论文_三对角矩阵的简单计算

长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练三对角矩阵的简单计算

系（部）：信息与计算科学

专业：数学与应用数学

学号： 2009031105

学生姓名：尹锋霖

成绩：

2012 年６月

三对角矩阵的简单计算

尹锋霖

长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022

摘要：三对角行列式是一类特殊而常见的行列式，其计算灵活多样，本文给出三对角行列式的两种特殊的计算方法和证明．

关键词：三对角行列式，递推法，差分法

1 引言

1．简本文主要介绍三对角行列式两种简单计算方法，然后给与证明，对以后行列式的计算有很大的帮助．

2．文献[1]，主要研究了三对角行列式的递推法、差分法、数学归纳法和拆行（列）法这四种计算方法．文献[2]，主要研究了三对角行列式及其运用，主要讨论了利用递归方程得到了计算了计算三对角行列式的一般方法，然后研究三对角行列式在线性代数及组合数学中的应用．文献[3]，主要是在给出了三对角行列式的几种算法，利用三对角行列式证明了两类Chebyshev 多项式的几种显式．

3，本篇文章主要总结了三对角行列式的两种简单计算与证明． 定义1 形如

111

222333111

000000000000

n n n n n

b a

c b a c b a D c b a c b ---=

的n 阶行列式叫做三对角行列式．

2 两种方法对三对角行列式的求解

2.1 递推法

递推法可分为直接递推和间接递推．用直接递推法计算行列式n D ，依次从

123n D D D D →→→→ 逐级递推便可以求出

n

D 的值；间接递推的做法是，借助于行

列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组，从而消去1n D -就可解得n D ．

例１ 计算ｎ阶行列式

000000000000

n a b c a b c a b D c a b c

a

=

．

因此有

()1

1

2

2

4;

1,

4;

2n n n n

a a a bc D a n a bc ++⎧

+--≠=⎪⎛⎫

⎪+= ⎪⎪⎝⎭

⎩

．

证明 设det n n D T =按第一行展开得

12n n n D aD bcD --=-． （1）

取p ，q

为方程20x ax bc -+=的根，即

2

a p +

=

，2

a q -=

，

则式(1)可改为

112()n n n n D pD q D pD ----=-．

注意到

2

21D pD q

-=，

可递推求得

1n

n n D pD q

--=，

从而

11

2

1

1

2

,4;(1),4;

n n n n n n

n n p q a bc D p p

q pq

q p q

n p a bc ++--⎧-≠⎪=++++=-⎨⎪+=⎩

，

从而得到

()1

1

2

2

4;

1,

4;

2n n n n

a a a bc D a n a bc ++⎧

+--⎪≠=⎪⎛⎫

⎪+= ⎪⎪⎝⎭

⎩

．

证毕．

例3 计算下面行列式

4104

410

4

4

A =．

2

4414=⨯⨯ ， 3

4(31)322A ⎛⎫

∴=+⨯= ⎪⎝⎭

．

2.2 差分法

首先由行列式n D 得到一个一般的递推公式

12n n n D pD qD --=+．

然后把该关系看作一个差分方程，求出特征方程

2

0p q λλ-+=

的两个根12,λλ,则

112212()n

n

n D C C λλλλ=+≠，

或

1212()n

n D nC λλλ==．

最后从由12,D D 得到的一个方程组中解出常数12,C C ,从而求出行列式n D 的值． 例3 计算n 阶行列式

000000000000

n a b a b

a b a b a b a D b a b a b

a b

+++=

++

．

解 按第一列展开得

()

1100000000()0000

n n n a b a b

a b a b a b a D a b D b

b a b a b

a b

--+++=+-++

()12()3n n a b D abD n --=+=≥．

即有递推关系

12()(3)

n n n D a b D abD n --=+=≥．

令,p a b q ab =+=-．由特征方程20p q λλ-+=得到两个特征根12,a b λλ==． 若a b ≠，则112212n n n n n D C C C a C b λλ=+=+，由2212,D a b D a ab b =+=++， 有

122222

12

a b C a C b a ab b C a C b +=+⎧

⎨++=+⎩． 1

1

12,;n n n

a b a

b

C C D

a b

a b

a b

++-=

=

∴=---．

若a b =，则特征方程有相等实根12a λλ==，这时

112212n

n

n

n

n D C nC C a nC b

λλ=+=+，

代入12,D D 解方程组可得

121(1)n

n C C D n a

==⇒=+．

因此有