塑性力学--第四章 塑性本构关系
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弹塑性力学-弹塑性本构关系ppt课件
为非负，即有 0
功，即 0
（应变硬化和理想塑性材料）
（应变软化材料）
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(2) 德鲁克塑性公设的表述
德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材 料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态 之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施 加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。
Ñ W
0 ij
ij
0 ij
d ij 0
Ñ 由于弹性应变εije在应力循环
中是可逆的，因而
( ij
0 ij
)
d
e
ij
0
0 ij
于是有：
Ñ WD WDp
( ij
0 ij
)d
p
ij
0
0 ij
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(3) 德鲁克塑性公设的重要推论
Ñ WD WDp
( ij
0 ij
)d
势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有一
塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势函
数，记为：
g I1, J2, J3, H 0
或
g ij , H 0
式中， H 为硬化参数。
塑性应变增量可以用塑性位势函数对应力微分的表达
式来表示，即：
d
p ij
d
g
ij
工程弹塑性力学·塑性位势理论
不小于零，即附加应力的塑性功不出现负值， 则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克公设。
工程弹塑性力学·塑性位势理论
在应力循环中，外载所作的 功为：
Ñ W
0 ij
ij
d ij
0
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
塑性成形原理-本构关系
xy yz zx
1 2G xy 1 2G yz 1 2G zx
即：
' ' y x z' xy yz zx 1 ' ' ' x y z xy yz zx 2G
x y y z z x xy yz zx 1 x y y z z x xy yz zx 2G
广义虎克定律改写为：
结论：在弹性变形中包括改变体积的变形和改变形状的变形。前者 与球应力分量成正比，后者与偏差应力分量成正比。 写成张量形式：
弹性变形时的应力应变关系的特点：
应力与应变完全成线性关系， 即应力主轴与全量应变主轴重 合。
弹性变形是可逆的，与应变历 史（加载过程无关），应力与 应变之间存在统一的单值关系。 弹性变形时，应力张量使物体 产生体积变化，泊松比小于 0.5。
p 3 d P e ij' d ij d ij' 2 e d e 1 d ' 1-2 d ——Hook定律求微分 ij ij m ij 2G E
四、全量理论
简单加载，各应力分量按同一比例增加 应力分量比例增加，中途不能卸载，因此加载从原点出发； 应力主轴与应变主轴重合 变形体不可压缩
2 2
2 2
6d xy 2 6 xy 2d 2
2
2
6d yz 2 6 yz 2d 2
6d zx 2 6 zx 2d 2
(d z d x ) ( z x ) d
等效应力和等效应变的关系
平面问题和轴对称问题讨论：P291
2、应力-应变速率方程
第四章 弹塑性体的本构理论
第二部分弹塑性问题的有限元法第四章弹塑性体的本构理论第五章弹塑性体的有限元法第四章弹塑性体的本构理论4-1塑性力学的基本内容和地位塑性力学是有三大部分组成的：1) 塑性本构理论，研究弹塑性体的应力和应变之间的关系；2) 极限分析，研究刚塑性体的应力变形场，包括滑移线理论和上下限法；3) 安定分析，研究弹塑性体在低周交变载荷作用下结构的安定性问题。
塑性力学虽然是建立在实验和假设基础之上的，但其理论本身是优美的，甚至能够以公理化的方法来建立整个塑性力学体系。
塑性力学是最简单的材料非线性学科，有很多其它更复杂的学科，如损伤力学、粘塑性力学等，都是借用塑性本构理论体系而发展起来的。
4-2关于材料性质和变形特性的假定材料性质的假定1)材料是连续介质，即材料内部无细观缺陷；2)非粘性的，即在本构关系中，没有时间效应；3)材料具有无限韧性，即具有无限变形的可能，不会出现断裂。
常常根据材料在单向应力状态下的σ-ε曲线，将弹塑性材料作以下分类：硬化弹塑性材料理想弹塑性材料弹塑性本构理论研究的是前三种类型的材料，但要注意对于应变软化材料，经典弹塑性理论尚存在不少问题。
变形行为假定 1)应力空间中存在一初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，应力和应变增量的是线性的；只有当应力点达到屈服面时，材料才可能开始出现屈服，即开始产生塑性变形。
因此初始屈服面界定了首次屈服的应力组合，可表示为()00=σf(1)2) 随着塑性变形的产生和积累，屈服面可能在应力空间中发生变化而产生后继屈服面，也称作加载面。
对于硬化材料加载面随着塑性变形的积累将不断扩张，对于理想弹塑性材料加载面就是初始屈服面，它始终保持不变，对于软化材料随着塑性变形的积累加载面将不断收缩。
因此加载面实际上界定了曾经发生过屈服的物质点的弹性范围，当该点的应力位于加载面之内变化时，不会产生新的塑性变形，应力增量与应变增量的关系是线性的。
只有当应力点再次达到该加载面时，才可能产生新的塑性变形。
弹塑性力学讲义—本构关系
例2-1 对Mises屈服条件，证明
f J 2 sij ij ij
证： Mises屈服条件为
2 f J2 s 0 3
J 2 J 2 sk l 1 1 smn smn k l pp k l ij sk l ij sk l 2 3 ij
量是x=，y=0，且x，y，z均为应力的主方向。若材料为理想塑
性，Poisson比<1/2，单轴拉伸屈服极限为s，试利用Mises屈服 条件求出该材料单元达到屈服时的值。记屈服时的值为0，屈服
后加载使得x=0+d，求z方向的应力增量dz。
解：屈服处于弹性阶段，对于平面应变状态，因此根据虎克定律，有 z=(x+y)= 偏应力分量为 1 1 1 sx= (2)，sy= (1+)，sz= (12)，sxy=syz=szx=0 3 3 3
d 3 d ij d ij s 2
sij
2 s diΒιβλιοθήκη 3dij dij d p
p p 2d 2 d1p d 3 p d1p d 3
ud p u
• Tresca屈服条件相关联的流动法则 不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成
例2-4： 有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒，内半径为r，壁 厚为t，若圆筒保持直径不变，只产生轴向伸长，假设材料是不可压缩的，
在忽略弹性变形的情况下，试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。
解∶ 环向应变=0，轴向伸长靠筒壁变薄实现，各应变分量为 =0 z = r 或 e=0 ez = er Levy-Mises流动理论 s=0 sz = sr
ij
0 p (ij ij )d ij 0
f J 2 sij ij ij
证： Mises屈服条件为
2 f J2 s 0 3
J 2 J 2 sk l 1 1 smn smn k l pp k l ij sk l ij sk l 2 3 ij
量是x=，y=0，且x，y，z均为应力的主方向。若材料为理想塑
性，Poisson比<1/2，单轴拉伸屈服极限为s，试利用Mises屈服 条件求出该材料单元达到屈服时的值。记屈服时的值为0，屈服
后加载使得x=0+d，求z方向的应力增量dz。
解：屈服处于弹性阶段，对于平面应变状态，因此根据虎克定律，有 z=(x+y)= 偏应力分量为 1 1 1 sx= (2)，sy= (1+)，sz= (12)，sxy=syz=szx=0 3 3 3
d 3 d ij d ij s 2
sij
2 s diΒιβλιοθήκη 3dij dij d p
p p 2d 2 d1p d 3 p d1p d 3
ud p u
• Tresca屈服条件相关联的流动法则 不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成
例2-4： 有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒，内半径为r，壁 厚为t，若圆筒保持直径不变，只产生轴向伸长，假设材料是不可压缩的，
在忽略弹性变形的情况下，试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。
解∶ 环向应变=0，轴向伸长靠筒壁变薄实现，各应变分量为 =0 z = r 或 e=0 ez = er Levy-Mises流动理论 s=0 sz = sr
ij
0 p (ij ij )d ij 0
第四章 塑性本构关系
一 、理想材料的加卸载准则 理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。 由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到屈服面上， 应力增量 d 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。 d 加载 f ( ij ) 0, 弹性状态
d
n
f ( ij ) 0, f df d ij 0 ij
（4-1）
其中 张量写法：
G E / 2(1 )
ij 3 ij m ij 2G E
1 m kk 为平均正应力。 3
（4-2）
其中
本构关系
将三个正应变相加，得：
kk
3 1 2 m kk kk 2G E E
kk
(5 37)
对理想塑性材料，比例系数d要联系屈服条件来确定。 1 dw sij ( dsij d sij ) 2G 1 dJ 2 2 J 2 d dWe dW p 2G
进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。
e d ij d ij d ijp
（4-30） （4-31） （4-32）
由Hooke定律， d
e ij
d ij 2G
3 d m ij E
由Drucker公设，d d ij
p ij
其中为加载函数。塑性加载 d 0，中性变载或卸载时 0 时 d
e
注意到（5 - 5）式，We可表示为：
1 1 1 1 1 2 2 W J 2 G 2G 2 2 2 6G
e
本构关系
§4.2 Drucker公设
两类力学量 外变量：能直接从外部可以观测得到的量。如总应变，应力等。 内变量：不能直接从外部观测的量。如塑性应变，塑性功等。 内变量只能根据一定的假设计算出来。 关于塑性应变和塑性功的假设： 1、材料的塑性行为与时间，温度无关。
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
塑性力学第四章(1)-塑性本构关系
第四章
塑性本构关系
加载与卸载关系 全量型本构关系 增量本构关系
加载与卸载关系
理想弹塑性材料的加卸载准则
r r ∂f =0 d σ ⋅ n = d σ ij ∂ σ ij
r r ∂f ∂f d σ ⋅ n = d σ ij <0 ∂ σ ij
加载 卸载
r dσ
r n
dσ
r
f (σ ij ) = 0
o
1 εx = σx − µ σ y +σz E 1 εy = σ y − µ (σ z + σ x ) E 1 εz = σz − µ σx +σ y E
[
(
)]
体积应变： 体积应变：
θ = εx +ε y +εz
[ [
(
] )]
体积应力： 体积应力：
Θ =σx +σ y +σz
µε = µσ
形变理论（ 理论） 形变理论（ Hencky — Iliushin 理论）
体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。 1. 体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。
E σm = εm (1 − 2 µ )
应变偏量与应力偏量成比例。 2. 应变偏量与应力偏量成比例。
弹性阶段： 弹性阶段： 塑性阶段： 塑性阶段：
∂ϕ ⋅ d σ ij = 0 ⇒ 中性变载 ∂ σ ij
r r dσ ⋅ n > 0 r r dσ ⋅ n < 0
加卸载准则
r r dσ ⋅ n = 0
中性变载： 中性变载：当应力增量沿加载 面切线方向变化， 面切线方向变化， 而加载面并不扩大 时，不产生新的塑 性变形。 性变形。
塑性本构关系
加载与卸载关系 全量型本构关系 增量本构关系
加载与卸载关系
理想弹塑性材料的加卸载准则
r r ∂f =0 d σ ⋅ n = d σ ij ∂ σ ij
r r ∂f ∂f d σ ⋅ n = d σ ij <0 ∂ σ ij
加载 卸载
r dσ
r n
dσ
r
f (σ ij ) = 0
o
1 εx = σx − µ σ y +σz E 1 εy = σ y − µ (σ z + σ x ) E 1 εz = σz − µ σx +σ y E
[
(
)]
体积应变： 体积应变：
θ = εx +ε y +εz
[ [
(
] )]
体积应力： 体积应力：
Θ =σx +σ y +σz
µε = µσ
形变理论（ 理论） 形变理论（ Hencky — Iliushin 理论）
体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。 1. 体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。
E σm = εm (1 − 2 µ )
应变偏量与应力偏量成比例。 2. 应变偏量与应力偏量成比例。
弹性阶段： 弹性阶段： 塑性阶段： 塑性阶段：
∂ϕ ⋅ d σ ij = 0 ⇒ 中性变载 ∂ σ ij
r r dσ ⋅ n > 0 r r dσ ⋅ n < 0
加卸载准则
r r dσ ⋅ n = 0
中性变载： 中性变载：当应力增量沿加载 面切线方向变化， 面切线方向变化， 而加载面并不扩大 时，不产生新的塑 性变形。 性变形。
弹塑性力学本构关系1资料.
在
平面上任取一点，坐标为 (1, 2 , 3 )
它代表一个应力状态，对应的应力张量分量为 ij
相应的平均应力为 m 易见有
m
1 2
3
3
0
将应力张量分解为应力球张量和应力偏张量，即
ij m ij sij sij
上式表明，与此应力状态相应的应力球张量为零，应力张量
等于应力偏张量。 平面上每一点对应的应力张量是应力偏张量。
• Drucker把它引伸到复杂应力 情况,这就是Drucker公设.
0 d p 0
ij
0 ij
d
p ij
0
d d p 0
第二式中的等号适用于理想 塑性材料.
d
ij
d
p ij
0
Drucker公设在塑性力学中有
重要意义.
屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性
•我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公 设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积.
在应力空间中代表一曲面，此曲面称为屈服曲面。
屈服曲面内的点满足不等式
f (1, 2,3) c 时，代表弹性状态。 屈服曲面上及屈服曲面外的点满足 f (1, 2,3) c
时，代表塑性状态。因此，屈服曲面是弹、塑性状态的分界面。
4．2．3 等倾线与 平面
1.等倾线 在应力空间中，过坐标原点与三个坐标轴成相同倾角的直线 叫等倾线。
PR线上每一点都代表一个应力状态。 PR线上的点有相同的应力偏张量和不同的应力球张量。
因为应力球张量不影响屈服，所以如果P点在屈服曲面上， 那么PR线上所有点都应该在屈服面上。因此屈服曲面实际上 是一个柱面，并且柱面的母线平行于等倾线OL
P
弹塑性力学塑性本构关系
0
14
1.理想塑性材料的增量本构关系 2.硬化材料的增量塑性本构关系 3.全量塑性本构关系
15
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
d
p ij
d
f
ij
f g 相关联流动
塑性应变大小 塑性应变方向
对于强化材料
f
ij
d ij
0
d ij 在
f
ij
方向上的投影，反映了塑性应变增量的大小。
可假设：
d
1 h
H121
Cp ijkl
1
9K 2
G
H11H 22
H
2 22
对称
H11H 33
H 22H33
H
2 33
H11H12 H 22H12 H 33 H12
H122
H11H 23
H 22H 23
H 33 H12
H12H 23
H
2 23
H11H 31 H 22H31
H
33
H
31
H12H31
H12
H
0
如果hd以 d累积pf塑2ij d性d32应ijd变ijpdkfddijpkdp作32p0为d内2变hd量f ij
f
fij ij
ij
p ij
d
k k p k d2 p f f
p ij
d
d
p ij
d
f k
k
p
d
d p
f
p
ij
0
3 ij ij
2 f f
3 ij ij
h f
Cijkl
1 H
H
ij
H
kl
H
弹塑性本构关系
பைடு நூலகம்
F p d kk 3d S；deijp d ij e p p d d G K kk ij 2G eij kk mn 2 mn Sij k
(2) Druker-Prager 模型
Druker-Prager模型采用广义的 Mises屈服函数，其表达式为：
m
3K
ij
弹性变形 + 塑性变形 又可写成：
ij Sij m ij K kk ij 2G eij d d d d e d e
K kk d kk ij 2G eij eijp p d d d F F K kk ij 2G eij d 3K ij 2G d d kk Sij
F σ ij J 2 I1 k 0 +
由
F kk
F Sij 2 Sij J2
得 d ij dSij d m ij d F 2G 3K
F ij Sij kk
Sij m Sij d d d ij 2G 3K ij 2 J2
2G
m为对应于 m体应变
拉梅常数 E (1 )(1 2 )
xy
2
x 3 m 2G x y 3 m 2G y z 3 m 2G z xy 2G xy G xy
yz zx
2 2
2G
G
E 2(1 )
2G
基本方程 yz 2G yz G yz zx 2G zx G zx
张量形式
张量形式
ij ij
F p d kk 3d S；deijp d ij e p p d d G K kk ij 2G eij kk mn 2 mn Sij k
(2) Druker-Prager 模型
Druker-Prager模型采用广义的 Mises屈服函数，其表达式为：
m
3K
ij
弹性变形 + 塑性变形 又可写成：
ij Sij m ij K kk ij 2G eij d d d d e d e
K kk d kk ij 2G eij eijp p d d d F F K kk ij 2G eij d 3K ij 2G d d kk Sij
F σ ij J 2 I1 k 0 +
由
F kk
F Sij 2 Sij J2
得 d ij dSij d m ij d F 2G 3K
F ij Sij kk
Sij m Sij d d d ij 2G 3K ij 2 J2
2G
m为对应于 m体应变
拉梅常数 E (1 )(1 2 )
xy
2
x 3 m 2G x y 3 m 2G y z 3 m 2G z xy 2G xy G xy
yz zx
2 2
2G
G
E 2(1 )
2G
基本方程 yz 2G yz G yz zx 2G zx G zx
张量形式
张量形式
ij ij
第4章 塑性本构关系
已知： ij
m
1 ij 2G
1 2 m E
广义虎克定律的张量表达式：
1 1 2 ij ij m ij 2G E
广义虎克定律其他形式 1、比例形式：
xy yz 1 xz yz xz 2G x y z xy x y z
x x
2 xy 2 yz 2 2 xy 2 2 yz 2 2 6 xz 4G 2 xz ×6
y
2
4G 4G
2
y
2
等式左边为：
x
2 2 2 y y z z x 6 xy yz xz 2 2 2
等式左边与右边关系为： σ=Eε 结论：材料弹性变形范围内，应力强度与应变强度成 正比，比例系数为E
弹性变形应力应变关系
应力应变完全成线性关系，应力主轴与应 变主轴重合。 弹性变形可逆，应力应变之间为单值关系， 加载与卸载规律相同。 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积 变化，泊松比ν<0.5。
x y y z z x xy yz xz x y y z z x xy yz xz
上式两边平方后整理后得：
d
2
d
2 y
x
y
z
2 2 2
x
y
y
z
2
6d
2
2 xy 2 yz 2 xz
6 6 6
2 xy 2 yz 2 xz
2
6d
2
d
2 z
x
m
1 ij 2G
1 2 m E
广义虎克定律的张量表达式：
1 1 2 ij ij m ij 2G E
广义虎克定律其他形式 1、比例形式：
xy yz 1 xz yz xz 2G x y z xy x y z
x x
2 xy 2 yz 2 2 xy 2 2 yz 2 2 6 xz 4G 2 xz ×6
y
2
4G 4G
2
y
2
等式左边为：
x
2 2 2 y y z z x 6 xy yz xz 2 2 2
等式左边与右边关系为： σ=Eε 结论：材料弹性变形范围内，应力强度与应变强度成 正比，比例系数为E
弹性变形应力应变关系
应力应变完全成线性关系，应力主轴与应 变主轴重合。 弹性变形可逆，应力应变之间为单值关系， 加载与卸载规律相同。 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积 变化，泊松比ν<0.5。
x y y z z x xy yz xz x y y z z x xy yz xz
上式两边平方后整理后得：
d
2
d
2 y
x
y
z
2 2 2
x
y
y
z
2
6d
2
2 xy 2 yz 2 xz
6 6 6
2 xy 2 yz 2 xz
2
6d
2
d
2 z
x
最新7.弹塑性力学--塑性本构关系汇总
f g J2 k
Cep ijkl
ij kl
ik jl
il jk
k2
sij skl
d ij
C d ep ijkl kl
d x
d
y
d
d z d xy
d
yz
d zx
d x
d y
d
d d
z xy
d
yz
d zx
C ep ijkl
Ce ijkl
Cp ijkl
6
1.理想塑性材料的增量本构关系
f g 相关联流动
塑性应变大小 塑性应变方向
对于强化材料
f
ij
d ij
0
d ij 在
f
ij
方向上的投影，反映了塑性应变增量的大小。
可假设：
d
1 h
f
ij
d ij
d
p ij
1 h
f
ij
f
kl
d kl
如何确定？
f
ij d ij
f ij k
16
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
f ij ,ij , k 0
sx2 sysx
Cp ijkl
G k2
szsx
sxy sx
s
yz
sx
szxsx
sxsy
s
2 y
szsy
sxy sy
syz sy
szx sy
sxsz
sysz
s
2 z
sxy sz
syz sz
szx sz
sx sxy sy sxy sz sxy sx2y syz sxy szx sxy
sx syz
弹塑性力学第4章
3
B 0,0,0
A 1 , 2 , 3
1
2
B点坐标原点，平均应力=0的应力状态
4.2.2屈服曲面：
f 上述屈服条件在应力空间所表达的曲面称之为屈服曲面。
1
, 2 , 3 C
f 1 , 2 , 3 C f 1 , 2 , 3 C
1 2k s , k s
2
Tresca 屈服条件可以表示为：
2 3 s 3 1 s 1 2 s
复杂应力状态下判断物体是否进入塑性阶段的公式。
Tresca 屈服条件的优缺点： 优点：当主应力顺序已知时，表达式简单 缺点： 1）当主应力顺序未知时，表达式复杂 2) 只考虑最大最小主应力 3) 屈服曲面为正六角柱面，棱边处切平面不唯一
Mises 屈服条件 用下列方程表示： 1 2 或
2
2 3 3 1 6B 2
2 2
2
x y
2
y z
2
2 2 2 6B 2 z x +6 xy yz zx
即：
f ij 0
加载过程 卸载过程
点在屈面上移动为加载过程
加载准则
f 0
f 0
f 0
理想材料 强化材料 加载
加载 中性变载
卸载 卸载
屈服条件为Mises的加载准则
J 2 0/ i 0
J 2 0/ i 0
J 2 0/ i 0
2s
3
Mises屈服条件的表达式：
x y y z z x +6 xy 2 yz 2 zx 2 2 s 2
B 0,0,0
A 1 , 2 , 3
1
2
B点坐标原点，平均应力=0的应力状态
4.2.2屈服曲面：
f 上述屈服条件在应力空间所表达的曲面称之为屈服曲面。
1
, 2 , 3 C
f 1 , 2 , 3 C f 1 , 2 , 3 C
1 2k s , k s
2
Tresca 屈服条件可以表示为：
2 3 s 3 1 s 1 2 s
复杂应力状态下判断物体是否进入塑性阶段的公式。
Tresca 屈服条件的优缺点： 优点：当主应力顺序已知时，表达式简单 缺点： 1）当主应力顺序未知时，表达式复杂 2) 只考虑最大最小主应力 3) 屈服曲面为正六角柱面，棱边处切平面不唯一
Mises 屈服条件 用下列方程表示： 1 2 或
2
2 3 3 1 6B 2
2 2
2
x y
2
y z
2
2 2 2 6B 2 z x +6 xy yz zx
即：
f ij 0
加载过程 卸载过程
点在屈面上移动为加载过程
加载准则
f 0
f 0
f 0
理想材料 强化材料 加载
加载 中性变载
卸载 卸载
屈服条件为Mises的加载准则
J 2 0/ i 0
J 2 0/ i 0
J 2 0/ i 0
2s
3
Mises屈服条件的表达式：
x y y z z x +6 xy 2 yz 2 zx 2 2 s 2
塑性力学 第四章 塑性本构关系.
s
s
3G
, s
s , s ， s s 1 s
G 3G 3G
10
分别代入（4）得到
s s s 3G 3 3G
s
2
0.707 s
故
9
（二）对于理想塑性材料： i s 将（2）、（3）代入式（1），得到
2 1 2 i 3
（2） （3）
s
2 1 2 3
,
s
2 1 2 3 3
（4）
（三）在简单加载的条件下，材料进入塑性状态时各应变分 量同时达到屈服，即 又
1
§4-1
建立塑性本构关系的基本要素
描述塑性变形规律的理论可分为两大类： 一类理论认为在塑性状态下仍是应力和应变全量之间的关系 即全量理论；另一类理论认为在塑性状态下是塑性应变增量 （或应变率）和应力及应力增量（应力率）之间的关系即增 量理论或流动理论。 为了建立塑性本构关系，需要考虑三个要素： 1、初始屈服条件； 2、与初始屈服及后继加载面相关连的某一流动法则。即要 有一个应力和应变（或它们的增量）间的关系，此关系包括 方向关系和分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关系； 3、确定一种描述材料强化（硬化）特性的强化条件，即加 载函数。有了这个条件才能确定应力、应变或它们的增量之 间的定量关系。
3 2 Sij Sij , i eijeij ） 2 3
ii
i i
1 2 ii E 3 eij i S ij 2 i
6
二、依留申小弹塑性形变理论 1943年，依留申考虑了与弹性变形同量级的塑性变形，给 出了微小弹塑性变形下的应力—应变关系 在弹性阶段：
材料成形原理-第4章 本构关系
实验结果表明，按不同应力组合得到的等效应
力——等效应变曲线基本相同
通常可以假设，对于同一种材料，在变形条件
相同的条件下，等效应力与等效应变曲线是单
一的，称为单一曲线假设
可以采用最简单的实验方法来确定材料的等效 应力——等效应变曲线
材料塑性本构关系
常用实验方法有三种
P P
P
P
P
P
单向拉伸实验 单向压缩实验
整理后可得
3G
E 3G
利用
E
材料全量塑性本构关系
全量形变理论可以表示为
1 1 x E [ x 2 ( y z )]; 1 1 y [ y ( z x )]; E 2 1 [ 1 ( )]; z z x y E 2
材料塑性本构关系
材料塑性应力与应变关系称为材料塑性本构关 系，其数学表达式称为本构方程，也称为物理 方程 材料塑性变形时，应力不仅与应变有关，还与 材料变形历史、组织结构等因素有关 材料塑性变形时的应力与应变关系，可以归结 为等效应力与等效应变之间的关系
f ( )
材料塑性本构关系
增量本构理论又称为流动理论来自 材料增量塑性本构关系
Levy—Mises理论
材料为理想刚塑性材料，即弹性应变增量为 零，塑性应变增量就是总应变增量； 材料服从Mises屈服准则，即 s ； 塑性变形时体积不变，即应变增量张量就是 应变增量偏张量；
在以上假设基础上可假设应变增量与应力偏张 量成正比
1 xy xy 2G 1 yz yz 2G 1 zx zx 2G
塑性力学--第四章 塑性本构关系
2
• 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 1 2 1 d ii d ii deij dSij E 2G
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-3 全量型本构方程 Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定: 1 2 (1) 体积变形是弹性的, 即 ii ii E (2) 应变偏张量和应力偏张量成比例
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 设在物体 V 内给定体力 Fi , 在应力边界 S 上给定面 力 pi , 在位移边界 Su 上给 定位移为 ui , 要求确定物 体内处于塑性变形状态的各 点的应力 ij , 应变 ij 和位 移 ui .按照全量理论,确定这 些基本未知量的基本方程有
塑性成形力学基础－－韩志仁 Nhomakorabea4-2 广义Hooke定律
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 1 ij 1 ij ij kk E 1 2 1 • 也可以表示为: ii ii eij Sij E 2G 由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1 1 eij ij m 1 S ij ij m ij kk E 1 1 1 2 1 Sij ij m 3 ij m Sij ij m E 2G E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 我们来证明一下:
塑性成形力学基础－－韩志仁
• 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 1 2 1 d ii d ii deij dSij E 2G
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-3 全量型本构方程 Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定: 1 2 (1) 体积变形是弹性的, 即 ii ii E (2) 应变偏张量和应力偏张量成比例
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 设在物体 V 内给定体力 Fi , 在应力边界 S 上给定面 力 pi , 在位移边界 Su 上给 定位移为 ui , 要求确定物 体内处于塑性变形状态的各 点的应力 ij , 应变 ij 和位 移 ui .按照全量理论,确定这 些基本未知量的基本方程有
塑性成形力学基础－－韩志仁 Nhomakorabea4-2 广义Hooke定律
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 1 ij 1 ij ij kk E 1 2 1 • 也可以表示为: ii ii eij Sij E 2G 由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1 1 eij ij m 1 S ij ij m ij kk E 1 1 1 2 1 Sij ij m 3 ij m Sij ij m E 2G E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 我们来证明一下:
塑性成形力学基础－－韩志仁
第四章 弹性变形、塑性变形、本构方程
弹性变形特点: ⑴ 弹性变形特点:
弹性变形是可逆的。物体在变形过程中， ① 弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内， 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸 载时，弹性应变能将全部释放出来， 载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得 以完全恢复； 以完全恢复； 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， ② 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 ③ 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 因此，应力与应变是一一对应的关系。 因此，应力与应变是一一对应的关系。
◆ 理想线性强化刚塑性力学模型
理想线性强化刚 塑性力学模型， 塑性力学模型，其 应力应变关系的数 学表达式为： 学表达式为：
σ = σ s + E1ε
弹塑性力学
(当ε ≥ 0时)
（4--5）
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续7）
◆ 幂强化力学模型 为了避免在 ε = ε s 处 的变化， 的变化，有时可以采用幂 强化力学模型。 强化力学模型。当表达式 中幂强化系数 n 分别取 0 或 1 时，就代表理想弹塑 性模型和理想刚塑性模型。 性模型和理想刚塑性模型。 其应力应变关系表达式为： 其应力应变关系表达式为：
弹塑性力学
弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（ ） §4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续3）
塑性变形特点: ⑵ 塑性变形特点:
塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆， ① 塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。 ② 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方 程的非线性，所以不能使用叠加原理。 程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系， 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即 应力与相应的应变不能唯一地确定， 应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径 （或加载历史）。 或加载历史）。 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， ③ 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸 载都服从广义虎克定律。但在塑性区， 载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规 而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。 律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。 ④ 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。 弹塑性力学
弹塑性力学-第4章_本构方程
第四章本构方程在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。
但是只有这些方程还不足以解决变形体内的应力和变形问题。
对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。
因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。
通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。
塑性本构包括三个方面：1、屈服条件，2、流动法则，3、硬化关系；其中屈服条件：判断何时达到屈服，流动法则：屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值，硬化规律：决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小。
以上构成塑性本构关系。
4.1弹性应变能函数变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变—位移方程(即变形几何方程)还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形式变形的规律。
该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持—定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。
这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题。
如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量(例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长等等)．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。
然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力-应变关系的理论研究提供了基础。
1.1应变能密度假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。
这个条件是弹性的另一种定义。
换句话说，就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。
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向都保持不变.
• 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过 程是简单加载? Il’yushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以 证明物体内所有各点是处于简单加载过程:
(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零.
(2) 材料是不可压缩的.
(3)应力强度和应变强度之间幂指数关系,
3i 2 i
(3)应力强度是应变强度的函数 i i , 即按单一曲线假
定的硬化条件.
综上所述, 全量型塑性本构方程为
ii
1 2
E
ii
eij
3i 2 i
Sij
i i
注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加
载的标志是应力强度 i 成单调增长. i 下降时为卸载过
程, 它时服从增量Hooke定律.
y
些基本未知量的基本方程有
x
Su : ui
平衡方程 ij, j Fi 0
几何方程
ij
1 2
ui. j u j,i
本构方程
ii
1 2
E
ii
eij
3i 2 i
Sij
i i
其中
i
3 2
Sij Sij
i
2 3
eij eij
这就是对于全量 理论的塑性力学
边界条件 S : ijl j pi , Su : ui ui
(1)全量理论, 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下仍有应力 和应变全量之间的关系. 有Hencky(亨奇)理论和Il’yushin (伊柳 辛)理论.
(2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状态下是塑性应 变增量和应力及应力增量之间有关系.有Levy-Mises(莱维-米泽 斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特-罗伊斯)理论.
dii
1 2
E
d ii
deij
1 2G
dSij
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-3 全量型本构方程
Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定:
(1) 体积变形是弹性的, 即
ij
m
1
1
2G
2
E
m
ij
•形式上和广义Hooke定律相似, 但这里的比例系数不是一个常 数.这是一个非线性关系.下面我们来看一下这个系数等于什么?
塑性成形力学基础－－韩志仁
因为应力强度和应变强度的公式为:
i
3 2
Sij Sij
i
2 3
eij eij
把
eij Sij 代入上面右式并考虑上面左式得到
ii
1 2
E
ii
(2) 应变偏张量和应力偏张量成比例 eij Sij
• 这个假定就是应力和应变的定性关系, 即方向关系和 分配关系. 方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴 重合, 也即应变主轴和应力主轴重合,而分配关系是指 应变偏量和应力偏量成正比。
塑性成形力学基础－－韩志仁
简单加载（简单变形）：各应力分量按同一比例增加，此时应 力主轴方向固定不变。由于应变增量的主轴方向和应力主轴方 向重合，应变主轴也始终不变。 1924年汉基提出了不包括硬化的全量关系。
ij
1 E
1
ij
ij kk
• 也可以表示为:
ii
1 2
E
ii
eij
1 2G
Sij
我们来证明一下:
由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ijm
代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 21
eij
ijm
1 E
1
Sij ij m ij kk
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法
设在物体 V 内给定体力 Fi , 在应力边界 S 上给定面
S : pi
力 pi , 在位移边界 Su 上给 定位移为 ui , 要求确定物 体内处于塑性变形状态的各
z
V
Fi
点的应力 ij , 应变 ij 和位
移 ui .按照全量理论,确定这 O
塑性成形力学基础－－韩志仁
第四章 塑性本构关系—全量理论 和增量理论
塑性成形力学基础－－韩志仁
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则
硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
本章内容
塑性成形力学基础－－韩志仁
第四章 塑性本构关系—全量理论和增量理论 引言:塑性变形规律的复杂性, 到目前为止这个塑性本构关系问 题还没有得到满意的解决.现在广范采用的理论分为两大类:
4-1 建立塑性本构关系的基本要素 Shield和Ziegler指出, 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素: (1)初始屈服条件;(2)流动法则;(3)加载条件.
其中(1)和(3) 在第二章已经解决, 本章要解决第(2)点.
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-2 广义Hooke定律
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为
1 E
1
Sij ij m
3ij m
1 2G
Sij
1 2
E
ij m
所以可以写成两个相应分解张量之间的关系.
塑性成形力学基础－－韩志仁
这是七个方程
ii
1 2
E
ii
eij
1 2G
Sij
第二个式子是六个方程,但因为有 Sii 0, 所以有5个是独立的. 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致 的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比.
的边值问题.
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-5 全量理论的适用范围 简单加载定律 • 全量理论适用小变形并且是简单加载.
• 那么上面是简单加载? 理论上指在加载过程中物体每一点
的各个应力分量按比例增长. 即
ij
t
0 ij
其中
0 ij
是某一非零的参考应力状态,
t 是单调增加的参数.
这样定义的简单加载说明, 在加载时物体内应变和应力的主方
第二式也可以写成 Sij 2Geij ,把它代入应力强度的表达式
就可以得到下面的第二式, 然后有 G i / 3i 再代回上面第
一式得到下面的第二式.
• 所以也可i 写成32 e如ije下ij 形式
eij
i
3i 2 i
23SSij ijSij
i
3Gi
• 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式
即
i
A
m i
这就是Il’yushin简单加载定律.有人认为只有第(1)条就可以了.
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-6 卸载定律
• 从单向拉伸实验的应力应变曲线
A
看:加载至过弹性极限达到A点,然后