , g ( x ) ) =１，那么对于任意正整数m ，( f ( x m ) , g ( x m ) ) =１ 11． 设f ( x ) , g ( x )是数域F 上的多项式．f ( x )与g ( x )的最小公陪式指的是F [x ]中满足以下条件的一个多项式m ( x )：(a) f (x ) | m (x ) 且 g (x ) | m (x )；(b) h (x )∈F [x ] 且 f (x ) | h (x )，g (x ) | h (x )，那么m (x ) | h (x )．(i) 证明： F [x ]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式差别外，是唯一的．(ii)设f (x )， g (x )都是最高次项系数是１的多项式．令[ f (x ), g (x )]表示 f (x )与g (x )的最高次项系数是１的那个最小公倍式．证明： f (x ) g (x )= (f (x ) , g (x )) [ f (x ), g (x )]．12． 设g (x )|)()(1x f x f n ⋅⋅⋅，并且(f i (x ), g (x )) =1, i =1,1,,2-⋅⋅⋅n . 证明 g (x ) | f n (x )．13． 设][)(,),(1x F x f x f n ∈⋅⋅⋅．证明：(i) ()(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅)=(()(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅), ()(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+)), 1≤k ≤n -1.(ii))(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅互素的充要条件是存在多项式][)(,),(1x F x u x u n ∈⋅⋅⋅使得1)()()()(11=+⋅⋅⋅+x u x f x u x f n n14． 设][)(,),(1x F x f x f n ∈⋅⋅⋅．令I ={+⋅⋅⋅+)()(11x g x f f n (x ) g n (x )|][)(x F x g i ∈, 1≤i ≤n } ．比照定理１.４.２，证明：)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅有最大公因式．［提示：如果)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅不全为零，取d (x )是中次数最底的一个多项式，则d (x )就是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的一个最大公因式．］2.4 多项式的分解1． 在有理数域上分解以下多项式为不可约因式的乘积：2． 分别在复数域，实数域和有理数域上分解多项式x ４+1为不可约因式的乘积．3． 证明：g (x )２|f (x )２，当且仅当g (x )|f (x )． 4．5． (i)求f (x )= x 5-x 4-2x 3+2x 2+x -1在Q (x )内的典型分解式； 6．(ii)求f (x )= 2x 5-10x ４+16x 3-16x 2+14x -6在R (x )内的典型分解式．7． 证明：数域F 上一个次数大于零的多项式f (x )是F [x ]中某一不可约多项式的幂的充分必要条件是对于任意g (x )∈F [x ],或者(f (x ), g (x )) =1,或者存在一个正整数m 使得f (x )|g (x )m .8． 设p (x )是F [x ]中一个次数大于零的多项式.如果对于任意f (x ), g (x )∈F [x ]，只要p (x )|f (x )g(x )就有p (x )| f (x )或p (x )| g(x ),那么p (x )不可约．2.5 重因式1. 证明下列关于多项式的导数的公式： a) )(')('))'()((x g x f x g x f +=+； b))(')()()('))'()((x g x f x g x f x g x f +=2. 设)(x p 是)(x f 的导数)('x f 的1-k 重因式．证明： a) )(x p 未必是)(x f 的k 重因式；b))(x p 是)(x f 的k 重因式的充分必要条件是)(|)(x f x p3. 证明有理系数多项式!!21)(2n x x x x f n++++= 没有重因式． 4. a,b 应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？a) b ax x ++33 b) b ax x ++445. 证明：数域F 上的一个n 次多项式)(x f 能被它的导数整除的充分必要条件是：n b x a x f )()(-=，这里a,b 是F 中的数．2.6 多项式函数 多项式的根1.设f (x )=2x 5-3x 4-5x 3+1.求f (3),f (-2).2.数环R 的一个数c 说是f (x )∈R(x )的一个k 重根，如果f (x )可以被(x -c )k 整除，但不能被(x -c )k +1整除．判断5是不是多项式f (x )=3x 5-224x 3+742x 2+5x +50的根.如果是的话,是几重根?3.设2x 3-x 2+3x -5=a (x -2)3+b (x -2)2+c (x -2)+d .求a,b,c,d .4.将下列多项式f (x )表成x-a 的多项式.a) f (x )= x 5 ,a =1; b) f (x )=x 4-2x 2+3,a =-2.5.求一次数小于4的多项式,使f (2)=3,f (3)=-1,f (4)=0,f (5)=2.6.求一个2次多项式,使它在x =0,,2ππ处于函数 sin x 有相同的值．结果：24()()f x x x ππ=--7.令f (x ) , g (x ),是两个多项式,并且f (x 3) +x g (x 3)可以被x 2+x +1.证明: f (1) = g (1) =0. 8.令c 是一个复数,且是Q [x ]中一个非零多项式的根.令J ={ f (x )∈Q [x ] | f (c ) = 0}．b) p (x )在Q [x ]中不可约.如果c =32+,求上述的p (x )．9.设C [x ]中多项式f (x )≠0且f (x )| f (x n ),n 是一个对于1的整数.证明: f (x )的根只能是零或单位根.2.7 复数和实数域上多项式1.设n 次多项式n n na x a x a x f +++=-10)( 的根是n αα,,1 .a) 求以n c c αα,,1 为根的多项式,这里c 是一个数;b) 以n a 1,,11α(假定0,,1≠n αα )为根的多项式.2.设f (x )是一个多项式,用)(x f 表示把f (x )的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:a) 若是g (x )|f (x ),那么)(x g |)(x f ;b) 若是d (x )是f (x )和)(x f 的一个最大公因式,并且d (x )的最高次项系数是1,那么d (x )是一个实系数多项式.3.给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式.4.在复数和实数域上分解x n -2为不可约因式的乘积.5.证明:数域F 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.2.8 有理数域上多项式1.证明以下多项式在有理域上不可约: a) x 4-2x 3+8x -10; b) 2x 5+18x 4+6x 2+6 c) x 4-2x 3+2x -3 d) x 6+x 3+12利用艾森斯坦判断法,证明:若是t p p p ,,,21 是t 个不相同的素数,而n 是一个大于1的整数,那么nt p p p 21是一个无理数.3.设f (x )是一个整数系数多项式,证明:若是f (0)和f (1)都是奇数,那么f (x )不能有整数根.4.求以下多项式的有理数根: a) x 3-6x 2+15x -14; b) 4x 4-7x 2-5x -1;c) x 5-x 4-25x 3+2x 2-21x -3.2.9 多元多项式1.写出一个数域F 上三元三次多项式的一般形式.2.设 f (n x x ,,1 )是一个r 次齐次多项式.t 是任意数.证明：f (n tx tx ,,1 )=t r f (n x x ,,1 ).3. 设f (n x x ,,1 )是数域F 上一个n 元齐次多项式,证明:如果f (n x x ,,1 )=g (n x x ,,1 )h (n x x ,,1 ),则g ,h 也是n 元齐次多项式.4.把多项式x 3+y 3+z 3+3xyz 写成两个多项式的乘积.5.设F 是数域. f ,g ∈F [n x x ,,1 ]是F 上n 元多项式. 如果存在h ∈F [n x x ,,1 ]使得f =gh ,那么就说g 是f 的一个因式.或者说g |f .a) 证明,每一f 都可以被零次多项式c 和cf 整除c ∈F , c ≠0.b) f ∈F [n x x ,,1 ]说是不可约的,如果除了a)中那种类型的因式外f 没有其它因式,证明在F [x ,y ]里多项式x ,y ,x +y ,x 2-y 都不可约.c) 举反例证明,当n ≥2时,类似于一元多项式的带余除法不成立.d) f ,g ∈F [n x x ,,1 ]说是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零的公因式.证明x ,y ∈F [x ,y ]是互素的多项式.能是否找到u (x ,y ), v (x ,y ) ∈F [x ,y ],使得x u (x ,y )+y v (x ,y )=1?2.10 对称多项式1. 写出某一数环R 上三元三次对称多项式的一般形式.2.令R [n x x ,,1 ]是数环R 上n 元多项式环, S 是由一切n 元对称多项式组成的R [n x x ,,1 ]的子集.证明存在R [n x x ,,1 ]到S 的一个双射.3.把下列多元多项式表成初等对称多项式的多项式: a) ∑231xx ; b) ∑41x; c) 32221x x x ∑;4.证明:如果一个三次多项式x 3+ax 2+bx +c 的一个根的平方等于其余两个根的平方和那么这个多项式的系数满足以下关系: 2324)22(2)2(c ab a b a a +-=-.5.设n αα,,1 是某一数域F 上多项式x n +a 1x n -1++ a n -1x +a n 在复数域内的全部根.证明:2,,n αα的每一个对称多项式都可以表成F 上关于1α的多项式.。
高等代数-多项式
f (x)g(x)≠0. 推论 若 f (x) ≠0, f (x) g(x) = f (x) h(x),则 g(x) = h(x).
称为K上关于x 的一元多项式. aixi: 称为第i 次项, ai: 第i 次项系数.
n 次多项式: 当an ≠0时, 次数记为deg f (x)=n. anxn:首项, an:首项系数. a0:常数项.
K上一元多项式全体记为K[x]
K[ x] {an xn an1 xn1 L a0 | n Z0 , ai K,0 i n}
即满足(1) ~ (4)且满足如下性质
(5) c( f ( x) g( x)) cf ( x) cg( x) (6) (c d ) f ( x) cf ( x) df ( x) (7) (cd ) f ( x) c(df ( x)) (8) 1 f ( x) f ( x)
多项式的运算_乘法
定理设f (x), g (x)∈K[x] , 则存在d(x)∈ K[x] , 使得 (f (x), g(x)) = d(x) , 且存在u(x), v(x)∈ K[x], 使 d(x) = u(x) f (x) + v(x) g(x).
证明用Euclidean辗转相除法.
最大公因式_存在性
注1 证明方法即是计算方法. 注2 最大公因式与数域扩大无关. 注3 设f (x), g (x), d(x) ∈ K[x] , 且 d(x) 的首
注2:因为(1) ~ (4), (9) ~ (11), (13), K[x]对加法和乘法 构成有单位元的结合交换环.
高等代数--第八章 多项式
r(x)=f(x)-q(x)g(x)
由此可见，如果g(x),r(x)有一个最大 公
因式d(x)，那么d(x)也是f(x),g(x)的一个 最大公 因式。
h
36
定理2 对于P[x]中任意两个多项式 f(x),g(x),在P[x]中存在一个最大公因式d(x)， 且d(x)可以表示成f(x),g(x)的一个线性组合， 即有P[x]中多项式u(x),v(x)使
g ( x ) q 2 ( x ) r 1 ( x ) r 2 ( x )r 2 0
h
25
例题
f 3 x 3 4 x 2 5 x 6 ,g x 2 3 x 1
x2 3x1
|3x34x25x6 | |_3_x_3__9_x2__3_x____ |
3x 13
| 13x28x6 |
|___1_3_x_2__3__9x__1_ |3
f(x)
31x7
(3x13)g(x)(31x7)
h
26
定义５ 数域P上的多项式g(x)称为整除f(x), 如果有数域P上的多项式h(x)使得
f (x) 0 ,那么 g(x)=h(X)
定义4 所有系数在数域P中的多项式的全体，
称为数域P上的一元多项式环，记为P[x],
P称为P[x]的系数域
BACK
h
19
§3 整除的概念
以后讨论都是在某一固定的数域P上的 多项式环中进行。
带余除法 整除 整除的性质
h
20
带余除法
对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其
35
Байду номын сангаас
h
最大公因式的求法
结论：如果有等式
f(x)=q(x)g(x)+r(x)
高等代数 第三版§1.7 多项式函数
x 1 为 f ( x )的三重根．
ii) 若 r1 ( x ) 0, t 15 0, 即 t 15 , 4 4
则
f ( x ), f ( x ) x 1 2
此时， f ( x ) 有重根，
x 1 为 f ( x )的二重根． 2
定理8
此时对 P , 有 f ( ) c 0. 即 f ( x )有0个根.
f ( x ) n 时，由因式分解及唯一性定理，
f ( x ) 可分解成不可约多项式的乘积，
由推论， f ( x ) 的根的个数等于 f ( x ) 分解式中
一次因式的个数，重根按重数计算，且此数 n.
f ( x ) x 3 3 x 2 tx 1 有重根． 例2 求 t 值，使
解：
3 2
f ( x )
15 4
f ( x)
x
3 x2 6 x t
x 3 3 x 2 tx 1
1 3
1 x 3
3x 2 3 x 2
x 3 2 x 2 1 tx 3 x 2 2 tx 1 3 x2 2 x 1 t 3
Higher Algebra
主要内容
一、多项式函数与根 二、多项式函数的有关性质
一、多项式函数与根
1. 多项式函数
n n1 设 f ( x ) a0 x a1 x an , 数 p, 将 f ( x )的表示式里的 x 用 代n ,
但
1 f ( 1) 1 1 5 0, 3
1 不是 f ( x )的根，从而不是 f ( x ) 的3重根．
例4
( x 1)2 | Ax 4 Bx 2 1, 求 A, B . 若
高等代数多项式求有理根
高等代数多项式求有理根一、多项式的基本概念及其性质高等代数中的多项式是指一个或多个变量的一系列代数表达式，通常用字母表示。
多项式具有以下性质：1.多项式的系数为有理数或复数。
2.多项式的次数是指其中最高次项的次数。
3.多项式可以进行加、减、乘等基本运算。
4.多项式可以进行因式分解，分解后的因式称为多项式的因子。
二、有理根的定义及其求解方法有理根是指多项式在有理数域上的根，即满足多项式方程的解。
求解有理根的方法主要包括以下两种：1.试除法：对于一个多项式，可以先尝试用有理数去除其首项，若得到一个整数，则该数可能是有理根。
2.图像法：在直角坐标系中，将多项式表示为y = ax^2 + bx + c的形式，观察其图像与x轴的交点，即为有理根的可能值。
三、利用韦达定理和因式定理寻找有理根1.韦达定理：对于一个多项式方程ax^n + bx^(n-1) + ...+ z = 0，其根的和与积分别等于常数项与首项系数的比值，即：根的和= -b / a根的积= c / a2.因式定理：若多项式f(x)的一个因子为(x - a)，则f(a) = 0。
四、实例分析以多项式3x^2 + 2x - 1为例，寻找其有理根：1.利用韦达定理，计算根的和与积：根的和= -2 / 3根的积= -1 / 32.利用因式定理，尝试找到有理根：首先，求出多项式的因式：3x^2 + 2x - 1 = (3x - 1)(x + 1)根据因式定理，当x = 1/3时，多项式值为0，故1/3是有理根。
五、总结与拓展通过本篇文章，我们学习了多项式的基本概念及其性质，了解了有理根的定义及其求解方法。
在实际求解过程中，可以利用韦达定理和因式定理寻找有理根。
此外，还可以运用其他方法，如试错法、图像法等。
高等代数中的多项式 基本概念与计算方法
高等代数中的多项式基本概念与计算方法高等代数中的多项式：基本概念与计算方法在高等代数中，多项式是一种重要的数学对象。
它是由各个数乘以一个（或多个）不同幂次的未知数，并加以相应系数得到的代数表达式。
本文将介绍多项式的基本概念以及常用的计算方法。
1. 多项式的定义多项式由一系列的单项式相加或相减而得。
单项式由一个数与若干个未知数的乘积构成，其系数和指数可以是实数或复数。
一个常数也可以看作是只有零个未知数的单项式。
2. 多项式的表示一般来说，多项式的表示形式为：P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0其中，P(x)代表多项式，x是未知数，a_n,...,a_0是系数，n是多项式的次数。
系数可以为实数或复数，次数n是一个非负整数。
3. 多项式的运算（1）多项式的加法和减法：两个多项式相加或相减的规则是将对应的项合并。
例如，给定多项式P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 2x^2 - x + 4则P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) + (2x^2 - x + 4) = 5x^2 + x + 5（2）多项式的乘法：多项式的乘法是将每一项相乘，并将同类项合并。
例如，给定多项式P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 2x - 1则P(x) × Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) × (2x - 1) = 6x^3 -1x^2 + 4x - 14. 多项式的因式分解多项式的因式分解在很多应用中都有重要作用。
它是将一个多项式表示为几个较简单的因子相乘的形式。
例如，给定多项式P(x) = x^2 + 4x + 4可以进行因式分解为P(x) = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)^2这里的(x + 2)称为多项式P(x)的因子。
5. 多项式的求值给定一个多项式P(x)，我们可以通过给定的值x来求出P(x)的具体数值。
高等代数多项式
高等代数多项式
多项式是什么意思如下：
1.几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
其中,不含字母的项叫做常数项。
一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
2.单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数。
多项式的每一项都是单项式，一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。
多项式中每一项都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数，一个多项式的次数只有一个，它是所含各项的次数中最高的那一项次数。
运算：
1.加法与乘法。
有限的单项式之和称为多项式。
不同类的单项式之和表示的多项式，其中系数不为零的单项式的最高次数，称为此多项式的次数。
多项式的加法，是指多项式中同类项的系数相加，字母保持不变(即合并同类项)。
多项式的乘法,是指把一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的每个单项式相乘之后合并同类项。
2.带余除法。
若f(x)和g(x)是F[x]中的两个多项式，且g(x)不等于0，则在F[x]中有唯一的多项式q(x)和r(x)，满足f(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)的次数小于g(x)的次数。
此时q(x)称为g(x)除f(x)的商式，r(x)称为余式。
当g(x)=x-a时，则r(x)=f(a)称为余元，式中的a是F的元素。
此时带余除法具有形式f(x)=q(x)(x-a )+f ( a)，称为余元定理。
高等代数ppt课件北大版第一章多项式.ppt
q1( x) c1 p1( x), c1 0 (1)两边消去 q1( x), 即得
p2( x) ps ( x) c11q2( x) qt ( x)
由归纳假设有 s 1 t 1, s t.
§1.5 2024/9/27 因式分解定理
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2. 标准分解式： 对 f ( x) P[x], f ( x) 1,
实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项 式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多项 式的可约性的判定都是非常复杂的．
§1.5 2024/9/27 因式分解定理
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2 设对次数低于n的多项式结论成立．
下证 f ( x) n 的情形.
若 f ( x)是不可约多项式. 结论显然成立．
若 f ( x)不是不可约多项式，则存在 f1( x), f2( x),
且 ( fi ( x)) n, i 1,2 使 f ( x) f1( x) f2( x)
由归纳假设 f1( x), f2( x)皆可分解成不可约多项式的积.
例如，若 f ( x), g( x)的标准分解式分别为
f
(
x
)
ap1r1
(
x)
p r2 2
(
x
)
g(
x
)
bp1l1
(
x)
p l2 2
(
x)
psrs ( x), ri 0 psls ( x), li 0
则有
f ( x), g( x) p11 ( x) p22 ( x) pss ( x),
i min ri ,li , i 1,2, , s
f ( x) 总可表成
f
(
x)
cp1r1
高等代数多项式求有理根
高等代数多项式求有理根在高等代数中，我们可以利用有理根定理来求多项式的有理根。
有理根定理：如果一个多项式 $P(x)$ 的系数都是整数，且有一个有理数 $\frac{m}{n}$ 是它的有理根，其中 $m$ 和 $n$ 互质，那么 $m$ 是多项式 $P(x)$ 的常数项的约数，而 $n$ 是多项式的首项系数的约数。
有理根定理的直接推论是，如果一个整系数多项式 $P(x)$ 有有理根 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 是 $P(x)$ 的常数项的约数，而 $n$ 是 $P(x)$ 的首项系数的约数，那么我们就可以通过代入由常数项 $m$ 和首项系数 $n$ 所构成的所有可能的分数解来确定可能的有理根。
即我们用所有形如 $\pm\frac{m}{n}$ 的解代入多项式，如果等式成立，则该有理数是多项式的有理根。
举例说明：假设我们要求多项式 $P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$ 的有理根。
首先，我们找到多项式的常数项$12$ 和首项系数$1$ 的约数，它们分别是 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$。
然后，我们用这些解依次代入多项式 $P(x)$ 的方程 $P(x) = 0$，并验证方程是否成立。
如果有方程成立，那么该有理数就是多项式的有理根。
在本例中，我们可以依次代入 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$，并验证方程 $P(x) = 0$ 是否成立。
例如，当我们代入 $x = 1$ 时，方程变为 $1 - 3 - 4 + 12 = 0$，这意味着 $x = 1$ 是方程的一个解。
与此类似，我们可以验证其他可能的有理根。
通过这种方法，我们可以找到多项式的有理根。
请注意，这不一定能找到所有的有理根，但可以找到一部分有理根。
高等代数多项式求有理根
高等代数多项式求有理根摘要：1.高等代数多项式的基本概念2.有理根的定义和性质3.求有理根的方法4.实例分析5.总结与拓展正文：一、高等代数多项式的基本概念高等代数中的多项式是指一个或多个变量的有理函数，它可以表示为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ...+ anx^n，其中a0、a1、a2...an为常数，n为多项式的次数。
多项式在数学、物理等领域具有广泛的应用。
二、有理根的定义和性质1.有理根的定义：若多项式f(x) = a0x^n + a1x^(n-1) + ...+ an-1x + an 在有理数域上有根，则称该根为有理根。
2.有理根的性质：（1）有理根一定是多项式f(x)的根；（2）有理根可以是多项式f(x)的重根；（3）有理根可能重复出现，也可能不重复出现。
三、求有理根的方法1.因式分解法：将多项式f(x)进行因式分解，然后判断每个因式在有理数域上的根。
2.综合除法：利用综合除法将多项式f(x)除以x-m（m为有理数），若余数为0，则m为有理根。
3.韦达定理：若多项式f(x)的两个根为α、β，则有α + β = -a1/a0，αβ = a1/a0。
根据此公式可求得有理根。
4.数值方法：利用数值方法（如牛顿法）求解多项式的根，然后判断是否为有理根。
四、实例分析以多项式f(x) = x^3 - 6x + 9为例，求其有理根。
1.因式分解：f(x) = (x - 1)(x^2 + x + 9)2.判断有理根：x - 1 = 0，得到x = 1，为有理根。
五、总结与拓展求高等代数多项式的有理根，需要掌握多项式的基本概念、有理根的定义和性质，以及求解有理根的方法。
在实际求解过程中，可以根据多项式的特点和实际需求，灵活选用合适的方法。
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gxhx
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例 当 a,b, c 是什么数时，多项式
f x a 3 b x 2 c x b x 3 x 2
（1）是零多项式？ （2）是零次多项式？
例1 确定m ，使 x 1 2|x 5 m 2 m x 1 x .
例2 设 fx x 3 p q , x g x x 2 m 1 。x 问 m, p,q
适合什么条件时，gx 整除 fx ?
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2.3 多项式的最大公因式
一. 内容分布 2.3.1 多项式公因式,最大公因式,互素概念 2.3.2 用辗转相除法求最大公因式.
多项式的整除概念，带余除法定理
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2.2.1 多项式的整除概念
设F是一个数域. F [x]是F上一元多项式环.
定义1
设 fx,g x F [x ]，如果存在 hxF[x] ，使得
fxgxhx，则称 gx整除 f x ，记为
gx| fx ，此时称 gx 是 f x的因式，否则称
这里
c k a 0 b k a 1 b k 1 a k 1 b 1 a k b 0 ,k 0 , 1 ,2 , ,n m
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多项式的减法
fx g x fx g x
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2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
余式
注2： g x 0 ,g x |f x r x 0 .
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证：先证定理的前一部分.
（i）若 fx0, 或 0fx 0g x. 则可以取
q x 0 ,rx fx
（ii）若 fx0 ,且 0fx 0g x. 把 fx和 g(x)
按降幂书写:
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证: 设 0 fx n , 0 g x m
f x a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n ,a n 0
g x b 0 b 1 x b 2 x 2 b m x m ,b m 0
且 mn那么 f x g x a 0 b 0 a 1 b 1 x a 2 b 2 x 2 a n b n x n （1）
f x g x a 0 b 0 a 0 b 1 a 1 b 0 x a n b m x n m （2）
由（1），fxgx的次数显然不超过n，另一方面，
由 a n 0 ,b m 0 得 a n b m 0，所以由(2)得 fxgx
的次数是n + m .
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2.2 多项式的整除性
一、内容分布
2.2.1 多项式的整除概念 2.2.2 多项式整除性的一些基本性质 2.2.3 多项式的带余除法定理 2.2.4 系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
三、重点、难点
gx 不能整除 f x，记为
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2.2.2 多项式整除性的一些基本性质
（1） h x |g x , g x |f x h x |f x
（2） h x |f x , h x |g x h x | f x g x
第二章 多项式
2.1 一元多项式的定义和运算 2.2 多项式的整除性 2.3 多项式的最大公因式 2.4 多项式的分解 2.5 重因式 2.6 多项式函数 多项式的根 2.7 复数和实数域上多项式 2.8 有理数域上多项式 2.9 多元多项式 2.10 对称多项式源自2.1 一元多项式的定义和运算
而左边或者是零，或者次数不小于 0gx ;
因此必须两边均为零，从而
q 1 x q 2 x 及 r 1 x r 2 x
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2.2.4 系数所在范围对整除性的影响
设F和F 是两个数域，并且 F F ，那么多项式环 F[ x ]
含有多项式环F [x]．因此Ｆ上的一个多项式 f x也是
（1）加法交换律: fx g x g x fx
（2）加法结合律: f x g x h x f x g x h x
（3）乘法交换律: fx g x g x fx （4）乘法结合律: f x g x h x f x g x h x
而
0 f x 0 f 1 x 0 g x
由于多项式 f1x,f2x,的次数是递降的, 故存在k使
fk x 0 或 0 fk x 0 g x ，于是
q x q 1 x q k x 及 r x f k x
便给出了所说的表示。
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2.1.1 认识多项式
多项式
令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或
一元多项式指的是形式表达式 a 0 a 1 x a 2x2 a nxn
这里n是非负整数而 aii0,1 ,,n都是R中的数.
一元多项式常用符号 fx, gx, 来表示.
1：在多项式(1)中, a 0 叫做零次项或常数项, a i x i
（3） h x |f x , g x F [ x ] h x |f x g x
（4） h x | f i x i 1 , 2 , , k , g i x i 1 , 2 , , k h x | f 1 g 1 f k g k
叫做 i 次项, a i 叫做 i 次项的系数.
注 2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系
数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那 么这个系数可以省略不写。
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2.1.2 相等多项式
定义
若是数环R上两个一元多项式 , f (x) 和g (x)有完全 相同的项,或者只差一些系数为零的项, 那么 f (x) 和 g (x)就说是相等 .
2.1.6 多项式的运算性质
定理 设 fx和 g(x)是数环R上两个多项式,并且
fx0 ,gx0.那么
（i）当 fxgx0时,
0 f x g x m 0 f x , a 0 g x x
（ii） 0 f x g x 0 f x 0 g x
2.2.3 多项式的带余除法定理
定理 设 fx ,g x F [x ]，且 gx0 ，则存在
qx,rx F [x],使得 fx g x q x rx 这里 rx0，或者 0rx0g x. 并且满足上述条件的 qx和 r(x)只有一对。
注1：qx, rx分别称为 gx除 f(x)所得的商式和
fx a 0 x n a 1 x n 1 a n 1 x a n g x b 0 x m b 1 x m 1 b m 1 x b m
这里 a00,b00,并且 nm
令 q 1xanb m 1xn m ，并记 f1 x fx q 1 x g x ,
则f1x 有以下性质： 宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作
F 上的一个多项式．
fx,gx F [x]，则如果在F [x]里 gx 不能整除 f x ，那么在 F[ x ] 里 gx 也不能整除 fx .
事实上，若 gx0，那么由于在F [x]里 gx
不能整除 fx , f x 不能等于0．因此在 F[ x ] 里 gx
显然仍不能整除 fx .
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假定 gx0，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立：
fx g x q x r x
并且 rx0．但是F [x]的多项式 qx和 r(x)都是
F[ x ] 的多项式，因而在 F[ x ] 里，这一等式仍然成立．
于是由 rx 的唯一性得出，在 F[ x ] 里 gx 也不能整除
fx .
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（5） 0 c F , f x F [ x ] c |f x
（6） 0 c F , f x F [ x ] c x |f f x
（7） f x |g x , g x |f x f x c x 0 g c F
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一、内容分布
2.1.1 认识多项式
2.1.2 相等多项式 2.1.3 多项式的次数
二、教学目的
2.1.4 多项式的运算
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
2.1.6 多项式的运算性质
掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质.
三、重点、难点
一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。
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（5）乘法对加法的分配律: f x g x h x f x g x f x h x
注意：要把一个多项式按“降幂”书写
a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
当 an 0 时，an x n叫做多项式的首项.
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这里当m < n 时，bm1bn0
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多项式的乘法
给定数环R上两个多项式
fx a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n g x b 0 b 1 x b 2 x 2 b m x m
f (x) 和g (x) 的乘法定义为
f x g x c 0 c 1 x c 2 x 2 c n n x n m
现在证明定理的后一部分．假设f (x)有两种符合定 理中要求的表示法：
f x g x q 1 x r 1 x g x q 2 x r 2 x
那么
q 1 x q 2 x g x r 2 x r 1 x