弹塑性力学第四章

代入广义胡克定律
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
xy yz zx
xy
G
yz
G
zx
G
式中， G
E 2 1 v
为各向同性物体的剪切弹性模量。
表示材料弹性性能的常数有3个，但只有两个是独立的。 张量记法：
1 v v ij ij E E vE ij e E ij ij 1 v 1 v 1 2v
c11 c22 c33 a c12 c21 c13 c31 c23 c23 b
令 a b 2 , b , e 1 2 3 ,则 1. 弹性拉梅弹性常数表示的广义胡克定律 x e 2 x , e 2
m
e x y z 3 m
ij ij e 2 ij
1 m 3K 2 K 3
对比等式两边，可得： sij 2Geij
广义胡克定律
广义胡克定义可写为
m 3K m
sij 2Geij
广 物体的变形可分为两部分：一部分是各向相等的正应力引起的 西 工 相对体积改变；一部分是应力偏量引起的物体几何形状的变化。 学 V 院
上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下 的推广，因此又称作广义胡克定律。
广义胡克定律
广义胡克定律的张量表示： ij cijkl kl cijkl 称为弹性系数，一共有36个。
i, j, k , l 1, 2.3
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如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将 有不同的弹性效应，因此一般的讲，cmn 是坐标x，y，z 的函数。 如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点， 如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各 点如果有相同的应变，必承受同样的应力。 因此cmn为弹 性常数，与坐标无关。 各向同性材料，独立的弹性常数只有两个。
广义胡克定律
2. 用弹性模量和泊松比表示的广义胡克定律 将（4-3）式中的应变解出来，可得 x e 2 x x x x y 3 2 2 3 2 （4-5） y e 2 y
x
E
（4-6，4-7）
x
x
比较以上式子可知：
E
3 2 ,v 2
广义胡克定律
代入广义胡克定律，得
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1 x x v y z , E 1 y y v x z , E 1 z z v x y , E
b
广义胡克定律
由应力分量的坐标变换公式（2-20）可得：
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xy l11l22 xy xy 2 x l11 x x 2 y l22 y y 2 z l33 z z
y c21 x c22 y c23 z z c31 x c32 y c33 z
x 对 x 的影响应与 y 对 y 及 z 对 z 的影响相同，即 c11 c22 c33
同理， y , z 对 x 的影响应相同，即
广义胡克定律
证明：弹性状态下，各向同性弹性体，应力主轴与 应变主轴重合。
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证明：令x、y、z为主应变方向，则剪应变分量为零。
xy c41 x c42 y c43 z
a
引入新坐标，则新、旧坐标间的关系为：
在新坐标，弹性常数不变，则
xy c41 x c42 y c43 z
广义胡克定律
x x , y y , z z , xy xy , yz yz , xz xz
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x x , y y , z z , xy xy , yz yz , xz xz
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x 汽 x 车 工 2 2 2 x xl11 y l12 z l13 2 xy l11l12 yz l12l13 xz l11l13 x 程 系 y y , z z
z
y y
z
ij lii l jj ij
e x y z
1 1
xy xy xy xy xy xy
i j i j
2 e 2 2 3 e 2 3
坐标变换
y e 2 y , z e 2 z ,
, 称为拉梅弹性常数。
1, ij ij e 2 ij , = 0,
三维：应力和应变关系的一般表达式为：
对于小变形问题，上述表达式展开成泰勒级数，并且略 去二阶以上的高阶小量。
初始 应力
广义胡克定律
根据无初始应力的假设，（f 1)0应为零。对于均匀材料， 材料性质与坐标无关，因此函数 f 1 对应变的一阶偏导数为常 数。因此应力应变的一般关系表达式可以简化为
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根据正交各向异性弹性体的性质可知： x x
对比以上两式可得：
c15 c15 , c16 c16 c15 c16 0
同理可得：
c25 c26 c35 c36 c45 c46 0
广义胡克定律
将x轴旋转180度，采用和前面相同的方法，可得：
c14 c24 c34 c56 0
广义胡克定律
二、各向同性弹性体广义胡克定律的几种形式 令坐标轴与主应力方向一致，则
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x c11 x c12 y c13 z y c21 x c22 y c23 z z c31 x c32 y c33 z
x y z
பைடு நூலகம்

ij sij m ij ij e 2 ij ij 2G eij m ij 2Geij 3 G m ij 3
2


eij ij m ij
G
x m xy xz sij yx y m yz zx zy z m ij m ij
由 (c)式代入 (b)式 ,可得出：
xy c41 x c42 y c43 z
xy c41 x c42 y c43 z
c
b
xy c41 x c42 y c43 z
a
d
比较(a) , (b)可得： xy xy ，所以，必定有 xy 0
应力 理论 应变 理论
平衡微分方程 （应力分量与体力
的关系）
边界条件 几何方程 （应变分量与位移
的关系）
变形协调方程
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广义胡克定律
广义胡克定律
一、广义胡克定律
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大量实验表明，在许多工程材料的弹性范围内，单向的应 力和应变之间存在着线性关系： E 材料的变形属性与坐标无关。
因而有：
c11 c22 c33 a
c12 c13
c12 c21 c13 c31 c23 c23 b
对于应变主轴，弹性常数只有两个。
广义胡克定律
各向异性弹性体独立的常数有21个。 系数矩阵对称 Cmn Cnm 广 西 工 具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的独立常数有13个。 学 院
车 工 程 系
弹性对称面：如果物体内存在这样一个平面，和该平面对称的 汽 两个方向都具有相同的弹性，则该面称为物体的弹性对称面。 弹性主方向：垂直于弹性对称面的方向 具有三个弹性对称面的各向异性弹性体（正交各向异性）的 独立常数有9个。
广义胡克定律
证明：正交各向异性弹性体的独立常数有9个。 证明：取弹性主轴为三个坐标轴，将z轴旋转180度
(2-20)
xy l21l31 x l22l32 y l23l33 z
xy l11l22 l12l21 yz l12l23 l13l22 xz l13l21 l11l23 xy
yz yz , xz xz
同理可得： yz 0, zx 0
因此，对于各向同性弹性体，主应变方向必为主应力方向。
广义胡克定律
证明：各向同性均匀弹性体的弹性常数只有两个。
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证明：令坐标轴与主应力方向一致，则主应力与主应变间 的关系为： c c c
x 11 x 12 y 13 z
y y x y 3 2 2 3 2
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z e 2 z
E,
分别为杨氏弹性模量和泊松比。
右图所示应力状态时，由材料力学可知：
x x
E , y v
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z z
x
y y
将y轴旋转180度，可得： 与前一步骤相同
c14 c24 c34 c56 0
x
如果三个相互垂直的平面中有两个是弹性对称面，则第 三个平面必然也是弹性对称面。
c11 c12 c13 c22 c23 c33 c 对 称 0 0 0 c44 0 0 0 0 c55 0 0 0 0 0 c66
ij
广义胡克定律
3. 用应力偏量和应变偏量表示的广义胡克定律
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m
1 x y z x y z x y z 3 3E 1 1 1 2 1 2 x y z m m 3K 3E E
第4章
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
本构关系
§4.1 广义胡克定律 §4.2 弹性应变能函数 §4.3 屈服函数与应力空间 §4.4 德鲁克公设与伊留申公设 §4.5 常用的屈服条件 §4.6 增量理论
§4.7 全量理论
§4.8 塑性势的概念
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本构关系
（应力分量与应 变分量的关系）