静态电磁场分析

4、电位的微分方程
由 E
D 0 E 0
D 0
2 0 0
2 若空间电荷分布为零，则有 0
电位满足的拉普拉斯方程
电 位 的 泊 松 方 程
在直角坐标系中
E dl 0
l
E 0
本构方程 2、边界条件
D E
n E1 E2 0
E1t E2t
n D1 D2
D1n D2n
3.1.2
1、由
电位函数
E ， 称为静电场的标量位函数，又称电位函数 直 1）电位函数为电场函数的辅助函数，是一标量函数 角 坐 2）“-”号表示电场指向电位减小最快的方向 标 系 E x x E e x ey ez E x y z y y E ◇ E在任意方向上的分量 z z El l ◇ 由此可求得电位的微分 ◇ 若选取 P( xP , yP , zP )为电位参考（即 P 0 ）， d El dl E dl 则任意点 A( x, y, z ) 的电位为 ◇ 空间A、B 两点的电位差
s 0 有
例 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外 空间的电位。 解：◇ 球外空间的电位满足拉氏方程 0
2 2 2 2 2 2 0 x y z
2
电位的边界条件
l 0
1
1 2 E dl 0
D1n D2n s
有
而D E
2
若
1
1 2 2 s n n
2 1 1 2 n n 1 2 0
电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义，根据表达式最简原则， 选取 r 1 柱面为电位参考点，即 rQ 1 ，得
p
l ln rp --------无限长线电流在空间产生的电位 2 0
引入电位函数的意义： 简化电场的求解——间接求解法 在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单， 因此可以通过先求解电位函数，再由关系 E 得到电场解。
r ' R 1 d ' 3 4 0 R
D0 r 0 E r 1 r ' R d ' 3 4 R
◇
◇
关系式 D0 0 E 称为真空的电特性方程或本构关系
3.1.1静电场的基本方程
1、基本方程
D dS q
s
D0
第 3 章
静态电磁场分析
◇ 以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静态电磁场的特性和求解方法。 ◇ 建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程；引入电位函数; 导出电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程。
◇ 建立真空与磁介质内恒定磁场的基本方程；引入矢量位A；
在特定条件下引入标量位 。
◇ 讨论电容的计算，电场能量的计算。 ◇ 讨论自感和互感的计算、磁场能量和磁场力。 ◇ 静态场边值问题的解法---分离变量法、镜像法
◇ 体电荷 d 、面电荷 dS 、线电荷 l dl 产生的电位分别为

1 d C 4 0 R
,
1 dS C 4 0 s R
,
l dl 1 C 4 0 l R
◇无限长线电荷的电位
E
l l ˆ er p Q (ln rQ ln rp ) 2 0 r 2 0

q

由于
q dl cos 4 0 r 2
解：取如图所示坐标系，场点 P r, , 的电位等于两个点电荷电位的叠加
qdl cos qdl er p er
得电偶极子的电位

q 1 1 4 0 r r
2 2
而 r r dl 2rdl cos
E 0
B A El dl
A
B
A P
xP , y P , z P x , y ,z

El dl
2、选择电位参考点的原则：
1.应使电位表达式有意义； 2.应使电位表达式最简单；
3.同一个问题只能有一个参考点；
4.电位参考点的电位值一般为零

1 p er 1 pr 4 0 r 2 4 0 r 3
1 1 r r 2 dl 2 2rdl cos
电偶极子的电场强度
1 3 p r p E ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3 4 0 r 5 r
例
求电偶极子p qdl 的电位 r (教材例3.1.1)。
z
q dl
P r, ,
r
r r
当 r dl
1 1 1 2 dl cos r r r 1 1 1 1 d l cos 因此 2 4 0 r r r
3、电位函数的求解
◇ 点电荷的电位
1 4 0
RP

R
qeR q d l R2 4 0
RP

R
dR R
q 1 1 q C 4 0 R Rp 4 0 R
若取 RP 处的电位为零，则

q 4 0 R
点电荷在空间产生的电位
3.1 静电场分析
3.2 恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析
3.4 静态场的边值问题
3.1
◇ ◇
静电场分析
静电场的源变量是电荷 q r 第2章中已由库仑定律引入了电荷 q r 产生的电场强度 E
1 qR 4 0 R3
◇
任意电荷分布产生的电场强度 E r 定义任意电荷分布产生的电位移矢量