高等数学上册总复习上课讲义

高等数学上册知识点

一、 函数与极限 （一） 函数

1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；

2、 反函数、复合函数、函数的运算；

3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函

数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；

函数)(x f 在

0x 连续 )()(lim 00

x f x f x

x =→

第一类：左右极限均存在.

间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点

5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定

理及其推论.

（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限

εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞

→a x N n N a x n n n , , ,0lim

2） 函数极限

εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00

时，当

左极限：)(lim )(0

0x f x f x x -

→-= 右极限：)(lim )(0

0x f x f x

x +→+= )()( )(lim 000

+

-→=⇔=x f x f A x f x x 存在

2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤

2

）

a z y n n n n ==→∞

→∞

lim lim a x n n =∞

→lim

2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量

1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~

ααββαo +=⇔;

Th2 αβαβαβββαα'

'

=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；

3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：

a) 1sin lim 0=→x

x x b) e x x x

x x

x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1

0 5） 无穷小代换：（0→x ） a)

x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~

b) 2

2

1~cos 1x x -

c) x e x ~1- （

a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （a

x x a ln ~)1(log +）

e) x x αα

~1)1(-+

二、 导数与微分 （一） 导数

1、 定义：0

00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：0

00)

()(lim )(0

x x x f x f x f x x --='-

→-

右导数：0

00)

()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+

→+ 函数

)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔

2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.

3、 可导与连续的关系：

4、 求导的方法

1） 导数定义； 2） 基本公式； 3） 四则运算；

4） 复合函数求导（链式法则）； 5） 隐函数求导数； 6） 参数方程求导；

7） 对数求导法. 5、 高阶导数

1） 定义：⎪⎭

⎫

⎝⎛=dx dy dx d dx y d 22

2） Leibniz 公式：()∑=-=n

k k n k k n n v u C uv 0)

()()

( （二） 微分

1） 定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A 与x ∆无关. 2） 可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=

三、 微分中值定理与导数的应用 （一） 中值定理

1、 Rolle 定理：若函数

)(x f 满足：

1）

],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；

则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使.

2、 Lagrange 中值定理：若函数

)(x f 满足：

1）

],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈；

则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使. 3、 Cauchy 中值定理：若函数

)(),(x F x f 满足：

1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）

),(,0)(b a x x F ∈≠' 则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使