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辽宁师范大学数学分析2000年考研真题考研试题硕士研究生入学考试试题

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2000数学四--考研数学真题详解

2000数学四--考研数学真题详解
2000 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析
一、填空题
∫ （1） arcsin x dx = ____________.
x
【答】 2 x arcsin x + 2 1 − x + C
【详解】令 t = x .，则 dt = 1 dx, dx = 2tdt 故 2x
∫
arcsin x
【答】 a 2 (a − 2n )
⎡ 1 0 −1⎤
【详解 1】
因为
A = αα T
=
⎢ ⎢
0
0
0
⎥ ⎥
,
αα
T
=
2，
⎢⎣−1 0 1 ⎥⎦
故有 An = αα T ⋅αα T ⋅ αα T
= α (α Tα )n−1α T = 2n−1 A,
故有 aE − An = aE − 2n−1 A
a − 2n−1 0 2n−1 = 0 a 0 = a2(a − 2n )
b→+∞ 1 e(e2 + e2x ) e b→+∞ 2
1
= e−2 (π − π ) = π e−2. 24 4
五 、（本题满分 8 分） 假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品，两个市场的需求函数分别是
p1 = 18 − 2Q1 ， p3 = 12 − 2Q2 ，其中 p1, p2 分别表示该产品在两个市场的价格（单位： 万元/顿），Q1和Q2 分别表示改产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：顿），并且该企 业生产这种产品的总成本函数是 C = 2Q + 5 ，其中 Q 表示该产品在两个市场的销售总量，
bx
)
3 x
3 ln ax +bx

2000年全国硕士研究生入学统一考试(数二)试题及答案

2000年全国硕士研究生入学统一考试(数二)试题及答案

2000年全国硕士研究生人学统一考试
数学二试题
一、填空题(本题共5小题．每小题3分．满分l5分把答案填在题中横线上)
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。

每小题给出的四个选项中．只有一项符合题目要求。

把所选项前的字母填在题后的括号内)
三、(本题满分5分)
四、(本题满分5分)
五、(本题满分5分)
六、(本题满分6分)
七、(本题满分7分)
八、(本题满分6分)
九、(本题满分7分)
十、(本题满分8分)
十一、(本题满分8分)
十二、(本题满分6分)
十三、(本题满分7分)
参考答案
一、填空题
1．
2．
3．
4．
5．
二、选择题1．
2．
3．
4．
5．
三、
四、
五、
六、
七、
八、
九、
十、
十一、
十二、
十三、
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2000考研数一真题答案及详细解析

2000考研数一真题答案及详细解析
2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题
(1)【答案】
4
【详解】 I 1 2x x2 dx 1 1 (x 1)2 dx
0Байду номын сангаас
0
解法 1：用换元积分法：设 x 1 sin t ，当 x 0 时，sin t 1，所以下限取 ；当 x 1 2
时， sin t 0 ，所以上限取 0 .
f
(x,
y,
z)dS
若f (x, y, z)关于y为奇函数 若f (x, y, z)关于y为偶函数
其中 S1 S {y 0} .
性质 3：设 f (x, y, z) 在分块光滑曲面 S 上连续， S 关于 xoy 平面对称，则
0
S
f
(x,
y,
z)dS
2
S1
f
(x,
y,
z)dS
若f (x, y, z)关于z为奇函数 若f (x, y, z)关于z为偶函数
性无关知， r 1,, m r 1,, m m, 因此 1,, m 线性无关，充分性成立；当m
= 1时，考虑1 (1, 0)T , 1 (0,1)T 均线性无关，但1 与 1 并不是等价的，必要性不成立.
(D) 剩下(D)为正确选项. 事实上，矩阵 A 1,, m 与矩阵 B 1,, m 等价 ⇔ r A =r B ⇔ r 1,, m r 1,, m m, 因此是向量组 1,, m 线性无关的充要
1
lim
x0
2 1
ex
4
ex
sin x
x
1.
四【详解】根据复合函数的求导公式，有
z x
f1 ' y
f

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四试题完整版附答案解析及评分标准

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四试题完整版附答案解析及评分标准

x y2
f12)
1 y2
f2
1 y
(xf21
x y2
f
22
)
1 x2
g
y x3
g
2000 年 • 第 2 页
f1
1 y2
f2 ' xyf11
x y3
f22
1 x2
g
y x3
g .
„„5 分
五、(本题满分 6 分)
计算曲线积分 I
L
xdy ydx 4x2 y2
,其中
L
是以点(1,0)为中心,R
三、(本题满分 5 分)
1
求
lim(
x0
2
ex
4
sin x
x) .
1 ex
1
4
3
解：因
lim
x0
(
2
ex
4
sin x
2e
) lim (
x
x0
x e
4
x
sin x) 1 x
，
1 ex
e x 1
1
1
2 ex
lim (
x0
4
sin x) x
2 ex
lim (
x0
4
sin x) 2 1 1， x
(5) 设二维随机变量 X ,Y 服从二维正态分布,则随机变量 X Y 与 X Y 不相关
的充分必要条件为
(B)
(A) E(X)=E(Y)
(B) E X 2 E X 2 E Y 2 E Y 2
(C) E X 2 E Y 2
(D) E X 2 E X 2 E Y 2 E Y 2
为半径的圆周(R>1).取逆时

2000年-年考研数学一历年真题完整版(word版)

2000年-年考研数学一历年真题完整版(word版)

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)⎰=_____________.(2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰(B)14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰(C)14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰(D)14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰(3)设级数1nn u∞=∑收敛,则必收敛的级数为(A)1(1)nn n un ∞=-∑(B)21nn u∞=∑(C)2121()n n n uu ∞-=-∑(D)11()nn n uu ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示 (B)向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示(C)向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价(D)矩阵1(,,)m =A αα与矩阵1(,,)m =B ββ等价(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为(A)()()E X E Y =(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y =(D)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+三、(本题满分6分)求142e sin lim().1exx xxx→∞+++四、(本题满分5分)设(,)()x x z f xy g y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.zx y∂∂∂五、(本题满分6分)计算曲线积分224L xdy ydxI x y -=+⎰,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e 0,x Sx f x d y d zx y f xd z d x z d x d y --=⎰⎰其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分) 求幂级数113(2)nn nn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,]π上连续,且()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A(2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. (3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X ,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中0θ>为未知参数.又设12,,,n x x x 是X 的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设e (sin cos )(,xy a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)222z y x r ++=,则(1,2,2)div(grad )r -= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A) (B)(C) (D)(2)设),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则 (A)(0,0)|3dz dx dy =+(B)曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}(C)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}(D)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)20(1cos )lim h f h h→-存在(B) 0(1e )lim h h f h→-存在(C)2(sin )limh f h h h→-存在(D)hh f h f h )()2(lim-→存在(4)设111140001111000,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为(A) -1 (B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan e exxdx ⎰.四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =ϕ,求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设()f x = 21a r c t a n 010x x x x x +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞=--1241)1(n n n的和.六、(本题满分7分) 计算222222()(2)(3)LI y z d x z x d y x y d z =-+-+-⎰,其中L 是平面 2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:(1)对于)1,0()0,1( -∈∀x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使 )(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立. (2)5.0)(lim 0=→x x θ.八、(本题满分8分)设有一高度为t t h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设12,,,s ααα为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββ也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x . (1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP . (2)计算行列式+A E .十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分)设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥样本均值∑==ni i X n X 2121,∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________. (2)已知2e 610yxy x ++-=,则(0)y ''=_____________.(3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. (4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒① (C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设0≠n u ,且1lim=∞→n n u n ,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x (D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与2arctan 0ex t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分22max{,}ex y Ddxdy ⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,).记dy xy f y y x dx xy f y y I ]1)([)](1[1222-++=⎰, (1)证明曲线积分I 与路径L 无关.(2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n n n x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e xy y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量X 的概率密度为()f x =1c o s 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体的概率分布为其中θ(02θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→ = .(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . (3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n,则2a = .(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 . (5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立(B)n n c b <对任意n 成立(C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则(A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 (B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 (4)设向量组I:12,,,r ααα可由向量组II:12,,,s βββ线性表示,则(A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关 (C)当s r <时,向量组I 必线性相关(D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是 (A)①②(B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~XY n n t X =>,则 (A)2~()Y n χ (B)2~(1)Y n χ-(C)~(,1)Y F n(D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .四、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五 、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证: (1)sin sin sin sin e e e e y x y x LLx dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰.(2)sin sin 2e e 2.y x Lx dy y dx π--≥⎰六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为()y y x =满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ,⎰⎰⎰-+=t t D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx , :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为()f x =2()2e 0x θ--x x θ>≤其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1)求总体X 的分布函数()F x .(2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ. (3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .(2)已知(e )e x xf x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >(D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n na为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n na收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n na发散(C)若级数∑∞=1n na收敛,则0lim 2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f (C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(C)21α-u(D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ= (C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()eb a b a ->-. (16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分) 计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10n x nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1n n x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化. (22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分)设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(n u∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有 (A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数 (C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数(D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222y ux u ∂∂-=∂∂(B)2222yu x u ∂∂=∂∂(C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂(D)222x uy x u ∂∂=∂∂∂ (10)设有三元方程ln e 1xzxy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B (C)交换*A 的第1列与第2列得*-B(D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b ==(D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n(B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y xxy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明: (1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f (19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx y φ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx yφ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式. (20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2. (1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解. (21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1001,02x y x <<<<其它 求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim1cos x x x x→+=-. (2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3)设∑是锥面z (01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . (5)设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)(,)xf x y dy ⎰⎰(B)(,)f x y dy ⎰⎰(C)(,)yf x y dx ⎰⎰(C)(,)f x y dx ⎰⎰(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 (B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a ∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '= (B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠ (C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (D)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP (B)1-=C PAP(C)T =C P AP(D)T =C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P A B P A > (B)()()P A B P B >(C)()()P AB P A =(D)()()P AB P B =(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ, 且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ<(B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y xy x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y+=++⎰⎰. (16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (17)(本题满分12分) 将函数()22xf x x x=+-展开成x 的幂级数. (18)(本题满分12分)设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(1)验证()()0f u f u u'''+=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰.(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A . (22)(本题满分9分)随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y 的概率密度()Y f y . (2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,(A)1-(B)1(D)1-(2)曲线1ln(1e )x y x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2(D)3(3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设()()xF x f t dt =⎰.则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =-- (B)5(3)(2)4F F =(C)3(3)(2)4F F =(D)5(3)(2)4F F =--(4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是(A)若0()limx f x x→存在,则(0)0f =(B)若0()()limx f x f x x→+- 存在,则(0)0f =(C)若0()lim x f x x→ 存在,则(0)0f '=(D)若0()()lim x f x f x x→-- 存在,则(0)0f '=(5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n ==则下列结论正确的是(A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散(C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M 到N 的一段弧,则下列小于零的是(A)(,)x y dx Γ⎰(B)(,)f x y dy Γ⎰(C)(,)f x y ds Γ⎰(D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dy Γ+⎰(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A),,122331---αααααα (B),,122331+++αααααα (C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭B ,则A 与B(A)合同,且相似(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)23(1)p p -(B)26(1)p p -(C)223(1)p p -(D)226(1)p p -(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示,X Y 的概率密度,则在Y y =的条件下,X 的条件概率密度|(|)XYf x y 为(A)()X f x(B)()Y f y(C)()X f x ()Y f y (D)()()X Y f x f y二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)31211e x dx x⎰=_______. (12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)yxz f x y =,则zx∂∂=______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32e xy y y -+=的通解为y =____________. (14)设曲面:||||||1x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑+⎰⎰=_____________.(15)设矩阵01000010********⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(17)(本题满分11分)求函数 2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)|4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值. (18)(本题满分10分)计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰其中 ∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧.(19)(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得 ()()f g ξξ''''=. (20)(本题满分10分) 设幂级数nn n a x∞=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===(1)证明:22,1,2,.1n n a a n n +==+(2)求()y x 的表达式. (21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解. (22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他 (1)求{2}.P X Y >(2)求Z X Y =+的概率密度.(24)(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为1,021(;),12(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12,,n X X X 是来自总体x 的简单随机样本,X 是样本均值(1)求参数θ的矩估计量ˆθ. (2)判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.。

2000年-2012年考研数学一历年真题

2000年-2012年考研数学一历年真题

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)⎰=_____________.(2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________.(3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a=_____________.(5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S在第一卦限中的部分,则有(A)14SS xdS xdS=⎰⎰⎰⎰(B)14SS ydS xdS=⎰⎰⎰⎰(C)14SS zdS xdS=⎰⎰⎰⎰(D)14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰(3)设级数1n n u∞=∑收敛,则必收敛的级数为(A)1(1)nnn u n∞=-∑(B)21n n u∞=∑(C)2121()n n n uu ∞-=-∑(D)11()nn n uu ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示 (B)向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示(C)向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价(D)矩阵1(,,)m =A αα与矩阵1(,,)m =B ββ等价(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Yξ=+与X Y η=-不相关的充分必要条件为(A)()()E X E Y =(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y =(D)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+三、(本题满分6分)求142e sin lim().1exx xxx→∞+++四、(本题满分5分)设(,)()x xz f xy g y y=+,其中f具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.z x y∂∂∂五、(本题满分6分)计算曲线积分224L xdy ydx I x y -=+⎰,其中L 是以点(1,0)为中心,R为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e 0,x Sx f x d y d zx y f x d z d xz d x d y --=⎰⎰其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分)求幂级数113(2)nn nn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,]π上连续,且()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A的伴随矩阵*10000100,1010038⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A(2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫⎪⎝⎭十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命X的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中θ>为未知参数.又设12,,,n x x x 是X的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设e (sin cos )(,x y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)222z y x r ++=,则(1,2,2)div(grad )r -=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________. (5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A)(B)(C)(D)(2)设),(y x f 在点(0,0的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则(A)(0,0)|3dz dx dy =+(B)曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}(C)曲线(,)z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}(D)曲线(,)z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)2(1cos )limh f h h →-存在(B)0(1e )lim h h f h→-存在(C)20(sin )limh f h h h→-存在(D)h h f h f h )()2(lim 0-→存在(4)设1111400011110000,1111000011110000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A与B(A)合同且相似(B)合同但不相似(C)不合同但相似 (D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y相关系数为(A) -1(B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan e e xx dx ⎰.四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =ϕ,求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设()f x = 21a r c t a n 010x x x xx +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞=--1241)1(n nn的和.六、(本题满分7分) 计算2()(LI y z =-+⎰,其中L 是平面 2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:(1)对于)1,0()0,1( -∈∀x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立.(2)5.0)(lim 0=→x x θ.八、(本题满分8分)设有一高度为tt h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设12,,,s ααα为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,sβββ也为=A X O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x .(1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP .(2)计算行列式+A E .十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率.(2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分)设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥样本均值∑==ni i X n X 2121,∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)⎰∞+exx dx2ln = _____________.(2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________.(3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________.(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续,③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在.则有: (A)②⇒③⇒①(B)③⇒②⇒①(C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设≠n u ,且1lim=∞→nn u n,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为 (A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R上有界且可导,则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B))(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D))(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分)已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分)计算二重积分22max{,}e xy Ddxdy⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,).记dy xy f y yx dx xy f y y I ]1)([)](1[1222-++=⎰,(1)证明曲线积分I与路径L 无关.(2)当cd ab =时,求I的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n nn x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e x y y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分)设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分) 设维随机变量X的概率密度为()f x = 1c o s 0220 xx x≤≤其它对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体的概率分布为其中θ(02θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→ = .(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 .(3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a x n n ,则2a = .(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立(B)n n c b <对任意n 成立(C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→li m 不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则(A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点(B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点(4)设向量组I:12,,,r ααα可由向量组II:12,,,s βββ线性表示,则(A)当s r <时,向量组II 必线性相关(B)当s r >时,向量组II 必线性相关(C)当s r <时,向量组I 必线性相关(D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为nm ⨯矩阵,现有4个命题:① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解以上命题中正确的是 (A)①②(B)①③ (C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>,则(A)2~()Y n χ(B)2~(1)Y n χ-(C)~(,1)Y F n(D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D .(1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.四、(本题满分12分)将函数xxx f 2121arct an)(+-=展开成x的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五 、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D的正向边界.试证:(1)sin sin sin sin e e e e y x y x LLx dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰.(2)sin sin 2e e 2.y x Lx dy y dx π--≥⎰六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程. (2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分)设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ,⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性.(2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分) 设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx ,:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分) 设总体X的概率密度为()f x =2()2e 0x θ-- 0x x θ>≤ 其中0>θ是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21nX X X =θ(1)求总体X的分布函数()F x .(2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ.(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .(2)已知(e )ex xf x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x 的通解为__________ .(5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B=__________ .(6)设随机变量X服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >=__________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xxx ⎰⎰⎰===0302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,,(B)βγα,,(C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n n a为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n na 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n na 发散(C)若级数∑∞=1n n a收敛,则0lim 2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n n a发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f(C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(C)21α-u(D)α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==n i iX n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σn n Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-. (16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10n x nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1nn x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.(2)X 和Y的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体X的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量.(2)β的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程xx y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222zy x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(n u ∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从X,,2,1 中任取一个数,记为Y, 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数(C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数(D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ,其中函数ϕ具有二阶导数,ψ具有一阶导数,则必有(A)2222yux u ∂∂-=∂∂(B)2222y u x u ∂∂=∂∂(C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂(D)222x u y x u ∂∂=∂∂∂ (10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ(B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A的第1列与第2列得*B(B)交换*A的第1行与第2行得*B(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B(D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b ==(B)0.4,0.1a b ==(C)0.3,0.2a b ==(D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n(B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn(D)2122(1)~(1,1)nii n XF n X=--∑三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分11分)设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22 (16)(本题满分12分)求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n nn x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分) 如图,曲线C的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l与2l 分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明:(1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f(19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx yφ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx y φ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式.(20)(本题满分9分) 已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形.(3)求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A的第一行是cb ac b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1001,02x y x<<<<其它 求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X .(2)YX Z -=2的概率密度).(z f Z(23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.(2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3)设∑是锥面z =(01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .(5)设矩阵2112⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足2=+BA B E ,则B= .(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆(B)0y dy <∆<(C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)(,)xf x y dy ⎰⎰(B)(,)f x y dy ⎰⎰(C)(,)yf x y dx ⎰⎰(C)(,)f x y dx ⎰⎰(9)若级数1n n a∞=∑收敛,则级数(A)1n n a∞=∑收敛(B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=(B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠(C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关(B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关(D)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP(B)1-=C PAP(C)T =C P AP(D)T =C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P A B P A >(B)()()P A B P B >(C)()()P A B P A =(D)()()P A B P B =(14)设随机变量X服从正态分布211(,)N μσ,Y服从正态分布222(,)N μσ,且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ<(B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分)设区域D=(){}22,1,0x y xy x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.(16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==.求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算11lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.(17)(本题满分12分)将函数()22xf x x x =+-展开成x 的幂级数.(18)(本题满分12分)设函数()()0,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z z x y∂∂+=∂∂.(1)验证()()0f u f u u'''+=.(2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式.(19)(本题满分12分)设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有(,)(,)0Ly f x y d xx f x y d y -=⎰. (20)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A .(2)求,a b 的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T T=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T =Q AQ A .(22)(本题满分9分) 随机变量x的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y的概率密度()Y f y .(2)1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,(A)1-(B)ln1(D)1-(2)曲线1ln(1e )x y x=++,渐近线的条数为 (A)0(B)1(C)2(D)3(3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设()()xF x f t dt=⎰.则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =--(B)5(3)(2)4F F = (C)3(3)(2)4F F =(D)5(3)(2)4F F =-- (4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是(A)若0()limx f x x →存在,则(0)0f =(B)若0()()lim x f x f x x→+- 存在,则(0)0f = (C)若0()limx f x x → 存在,则(0)0f '=(D)若0()()lim x f x f x x→-- 存在,则(0)0f '= (5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n ==则下列结论正确的是(A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散(C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是(A)(,)x y dxΓ⎰(B)(,)f x y dy Γ⎰(C)(,)f x y ds Γ⎰(D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dy Γ+⎰(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是(A),,122331---αααααα(B),,122331+++αααααα (C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ,则A 与B(A)合同,且相似(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)23(1)p p -(B)26(1)p p -(C)223(1)p p -(D)226(1)p p -(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X与Y不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示,X Y的概率密度,则在Y y =的条件下,X的条件概率密度|(|)XYf x y 为(A)()X f x(B)()Y f y(C)()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)(11)31211e x dx x⎰=_______. (12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)y x z f x y =,则z x∂∂=______.(13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32exy y y -+=的通解为y =____________.(14)设曲面:|||x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑+⎰⎰=_____________.(15)设矩阵0100001000010000⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(17)(本题满分11分)求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)|4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值.(18)(本题满分10分) 计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰其中∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧.(19)(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得()()f g ξξ''''=.(20)(本题满分10分)设幂级数nn n a x∞=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===(1)证明:22,1,2,.1n n a a n n +==+(2)求()y x 的表达式.(21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 与方程12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解.(22)(本题满分11分) 设3阶实对称矩阵A的特征向量值12311,2,2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的。

2000年考研数学试题详解及评分参考

2000年考研数学试题详解及评分参考

……2 分
即 f (x) ( 1 1) f (x) 1 e2x , x 0 .按一阶线性非齐次微分方程通解公式，有
x
x
f
(
x)

e
(1
1 x
)dx
[
1
e2x

e
(
1 x
1)
dx
dx

C]ex[ Nhomakorabea1 e2x.xexdx C] ex (ex C) .
……5 分
f22

1 x2
g y x3
g .
……5 分
五、(本题满分 6 分)
计算曲线积分 I xdy ydx ，其中 L 是以点 (1, 0) 为中心，R 为半径的圆周 (R 1) .
L 4x2 y2
取逆时针方向.
解： P

y 4x2
y2
,Q
x 4x2
y2
P

0，
……4 分
即得
L
xdy ydx 4x2 y2

C
xdy ydx 4x2 y2

2 0
1 2

2
2
d

.
……6 分
六、(本题满分 7 分) 设对于半空间 x 0 内任意的光滑有向封闭曲面 S ，都有
2000 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2000 年数学试题详解及评分参考
所以 zdS 4 xdS ，故选 (C).
S
S1

(3) 设级数 un 收敛，则必收敛的级数为 n 1
(A) 1n un
n 1

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析

，其中
L 是以点
(1,0) 为中心，
R 为半径的圆周
(R
1)
取逆时针方向 . 【分析】 考查封闭曲线上第二类曲线积分。由于
R 1，故原点 (0,0) 包含在圆周 L 内，
而原点是被积函数的瑕点。 因此不满足格林公式条件， 须通过做一包含原点的闭曲线挖去原
点。在 L 所围域内做一有向闭曲线 C 挖去瑕点 (0,0) ，为了便于计算取 C : 4x2 y2 2 。
1, 2,
, m 线性无关
(A) 向量组 1, 2 , , m 可由向量组 1, 2, , m 线性表示
(B) 向量组 1, 2, , m 可由向量组 1, 2, , m 线性表示
(C)向量组 1, 2 , , m 与向量组 1, 2, , m 等价
(D) 矩阵 A ( 1, 2, , m ) 与矩阵 B ( 1, 2 , , m ) 等价
【分析】 考查线性表示、线性无关和等价的性质。
【详解】 (A) “充分非必要” 。向量组 1, 2 , , m 可由向量组 1, 2 , , m 线性表示，
则一定得到 1, 2, , m 线性无关（否则 1, 2 , , m 必线性相关了） 。但反之不真，如 1 (1 0 0 0 0)T ， 2 (0 1 0 0 0)T ； 1 (0 0 0 1 0)T ，
(D) f ( x) g(x) f ( a) g(a)
【分析】 本题既可以用单调性来推出结论，也可以利用定积分保号性定理得到结论。
【详解】 法一：由于 f ( x) g(x) f ( x)g ( x) 0 ，所以
( f ( x) ) g( x)
f ( x) g (x) g ( x) f ( x) g 2 (x)

2000-2012年考研数学一真题[1]

2000-2012年考研数学一真题[1]

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)0⎰=_____________.(2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a= _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰(B)14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰(C)14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰(D)14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰(3)设级数1n n u ∞=∑收敛,则必收敛的级数为 (A)1(1)n n n u n∞=-∑(B)21n n u ∞=∑(C)2121()n n n u u ∞-=-∑(D)11()n n n u u ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <ααL 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββL 线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,,m ααL 可由向量组1,,m ββL 线性表示 (B)向量组1,,m ββL 可由向量组1,,m ααL 线性表示(C)向量组1,,m ααL 与向量组1,,m ββL 等价 (D)矩阵1(,,)m =A ααL 与矩阵1(,,)m =B ββL 等价(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为 (A)()()E X E Y =(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y =(D)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+三、(本题满分6分) 求142e sin lim().1e xx xx x→∞+++四、(本题满分5分) 设(,)()x xz f xy g y y=+,其中f具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.zx y∂∂∂五、(本题满分6分)计算曲线积分224Lxdy ydxI x y-=+⎰Ñ,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e0,xSxf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=⎰⎰Ò其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分) 求幂级数113(2)nn nn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.九、(本题满分6分) 设函数()f x 在[0,]π上连续,且00()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,1010038⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n nx y⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A (2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X ,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中0θ>为未知参数.又设12,,,n x x x L 是X 的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设e (sin cos )(,x y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)222z y x r ++=,则(1,2,2)div(grad )r -= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(ydx y x f dy ＝_____________.(4)设24+-=AA E O ,则1(2)--A E = _____________.(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A) (B)(C) (D)(2)设),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则(A)(0,0)|3dz dx dy =+ (B)曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}(C)曲线 (,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3} (D)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)20(1cos )lim h f h h→-存在 (B) 0(1e )lim h h f h→-存在(C)20(sin )lim h f h h h→-存在(D)hh f h f h )()2(lim 0-→存在(4)设11114011110000,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为 (A) -1 (B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan e exx dx ⎰.四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z =在点(1,1)可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =ϕ,求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设()f x = 21arctan 010x x x x x +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞=--1241)1(n n n的和.六、(本题满分7分)计算222222()(2)(3)L I y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰Ñ,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明: (1)对于)1,0()0,1(Y -∈∀x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使 )(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立.(2)5.0)(lim 0=→x x θ.八、(本题满分8分)设有一高度为t t h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设12,,,s αααL 为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβααL ,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββL 也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x .(1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP .(2)计算行列式+A E .十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分)设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥K 样本均值∑==ni i X n X2121,∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________. (2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________.(3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________.(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒① (C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设0≠n u ,且1lim=∞→nn u n ,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x (D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x . (4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分) 设函数)(x f 在x =的某邻域具有一阶连续导数,且)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分22max{,}e xy Ddxdy ⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,). 记dy xy f y yxdx xy f y y I]1)([)](1[1222-++=⎰, (1)证明曲线积分I 与路径L 无关. (2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n nn x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e x y y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分) 设维随机变量X 的概率密度为()f x =1cos 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体X 的概率分布为其中θ(102θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1))1ln(102)(cos lim x x x +→ = .(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . (3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a xn n ,则2a =.(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 . (5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P.(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 . (注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立 (B)n n c b <对任意n 成立 (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则 (A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 (B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 (4)设向量组I:12,,,r αααL 可由向量组II:12,,,s βββL 线性表示,则 (A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关 (C)当s r <时,向量组I 必线性相关(D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是 (A)①② (B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~X Y n n t X=>,则(A)2~()Y n χ (B)2~(1)Y n χ- (C)~(,1)Y F n (D)~(1,)Y F n过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V . 四、(本题满分12分) 将函数x xx f 2121arctan)(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和. 五 、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证:(1)sin sin sin sin e e e e y x y xL L x dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰蜒.(2)sin sin 2e e 2.y x L x dy y dx π--≥⎰Ñ六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.) 七 、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyxd 变换为()y y x =满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ,⎰⎰⎰-+=t t D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l032=++c by ax , :2l032=++a cy bx , :3l032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a 十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望. (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.设总体X 的概率密度为()f x =2()2e 0x θ-- 0x x θ>≤其中0>θ是未知参数.从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21Λ,记).,,,min(ˆ21n X X X Λ=θ(1)求总体X 的分布函数()F x . (2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ.(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x 的通解为__________ .(5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(9)设∑∞=1n n a 为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n n a 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n n a 发散 (C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim (10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f (B)(2)f (C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010 (B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010 (D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n Λ独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==n i iX n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ= (C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()eb a b a ->-. (16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10n x nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1nn x α∞=∑收敛. (19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值. (20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L L L L L试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. (21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A是否可相似对角化. (22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ (23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x xx F ββ 其中未知参数n X X X ,,,,121Λ>β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为_____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ρ,则)3,2,1(n u∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1Λ中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数(B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数(C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数(D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222yu x u ∂∂-=∂∂(B)2222yux u ∂∂=∂∂(C)222y uy x u ∂∂=∂∂∂(D)222x uy x u ∂∂=∂∂∂ (10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y = (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ (C)01=λ (D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B(B)交换*A 的第1行与第2行得*B(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B(D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b == (D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n Λ为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n (B)22~()nS n χ (C))1(~)1(--n t SX n(D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n nn x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分) 如图,曲线C的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明: (1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f . (2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f(19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydy x y φ++⎰Ñ的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx yφ+=+⎰Ñ. (2)求函数)(y ϕ的表达式. (20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解. (21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解. (22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1001,02x y x <<<<其它求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n Λ为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i Λ=-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1,Λ=. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)0ln(1)lim 1cos x x x x→+=-.(2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3)设∑是锥面z =(01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ . (4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . (5)设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤=.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)0(,)x f x y dy ⎰⎰(B)0(,)f x y dy ⎰⎰(C)0(,)yf x y dx ⎰⎰(C)0(,)f x y dx ⎰⎰(9)若级数1n n a ∞=∑收敛,则级数(A)1n n a ∞=∑收敛 (B)1(1)n n n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a ∞+=∑收敛 (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛(10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '= (B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠ (C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s αααL 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s αααL 线性相关,则12,,,,s A αA αA αL 线性相关 (B)若12,,,,s αααL 线性相关,则12,,,,s A αA αA αL 线性无关(C)若12,,,,s αααL 线性无关,则12,,,,s A αA αA αL 线性相关 (D)若12,,,,s αααL 线性无关,则12,,,,s A αA αA αL 线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭P ,则 (A)1-=C PAP (B)1-=C PAP(C)T =C P AP(D)T =C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P A B P A >U (B)()()P A B P B >U(C)()()P A B P A =U(D)()()P A B P B =U(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ, 且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ<(B)12σσ>(C)12μμ< (D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分)设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y+=++⎰⎰. (16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==.求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之. (2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫⎪⎝⎭.(17)(本题满分12分) 将函数()22xf x x x =+-展开成x 的幂级数.(18)(本题满分12分)设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(1)验证()()0f u f u u'''+=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式. (19)(本题满分12分)设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰Ñ.(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T =Q AQ A . (22)(本题满分9分)随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y 的概率密度()Y f y .(2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内) (1)当0x +→时,与x 等价的无穷小量是(A)1e x - (B)1ln1x x+- (C)11x +- (D)1cos x -(2)曲线1ln(1e )x y x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0()()xF x f t dt =⎰.则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =-- (B)5(3)(2)4F F =(C)3(3)(2)4F F = (D)5(3)(2)4F F =--(4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是(A)若0()limx f x x→存在,则(0)0f = (B)若0()()limx f x f x x→+- 存在,则(0)0f =(C)若0()lim x f x x→ 存在,则(0)0f '=(D)若0()()lim x f x f x x→-- 存在,则(0)0f '=(5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n ==L 则下列结论正确的是(A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散(C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M 到N 的一段弧,则下列小于零的是 (A)(,)x y dx Γ⎰(B)(,)f x y dy Γ⎰(C)(,)f x y ds Γ⎰ (D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dy Γ+⎰(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A),,122331---αααααα(B),,122331+++αααααα(C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ,则A 与B (A)合同,且相似 (B)合同,但不相似 (C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (A)23(1)p p - (B)26(1)p p -(C)223(1)p p - (D)226(1)p p -(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()Xf x ,()Y f y 分别表示,X Y 的概率密度,则在Y y =的条件下,X 的条件概率密度|(|)X Yfx y 为(A)()Xf x (B)()Yfy(C)()Xf x ()Y f y (D)()()X Y f x f y二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)31211e x dx x⎰=_______. (12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)y x z f x y =,则z x∂∂=______.(13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32e x y y y -+=的通解为y =____________. (14)设曲面:||||||1x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑+⎰⎰Ò=_____________.(15)设矩阵01000010********⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本题满分11分)求函数 2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)|4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值. (18)(本题满分10分)计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰其中∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧. (19)(本题满分11分) 设函数(),()f xg x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得 ()()f g ξξ''''=.(20)(本题满分10分)设幂级数 0n n n a x ∞=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===(1)证明:22,1,2,.1n n a a n n +==+L (2)求()y x 的表达式. (21)(本题满分11分) 设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 与方程12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解. (22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B . (23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他 (1)求{2}.P X Y >(2)求Z X Y =+的概率密度. (24)(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为1,021(;),12(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12,,n X X X L 是来自总体x 的简单随机样本,X 是样本均值(1)求参数θ的矩估计量ˆθ.(2)判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.。

全国硕士研究生入学统一考试数学二真题2000年

全国硕士研究生入学统一考试数学二真题2000年
正确答案：()
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15.
（分数：5.00）
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正确答案：()
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16.
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6.
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B.
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C.
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三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：11，分数：55.00)
11.
正确答案：()
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21.
（分数：5.00）
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正确答案：()
解析：
全国硕士研究生入学统一考试数学二真题2000年
(总分：95.00，做题时间：90分钟)
一、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：5，分数：20.00)

2000年考研数学三真题及答案解析

2000年考研数学三真题及答案解析

2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1) 设,x x z f xy g y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,f g 均可微，则z x ∂=∂.(2)21.x xdxe e +∞-=+⎰(3) 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111,,,2345，则行列式1.B E --=(4) 设随机变量X 的概率密度为13,[0,1]()2[3,6]0x f x x ∈⎧⎪=∈⎨⎪⎩其他 若k 使得2{}3P X k ≥=，则k 的取值范围是 (5) 假设随机变量X 在区间[1,2]-上服从均匀分布，随机变量1,00,01,0X Y X X >⎧⎪==⎨⎪-<⎩若若若 则方差().D Y =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且[]li m ()()0x g x x ϕ→∞-=，则l i m ()x f x →∞( ) (A)存在且一定等于零. (B)存在但不一定等于零.(C)一定不存在. (D)不一定存在.(2) 设函数()f x 在点x a =处可导，则函数()f x 在点x a =处不可导的充分条件是 ( )(A)()0()0f a f a '==且 (B)()0()0f a f a '=≠且 (C)()0()0f a f a '>>且 (D)()0()0f a f a '<<且(3) 设123,,ααα是四元非齐次线性方程组AX b =的三个解向量，且()3A =秩，()11234Tα=，，，，()230,123Tαα+=，，，c 表任意常数，则线性方程组AX b =的通解X = ( ) (A)11213141c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (B)10213243c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (C)12233445c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (D)13243546c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(4) 设A 为n 阶实矩阵，TA 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组():0I AX =和():0T II A AX =，必有 ( )(A)()II 的解是()I 的解，()I 的解也是()II 的解. (B)()II 的解是()I 的解，但()I 的解不是()II 的解. (C)()I 的解不是()II 的解，()II 的解也不是()I 的解. (D)()I 的解是()II 的解，但()II 的解不是()I 的解.(5) 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的.在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于事件( ) (A){}(1)0T t ≥ (B){}(2)0T t ≥ (C){}(3)0T t ≥ (D){}(4)0T t ≥三、(本题满分6分)求微分方程220x y y e '''--=满足条件(0)0,(0)1y y '==. 四、(本题满分6分)计算二重积分,Dσ，其中D是由曲线0)y a a =-+>和直线y x =-围成的区域五、(本题满分6分)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是112218,12,P Q P Q =-=-其中1P 和2P 分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，1Q 和2Q 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是25C Q =+，其中Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即12Q Q Q =+(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.六、(本题满分7分)求函数arctan 2(1)xy x e π+=-的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.七、(本题满分6分)设40sin ,0,1,2,,nn I xcosxdx n π==⎰求0.n n I ∞=∑八、(本题满分6分)设函数()f x 在[]0,π上连续，且()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰，试证明：在(0,)π 内至少存在两个不同的点12,ξξ，使12()()0.f f ξξ== 九、(本题满分8分)设向量组，123(,2,10),(2,1,5),(1,1,4),(1,,)T T T T a b c αααβ==-=-=试问,,a b c 满足什么条件时，(1)β可由123,,ααα线性表出，且表示唯一？ (2)β不能由123,,ααα线性表出？(3)β可由123,,ααα线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式. 十、(本题满分9分) 设有n 元实二次型222212112223111(,,,)()()()()n n n n n n f x x x x a x x a x x a x x a x --=++++++++其中(1,2,,)i a i n == 为实数.试问：当12,,,n a a a 满足条件时，二次型12(,,,)n f x x x 为正定二次型.十一、(本题满分8分)假设是来自总体的简单随机样本值.已知ln Y X =服从正态分布(,1)N μ. (1)求X 的数学期望EX (记EX 为b ); (2)求μ的置信度为0.95的置信区间;(3)利用上述结果求b 的置信度为0.95的置信区间.十二、(本题满分8分)设,A B 是二随机事件；随机变量1,1,1,1,A B X Y A B ⎧⎧==⎨⎨--⎩⎩若出现若出现若不出现若不出现试证明随机变量X Y 和不相关的充分必要条件是A B 与相互独立.2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】1221z y yf f g x y x∂'''=+-∂ 【详解】根据复合函数的求导公式，有1221'''z y f y f g x y x ∂⎛⎫=⋅+⋅+⋅- ⎪∂⎝⎭(2)【答案】4eπ【详解】被积函数的分母中含有2x x e e -+，且当x →+∞时，2x x e e -+→+∞，即被积函数属于无穷限的反常积分，只需先求不定积分，在令其上限趋于无穷.22222211111x xx x x x xxdxdx e dx de e e ee e e e e e+∞+∞+∞+∞-===++++⎰⎰⎰⎰ 221111xx de ee e +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰22111x x e e d e e e e +∞⎛⎫= ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎰11arctan x e e e+∞=1()24e ππ=-4eπ=(3)【答案】24 【详解】方法1：A B A B ⇒ 、有相同的特征值：11112345.，，，由矩阵1B -是矩阵B 的逆矩阵，他们所有特征值具有倒数的关系，得1B -有特征值2345,,,, 由B 特征局矩阵为E B λ-，1B E --得特征矩阵为()()111E B E E B λλ----=--可以看出B 与1B E --的特征值相差1 ，所以1B E --有特征值1234,,,.由矩阵的行列式等于其特征值得乘积，所有特征值的和等于矩阵主对角元素之和， 知 411123424ii B E .λ-=-==⋅⋅⋅=∏方法 2 ：A B 即存在可逆阵P ，使得1P AP B -=.两边求逆得111B P A P ---=.又A 有四个不同的特征值，存在可逆矩阵Q ，使1Q AQ -=Λ，其中12131415⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦上式两边求逆得 1112345Q A Q ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=Λ=Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111A Q Q ---=Λ 从而有1111111112131244151B E P A P E P A E P Q Q EQ E Q ----------=-=-=Λ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=Λ-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(4)【答案】[]1,3.【详解】在给定概率密度条件下，有性质{}2112().x x P x X x f x dx <≤=⎰因此，{}()kP X k f x dx +∞≥=⎰(或{}{}11().kP X k P X k f x dx -∞≥=-<=-⎰)因为[0,1]x ∈时，1()3f x =；[3,6]x ∈时，2()9f x =都是定值，因为{}213P X k ≥=<，所以k 最可能的取值区间是包含在[]0,6区间之内的[]1,3区间，否则是不可能的.当13k ≤≤时，{}22()(63).93kP X k f x dx +∞≥==⨯-=⎰ (或者，当13k ≤≤时，{}11()(10),33kP X k f x dx -∞<==⨯-=⎰{}{}1211.33P X k P X k ≥=-<=-=)所以，答案应该填13k ≤≤或[]1,3.(5)【答案】8.9【详解】由于题中Y 是离散型随机变量，其所取值的概率分别为{}{}0,0P X P X >=和{}0P X <.又由于X 是均匀分布，所以可以直接得出这些概率，从而实现由X 的概率计算过渡到Y 的概率.{}{}0(1)110;33P Y P X --=-=<== {}{}000;P Y P X ==== {}{}20210.33P Y P X -==>== 因此 121()11,333E Y =-⨯+⨯= ()2221212()111,3333E Y =-⨯+⨯=+=所以 []2218()()()1.99D YE Y E Y =-=-=二、选择题 (1)【答案】D【详解】用排除法.例1：设22221()22x x f x x x +≤≤++, 满足条件2222211lim lim 0222x x x x x x x →∞→∞⎡⎤+-==⎢⎥+++⎣⎦, 并且 22221lim 1,122x x x x x →∞+==++, 由夹逼准则知，lim ()1x f x →∞=，则选项()A 与()C 错误.例2：设6262442()11x x x x f x x x ++≤≤++, 满足条件626224442lim lim 0111x x x x x x x x x x →∞→∞⎡⎤++-==⎢⎥+++⎣⎦, 但是由于6224()1x x f x x x +≥=+,有lim ()x f x →∞=+∞，极限不存在，故不选()B ,所以选()D .因为最终结论是“()D ：不一定存在”,所以只能举例说明“可以这样”“可以那样”，无法给出相应的证明.(2)【答案】B【详解】方法1：排除法，用找反例的方式()A ：2()f x x =,满足(0)0(0)0f f '==且,但2()f x x =在0x =处可导；()C ：()1f x x =+,满足(0)10,(0)10f f '=>=>,但()1f x x =+当()1,1x ∈-,在0x =处可导；(D)：()1f x x =--,满足(0)10,(0)10,f f '=-<=-<但()1f x x =+当()1,1x ∈-，在0x =处可导； 方法2：推理法.由()B 的条件()0f a =, 则()()()()()limlim lim ,x ax a x a f x f a f x f x f a x a x a x a→→→--==--- 所以 ()()()()lim lim ()x ax af x f a f x f a f a x ax a++→→--'==-- (1)()()()()lim lim ().x ax a f x f a f x f a f a x ax a --→→-⎛-⎫'=-=- ⎪--⎝⎭(2) 可见，()f x 在x a =处可导的充要条件是()()f a f a ''=-，所以()0f a '=，即()0f a '=所以当()0f a '≠时必不可导，选()B .(3)【答案】(C)【详解】因为()11234Tα=，，，是非齐次方程组的解向量所以我们有1A b α=，故1α是AX b =的一个特解又()34r A ,n ==(未知量的个数)，故AX b =的基础解系由一个非零解组成. 即基础解系的个数为1.因为()()123220A b b b ,ααα-+=--= 故()1122024132624835ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦是对应齐次方程组的基础解系，故AX b =的通解为()()1231213224354c c .αααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(4)【答案】(A)【详解】若α是方程组():0I AX =的解，即0A α=，两边左乘T A ，得0TA A α=，即α也是方程组():0TII A AX =的解，即()I 的解也是()II 的解.若β是方程组():0TI I A A X =的解，即0T A A β=，两边左乘T β得()0TT T A A A A .ββββ== A β是一个向量，设[]12TA b ,b ,bβ= ，则()210nTi i A A b .ββ===∑故有0i b =，12i ,,n = 从而有0A β=，即β也是方程组():0I AX =的解.(5)【答案】C【详解】随机变量(1)(2)(3)(4),,,T T T T 为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件E 表示事件“电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于0t ，此时必定两个显示较高的温度大于等于0t ，即(4)(3)0.T T t ≥≥ 所以说断电事件就是{}(3)0T t ≥三【详解】本题属于二阶常系数非齐次线性微分方程，对于二阶常系数非齐次线性微分方程得求解，首先需要求出对应的齐次微分方程的通解，再求出非齐次方程的特解，再利用线性方程解的解构，从而得到对应方程的通解.本题对应的齐次微分方程为 20y y '''-=， 其特征方程为 220r r -=，特征根为120,2r r ==. 于是齐次方程的通解为 212.xY C C e =+ 由于2λ=是特征方程的单根，所以设 2x y A x e *=求得 22222;44xx xxy A e A x e y A e Ax e **'''=+=+ 代入原方程，得 222224424x x xx x A eA x e A e A x e e +--=，即222x x Ae e =约去2xe ，再比较等式左、右两边，得121,2A A == 故得特解212x y xe *=，非齐次方程的通解为 22121.2x x y Y y C C e xe *=+=++ 再由初始条件(0)1y =，得：121C C += (1)由(0)1y '=，得2222212220111221222xxxxxx x C C e xeC e e xeC =='⎛⎫⎛⎫++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)联立(1)与(2)得 1231,44C C == 则满足初始条件的通解为2311()442x y x e =++.四【详解】画出积分区域D . 由被积函数的形式以及积分区域形状, 易见采用极坐标更为方便. 将曲线y a =-化为：222()()x y a a y a ++=≥-，极坐标方程为2sin (0)r a θπθ=--≤≤，再D 区域是由曲线0)y a a =->和直线y x =-围成的区域，于是04πθ-≤≤，极半径02sin r a θ≤≤-，则202sin 04.a DI d θπσθ--==⎰⎰令2sin r a t =，有0r =时0t =；2sin r a θ=-时，t θ=-.2024sin 42cos 2cos tI d a a tdt a t θπθ--=⎰⎰022044sin d a tdt θπθ--=⎰⎰242(1cos 2)d a t dt θπθ--=-⎰⎰240sin 222t a d t dt θπθ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 02412(sin 2)2a d πθθθ-=-+⎰022412cos 224a πθθ-⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭221()162a π=-五【定理】简单极值问题(无条件极值)：设(,)z f x y =在开区域D 内可偏导，又根据实际问题可知，它在D 内有最大值或最小值，于是只需在0,0f fx y∂∂==∂∂的点中找到(,)f x y 的最大值点或最小值点【详解】记总利润函数为L ，总收益函数为R ，则总利润=总收益-总成本1122(25)L R C p Q p Q Q =-=+-+112212[2()5]p Q p Q Q Q =+-++ 112212(182)(12)[2()5]Q Q Q Q Q Q =-+--++2211221218212225Q Q Q Q Q Q =-+----221212216105Q Q Q Q =--++-其中，120,0Q Q >>，12Q Q Q =+为销售总量.(1)令121241602100L LQ Q Q Q ∂∂=-+==-+=∂∂，，解得1245Q Q ==，. 而11182P Q =-,2212,P Q =- 故相应地1210,7.p p ==在120,0Q Q >>的范围内驻点唯一，且实际问题在120,0Q Q >>范围内必有最大值，故在1245Q Q ==，处L 为最大值.22max 245164105552()L =-⨯-+⨯+⨯-=万元.(2) 若两地的销售单价无差别, 即12p p =,于是1218212Q Q -=-, 得1226Q Q -=, 在此约束条件下求L 的最值，以下用两个方法：方法1： 若求函数(,)z f x y =在条件(,)0x y ϕ=的最大值或最小值，用拉格朗日乘数法：先构造辅助函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，然后解方程组00(,)0F f x x x F fy yy Fx y ϕλϕλϕλ⎧∂∂∂=+=⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪=+=⎨∂∂∂⎪⎪∂==⎪∂⎩ 所有满足此方程组的解(,,)x y λ中的(,)x y 是(,)z f x y =在条件(,)0x y ϕ=的可能极值点，在可能极值点中求得最大值点或最小值点.故用拉格朗日乘数法，其中1212(,)260Q Q Q Q ϕ=--=，构造函数2212121212(,,)216105(26),F Q Q Q Q Q Q Q Q λλ=--++-+--令112212416202100260FQ Q FQ Q FQ Q λλλ∂⎧=-++=⎪∂⎪∂⎪=-+-=⎨∂⎪⎪∂=--=⎪∂⎩ 解得1254Q Q ==，，在120,0Q Q >>的范围内驻点唯一,且实际问题在120,0Q Q >>范围内必有最大值,故在1245Q Q ==，处L 为最大值.得22max 254165104549()L =-⨯-+⨯+⨯-=万元.方法2：由1226Q Q -=代入221212216105L Q Q Q Q =--++-消去一个变量得211660101L Q Q =-+-这样就变成了简单极值问题(无条件极值)，按(1)的做法：令1112600,dLQ dQ =-+= 得15Q =，为L 的唯一驻点.当11050dL Q dQ <<>时(说明在这个区间上函数单调递增)；当15Q >时10dLdQ < (说明在这个区间上函数单调递减)故，15Q =为L 的唯一极大值点,所以是最大值点，而1226Q Q -=⇒24Q =, 故2211max 6601016560510149()L Q Q =-+-=-⨯+⨯-=万元.六【渐近线】水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞=，则y a =为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim ()x af x →=∞，则x a =为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-存在且不为∞，则y a x b =+为斜渐近线.【详解】原函数对x 求导，所以 arctan arctan 22(1)(arctan )2xxy ex x eπππ++''=+-⋅+arctan arctan 2221(1)1xx e x e x ππ++=+-⋅⋅+2arctan 221x x x e x π++=+令0y '=，得驻点120,1x x ==-.列表注：+表示函数值大于0，-表示函数值小于0； 表示在这区间内单调递增； 表示在这区间内单调递减.所以由以上表格可以得出函数的大概形状，有严格单调增的区间为(),1-∞-与()0,+∞；严格单调减的区间为()1,0-.2(0)f e π=-为极小值,4(1)2f e π-=-为极大值.以下求渐近线. 通过对函数大概形状的估计，arctan 2lim ()lim(1)lim(1)xx x x f x x e e x ππ+→∞→∞→∞=-=-=∞所以此函数无水平渐近线；同理，也没有铅直渐近线. 所以令111()lim,lim [()]2;x x f x a e b f x a x e xππ→+∞→+∞===-=-222()lim1,lim [()] 2.x x f x a b f x a x x→-∞→-∞===-=-所以，渐近线为11(2)y a x b e x π=+=-及222y a x b x =+=-，共两条.七【概念】幂级数的收敛半径：若1lim lim n x nx a a ρ+→∞→∞=，其中1,n n a a +是幂级数nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1, 0,, 0, 0, .R ρρρρ≠⎧⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎩【详解】先计算出积分n I 的具体表达式，再求和144001sin sin sin12nn nnI xcosxdx xd xnππ+⎛===+⎝⎭⎰⎰则100112nnn nIn+∞∞==⎛⎫= ⎪⎪+⎝⎭∑∑.考虑幂级数11(),1nnS x xn∞+==+∑求出幂级数的和函数，代入2x=即可得出答案，按通常求收敛半径的办法.所以111lim lim lim111nx x xna nna nnρ+→∞→∞→∞+====+得到本题中幂级数的收敛半径()11,11Rρ==-在，内，先微分再积分，在收敛域内幂级数仍收敛，有11000111()111n n nn n nS x x x xn n x∞∞∞++===''⎛⎫⎛⎫'====⎪⎪++-⎝⎭⎝⎭∑∑∑,所以001()(0)()0ln11x xS x S S x dx dx xx'=+=+=---⎰⎰以()1,1x=-代入,得ln(1ln(2S=-=+.即l n(22)nnI∞==∑.八【证明】方法1：令()(),0xF x f t dt xπ=≤≤⎰，有(0)0,F=由题设有()0Fπ=.又由题设()cos0f x xdxπ=⎰，用分部积分，有000()cos cos()f x xdx xdF xππ==⎰⎰00()cos()sinF x x F x xdxππ=+⎰0()sinF x xdxπ=⎰由积分中值定理知，存在(0,)ξπ∈使0()sin ()sin (0)F x xdx F πξξπ==⋅-⎰因为(0,)ξπ∈，sin 0ξ≠，所以推知存在(0,),ξπ∈使得()0F ξ=. 再在区间[0,]ξ与[,]ξπ上对()F x 用罗尔定理，推知存在1(0,)ξξ∈，2(,)ξξπ∈使12()0,()0F F ξξ''==，即 12()0,()0f f ξξ==方法2：由()0f x d x π=⎰及积分中值定理知，存在1(0,)ξπ∈，使1()0f ξ=. 若在区间(0,)π内()f x 仅有一个零点1ξ，则在区间1(0,)ξ与1(,)ξπ内()f x 异号. 不妨设在1(0,)ξ内()0f x >，在1(,)ξπ内()0f x <. 于是由()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰，有111101100()cos ()cos ()(cos cos )()(cos cos )()(cos cos )f x xdx f x dx f x x dxf x x dx f x x dxπππξπξξξξξ=-=-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当10x ξ<<时，1c o s c o s x ξ>，1()(cos cos )0f x x ξ->；当1x ξπ<<时，1c o s c o s x ξ<，仍有1()(cos cos )0f x x ξ->，得到：00>. 矛盾，此矛盾证明了()f x 在(0,)π仅有1个零点的假设不正确，故在(0,)π内()f x 至少有2个不同的零点.九【详解】方法1：设方程组112233x x x αααβ++= ①对方程组的增广矩阵作初等行变换，化成阶梯形矩阵，有[]123211211,,21121011054104304a ab a bc a c αααβ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦211210140031aa b a c b -⎡⎤⎢⎥→+-+⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦(1) 当4a ≠-时，[][]1231233r ,,r ,,,ααααααβ==. 方程组①唯一解，即β可由123,,ααα线性表出，且表出唯一.(2) 当4a =-，但310c b -+≠时，[][]12312323r ,,r ,,,ααααααβ=≠=方程组①无解，β不可由123,,ααα线性表出(3) 当4a =-，且310c b -+=时，[][]1231232r ,,r ,,,ααααααβ==方程组①有无穷多解，此时有[]1234211,,21010000b αααβ--⎡⎤⎢⎥→--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦得对应齐次方程组的基础解系为：()120T,,ξ=-(取自由未知量11x =，回代得2320x ,x =-=)，非齐次方程的一个特解是()()0121T*,b ,b η=-++⎡⎤⎣⎦，故通解为()1021021k b ,b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦其中k 是任意常数. 方法2：设方程组112233x x x αααβ++= ①因为①是三个方程的三个未知量的线性非齐次方程组，故也可由系数行列式讨论，()1232121211211141054001a a A ,,a ααα----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此知道：(1) 当4a ≠-时，0A ≠，方程组有唯一解，β可由123,,ααα线性表出，且表出唯一.(2) 当4a =-时，(有可能无解或无穷多解)对增广矩阵作初等行变换，得[]12342112111,,2110012110540015b b c c b αααβ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦21110012100031b c b ⎡⎤⎢⎥→+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦(i) 当4a =-时，且但310c b -+≠时，有[][]12312323r ,,r ,,,ααααααβ=≠=方程组①无解.(ii) 当4a =-，且310c b -+=时，[][]1231232r ,,r ,,,ααααααβ==方程组①有无穷多解，其通解为()1021021k b ,b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦其中k 是任意常数.十【详解】方法1：用正定性的定义判别.已知对任意的12n x ,x ,x 均有()120n f x ,x ,x ≥ ，其中等号成立当且仅当 1122231110000n n n n n x a x x a x x a x x a x --+=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪+=⎪+=⎪⎩ ①方程组①仅有零解的充分必要条件是其系数行列式()12112110000100001001100001001n n n na a B a a a a a +-==+-≠即当()121nn a a a ⋅≠- 时，方程组①只有零解，此时()120n f x ,x ,x = . 若对任意的非零向量()120n X x ,x ,x ,=≠ ①中总有一个方程不为零，则有()222212112223111()()()()0n n n n n n f x ,x ,x x a x x a x x a x x a x --=++++++++>所以，根据正定二次型的定义，对任意的向量()12n x ,x ,x ，如果()120n f x ,x ,x ≥ ，则二次型正定. 由以上证明题中12(,,,)n f x x x 是正定二次型. 方法2： 将二次型表示成矩阵形式，有()222212112223111()()()()n n n n n n f x ,x ,x x a x x a x x a x x a x --=++++++++[]112223112223111111n n n n n n n n n n x a x x a x x a x ,x a x ,,x a x ,x a x x a x x a x ----+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥=++++⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦[]111222121110001000100001000100001000001000010001001n n n n n n a a x a a x a x ,x ,x a a a x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦记 1122110000100001000001001n n n a x a x B ,X a a x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则 ()()120TT Tn f x ,x ,x X B BX BX BX ==≥当()12112110000100001001100001001n n n na a B a a a a a +-==+-≠即当()121nn a a a ⋅≠- 时，0BX =只有零解，故当任意的0X ≠时，均有()()120Tn f x ,x ,x BX BX => ，从而由正定二次型的定义，对任意的向量()12n x ,x ,x ，如果()120n f x ,x ,x > ，则()12n f x ,x ,x 是正定二次型.十一【详解】ln Y X =⇒YX e =. 题设条件Y 为正态，故()()Y E X E e =可用函数的期望的公式求得. 将X 的样本可以转化成Y 的样本，从而对正态(,1)Y N μ 中的μ求得置信区间. 最后，再从μ的置信区间转得b 的置信区间.(1) 由正态分布密度函数的定义知，Y 的概率密度为2()2(),,y f y y μ--=-∞<<+∞于是 2()2()()y Y y b E X E e e edy μ--+∞-∞===⋅⎰令t y μ=-，有 ()221111222t t t b ee dt ee dt μμ+∞+∞-+--+-∞-∞=⋅=⎰12eμ+=.(2) 当置信度10.95α-=时，0.05α=.查表可知标准正态分布的双侧分位数等于1.96.故由1(,)4Y N μ ，其中Y 表示总体Y 的样本均值，11(ln 0.50ln 0.80ln1.25ln 2.00)ln10.44Y =+++== Y 是μ的无偏估计，且2σ(0,1).N所以，按标准正态分布的α分位点的定义，有 /21,P Z αα⎫⎪<=-⎬⎪⎭即/2/21.P Y Y Z ααμα⎧⎫<<=-⎨⎬⎩⎭这样，我们就得到了μ的一个置信水平为1α-的置信区间/2/2,Y Y Z αα⎛⎫⎪⎝⎭在此题中，1,4σμ==，0Y =，所以参数μ的置信度为0.95的置信区间为( 1.96 1.96(0.98,0.98).Y Y -+=- (3) 由指数函数xe 的严格单调递增性，有{}10.980.980.48 1.482P P μμ⎧⎫-<<=-<+<⎨⎬⎩⎭10.48 1.482P e e e μ+-⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭{}0.48 1.48P e b e -=<<0.95=因此b 的置信度为0.95的置信区间为()0.481.48,.ee -十二【分析】随机变量X Y 和不相关(,)0Cov X Y ⇔=.事件A B 与相互独立()()()P AB P A P B ⇔=.要找出这二者之间的联系就应从(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-入手.【详解】{}(){}{}()1121E X P A P A P A =⋅+-⋅=-，同理，{}()2 1.E Y P B =- 现在求()E XY ，由于XY 只有两个可能值1和1-，所以{}(){}()1111,E XY P XY P XY =⋅=+-⋅=-其中 {}{}{}{}{}11,11,1P XY P X Y P X Y P AB P AB ====+=-=-=+{}{}{}{}{}121P AB P A B P AB P A P B =+-=--+和 {}{}{}{}{}11,11,1P X Y P X Y P X Y P A B P A B=-===-+=-==+{}{}{}2P A P B P AB =+-( 或者 {}{}{}{}{}1112P X Y P X Y P A P B P A B =-=-==+- )所以 {}{}()11E XY P XY P XY ==-=-{}{}{}4221P AB P A P B =--+ 由协方差公式，()()()()Cov XY E XY E X E Y =-{}{}{}{}{}42212121P AB P A P B P A P B =--+--⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ {}{}{}4P AB P A P B =-⎡⎤⎣⎦因此，()0Cov XY =当且仅当{}{}{}P AB P A P B =，即X Y 和不相关的充分必要条件是A B 与相互独立.。

2000-2013年考研数学三历年真题及真题解析(世上最全收录)

2000-2013年考研数学三历年真题及真题解析(世上最全收录)

研究生入学考试2000到2013年最新最全数学三考试试题2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2003年考研数学（三）真题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________.（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=_______.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a TΛα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 TE A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ ] （3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=，Λ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ ] （5）设s ααα,,,21Λ均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有02211≠+++s s k k k αααΛ，则s ααα,,,21Λ线性无关.(B) 若s ααα,,,21Λ线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有.02211=+++s s k k k αααΛ(C) s ααα,,,21Λ线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21Λ线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ ] 三、（本题满分8分） 设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 五、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(xe x g xf =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21Λ和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分） 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 若()0sin limcos 5x x xx b e a→-=-，则a =______，b =______.(2) 函数(),f u v 由关系式()(),f xg y y x g y =+⎡⎤⎣⎦确定，其中函数()g y 可微，且()0g y ≠，则2fu v∂=∂∂______. (3) 设()211,,2211,,2x xe x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 则()2121f x dx -=⎰_____.(4) 二次型()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =++-++的秩为______. (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{P X >=______.(6) 设总体X 服从正态分布()21,N μσ，总体Y 服从正态分布()22,N μσ，112,,,n X X X L 和212,,,n Y Y Y L 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则()()122211122n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦∑∑______. 二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 函数()()()()2sin 212x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界.（A ）()1,0- （B ）()0,1 （C ）()1,2 （D ）()2,3(8) 设()f x 在(),-∞+∞内有定义，且()lim x f x a →∞=，()1,0,0,0,fx g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩则（A ）0x =必是()g x 的第一类间断点 （B ）0x =必是()g x 的第二类间断点 （C ）0x =必是()g x 的连续点 （D ）()g x 在点0x =处的连续性与a 的值有关.(9) 设()()1f x x x =-，则（A ）0x =是()f x 的极值点，但()0,0不是曲线()y f x =的拐点 （B ）0x =不是()f x 的极值点，但()0,0是曲线()y f x =的拐点 （C ）0x =是()f x 的极值点，且()0,0是曲线()y f x =的拐点 （D ）0x =不是()f x 的极值点，()0,0也不是曲线()y f x =的拐点 (10) 设有以下命题： ① 若()2121n n n uu ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛② 若1nn u∞=∑收敛，则10001n n u∞+=∑收敛③ 若1lim1n n nu u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散 ④ 若()1nn n uv ∞=+∑收敛，则1n n a ∞=∑，1n n v ∞=∑都收敛则以上命题中正确的是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④(11) 设()f x '在[],a b 上连续，且()()0,0f a f b ''><，则下列结论中错误的是 （A ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f a > （B ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f b > （C ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x '= （D ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x = (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（A ）当()0A a a =≠时，B a = （B ）当()0A a a =≠时，B a =- （C ）当0A ≠时，0B = （D ）当0A =时，0B =(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*0A ≠，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系（A ）不存在 （B ）仅含一个非零解向量 （C ）含有两个线性无关的解向量 （D ）含有三个线性无关的解向量(14) 设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，对给定的()0,1α∈，数n u 满足{}P X u αα>=，若{}P X x α<=，则x 等于（A ）2u α （B ）12uα-（C ）12u α- （D ）1u α-三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分8分）求22201cos lim sin x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭.（16）（本题满分8分）求)Dy d σ⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=和()2211x y ++=所围成的平面区域（如图）.（17）（本题满分8分）设()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()xxa a f t dt g t dt ≥⎰⎰，[),x ab ∈，()()bb aaf t dtg t dt =⎰⎰证明：()()bbaaxf x dx xg x dx ≤⎰⎰.（18）（本题满分9分）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中价格()0,20P ∈，Q 为需求量. （Ⅰ）求需求量对价格的弹性()0d d E E >；（Ⅱ）推导()1d dRQ E dP=-（其中R 为收益），并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.（19）（本题满分9分）设级数()468242462468x x x x +++-∞<<+∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅L 的和函数为()S x .求： （Ⅰ）()S x 所满足的一阶微分方程； （Ⅱ）()S x 的表达式.（20）（本题满分13分）设()()()1231,2,0,1,2,3,1,2,2TTTa ab a b ααα==+-=---+，()1,3,3Tβ=-. 试讨论当,a b 为何值时，（Ⅰ）β不能由123,,ααα线性表示；（Ⅱ）β可由123,,ααα唯一地线性表示，并求出表示式；（Ⅲ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.（21）（本题满分13分）设n 阶矩阵111b b bb A bb ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M L. （Ⅰ）求A 的特征值和特征向量；（Ⅱ）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵.（22）（本题满分13分）设,A B 为两个随机事件，且()()()111,,432P A P B A P A B ===，令 1,0,.A X A ⎧=⎨⎩发生，不发生 1,0,.B Y B ⎧=⎨⎩发生，不发生求：（Ⅰ）二维随机变量(),X Y 的概率分布； （Ⅱ）X 与Y 的相关系数XY ρ； （Ⅲ）22Z X Y =+的概率分布.（23）（本题满分13分） 设随机变量X 的分布函数为()1,,;,0,.x F x x x βαααβα⎧⎛⎫->⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≤⎩其中参数0,1αβ>>. 设12,,,n X X X L 为来自总体X 的简单随机样本. （Ⅰ）当1α=时，求未知参数β的矩估计量； （Ⅱ）当1α=时，求未知参数β的最大似然估计量； （Ⅲ）当2β=时，求未知参数α的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 极限22lim sin1x xx x →∞=+______. (2) 微分方程0xy y '+=满足初始条件()12y =的特解为______. (3) 设二元函数()()1ln 1x yz xex y +=+++，则()1,0dz =______.(4) 设行向量组()()()()2,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,1a a a 线性相关，且1a ≠，则a =______.(5) 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,,X L 中任取一个数，记为Y ，则{}2P Y ==______.(6) 设二维随机变量(),X Y 的概率分布为若随机事件{}0X =与{}1X Y +=相互独立，则a =______，b =______.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 当a 取下列哪个值时，函数()322912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点.（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8(8) 设()()22222123,cos ,cos DDDI I x y d I x y d σσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中(){}22,1D x y xy =+≤，则（A ）321I I I >> （B ）123I I I >> （C ）213I I I >> （D ）312I I I >> (9) 设0,1,2,,n a n >=L 若1nn a∞=∑发散，()111n n n a ∞-=-∑收敛，则下列结论正确的是（A ）211n n a∞-=∑收敛，21nn a∞=∑发散 （B ）21nn a∞=∑收敛，211n n a∞-=∑发散（C ）()2121n n n aa ∞-=+∑收敛 （D ）()2121n n n a a ∞-=-∑收敛(10) 设()sin cos f x x x x =+，下列命题中正确的是 （A ）()0f 是极大值，2f π⎛⎫⎪⎝⎭是极小值 （B ）()0f 是极小值，2f π⎛⎫⎪⎝⎭是极大值 （C ）()0f 是极大值，2f π⎛⎫⎪⎝⎭也是极大值 （D ）()0f 是极小值，2f π⎛⎫⎪⎝⎭也是极小值 (11) 以下四个命题中，正确的是（A ）若()f x '在()0,1内连续，则()f x 在()0,1内有界 （B ）若()f x 在()0,1内连续，则()f x 在()0,1内有界 （C ）若()f x '在()0,1内有界，则()f x 在()0,1内有界 （D ）若()f x 在()0,1内有界，则()f x '在()0,1内有界 (12) 设矩阵()33ijA a ⨯=满足*T A A =，其中*A 为A 的伴随矩阵，TA 为A 的转置矩阵.若111213,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为（A ）3 （B ）3 （C ）13（D (13) 设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则()112,A ααα+线性无关的充分必要条件是（A ）10λ= （B ）20λ= （C ）10λ≠ （D ）20λ≠ (14)（注：该题已经不在数三考纲范围内）三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分8分）求011lim 1x x x e x -→+⎛⎫- ⎪-⎝⎭.（16）（本题满分8分）设()f u 具有二阶连续导数，且(),y x g x y f yfx y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求222222g g x y x y ∂∂-∂∂.（17）（本题满分9分） 计算二重积分221Dx y d σ+-⎰⎰，其中(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤.（18）（本题满分9分） 求幂级数211121n n x n ∞=⎛⎫-⎪+⎝⎭∑在区间()1,1-内的和函数()S x .（19）（本题满分8分）设()(),f x g x 在[]0,1上的导数连续，且()()()00,0,0f f x g x ''=≥≥.证明：对任何[]0,1α∈，有()()()()()()11ag x f x dx f x g x dx f a g ''+≥⎰⎰（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组（ⅰ）123123123230,2350,0,x x x x x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 和 （ⅱ）()12321230,210,x bx cx x b x c x ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ 同解，求,,a b c 的值.（21）（本题满分13分） 设T AC D C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭为正定矩阵，其中,A B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为m n ⨯阶矩阵.（Ⅰ）计算T P DP ，其中1mn E A C P OE -⎛⎫-=⎪⎝⎭； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵1T B C A C --是否为正定矩阵，并证明你的结论.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为()0,01,02,,1,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其它. 求：（Ⅰ）(),X Y 的边缘概率密度()(),X Y f x f y ； （Ⅱ）2Z X Y =-的概率密度()Z f z ； （Ⅲ）1122P Y X ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（23）（本题满分13分）设()12,,,2n X X X n >L 为来自总体()20,N σ的简单随机样本，其样本均值为X ，记,1,2,,i i Y X X i n =-=L .（Ⅰ）求i Y 的方差,1,2,,i DY i n =L ； （Ⅱ）求1Y 与n Y 的协方差()1,n Cov Y Y ；（Ⅲ）若()21n c Y Y +是2σ的无偏估计量，求常数c .2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. (1) ()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2) 设函数()f x 在2x =的某邻域内可导，且()()ef x f x '=，()21f =，则()2____.f '''=(3) 设函数()f u 可微，且()102f '=，则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z=(4) 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . (5)设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______.(6) 设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES =二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（）(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .(8) 设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h →=，则（）(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 (9) 若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（）(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. (10) 设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（）(A) []12()()C y x y x -. (B) []112()()()y x C y x y x +-. (C) []12()()C y x y x +. (D) []112()()()y x C y x y x ++ (11) 设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. (12) 设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（） (A) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关.(D) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关.(13) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）(A) 1C P AP -=. (B) 1C PAP -=.(C) T C P AP =. (D) T C PAP =.(14) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，随机变量Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有（）(A) 12σσ< (B) 12σσ> (C) 12μμ< (D) 12μμ>三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+，求： (Ⅰ)()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ)()0lim x g x +→。

2000考研数二真题及解析

2000考研数二真题及解析

2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题 (本题共 5 小题，每小题 3 分，满分15 分，把答案填在题中横线上)(1)lim arctan x x.x 0 ln(12x3 )(2)设函数 y y(x) 由方程2xy x y 所确定，则 dy x 0.(3)dx.2 ( x7)x21(4)曲线 y(2 x1)e x的斜渐近线方程为.1000(5)设 A2300，E为4阶单位矩阵，且 B(E A) 1(E A) 则04500067(E B)1.二、选择题 (本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数 f (x)x在 (,) 内连续，且lim f (x)0, 则常数 a, b 满足() bx xa e(A) a0, b0.(B) a0, b0.(C) a0,b0.(D) a0, b0.(2)设函数 f (x)满足关系式 f(x)[ f ( x)] 2x ，且 f (0)0，则()(A) f (0) 是 f ( x) 的极大值.(B)f (0) 是 f ( x) 的极小值.(C)点(0, f (0))是曲线y f (x) 的拐点.(D) f (0) 不是 f ( x) 的极值，点 (0, f (0)) 也不是曲线 y f ( x) 的拐点.(3 ) 设f (x), g (x)是大于零的可导函数，且f'( x) g (x) f ( x) g '(x) 0, 则当 a x b 时，有 ()(A) f ( x) g(b) f (b) g(x)(B) f ( x)g (a) f (a) g( x)(C)f ( x) g (x) f (b)g (b)(D) f (x) g( x) f (a) g(a)sin 6x xf ( x)6 f ( x)(4) 若 limx 30 ，则 limx2为()x 0x 0(A)0.(B)6.(C)36.(D) .(5) 具有特解y 1e x , y 22xe x , y 3 3e x 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是( )(A) y yy y0.(B) y y y y 0.(C) y 6 y 11y 6 y0.(D) y2yy2 y0.三、 (本题满分5 分 )ln(1 x)，计算f ( x) dx .设 f (ln x)x四、 (本题满分5 分 )设 xoy 平面上有正方形 D (x, y) 0x 1,0 y1 及直线 l : x y t (t0) .若S(t) 表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求x0) . S(t) dt,( x五、 (本题满分5 分 )求函数 f ( x)x 2 ln(1 x) 在 x 0 处的 n 阶导数 f n (0)( n 3).六、 (本题满分6 分 )设函数 S( x)x| cost |dt ，(1)当 n 为正整数，且 n x(n1) 时，证明 2nS( x) 2(n1) ；(2)求 limS(x) .xx七、 (本题满分7 分 )某湖泊的水量为 V ，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为 V，流入湖泊内不含A 的6水量为 V，流出湖泊的水量为V，已知 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指63m 0标.为了治理污染， 从 2000 年初起，限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过 .问至多需要V经过多少年，湖泊中污染物 A 的含量降至 m 0 以内 (注：设湖水中 A 的浓度是均匀的 )八、 (本题满分6 分 )设函数 f ( x) 在 0,上连续，且f ( x) dx 0, f (x)cos xdx0 ，试证明：在 (0, )内至少存在两个不同的点 1,2 ，使 f (1 )f (2 )0.九、 (本题满分 7 分 )已知 f ( x) 是周期为 5 的连续函数，它在 x0 的某个邻域内满足关系式f (1 sin x) 3 f (1 sin x) 8x( x)其中 (x) 是当 x 0 时比 x 高阶的无穷小， 且 f (x) 在 x1 处可导， 求曲线 y f ( x) 在点(6, f (6)) 处的切线方程 .十、 (本题满分 8 分 )设曲线 yax 2 (a 0, x 0) 与 y 1 x 2 交于点 A ，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 yax 2 围成一平面图形 .问 a 为何值时， 该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？十一、 (本题满分 8 分 )函数 f ( x) 在 [0,) 上可导， f (0)1且满足等式f (x) f ( x)1x0,f (t )dtx 1 0(1)求导数 f ( x) ；(2)证明：当 x 0 时，成立不等式 e xf (x) 1成立十二、 (本题满分 6 分 )111设2 ,, 0 , A T, BT.其中T 是的转置，12 8求解方程 2B 2 A 2 x A 4 x B 4 x十三、 (本题满 7 分 )a b已知向量组 11 , 22 ,3 1 与向量组 111具有相同的秩，且3 可由1 ,2 ,3 线性表出，求 a, b 的值 .1392 , 20, 363172000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1) 【答案】1 6ln 1 2 x 32 x 3lim arctanxx 洛lim 1 11 x 2【详解】 limarctanx xx 2lim1x 0ln 1 2x3x 02x3x 06x2x 06x 21 x26(2) 设函数 y y( x) 由方程 2xy x y 所确定，则 dy x 0.【答案】 (ln 2 1)dx 【详解】方法 1：对方程2xyx y 两边求微分，有2xy ln 2 (xdy ydx) dx dy.由所给方程知，当 x 0 时 y 1. 将 x 0 ， y 1代入上式，有 ln 2 dx dx dy .所以， dyx 0(ln 2 1)dx .方法 2：两边对 x 求导数，视 y 为该方程确定的函数，有2xy ln 2 (xyy) 1 y .当 x 0 时 y1，以此代入，得 yln 2 1 ，所以 dy x 0 (ln2 1)dx .(3) 【答案】3【详解】由于被积函数在x2 处没有定义，则该积分为广义积分.对于广义积分，可以先按照不定积分计算，再对其求极限即可.作积分变量替换，令x 2 t, x 2t 2dx 2tdt,dx(t22tdt 2 1 arctan t22. 2( x 7) x 29)t 3 3 03 3(4) 【答案】 y 2x 1【公式】 ykx b 为 yf ( x) 的斜渐近线的计算公式： k limy,blim [ f ( x) kx]x xxx xxx1【详解】 klim y lim (21)e x2,xxxx1令1lim( 2eu2 e u )b lim ( y 2x) lim[(2 x 1)e x2 x] uxxxu 0ulim( 2(eu1) e u ) e u 1u lim(2ue u ) 2 11u 0uu 0u所以， x方向有斜渐近线y2x 1 . 当 x时，类似地有斜渐近线 y 2x 1.1总之，曲线 y(2 x 1)e x 的斜渐近线方程为 y 2x 1.1 0 0 0 120 0(5) 【答案】230 0 0 3 4【详解】先求出 ( EB) 1 然后带入数值，由于 B( E A) 1(EA) ，所以( E B) 1E ( E A) 1(EA) －１( EA) 1(E A) ( E A) 1(EA) －１2(E A)1－１ 1(E A)22 0 01 0 0 0 12 4 0 0 1 2 0 02 04 6 0 0 2 3 00 06 834二、选择题 (1) 【答案】 D 【详解】排除法：如果 a0，则在 ( ,) 内 f (x) 的分母 a e bx 必有零点 x 0 ，从而 f ( x) 在 x x 0 处不连续，与题设不符 .不选 ( A) ，若 b 0，则无论 a0 还是 a0 均有 limf (x ),与题x设 lim f (x)0 矛盾，不选 (B) 和 (C) 故选(D). x.(2) 【答案】 C【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数f ( x) 在 x 0 出具有二阶导数且 f (x 0 ) 0 ，f ( x 0 ) 0 ，那么： (1) 当 f ( x 0 )0 时，函数 f (x) 在 x 0 处取得极大值；(2) 当f( x0 )0 时，函数 f ( x) 在x0处取得极小值；f ( x) [ f( x)] 2x 中x0 ，得f(0)02【详解】令等式 f (0)0 ，无法利用判断极值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点.再求导数 (因为下式右边存在，所以左边也存在)：f ( x) ( x2f ( x) ) 1 2 f ( x) f ( x)以 x 0 代入，有 f(0) 1，所以f(0)lim f ( x) f (0)lim f ( x)1.x 0x0x 0x从而知，存在x0 去心邻域，在此去心邻域内，f( x) 与x同号，于是推知在此去心邻域内当 x0 时曲线 y f (x) 是凸的，在此去心临域内x0 时曲线 y f ( x) 是凹的，点 (0, f (0))是曲线 y f ( x) 的拐点，选(C).(3)【答案】 A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数. 题设中已知f '(x) g( x) f (x)g '( x) 0,想到设函数为相除的形式f ( x).g ( x)【详解】f (x) f '(x) g( x) f ( x)g '(x)设 F (x)，则 F (x)20,g(x)g( x)则 F ( x) 在 a x b 时单调递减，所以对 a x b ， F (a) F ( x) F (b) ，即f (a) f ( x) f (b)g( a)g( x)g(b)得 f ( x)g(b) f (b) g( x), a x b ， ( A) 为正确选项.(4)【答案】 (C)【分析】本题有多种解法：(1)将含有 f (x) 的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式，或反之； (2)利用极限与无穷小的关系，从已知极限中解出 f (x) 代入要求极限式中；(3)将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限.【详解】方法 1：凑成已知极限6 f ( x) 6x xf ( x) 6x sin 6x sin 6x xf ( x)x 2x 3x 312而lim 6x sin 6x 洛 lim 6 6cos6x lim 6(1 cos6x) 2 2 (6x)36x 3 3x 2 3x 2 lim x2x 0x 0x 0x 0(由于 1 cos x1 x2 1 cos(6 x) 1 (6 x)2 )6f ( x)6x sin 6xsin 6x 2 xf ( x) 2所以lim36 0 36x 2limx 3lim x 3x 0x 0x 0方法 2：由极限与无穷小关系，由已知极限式解出sin 6x xf ( x)a ， lim a 03xx 0从而sin 6x xf (x)ax 3f ( x)ax 3 sin 6xx6f ( x)6ax 3 sin6 x3 6x sin 6 xxaxx 2x 2x 3所以lim 6f ( x)ax 3 6xsin 6x 极限的四则运算lim a6x sin 6xx 2limx 3limx 3x 0x 0xx 06 6cos6 x21(6x) 20 lim lim2363x2x 2x 0x方法 3： 将 sin 6x 在 x0 处按佩亚诺余项泰勒公式展开至x 3 项：sin 6x6x (6 x)33)6x 36x3( x 3),3!(x于是sin 6x xf ( x) 6xxf (x)36x 3( x 3 ) 6f ( x) 36 ( x 3 ) ,x 3x 3x 2x 3从而lim 6f ( x)sin 6x xf ( x) 36 lim (x 3) 036 036.x 2lim x 3 3x 0x 0x 0x(5) 【答案】 B 【详解】 由特解 y 1e x , y 2 2xe x ，对照常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根与解的对应关系知道， r 2 1 为特征方程的二重根； 由 y 3 3e x 可知 r 1 1 为特征方程的单根，因此特征方程为(r 1)(r 1)2 r 3 r 2 r 1 0,由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系，得该微分方程为y y y y 0.三【详解】方法 1：为了求不定积分，首先需要写出f (x) 的表达式 .为此，令 ln xt ，有 xe tf (t ) f (ln x)ln(1 x)ln(1 e t )xe tf ( x)dxe x ln(1 e x )dxln(1 e x )de xe xln(1 e x ) e x e xdx 分部积分1 e xe x ln(1 e x )1 e x e x dx拆项1 e xe x ln(1 e x )(1 e x )dx1 e x e x ln(1 e x )1dx1 e x dxe x e x ln(1 e x )1dx 1 1 x de xee x ln(1 e x )1dx 1 1 x d(e x 1)ee x ln(1 e x ) x ln(1 e x ) C方法 2：作积分变量替换，命 xln t ，f ( x)dxf (ln t)1dt ln(1 t) dtln(1 t )d1t t 2tln(1 t) 1dt ]分部积分[tt(1 t )ln(1 t)( 1 1 )dt部分分式求和tt1tln(1 t ) 1dt1 d(1 t )ln(1 t)ln t ln(1 t) Ctt1 tte x ln(1 e x ) x ln(1 e x ) C.四【详解】先写出面积S(t ) 的( 分段 ) 表达式，1S(t)Ox+y=t 1当 0 t 1 时，图形为三角形，利用三角形的面积公式：S(t )1 t2 ；2当 1 t 2 时，图形面积可由正方形面积减去小三角形面积，其中由于 x y t 与 y 1 交点的纵坐标为 t 1 ，于是，小三角形的边长为： 1 ( t 1)2 t ，所以S(t )1 1(2 t )21 1 (t2 4t4)1 t2 2t 1 ；222当 t2 时，图形面积就是正方形的面积： S( t) 1，则1 t2 , 0 t 1,2S(t ) 11(2 t) 2 ,1 t2,21, 2 t.x x 11 t 3 x当 0x 1时，2dtS(t )dtt 232当 1 x2时， x1 S(t )dtxS(t )dt0S(t)dt11( x 1) 1 ( x 2)366当 x2 xS(t )dt2x S(t )dt 1时，S(t)dt21 x 3x16x1 x 3 x2x1 1 x2 因此S(t)dt63x 1x2x 3 ; 61 1t 2dt x1 2) 2]dt2[1 (t 0121 x 3 x 2x1 66 3x 1dtx 1.2五【详解】方法 1：按莱布尼茨高阶导数公式：(uv)( n)u (n) v C n 1u (n 1) v C n k u ( n k) v ( k)uv (n ) .为了求 ln(1 x) 的 n 阶导数，设 y ln(1x) ，y1 ； 1 xy1212；1 x1xy21 1 2；1313x xy(4)1 2 1 2 3 3x414 1x一般地，可得y( n )( 1)n 1( n 1)!(1x) n即ln(1( n)(1)n 1( n1)! x)(1x)n设 u ln(1x) ， v x2，利用上述公式对函数展开，由于对x2求导，从三阶导数开始就为零，故展开式中只含有前三项f ( n) (x)x2 ( 1)n 1(n1)!(1x) n代入 x0 ，得：f ( n) (0)n( n 1)(1)n3 (n .2nx ( 1)n 2 (n 2)!n(n 1) ( 1)n3 (n1)! .(1 x) n 1(1x)n23)!( 1)n 1 n! , n 3,4 .n 2方法 2：y f (x) 带佩亚诺余项的麦克劳林公式：f ( x) f (0) f (0) x f (0)x2f ( n ) (0)n(x n) 2!xn!求 f n (0)( n3)可以通过先求 y f ( x) 的的麦克劳林展开式，则展开式中 x n项的系数与 n ! 的乘积就是y f ( x) 在点 x0处的n阶导数值f(n)(0).由麦克劳林公式，ln(1 x)x x2x3(n 1x n 2( xn 2), 231)n 2所以x2 ln(1x)x3x4x5(1)n 1 x n 2( x n ).23n 2对照麦克劳林公式f ( x) f (0)f(0)f(0)x2f (n ) (0)x n n), x2!n!(x1!从而推知f ( n) (0)( 1)n 1n!n 2得f( n)(0)(1)n 1 n! , n 3,4 .n 2六【详解】因为 cosx0 ，且 nx (n 1) ，n x (n 1)cosx dx.所以cosx dx0 cosx dx定积分的性质又因为 cosx 具有周期，所以在长度为的积分区间上的积分值均相等：acos x dx ，cos x dxa0 从而ncos x dx2cosx dxn cosx dx 0 cosx dx(n 1)ncosx dx n( 2 cos xdxcos xdx)2n(sin x 2 sin x )n(1 (01)) 2n2(n 1)所以cosxdx 2(n 1).2nx2( n1), 即2nS(x)2(n 1).所以cosxdx(2) 由 (1) 有，当 nx( n 1)2nS(x)2( n1)时，xn( n 1)命 n取极限，2n22 ， lim 2(n 1)2(1 1 ) 2limlimlim nn( n 1)n1nnn(1)n由夹逼定理，得lim S(x)2 .xx七【详解】设从 2000 年初 (相应 t0 )开始，第 t 年湖泊中污染物 A 的总量为 m ，浓度为m，V则在时间间隔 [ t,t dt ] 内，排入湖泊中 A 的量为：m 0V(t dtdt )m 0dt ，流出湖泊的水中 A 的量为m Vdtmdt .V6 6V33(mm) dt .因而时间从 t 到 tdt 相应地湖泊中污染物A 的改变量为： dm63由分离变量法求解：dmdt(mm )63两边求积分：dmd (mm )m 0mdt363tC 1t C 1m 0 mm 0 m3ln()63()()63 6 3m 0 m t C 1m 0 m tC 1 m m 0 t C 1ln(e3e3e36 )363 363m 0 C 1tm 0 t C 1m3e 3 e3mC e 3 , (C 3e 3 )229m 0 . 于是 mm 0t初始条件为m(0)5m ，代入初始条件得C(1 9e 3) ，要满22足污染物 A 的含量可降至 m 0 内，命 m m 0 ，得 t6ln 3 . 即至多需经过 6 ln 3年，湖泊中A 的含量降至 m 0 以内 .八【证明】方法 1：令 F (x)x f (t )dt,0 x，有 F (0)0,由题设有 F( )0 .又由题设f ( x)cos xdx 0 ，用分部积分，有f (x)cos xdxcos xdF( x)F ( x)cos x 0F ( x)sin xdxF (x)sin xdx由积分中值定理知，存在(0, )使F (x)sin xdxF ( )sin(0)因为(0, ) ， sin0 ，所以推知存在(0, ),使得 F() 0 . 再在区间[0, ] 与 [ , ] 上 对 F (x) 用 罗 尔 定 理 ， 推 知 存 在 1(0, ) ，2( , ) 使F(1) 0,F(2) 0，即f ( 1 ) 0, f ( 2 ) 0方法 2：由0 f (x)dx 0及积分中值定理知， 存在 1 (0, ) ，使 f ( 1)0 . 若在区间 (0, )内 f ( x) 仅有一个零点 1 ，则在区间 (0, 1)与 ( 1, ) 内 f ( x) 异号 . 不妨设在 (0, 1 ) 内f (x)0 ，在 ( 1 , ) 内 f ( x)0. 于是由f ( x) dx 0,f (x)cos xdx 0 ，有f (x)cos xdxf (x)cos 1dx0f ( x)(cos x cos 1 )dx1cos 1 )dxf ( x)(cos x cos 1) dx0 f (x)(cos x1当 0x1时 ，c o sx 1 ，f ( x)(cos x cos 1 ) 0； 当1x时 ，co scosxc o s 1 ，仍有 f (x)(cos x cos 1 )0 ，得到： 0 0 . 矛盾，此矛盾证明了f ( x)在 (0,) 仅有 1个零点的假设不正确，故在(0, ) 内 f ( x) 至少有 2个不同的零点 .九【详解】为了求曲线y f ( x) 在点 (6, f (6)) 处的切线方程，首先需要求出 y f (x) 在x 6处的导数， 即切线斜率 . 而函数又是以周期为 5 的函数，且在 x 1 处可导，则在 x 6处可导，且其导数值等于函数在 x 1 处的导数值 .将 f (1sin x) 3 f (1 sin x)8x (x) 两边令 x0 取极限，由 f 的连续性得f (1)3f (1) lim(8 x( x)) 02 f (1) 0x故 f (1)0 ，又由原设 f (x) 在 x 1处可导，两边同除 sin x ，lim f (1 sin x)f (1)3lim f (1sin x) f (1) lim 8xlim ( x)x 0sin xx 0sin x xsin x x 0 sin x 根据导数的定义，得f (1) 3 f (1) lim8xx lim (x) x 8 4 f (1)8xxsin x x 0 x sin x所以 f (1) 2 ，又因 f (6)f (5 1) f (1) ，所以 f (6) 2 ，由点斜式，切线方程为( y f (6))f (6)( x6).以 f (6)f (1) 0, f (6) 2 代入得 y 2( x 6). 即 2x y 12 0.十【详解】首先联立两式， 求直线与曲线的交点： 1 x 2ax 2，得： x1，而 x 0 ，1 a则交点坐标为：1 ,aOA 的方程为 yax ( x, y) () . 由点斜式，故直线.1 a 1 a1 a由旋转体体积公式 Vb 2( x)dx ，要求的体积就是用大体积减去小体积：fa1 Va 1 0211a2x2axa 1 ax 2 2a 1 2 x 4 )dxdxdx(a1 a1 a12 3 2 x5 a 12a2a xa3(1 a)5515(1a)2为了求 V 的最大值，对函数关于a 求导，5 a 2 53dV 2 2 2 2 2 2a (1 a)2(1 a)2aa2da5 155 15(1 a) 515(1a) 2(1 a)235 a 2 ]5 a 2 ]2 (1 a)2[2 a(1 a)2 [2 a(1 a) 2215(1 a)515 7(1a)225 21 2a 2 ]2 [2 a 2a2 a ]2 [2a2 a ][4 a a157 15 7157(1 a)2(1a) 2(1 a)2命 dV 0,得唯一驻点 a4 ，所以 a 4也是 V 的最大值点，最大体积为 V a 432 5 .da1875十一 【详解】 (1) 为了求 f (x) ，将 f ( x) f ( x)1x0 两边同乘 ( x 1) ，得x f (t) dt1 0( x 1) f ( x) ( x 1) f ( x)xf (t )dt 0,两边对 x 求导，得f ( x) ( x 1) f ( x)f ( x) ( x 1) f ( x) f ( x)即( x 1) f (x) ( x 2) f ( x) 0 .上述方程为二阶可降阶微分方程，令uf ( x) ，化为 ( x 1)u ( x 2)u0 ，即du ( x 2)u( x 1)dx两边求积分：du ( x 2) dx (11 )dxu( x 1)x 1即 ln u( x ln( x 1)) C 1所以ue (x ln( x 1) C 1)(ex1e C1)x 1令 CC 1，则 uCe x ，于是 f( x) uCe xex 1 x.1再以 x 0 代入原方程 f(0) f (0)1 0f (t) dtf (0) f (0)0 ，由 f (0) 1 ，有1f (0)1，于是 C1, f ( x)e xx .1(2)方法 1：用积分证 .f ( x)f (0)xf (t )dt1 x e ttdt.1xe ttxt牛 -莱公式t xx而dtdteee10 t1两边同乘以 ( 1) ，得：ex 1 x e tdt 0，t1即ex f ( x)1xe t10 tdt1方法 2 ：用微分学方法证 .因 f (0) 1, f ( x) 0 ，即 f ( x) 单调递减，所以当 x 0 时 f (x) 1.要 证 f ( x)e x ， 可 转 化 为 证 明f ( x) e x 0 ， 令 ( x )f ( x ) e x ， 则，且( x)f ( x) exf ( x)e x( x)(0)110x1所以，当 x0 时 (x) 0，即 f (x)e x .结合两个不等式，推知当x 0时， e xf (x) 1.证毕 .十二【 详解 】由题设得A111121T 2 121 0 ， BT 112 .0 212121 012所以A 2T TT2A ， A 4 8A ；B 24， B 216代入原方程 2B 2 A 2 xA 4 xB 4 x中，得16 Ax 8Ax 16 x，即8 A2E x其中 E 是三阶单位矩阵，令 xTx 1 ,x 2 ,x 3 ，代入上式，得线性非齐次方程组x 1 1x 2 0 22x 1 x 2 0(1)x 11x 2 2x 3 12显然方程组得同解方程为2x 1 x 2 0x 1 1x 2 2x 3 1(2)2令自由未知量x 1 k, 解得 x 2 2k,x 3k1 2故方程组通解为x 1 k 1 0 x 22k k 2 0 ， ( k 为任意常数 )x 3k1 1122十三【 详解 】方法 1：先求1 ,2 ,3, 将矩阵作初等行变换，得1 3 9 1 3 9 1 3 91,2,32 0 66 12 0 1 23170 10200 0知1,2,3 2.故 1,2,31,2,32， 1,2,3作初等行变换0 a b 1 1 0 1,2,31 2 10 3 11 1 0a 3b因为1, 2,32 ，所以 a3b又3 可由1 ,2 ,3 线性表出，故1 ,2 ,3 ,3 1,2,32将 1, 2, 3, 3 作初等行变换1 3 9 b 1 3 9b 20 61 06121 2b3 1 71 10 203b1 3 9b12b0 1 260 03b 5 1 2b3由1,2,3,3，得3b51 2b 0，解得 b5 ，及 a 3b15.23方法 2：由方法 1 中的初等变换结果可以看出1,2 线性无关，且33 122，故1,2,32 ，1 ,2是1, 2 , 3的极大线性无关组. 又1, 2,31 ,2 ,32 ，1 ,2 ,3 线性相关 . 从而得a b 0 a b 1,2,31 2 1 1 310,1 1 01 0 0计算三阶行列式得a 3b 0 ，得 a 3b又 3 可由1 ,2 , 3线性表出，即可由1 ,2 线性表出，1 ,23 线性相关，有1 3 b 1 3 b 1 3 b1,2,320 16 1 2b 0 61 2b3 1 00 103b0 3b 10 12b6行列式展开得6 3b10 1 2b 0 ，65 1 2b0 ，得 b 5 及 a 3b 15.所以 3b3方法 3：先利用 3 可由 1, 2 , 3 线性表出，故方程组1, 2 , 3 X有解，即1 3 9 x 1 b 26x 21 3 17 x 3有解 . 对其增广矩阵施行初等行变化1 3 9 b 1 3 9b 20 61 06121 2b3 1 71 10 203b1 3 9b2b10 1 260 51 2b3b3由其次线性方程组有解的条件 (系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩)，知3b 5 12b5 1 b 0解得 b 5. 33 3又因为1和2线性无关，且33 122 ，所以向量组1 ,2 ,3的秩为 2 ，0 a b 0 a b 由题设条件知1 ,2 ,32 ，从而1 ,2 ,31 2 1 1 3 1 0,1 11 0 0解得 a 15。

2000年全国硕士研究生统一考试数学一真题及答案解析

2000年全国硕士研究生统一考试数学一真题及答案解析

.
(2)验证
η1
4
1
,
η2
1
1
是
A
的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.
1
(3)当
x1 y1
2 1 2
时,求
xn1 yn1
.
十二、(本题满分 8 分)
某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0 p 1) ,各产品合格与否相对独立,当出现 1 个不合 格产品时即停机检修.设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为 X ,求 X 的数学期望 E( X ) 和方 差 D(X ) .
S
S1
(C) zdS 4 xdS
S
S1
(3)设级数 un 收敛,则必收敛的级数为 n1
(B) ydS 4 xdS
S
S1
(D) xyzdS 4 xyzdS
S
S1
(A) (1)n un
n1
n
(B) un2 n1
(C) (u2n1 u2n ) n1
(D) (un un1) n1
2000 年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)
(1) 1 2x x2 dx =_____________. 0
(2)曲面 x2 2 y2 3z2 21在点 (1, 2, 2) 的法线方程为_____________.
故正确选项为（B）。
三、(本题满分 6 分)
2
e
1 x
求
lxim0
1
e
4 x
sin x
x
.
【详解】因为
2
e
1 x

[实用参考]2000年全国硕士研究生入学统一考试(数二)试题及答案

[实用参考]2000年全国硕士研究生入学统一考试(数二)试题及答案

20GG年全国硕士研究生人学统一考试
数学二试题
一、填空题(本题共5小题．每小题3分．满分l5分把答案填在题中横线上)
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。

每小题给出的四个选项中．只有一项符合题目要求。

把所选项前的字母填在题后的括号内)
三、(本题满分5分)
四、(本题满分5分)
五、(本题满分5分)
六、(本题满分6分)
七、(本题满分7分)
八、(本题满分6分)
九、(本题满分7分)
十、(本题满分8分)
十一、(本题满分8分) 十二、(本题满分6分)
十三、(本题满分7分)
参考答案
一、填空题
1．
2．
3．
4．
5．
二、选择题1．
2．
3．
4．
5．
三、
四、
五、六、
七、八、九、十、十一、
十二、
十三、。

2000年-2013年考研数学一历年真题

2000年-2013年考研数学一历年真题

2000年-2013年考研数学一历年真题2000年-2013年考研数学一历年真题2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)202x x dx -?=_____________.(2)曲面2222321xy z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________.(3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x +=-??????无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有( )(A)()()()()f x g b f b g x >(B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有( )(A)14SS xdS xdS =(B)14SS ydS xdS =(C)14SS zdS xdS =(D)14SS xyzdS xyzdS =(3)设级数1nn u∞=∑收敛,则必收敛的级数为( )(A)1(1)nnn un ∞=-∑ (B)21nn u∞=∑(C)2121()n n n uu ∞-=-∑(D)11()nn n uu ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <ααL 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββL 线性无关的充分必要条件为( )(A)向量组1,,m ααL 可由向量组1,,m ββL 线性表示 (B)向量组1,,m ββL可由向量组1,,m ααL 线性表示(C)向量组1,,m ααL与向量组1,,m ββL 等价(D)矩阵1(,,)m =AααL 与矩阵1(,,)m =B ββL 等价(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与X Y η=-不相关的充分必要条件为( )(A)()()E X E Y =(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y =(D)2222()[()]()[()]E XE X E Y E Y +=+三、(本题满分6分)求142e sin lim().1exx xxx→∞+++四、(本题满分5分)设(,)()x xz f xy g y y=+,其中f具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数, 求2.zx y五、(本题满分6分)计算曲线积分224L xdy ydx Ix y -=+?,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R>取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e 0,xSxf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=??ò其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分)求幂级数113(2)nnnn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k>),求球体的重心位置.九、(本题满分6分) 设函数()f x 在[0,]π上连续,且0()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==??试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308=??-??A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ??(1)求11n n x y ++??与n n x y ?? 的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y++= ? ?????A(2)验证1241,11-== ? ?ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当111212x y ??= ? ? ?时,求11.n n x y ++?? ???十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->?=?≤?,其中0θ>为未知参数.又设12,,,n x x x L 是X的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设e (sin cos )(,x y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)222z y x r++=,则(1,2,2)div(grad )r -= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:?--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A)(B)(C)(D)(2)设),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则(A)(0,0)|3dz dx dy =+ (B)曲面),(y x f z=在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1} (C)曲线(,)z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}(D)曲线(,)z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导?(A)20(1cos )limh f h h →-存在(B)(1e )limhh f h→-存在(C)2(sin )limh f h h h →-存在(D)hh f h f h )()2(lim-→存在(4)设1111400011110000,11110000111100???? ?== ? ? ?A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为 (A) -1(B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan e exxdx ?.四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z =在点(1,1)可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =?,求3)(=x x dxd ?.五、(本题满分8分)设()f x =21arctan 010x x x xx +≠=,将)(x f 展开成x的幂级数,并求∑∞=--1241)1(n n n的和.六、(本题满分7分) 计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz=-+-+-??,其中L是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分) 设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:(1)对于1,0()0,1(Y -∈?x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立.(2)5.0)(lim 0=→x x θ.八、(本题满分8分) 设有一高度为tt h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分) 设12,,,s αααL为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβααL ,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββL 也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分) 已知三阶矩阵A和三维向量x,使得2,,A A x x x线性无关,且满足3232=-A A A x x x .(1)记2(,,),=PA A x x x 求B 使1-=A PBP .(2)计算行列式+A E .十一、(本题满分7分) 设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分) 设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥K样本均值∑==ni i X n X 2121,∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)∞+exx dx2ln = _____________.(2)已知2e 610yxy x ++-=,则(0)y ''=_____________.(3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. (4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续,③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在.则有:(A)②?③?① (B)③?②?① (C)③?④?①(D)③?①?④(2)设0≠nu ,且1lim=∞→n n u n ,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d zc y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分) 设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分)已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt -=?在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(limnnf n ∞→.五、(本题满分7分)计算二重积分22max{,}y Ddxdy,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分) 设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,).记dy xy f y yxdx xy f y y I]1)([)](1[1222-++=?,(1)证明曲线积分I 与路径L 无关. (2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分) (1)验证函数∑∞==03)!3()(n nn x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e x y y y '''++=. (2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分) 已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分) 设维随机变量X的概率密度为()f x =1cos 0220 xx x对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体的概率分布为X123P 2θ)1(2θθ-2θθ21-其中θ(12θ<<)是未知参数,利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(102)(cos lim x x x +→ = .22y x z +=与平面42=-+z y x 平行的切平面的方程是 .(3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a xn n ,则2a = .(4)从2R 的基1211,01== ? ?-αα到基1211,12== ? ?????ββ的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x 01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立(B)n n c b <对任意n 成立(C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则(A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点(B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点(C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点(4)设向量组I:12,,,r αααL 可由向量组II:12,,,s βββL 线性表示,则(A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关(C)当s r <时,向量组I 必线性相关(D)当s r>时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ?矩阵,现有4个命题:① 若0x=A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解③ 若0x=A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解以上命题中正确的是(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>,则(A)2~()Y n χ(B)2~(1)Yn χ-(C)~(,1)Y F n(D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分) 过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D .(1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.四、(本题满分12分) 将函数x xx f 2121arctan)(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.五、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证:(1)sin sin sin sin ee e e yx y x LLx dy y dx x dy y dx ---=-??蜒.(2)sin sin 2e e 2.y x Lx dy y dx π--≥??六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r<<.问 (1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七、(本题满分12分) 设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ,?-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九、(本题满分10分)设矩阵322232223=??A ,010101001??=P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx , :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++cb a十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分) 设总体X的概率密度为()f x =2()2e 0x θ-- 0x x θ>≤ 其中0>θ是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本n X X X ,,,21Λ,记).,,,min(?21nX X X Λ=θ (1)求总体X 的分布函数()F x .(2)求统计量θ?的分布函数)(?x F θ. (3)如果用θ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .(2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分-Lydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x的通解为__________ . (5)设矩阵210120001??=??A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B=__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x===0302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,,(B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >(D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n na为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim=0,则级数∑∞=1n na 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim,则级数∑∞=1n na 发散(C)若级数∑∞=1n na 收敛,则0lim2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,??=ttydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f(C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)101001010(B)100101010(C)110001010(D)100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关(B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关(D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(C)21α-u(D)α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n Λ独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni iX n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-. (16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66?=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分) 计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ??∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分) 设有方程10nxnx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1nn x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分) 设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=??++++=?≥?++++=?L L L L L L L L L试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -=--??A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.(22)(本题满分9分) 设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ??= .,,0,1不发生发生B B Y = 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.(2)X和Y 的相关系数.XY ρ。

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一二试题(word版)

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一二试题(word版)

2000年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题(1)0=⎰ . （2）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-的法线方程为 .（3）微分方程'''30xy y +=的通解为 . （4）已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解，则a = . (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1,9A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A = .二、选择题（1）设()(),f x g x 是恒大于零得可导函数，且()()()()''0f x g x f x g x -<，则当a xb <<时，有（A ）()()()()f x g b f b g x > （B ）()()()()f x g a f a g x >（C ）()()()()f x g x f b g b > （D ）()()()()f x g x f a g a >（2）设()22221:0,S x y z az S ++=≥为S 在第一卦限中的部分，则有 （A ）14S S xdS xdS =⎰⎰⎰⎰ （B ）14S S ydS xdS =⎰⎰⎰⎰ （C ）14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰ （D ）14S S xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰ （3）设级数1n n u∞=∑收敛，则必收敛的级数为（A ）()11.n n n u n ∞=-∑ （B ）21n n u ∞=∑（C ）()2121.n n n uu ∞-=-∑ (D) ()11.n n n u u ∞+=+∑（4）设n 维列向量组()1,,m m n αα<线性无关，则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分必要条件为 （A ） 向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示. （B ） 向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示. （C ） 向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价. （D ） 矩阵()1,,m A αα=与矩阵()1,,m B ββ=等价.（5）设二维随机变量(),X Y 服从二维正态分布，则随机变量X Y ξ=+与X Y η=-不相关的充分必要条件为(A)()().E X E Y =(B)()()()()2222.E X E X E Y E Y -=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ (C)()()22.E X E Y =(D)()()()()2222.E X E X E Y E Y +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 四、设,,x x z f xy g y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求2.z x y ∂∂∂ 五、计算曲线积分22,4L xdy ydx I x y -=+⎰其中L 是以点()1,0为中心，R 为半径的圆周()1R >，取逆时针方向.六、设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有()()20,x S xf x dydz xyf x dzdx ezdxdy --=⎰⎰其中函数()f x 在()0,+∞内具有连续的一阶导数，且()0lim 1,x f x +→=求()f x . 七、求幂级数()1132n n n n x n∞=+-∑的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性. 八、设有一半径为R 的球体，0P 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比（比例常数0k >），求球体的重心位置.九、设函数()f x 在[]0,π上连续，且()()000,cos 0,f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证：在()0,π内至少存在两个不同的点12,ξξ，使()()120f f ξξ==.十、（本题满分6分）设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦且113,ABA BA E --=+其中E 为4阶单位矩阵，求矩阵.B十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计，然后将16熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及之间实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为n x 和n y ，记为向量n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1） 求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式：1111;n n n n x x A y y ++++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2） 验证1241,11ηη-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3） 当111212x y ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦时，求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭. 十二、某流水生产线上每一个产品不合格的概率为()01p p <<,各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为,X 求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、设某种元件的使用寿命X 的概率密度为()()22,,0, x e x f x x θθθθ--⎧>⎪=⎨≤⎪⎩其中0θ>为未知参数，又设12,,,n x x x 是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值.2000年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题一． 填空题（1）()30arctan lim ln 12x x x x →-=+ . （2）设函数()y y x =由方程2xy x y =+所确定，则0|x dy == . （3）2+∞=⎰ . （4）曲线()121x y x e =-的斜渐近线方程为 .（5）设10002300,04500067A E ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦为4阶单位矩阵，且()()1B E A E A -=+-,则()1B E -+＝ .二、选择题（1）设函数()bxx f x a e =+在(),-∞+∞内连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足 （A ） 0,0a b << （B ）0,0a b >>（C ）0,0a b ≤> （D ）0,0a b ≥<（2）设函数()f x 满足关系式()()2''',f x f x x ⎡⎤+=⎣⎦且()'00f =，则 （A ）()0f 是()f x 的极大值（B ）()0f 是()f x 的极小值（C ）点()()0,0f 是曲线()y f x =的拐点（D ）()0f 不是()f x 的极值，点()()0,0f 不是曲线()y f x =的拐点（3）设函数()(),f x g x 是大于零的可导函数，且()()()()''0,f x g x f x g x -<则当a x b <<时，有（A ）()()()()f x g b f b g x > （B ）()()()()f x g a f a g x >（C ）()()()()f x g x f b g b > （C ）()()()()f x g x f a g a >（4）若()30sin 6lim 0,x x xf x x →+=则()206lim x f x x→+为 （A ）0 （B ）6 （C ）36 （D ）∞（5）具有特解123,2,3x x x y e y xe y e --===的3阶常系数齐次微分方程是（A ）''''''0y y y y --+= （B ）''''''0y y y y +--=（C ）''''''61160y y y y -+-= （D ）''''''220y y y y --+=三、设()()ln 1ln ,x f x x+=计算().f x dx ⎰四、设xOy 平面上有正方形(){},|01,01D x y x y =≤≤≤≤及直线():0l x y t t +=≥若()S t 表示正方形D 位于直线l 的左下方部分的面积，试求()()00.x S t dt x ≥⎰五、求函数()()2ln 1f x x x =+在0x =处的n 阶导数()()()03n f n ≥六、设函数()0cos ,xS x t dt =⎰ （1） 当n 为正整数，且()1n x n ππ≤<+时，证明()()221;n S x n ≤<+（2） 求()lim x S x x→+∞ 七、某湖泊的水量为,V 每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6V ，流入湖泊内不含A 的污水量为6V ，流出湖泊的水量为3V ，已知1999年底湖中A 的含量为05m ，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限制排入湖泊中含A 污水的浓度不超过0.m V 问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A 的含量才可降至0m 以内？（注：设湖水中A 的浓度时均匀的）八、设函数()f x 在[]0,π上连续，且()()000,cos 0,f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证明：在()0,π内至少存在两个不同的点12,ξξ，使()()120.f f ξξ==九、已知()f x 是周期为5的连续函数，它在0x =的某个邻域内满足关系式()()()1sin 31sin 8f x f x x a x +--=+其中()a x 是当0x →时比x 高阶的无穷小，且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在点()()6,6f 处的切线方程.十、设曲线()20,0y ax a x =>≥与21y x =-交于点,A 过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形，问a 为何值时，该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最大？十一、函数()f x 在[]0,+∞上可导，()01f =，且满足等式()()()'010.1x f x f x f t dt x +-=+⎰ （1） 求导数()'f x ；（2） 证明：当0x ≥时，不等式()1x e f x -≤≤成立.十二、设11012,,0,,2180T T A B B αβγαβα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦,其中T β是β的转置，求解方程 22442.B A x A x B x γ=++十三、已知向量组12301,2,1110a b βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦与向量组1231392,0,6317ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b 的值.。

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