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初三数学二次函数与代数综合

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专题四 二次函数综合题(含答案)2025年中考数学一轮题型专练(陕西)

专题四 二次函数综合题(含答案)2025年中考数学一轮题型专练(陕西)

专题四　二次函数综合题题型1　二次函数的实际应用二次函数的实际应用问题,在陕西中考2022,2023,2024年连续三年进行考查,其考查本质为二次函数表达式的应用,其主要为顶点式的考查,在表达式的基础上进行实践应用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函数性质求最值,感受数学在实际问题中的应用.类型1　抛物线运动轨迹问题(2024·西安市莲湖区模拟)如图,在一场校园羽毛球比赛中,小华在点P选择吊球进行击球,当羽毛球飞行的水平距离是1 m时,达到最大高度3.2 m,建立如图所示的平面直角坐标系.羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分,队友小乐则在点P选择扣球进行击球,羽毛球的飞行高度y1(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8.(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式.(2)在(1)的条件下,已知球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,且点A,C都在x轴上,实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式?解题指南　(1)抓住最大高度这一特征,设出顶点式:y=a(x-h)2+k,然后将点P的坐标代入即可.(2)分别令一次函数与二次函数的y为0,对比两种方式在x轴的交点的横坐标到点C的横坐标的距离大小即可.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题(2024·西工大模拟)陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3 m,AB=2 m,m.窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为258(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式.(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米?解题指南　(1)借助点M为顶点,设出顶点式,然后将点B坐标代入顶点式即可.(2)设出小正方形DEFG的边长,然后用所设边长表示出点G的横坐标、纵坐标,最后代入(1)中抛物线的表达式解方程即可.(2024·西安新城区模拟)某地想将新建公园的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,抛物线型拱门的跨度ON=24 m,拱高PE=8 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计).设计部门给出了两个设计方案:方案一:矩形框架ABCD的周长记为C1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=6 m.方案二:矩形框架A'B'C'D'的周长记为C2,点A',D'在抛物线上,边B'C'在ON上,其中A'B'=4 m.求这两个方案中,矩形框架的周长C1,C2,并比较C1,C2的大小.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题如图,在一个斜坡上架设两个塔柱AB,CD(可看作两条竖直的线段),塔柱间挂起的电缆线下垂可以近似地看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足AB=CD=27 m,塔柱AB与CD之间的水平距离为60 m,且两个塔柱底端点D与点B的高度差为12 m.以点A为坐标原点,1 m为单位长度构建平面直角坐标系. (1)求点B,C,D的坐标.x2一样,且电(2)经过测量,AC段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线y=1100缆线距离斜坡面竖直高度至少为15.5 m时,才符合设计安全要求.请结合所学知识判断上述电缆线的架设是否符合安全要求?并说明理由.(2024·陕师大附中模拟)在元旦来临之际,学校安排各班在教室进行联欢.八(2)班同学准备装点一下教室.他们在屋顶对角A,B两点之间拉了一根彩带,彩带自然下垂后呈抛物线形状.若以两面墙交线AO为y轴,以点A正下方的墙角点O为原点建立平面直角坐标系,此时彩带呈现出的抛物线表达式为y=ax2-0.6x+3.5.已知屋顶对角线AB长12 m.(1)a= ,该抛物线的顶点坐标为.(2)小军想从屋顶正中心C(C为AB的中点)系一根绳子CD.将正下方彩带最低点向上提起,这样两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线形状(如图所示).要使两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m.求这根绳子的下端D到地面的距离.题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究二次函数中面积问题,基本上都可以转化为线段相关问题,线段的三种表示方式:①水平型,②垂直型,③斜型.以边为分类标准,可采取不同方法进行面积的求解,现对不同类型线段的表示作以说明.(1)线段AB∥y轴时,点A,B横坐标相等,则AB=|y1-y2|=|y2-y1|=y1-y2.(2)线段BC∥x轴时,点B,C纵坐标相等,则BC=|x2-x1|=|x1-x2|=x2-x1.(3)线段AC与x轴,y轴不平行时,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.第一步,过动点向x轴作垂线,与定边产生交点第二步,设动点坐标,表示交点坐标第三步,表示纵向线段长度|y上-y下|第四步,利用水平宽铅垂高表示三角形面积:S=12(y 上-y 下)(x 右-x 左)【原创好题】“水平宽”与“铅垂高”的运用:已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(x C ,y C ),用含有A,B,C 坐标的方式表示出△ABC 的面积.解题指南　(1)在平面直角坐标系中作△ABC,要求点A,B 在点C 的左、右两侧,经过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D,则△ABC 被分成两部分,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .(2)过点A 作△ADC 的高h 1,过点B 作△DBC 的高h 2,所以△ACD 与△BCD 的面积表示为S △ADC =12CD·h 1,S △BCD =12CD·h 2.(3)所以S △ABC =S △ADC +S △BCD =12CD·h 1+12CD·h 2=12CD·(h 1+h 2).(4)其中h 1与h 2的和可以看作点A 与点B 的水平间的距离,因此称之为“水平宽”,h 1+h 2=|x B -x A |,CD 是点C 与点D 的竖直间的距离,称之为“铅垂高”,即CD=|y D -y C |,故S △ABC =S △ACD +S △BCD =12|y D -y C |·|x B -x A |.1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B 两点,抛物线y=-x 2+bx+c 过A,B 两点,D 为线段AB 上一动点,过点D 作CD ⊥x 轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式.(2)求△ABE 面积的最大值.2.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)若P为线段BC上的一点(不与点B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N.当线段PM的长度最大时,求点M的坐标.类型2　面积关系探究(2018.T24)x2+bx与x轴交于O,A 【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-43两点,B(1,4)在抛物线上.若P是抛物线上一点,且在直线AB的上方,且满足△OAB 的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.解题指南　(1)第一步,将点B的坐标代入抛物线的表达式,求出b的值,根据A,B两点的坐标,求出直线AB的表达式;(2)第二步,借助三角形的面积公式,求出△OAB的面积,根据△OAB与△PAB的面积关系求出△PAB的面积;(3)第三步,设点P的坐标为t,-43t2+163t,过点P作x轴的垂线,与AB交于点N,并结合直线AB的表达式,表示出点N的坐标;(4)第四步,借助“水平宽,铅垂高”,求出PN的长度,用含有t的式子表示出PN的长度,构造方程求解即可.1.如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为x+3交于C,D两点,连接BD,AD.(3,0),抛物线与直线y=-32(1)求m的值.(2)求A,D两点的坐标.(3)若抛物线上有一点P,满足S△ABP=4S△ABD,求点P的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,-1),抛物线y=-x2+bx+c经过点B(4,5)和C(5,0).(1)求抛物线的表达式.(2)连接AB,BC,求∠ABC的正切值.(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点D,使得S△ABD=S△ABC?若存在,直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)P为抛物线对称轴上一动点,当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)在(2)的条件下,是否存在M为抛物线第一象限上的点,使得S△BCM=S△BCP?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　(1)由交点式可直接得出抛物线的解析式.(2)设P(1,m),根据列出方程,进而求得点P的坐标.(3)作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N,先求出PQ的解析式,进而求得MN的解析式,进一步求得结果. 借助“同底等高”找等面积的方法在平面直角坐标系中有△ABC,分别在BC所在直线的两侧找出一点P和Q,使得S△PBC=S△QBC=S△ABC.操作方式:(1)根据要求可知△PBC和△QBC均与△ABC具有共同的底边BC,要使它们的面积相等,只需要它们的高相等即可,因此可以设△PBC与△QBC的高均为h;(2)确定高以后,过点A作BC的平行线,则在所作平行线上存在一点P满足S△PBC=S△ABC;(3)如图,将BC所在直线向下平移AO'个单位长度,过A'作BC的平行线,则该直线上存在一点Q满足S△QBC=S△ABC;(4)运用“同底等高”法时,务必考虑不同位置的情况;(5)进行面积计算时,可以直接利用三角形面积公式求解.题型3　特殊三角形问题探究类型1　等腰三角形问题探究等腰三角形存在问题,可以分为两个方向来解决,几何法和代数法,其中几何法的优势在于比较直观地得到结果,对几何图形要求较高;代数法以解析几何为背景可更快地找到等量关系,方法较为单一,等腰三角形问题做完之后一定要验证是否出现三点共线的情况.方法一　几何法(1)两圆一线找出点;(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长,由线段长求得点坐标方法二　代数法(1)表示出三个点坐标A,B,C;(2)由点坐标表示出三条线段AB,AC,BC;(3)分类讨论①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC;(4)列出方程求解(2024·铁一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L的顶点E的坐标为(-2,8),且过点B(0,6),与x轴交于M,N两点.(1)求该抛物线L的表达式.(2)设抛物线L关于y轴对称后的抛物线为L',其顶点记为点D,连接MD,在抛物线L'对称轴上是否存在点Q,使得以点M,D,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·西咸新区模拟)如图,抛物线L:y=ax2+bx-3(a、b为常数,且a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线L'.(1)求抛物线L的函数表达式.(2)连接AC,探究抛物线L'的对称轴直线l上是否存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型2　直角三角形问题探究直角三角形存在问题,菱形中对角线垂直,矩形中的内角为直角,有下列两个方向可以帮助解决问题,不同的方法适用不同方向的题目,注意区分其方法.一、勾股定理若AC2+BC2=AB2,则△ABC为直角三角形二、构造“K”字型相似过直角顶点作坐标轴的平行线,过其他两点向平行线作垂直,出现“一线三等角”模型,利用“一线三等角”的相似模型,构建方程解决问题已知抛物线L:y=ax2-2ax-8a(a≠0)与x轴交于点A,点B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C.(1)求出点A与点B的坐标.(2)当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时,求抛物线L的表达式.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-5,0),B(-1,0),交y轴于点C(0,5).(1)求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标.(2)将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,E为抛物线C2上一点,若△DOE是以DO为直角边的直角三角形,求点E的坐标. 直角三角形中的找点方法和计算方法找点方法:示例:如图,在平面内有A,B两点,试着找出一点C,使得A,B,C三点构成的三角形为直角三角形.分两种情况讨论:当AB为直角边时,{过点A作AB的垂线l1,过点B作AB的垂线l2;当AB为斜边时,以AB为直径作圆.如图,在直线l1,l2上的点C满足△ABC为直角三角形,但要注意一点:点C不与A,B两点重合.我们将这种找点C的方法称为“两线一圆”.计算方法:(1)利用勾股定理构造方程求解;(2)以“K”字型搭建相似三角形,列比例式构造方程求解.类型3　等腰直角三角形问题探究等腰直角三角形相关问题,以等腰直角三角形和正方形问题,主要解题方法相对统一,注意如何构图能直观得到“K”字全等是解决问题的关键之处.(1)过直角顶点作坐标轴平行线,构造“K”字全等(2)方法一:设某小边长度.方法二:设点坐标,表示直角三角形中的直角边(3)利用某纵向或横向线段构建等式(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.如果P是如图,抛物线y=-25抛物线上一点,M是该抛物线对称轴上的点,当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时,求点P的坐标.解题指南　第一步,过直角顶点作平行y轴的垂线,分别过另两个顶点作垂直,构造“K”字全等;第二步,利用坐标分别表示两直角三角形的直角边;第三步,利用某边相等构造方程.(2024·高新一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求出抛物线L的表达式和顶点的坐标.(2)P是抛物线L的对称轴右侧图象上的一点,过点P作x的垂线交x轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L',则C关于直线PQ的对称点为C',若△PCC'为等腰直角三角形,求出抛物线L'的表达式.题型4　三角形关系问题类型1　与相似三角形结合问题三角形的关系问题是陕西考试中非常常见的一个类型,中考中多次连续出现,相似问题的处理方法也相对较为固定,以固定三角形为参照,找到定角,以边为分类标准,进行分类讨论.主要有两个方法.方法一:利用一角相等,邻边成比例证明相似方法二:两组角相等的三角形相似分析目标三角形:第一类:找一角相等,用邻边成比例.第二类:找一角相等(多为90°问题),找另一角相等.方法总结:(1)分动、定三角形;(2)找等角;(3)表示边或者找另一角相等.(2024·曲江一中模拟)如图,抛物线y=ax 2+bx 经过坐标原点O 与点A(3,0),正比例函数y=kx 与抛物线交于点B 72,74.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)P 是第四象限抛物线上的一个动点,过点P 作PM ⊥x 轴于点N,交OB 于点M,是否存在点P,使得△OMN 与以点N,A,P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线L 1:y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A,B(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1.(1)求此二次函数表达式和点A,B 的坐标.(2)P 为第四象限内抛物线L 1上一动点,将抛物线L 1平移得到抛物线L 2,抛物线L 2的顶点为点P,抛物线L 2与y 轴交于点E,过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D.是否存在点P,使以点P,D,E 为顶点的三角形与△AOC 相似?如果存在,请写出平移过程,并说明理由.类型2　与全等三角形结合问题1.全等为特殊的相似,相似比为1,方法与相似一致.2.注意相等角的邻边分类情况.【改编】如图,抛物线y=-23x 2+103x+4的图象与x 轴交于A,B 两点,与y 轴的正半轴交于点C,过点C 的直线y=-43x+4与x 轴交于点D.若M 是抛物线上位于第一象限的一动点,过点M 作ME ⊥CD 于点E,MF ∥x 轴交直线CD 于点F,当△MEF ≌△COD 时,求出点M 的坐标.解题指南　当△MEF ≌△COD 时,(1)找准对应角、边.结合关系式可知,∠MEF=∠COD,∠MFE=∠CDO,MF=CD.(2)根据直线CD 的表达式求出线段CD 的长度.由点M 在抛物线上,可以设点M的坐标为m,-23m 2+103m+4,再由MF ∥x 轴,得点F 的纵坐标.根据全等三角形的对应边相等可以得出点F 的横坐标为m-5.(3)由点F 在直线CD 上,将点F 的坐标代入直线CD 的表达式中,求出m 的值.已知经过原点O 的抛物线y=-x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A.(1)求点A 的坐标及抛物线的对称轴.(2)B 是OA 的中点,N 是y 轴正半轴上一点,在第一象限内的抛物线上是否存在点M,使得△OMN 与△OBM 全等,且点B 与点N 为对应点?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 与全等三角形结合问题的求解步骤(1)全等三角形的问题与相似三角形的问题步骤类似,均是先列出三角形的对应关系式,再根据关系式找出对应边相等;(2)借助对应边相等,将边与边的长度关系用点的坐标进行表示,然后运用“两点间距离公式”构造方程求解.题型5　特殊四边形问题探究类型1　平行四边形问题探究平行四边形问题,一般分为三定一动,两定两动问题,选取固定的两个点为分类标准,①以某边为边时;②以某边为对角线时.第一步,寻找分类标准;第二步,平移点,找关系(注意:从A到B和从B到A);第三步,代入关系求值(2024·西工大附中模拟)如图,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,3),B(-3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的表达式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【改编】已知点A(-1,0)在抛物线L:y=x2-x-2上,抛物线L'与抛物线L关于原点对称,点A的对应点为点A',是否在抛物线L上存在一点P,在抛物线L'上存在一点Q,使得以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 平行四边形中坐标的计算如图1,在平行四边形ABDC 中,关于坐标的计算——平移法则:x B -x A =x D -x C ,y B -y A =y D -y C ,x A -x C =x B -x D ,y A -y C =y B -y D .如图2,在平行四边形ADBC 中,关于坐标的计算——中点坐标公式:x M =x A +x B 2=x C +x D 2,y M =y A +y B 2=y C +y D 2.类型2　菱形问题探究菱形存在问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线垂直或邻边相等即可得菱形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A +x C 2=x B +x D 2;y A +y C 2=y B +y D 2.(3)对角线垂直:可参照直角存在问题.邻边相等:可参照等腰存在问题.(4)平移型:先平行四边形,再菱形.翻折型:先等腰,再菱形.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为等腰存在问题,可以利用等腰存在问题策略解决问题如图,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,OA=2,OC=6,连接AC 和BC.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.类型3　矩形问题探究矩形存在性问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线相等或一内角为90°即可得到矩形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)方向一　对角线相等:(x A-x C)2+(y A-y C)2=(x B-x D)2+(y B-y D)2.方向二　有一角为90°.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为直角存在问题,可以利用直角存在问题策略解决问题已知抛物线L:y=ax2+bx(a≠0)经过点B(6,0),C(3,9).(1)求抛物线L的表达式.(2)若抛物线L'与抛物线L关于x轴对称,P,Q(点P,Q不与点O,B重合)分别是抛物线L,L'上的动点,连接PO,PB,QO,QB,问四边形OPBQ能否为矩形?若能,求出满足条件的点P和点Q的坐标;若不能,请说明理由.已知抛物线L:y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)抛物线L平移后得到抛物线L',点A,C在抛物线L'上的对应点分别为点A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是面积为20的矩形,求平移后的抛物线L'的表达式.类型4　正方形问题探究(在菱形的基础上增加对角线相等)(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)平行四边形题基础上加等腰直角三角形问题.,正方形ABCD的边AB 如图,一条抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点坐标为2,83落在x轴的正半轴上,点C,D在这条抛物线上.(1)求这条抛物线的表达式.(2)求正方形ABCD的边长.解题指南　(1)已知顶点,可直接设抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,将点的坐标代入计算即可.(2)①在正方形中,四条边均相等;②设出正方形的边长,并根据所设边长表示出正方形ABCD的顶点坐标;③注意观察正方形ABCD的顶点C,D在抛物线上;④代入相应点的坐标求出所设的边长即可.x2+bx+c的图象L经过原点,且与x轴的另一个交点为(8,0).已知二次函数y=-13(1)求该二次函数的表达式.(2)作x轴的平行线,交L于A,B两点(点A在点B的左侧),过A,B两点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D,C.当以A,B,C,D为顶点的四边形是正方形时,求点A的坐标. 借助抛物线判定正方形的思路步骤1.明确在抛物线上的正方形的两个顶点;2.借助抛物线表达式y=ax2+bx+c(a≠0),设出其中一个顶点坐标为(x,ax2+bx+c),然后利用抛物线对称轴表示出另一个顶点坐标;3.根据正方形四条边相等构造一元二次方程求解即可.题型6　角度问题探究角相关问题是二次函数中相对较为综合性的问题,在近几年中考中也常出现在各个省市的中考题中,问题最终都会落到以下问题上来.等角问题,可直接用等角的性质来处理问题.解决策略:(1)寻找相似,出现等角;(2)利用三角函数找等角;(3)利用轴对称来找等角.【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴分别交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在抛物线上是否存在一点D,使得∠DOA=45°?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　以平面直角坐标系为背景来探究角度问题,常用的思路为借助三角函数构造方程求解.本题具体步骤如下:第一步,根据∠DOA=45°,联想tan∠DOA=1;第二步,根据点D在抛物线上,可以过点D作x轴的垂线,记垂足为H,在△DOH中,tan∠DOH=DH OH;第三步,由点D在抛物线上,设点D的坐标为(t,-t2+4t-3);第四步,根据DH=|y D|=|-t2+4t-3|,OH=|t|,构造方程求解即可.已知抛物线L:y=-23x2+bx+c,与y轴的交点为C(0,2),与x轴的交点分别为A(3,0),B(点A在点B右侧).(1)求抛物线的表达式.(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位长度,所得的抛物线与x轴的左交点为M,与y轴的交点为N,若∠NMO=∠CAO,求m的值.参考答案题型1　二次函数的实际应用类型1　抛物线运动轨迹问题例1　解析:(1)在y 1=-0.4x+2.8中,令x=0,则y 1=2.8,∴P (0,2.8).根据题意,二次函数图象的顶点坐标为(1,3.2).设二次函数的表达式为y=a (x-1)2+3.2,把P (0,2.8)代入y=a (x-1)2+3.2,得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,∴吊球时羽毛球满足的二次函数表达式y=-0.4(x-1)2+3.2.(2)吊球时,令y=0,则-0.4(x-1)2+3.2=0,解得x 1=1+22,x 2=1-22(舍去),扣球时,令y=0,则-0.4x+2.8=0,解得x=7.∵OA=3 m,CA=2 m,∴OC=OA+AC=5.∵7-5=2,|22+1-5|=4-22<2,∴选择吊球时,球的落地点到点C 的距离更近.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题例2　解析:(1)由题意得点M ,B 的坐标分别为32,258,(3,2).设抛物线的表达式为y=a x-322+258,将点B 的坐标代入上式得2=a 3-322+258,解得a=-12,∴抛物线的表达式为y=-12x-322+258.(2)设正方形的边长为2m.把点G 32-m ,2+2m 代入抛物线表达式,得2+2m=-1232-m-322+258,解得m=12(负值已舍去),∴正方形窗户DEFG 的边长为1 m .变式设问　解析:(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(12,8),N (24,0).设y=a (x-12)2+8,把N (24,0)代入表达式中,得a=-118,∴该抛物线的函数表达式为y=-118(x-12)2+8.(2)方案一:令y=6,即6=-118(x-12)2+8.解得x 1=6,x 2=18,∴BC=AD=12.又∵AB=CD=6,∴矩形ABCD 的周长C 1=2×12+2×6=36(m).方案二:令y=4,即4=-118(x-12)2+8,解得x 1=12-62,x 2=12+62,∴B'C'=A'D'=12+62-(12-62)=122.又∵A'B'=C'D'=4,∴矩形A'B'C'D'的周长C 2=2×122+2×4=(242+8)m .∵C 1=36=28+8=4×7+8,C 2=242+8=4×62+8,∴36<242+8,即C 1<C 2.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题例3　解析:(1)如图,过点C 作CE ⊥y 轴,垂足为E ,过点D 作DF ⊥y 轴,垂足为F.记CD 与x 轴相交于点G.根据题意,得点B 的坐标是(0,-27).∵FB=12,则GD=OF=OB-FB=27-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=27-15=12,∴点C 的坐标是(60,12),点D 的坐标是(60,-15).(2)符合安全要求.理由:设AC 段所挂电缆线对应的抛物线的函数表达式为y=1100x 2+bx ,将点C (60,12)代入表达式中,得12=1100×602+60b ,解得b=-25,∴y=1100x 2-25x.由点B (0,-27),D (60,-15)可知直线BD 的表达式为y=15x-27.记M 为抛物线上一点,过点M 作x 轴的垂线与BD 交于点N.设点M m ,1100m 2-25m ,则点N m ,15m-27,故MN=1100m 2-25m-15m-27=1100(m-30)2+18≥18>15.5,∴电缆线距离斜坡面竖直高度的最小值为18 m,高于安全需要的距离15.5 m,故符合安全要求.变式设问　解析:(1)0.05;(6,1.7).提示:由题意得抛物线的对称轴为直线x=6,则A (0,3.5),B (12,3.5),∴144a-7.2+3.5=3.5,解得a=0.05,∴抛物线的表达式为y=0.05x 2-0.6x+3.5.当x=6时,y=0.05x 2-0.6x+3.5=1.7,即该抛物线的顶点坐标为(6,1.7),(2)∵两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m,∴左边新抛物线的顶点坐标为(3.5,2).设左边新抛物线的表达式为y=a'(x-3.5)2+2,将点A 的坐标代入上式得3.5=a'(0-3.5)2+2,解得a'=649,∴左侧抛物线的表达式为y=649(x-3.5)2+2.当x=6时,y=649(6-3.5)2+2=27198,∴这根绳子的下端D 到地面的距高为27198m .题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究例1　解析:如图,过点C 作垂直于x 轴的直线,与AB 交于点D ,分别过点A ,B 作CD 的垂线段h 1,h 2,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .∵S △ADC =12CD ·h 1,S △BCD =12CD ·h 2,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12CD ·(h 1+h 2).又∵CD=|y D -y C |,h 1+h 2=|x B -x A |,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12(y D -y C)(x B -x A ).变式设问　1.解析:(1)在一次函数y=x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,∴A (-4,0),B (0,4).∵点A (-4,0),B (0,4)在抛物线y=-x 2+bx+c 上,∴{-16-4b +c =0,c =4,解得{b =-3,c =4,∴抛物线的表达式为y=-x 2-3x+4.(2)设点C 的坐标为(m ,0)(-4≤m ≤0),则点E 的坐标为(m ,-m 2-3m+4),点D 的坐标为(m ,m+4),。

人教版初三数学二次函数知识点及难点总结

人教版初三数学二次函数知识点及难点总结

初三数学二次函数知识点总结二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小.当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.|a|越大,则二次函数图像的开口越小.1、决定对称轴位置的因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b 异号时（即ab＜0 ）,对称轴在y轴右.事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到.2、决定二次函数图像与y轴交点的因素常数项c决定二次函数图像与y轴交点.二次函数图像与y轴交于（0，c)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

Array 2. 2=+的性质：上加下减。

y ax c3. ()2=-的性质：左加右减。

y a x h Array 4. ()2=-+的性质：y a x h k三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：二次函数图像参考：2-32y=3(x+4)22y=3x 2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y 0 0 -1 x D1、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

云南中考数学总复习专项练习：专项四二次函数综合题

云南中考数学总复习专项练习：专项四二次函数综合题

云南中考数学总复习专项练习：专项四 二次函数综合题类型一 代数问题(2021·杭州)设二次函数y ＝ax2＋bx －(a ＋b)(a ，b 是常数，a ≠0)(1)判定该二次函数图象与x 轴交点的个数，并说明理由；(2)若该二次函数的图象通过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a ＋b<0，点P(2，m)(m>0)在该二次函数图象上，求证：a>0.【自主解答】1．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x2＋bx ＋c(b ，c 差不多上常数)的图象通过点(1，0)和(0，2)．(1)当－2≤x ≤2时，求y 的取值范畴．(2)已知点P(m ，n)在该函数的图象上，且m ＋n ＝1，求点P 的坐标．2．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于x 的二次函数y1＝2x2－4mx ＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx ＋5，其中y1的图象通过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x ≤3时，y2的最大值．3．规定：不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“靠近距离”．(1)求抛物线y ＝x2－2x ＋3与x 轴的“靠近距离”；(2)在探究问题：求抛物线y ＝x2－2x ＋3与直线y ＝x －1的“靠近距离”的过程中，有人提出：过抛物线的顶点向x 轴作垂线与直线相交，则该问题的“靠近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离，你同意他的看法吗？请说明理由．(3)若抛物线y ＝x2－2x ＋3与抛物线y ＝14x2＋c 的“靠近距离”为23，求c 的值．4．(2021·舟山)已知，点M 为二次函数y ＝－(x －b)2＋4b ＋1图象的顶点，直线y ＝mx ＋5分别交x 轴，y 轴于点A 、B.(1)判定顶点M 是否在直线y ＝4x ＋1上，并说明理由；(2)如图1，若二次函数图象也通过点A 、B ，且mx ＋5>－(x －b)2＋4b ＋1.依照图象，写出x 的取值范畴；(3)如图2，点A 坐标为(5，0)，点M 在△AOB 内，若点C(14，y1)，D(34，y2)都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．图1 图2类型二 面积问题(2021·泰安节选)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 交x 轴于点A(－4，0)、B(2，0)，交y 轴于点C(0，6)，在y 轴上有一点E(0，－2)，连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求△ADE 面积的最大值．【自主解答】1．(2021·腾冲模拟)已知直线y ＝2x ＋m 与抛物线y ＝ax2＋ax ＋b 有一个公共点M(1，0)，且a<b.(Ⅰ)求抛物线顶点Q 的坐标(用含a 的代数式表示)；(Ⅱ)说明直线与抛物线有两个交点；(Ⅲ)直线与抛物线的另一个交点记为N ； (ⅰ)若－1≤a ≤12，求线段MN 长度的取值范畴；(ⅱ)求△QMN 面积的最小值．2．(2021·金华)如图，抛物线y ＝ax2＋bx(a ≠0)过点E(10，0)，矩形A BCD 的边AB 在线段OE 上(点A 在点B 的左边)，点C ，D 在抛物线上．设A(t ，0)，当t ＝2时，AD ＝4.(1)求抛物线的函数表达式．(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．3．(2021·东营)如图，抛物线y＝a(x－1)(x－3)(a＞0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长度；(2)设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，要求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．(2021·永州)如图1，抛物线的顶点A的坐标为(1，4)，抛物线与x 轴相交于B、C两点，与y轴交于点E(0，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点F(0，－3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG ＋FG最小，假如存在，求出点G的坐标；假如不存在，请说明理由；(3)如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段A B的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N(点M、N都在抛物线对称轴的右侧)，当MN最大时，求△PON的面积．图1 图2类型三专门三角形的存在性问题(2021·昆明)如图1，对称轴为直线x＝12的抛物线通过B(2，0)、C(0，4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；(3)如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在如此的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2【自主解答】1．(2021·枣庄节选)如图1，已知二次函数y ＝ax2＋32x ＋c(a ≠0)的图象与y 轴交于点A(0，4)，与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为(8，0)，连接AB 、AC. (1)请直截了当写出二次函数y ＝ax2＋32x ＋c 的表达式；(2)判定△ABC 的形状，并说明理由；(3)如图2，若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出现在点N 的坐标．图1 图22．(2021·昆明盘龙区模拟)如图，抛物线的图象与x 轴交于A 、B 两点，点A在点B 的左边，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，且A(－6，0)，D(－2，－8)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 下方的抛物线上一动点，不与点A 、C 重合，求过点P 作x 轴的垂线交于AC 于点E ，求线段PE 的最大值及P 点坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2021·资阳)已知：如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与坐标轴分别交于点A(0，6)，B(6，0)，C(－2，0)，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．类型四 专门四边形的存在性问题(2021·曲靖)如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝13x －43与x轴交于点A ，通过点A 的抛物线y ＝ax2－3x ＋c 的对称轴是x ＝32.(1)求抛物线的解析式；(2)平移直线l 通过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，P B ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE ＝13PF ，求证PE ⊥PF ；(3)若(2)中的点P 坐标为(6，2)，点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使得四边形PEQF 是矩形？假如存在，要求出点Q 的坐标，假如不存在，请说明理由．【分析】 (1)先确定点A 的坐标，再把抛物线的对称轴直线代入公式求a 值，结合点A 的坐标，确定c 值，从而得出抛物线的解析式；(2)运用两边斜边与一组直角边的比值相等，以及两个三角形差不多上直角三角形，证明两个直角三角形相似，从而得出两个锐角相等，依照PC 与PB 的垂直关系，论述PF 与PE 的垂直关系；(3)画出图形，进行分类讨论，注意(2)中两个三角形相似，构造比例式，建立方程模型进行点的坐标的运算，那个地点有两个答案，不可忽视第二种情形．【自主解答】1．(2021·河南)如图，抛物线y ＝ax2＋6x ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线y ＝x －5通过点B ，C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点A 的直线交直线BC 于点M.①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P(不与点B ，C 重合)，作直线A M 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直截了当写出点M 的坐标．2．(2021·岳阳)已知抛物线F ：y ＝x2＋bx ＋c 的图象通过坐标原点O ，且与x 轴另一交点为(－33，0)．(1)求抛物线F 的解析式；(2)如图1，直线l ：y ＝33x ＋m(m ＞0)与抛物线相交于点A(x1，y1)和点B(x2，y2)(点A 在第二象限)，求y2－y1的值(用含m 的式子表示)；(3)在(2)中，若m ＝43，设点A ′是点A 关于原点O 的对称点，如图2.①判定△AA ′B 的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P ，使得以点A 、B 、A ′、P 为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图23．(2021·南充)如图，抛物线顶点P(1，4)，与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于点A ，B.(1)求抛物线的解析式；(2)Q 是抛物线上除点P 外一点，△BCQ 与△BCP 的面积相等，求点Q 的坐标；(3)若M ，N 为抛物线上两个动点，分别过M ，N 作直线BC 的垂线段，垂足分别为D ，E ，是否存在点M ，N 使四边形MNED 为正方形？假如存在，求正方形MNED 的边长；假如不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2－2ax －3a(a ＞0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，通过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC.(1)直截了当写出点A 的坐标，并用含a 的式子表示直线l 的函数表达式(其中k 、b 用含a 的式子表示)；(2)点E 为直线l 下方抛物线上一点，当△ADE 的面积的最大值为254时，求抛物线的函数表达式；(3)设点P 是抛物线对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．类型五 相似三角形的存在性问题(2021·昆明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋32x ＋c(a≠0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的右侧)，与y 轴交于点C ，点A的坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x ＝32.(1)求抛物线的解析式；(2)M 为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，交AC 于点H ，当线段CM ＝CH 时，求点M 的坐标；【分析】 (1)第一利用对称轴公式求出a 的值，然后把点A 的坐标与a 的值代入抛物线的解析式，求出c 的值，即可确定出抛物线的解析式．(2)第一依照抛物线的解析式确定出点C 的坐标，再依照待定系数法，确定出直线AC 解析式为y ＝－12x ＋2；然后设点M 的坐标为(m ，－12m2＋32m ＋2)，H(m ，－12m ＋2)，求出MH 的值，再依照CM ＝CH ，OC ＝GE ＝2，可得MH ＝2EH ，据此求出m 的值是多少，再把m 的值代入抛物线的解析式，求出y 的值，即可确定点M 的坐标．【自主解答】(3)在(2)的条件下，将线段MG 绕点G 顺时针旋转一个角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，设线段MG 与抛物线交于点N ，在线段GA 上是否存在点P ，使得以P 、N 、G 为顶点的三角形与△ABC 相似？假如存在，要求出点P 的坐标；假如不存在，请说明理由．例5题图 备用图【分析】 (3)第一判定出△ABC 为直角三角形，然后分两种情形：①当N1P1AC ＝P1G CB 时；②当N2P2BC ＝P2G CA 时，依照相似三角形的性质，判定出是否存在点P ，使得以P 、N 、G 为顶点的三角形与△ABC 相似即可．【自主解答】1．(2021·达州)如图，抛物线通过原点O(0，0)，点A(1，1)，点B(72，0)．(1)求抛物线解析式；(2)连接OA ，过点A 作AC ⊥OA 交抛物线于C ，连接OC ，求△AOC 的面积；(3)点M 是y 轴右侧抛物线上一动点，连接OM ，过点M 作MN ⊥OM 交x 轴于点N.问：是否存在点M ，使以点O 、M 、N 为顶点的三角形与(2)中的△AO C 相似，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．第1题图备用图2．(2021·德州)如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A，B两点，其中A(m，0)，B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.(1)求m，n的值及该抛物线的解析式；(2)如图2，若点P为线段AD上的一动点(不与A，D重合)，分别以A P，DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；(3)如图3，连接BD，CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直截了当写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．图1 图2 图33．(2021·武汉)抛物线L：y＝－x2＋bx＋c通过点A(0，1)，与它的对称轴直线x＝1交于点B，(1)直截了当写出抛物线L的解析式；(2)如图1，过定点的直线y＝kx－k＋4(k＜0)与抛物线L交于点M、N.若△BMN的面积等于1，求k的值；(3)如图2，将抛物线L向上平移m(m＞0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D. F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，同时符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．图1 图2类型六线段问题(2021·湘潭)如图，点P为抛物线y＝14x2上一点．(1)若抛物线y＝14x2是由抛物线y＝14(x＋2)2－1通过图象平移得到的，请写出平移过程；(2)若直线l通过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作PM⊥l于M.①问题探究：如图1，在对称轴上是否存在一定点F ，使得PM ＝PF 恒成立？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．②问题解决：如图2，若点Q 坐标为(1，5)，求QP ＋PF 的最小值． 图1 图2【分析】 (1)找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．(2)①设出点P 坐标，利用PM ＝PF 运算BF ，求得F 坐标；②利用PM ＝PF ，将QP ＋PF 转化为QP ＋QM ，利用垂线段最短解决问题．【自主解答】1．(2021·红河州二模)如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax2＋bx ＋6(a ≠0)相交于A(12，52)和B(4，m)，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在如此的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出那个最大值；若不存在，请说明理由．2．(2021·宜宾)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且通过点(4，1)，如图，直线y ＝14x 与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y ＝－1.(1)求抛物线的解析式；(2)在l 上是否存在一点P ，使PA ＋PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)知F(x0，y0)为平面内一定点，M(m ，n)为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 (1)解： ∵Δ＝b2＋4a(a ＋b)＝b2＋4ab ＋4a2＝(b ＋2a)2， ∴当b ＋2a ＝0时，Δ＝0，图象与x 轴有一个交点；当b ＋2a ≠0时，Δ>0，图象与x 轴有两个交点；(2)解： ∵当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b)＝0，∴图象不可能过点C(1，1)．∴函数的图象通过A(－1，4)，B(0，－1)两点． 代入可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －（a ＋b ）＝4，－（a ＋b ）＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2， ∴该二次函数的表达式为y ＝3x2－2x －1.(3)证明： ∵点P(2，m)(m>0)在该二次函数图象上，∴m ＝4a ＋2b －(a ＋b)＝3a ＋b>0，又a ＋b<0，∴(3a ＋b)－(a ＋b)>0，整理得2a>0，∴a>0.针对训练 1．解： (1)将(1，0)，(0，2)代入y ＝x2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，c ＝2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2. ∴那个函数的解析式为：y ＝x2－3x ＋2＝(x －32)2－14；把x ＝－2代入y ＝x2－3x ＋2得，y ＝12，∴y 的取值范畴是－14≤y ≤12.(2)∵点P(m ，n)在该函数的图象上，∴n ＝m2－3m ＋2，∵m ＋n ＝1，∴m2－2m ＋1＝0，解得m ＝1，n ＝0，∴点P 的坐标为(1，0)．2．解： (1)定义翻译：“同簇二次函数”即两个二次函数y1与y2的顶点坐标一样，且二次项系数的正负性相同．本题是开放题，答案不唯独，符合题意即可．如：y1＝2x2，y2＝x2，顶点坐标都为(0，0)，且二次项系数均为正数，故符合．(2)∵函数y1的图象通过点A(1，1)，则2－4m ＋2m2＋1＝1，解得m ＝1.∴y1＝2x2－4x ＋3＝2(x －1)2＋1.∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，∴可设y1＋y2＝k(x －1)2＋1(k>0)，则y2＝k(x －1)2＋1－y1＝(k －2)(x －1)2.由题意可知函数y2的图象通过点(0，5)，则(k －2)×(－1)2＝5.∴k －2＝5.∴y2＝5(x －1)2＝5x2－10x ＋5.依照y2的函数图象性质可知：当0≤x ≤1时，y 随x 的增大而减小；当1≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，故0≤x ≤3时，y2的最大值＝5×(3－1)2＝20.【一题多解】∵y1＋y2与y1是“同簇二次函数”，则y1＋y2＝(a ＋2)x2＋(b －4)x ＋8(a ＋2>0)． ∴－b －42（a ＋2）＝1，化简得：b ＝－2a ， 又32（a ＋2）－（b －4）24（a ＋2）＝1，将b ＝－2a 代入其中， 解得a ＝5，b ＝－10.∴y2＝5x2－10x ＋5.依照y2的函数图象性质可知：当0≤x ≤1时，y 随x 的增大而减小；当1≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，故0≤x ≤3时，y2的最大值＝5×32－10×3＋5＝20.3．解： (1)∵y ＝(x －1)2＋2，∴抛物线上的点到x 轴的最短距离为2，∴抛物线y ＝x2－2x ＋3与x 轴的“靠近距离”为2；(2)不同意他的看法，理由如下：如解图，P 点为抛物线y ＝x2－2x ＋3任意一点，作PQ ∥y 轴交直线y ＝x －1于Q ，设P(t ，t2－2t ＋3)，则Q(t ，t －1)，∴PQ ＝t2－2t ＋3－(t －1)＝t2－3t ＋4＝(t －32)2＋74，当t ＝32时，PQ 有最小值，最小值为74，∴抛物线y ＝x2－2x ＋3与直线y ＝x －1的“靠近距离”为74，而过抛物线的顶点向x 轴作垂线与直线相交，抛物线顶点与交点之间的距离为2，∴不同意他的看法；(3)M 点为抛物线y ＝x2－2x ＋3上任意一点，如解图，作MN ∥y 轴交抛物线y ＝14x2＋c 于N ， 设M(t ，t2－2t ＋3)，则N(t ，14t2＋c)， ∴MN ＝t2－2t ＋3－(14t2＋c)＝34t2－2t ＋3－c ＝34(t －43)2＋53－c ，当t ＝43时，MN 有最小值，最小值为53－c ，∴抛物线y ＝x2－2x ＋3与抛物线y ＝14x2＋c 的“靠近距离”为53－c ，∴53－c ＝23，∴c ＝1.4．解： (1)由顶点式可知，点M 坐标是(b ，4b ＋1)，∴把x ＝b 代入y ＝4x ＋1，得y ＝4b ＋1，∴点M 在直线y ＝4x ＋1上．(2)如解图1，∵直线y ＝mx ＋5与y 轴交于点B ，∴点B 坐标为(0，5)．又∵B(0，5)在抛物线上，∴5＝－(0－b)2＋4b ＋1，解得b ＝2，∴二次函数的表达式为y ＝－(x －2)2＋9，∴当y ＝0时，得x1＝5，x2＝－1.∴A(5，0)观看图象可得，当mx ＋5>－(x －b)2＋4b ＋1时，x 的取值范畴为x ＜0或x ＞5.图1 图2(3)如解图2，∵直线y ＝4x ＋1与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ， 而直线AB 的表达式为y ＝－x ＋5， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋1，y ＝－x ＋5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝215. ∴点E(45，215)，F(0，1)． ∵点M 在△AOB 内，∴1＜4b ＋1＜215，∴0＜b ＜45.当点C 、D 关于抛物线对称轴(直线x ＝b)对称时，b －14＝34－b ，∴b ＝12. 且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线y ＝4x ＋1上， 综上：①当0＜b ＜12时，y1＞y2；②当b ＝12时，y1＝y2；③当12＜b ＜45时，y1＜y2.类型二 【例2】 (1)由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝－32，c ＝6，∴二次函数的表达式为y ＝－34x2－32x ＋6. (2)由A(－4，0)，E(0，－2)， 可求得AE 所在直线解析式为y ＝－12x －2.如解图，过点D 作DF 与y 轴平行，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H.设D 点坐标为(x0，－34x02－32x0＋6)， 则F 点坐标为(x0，－12x0－2)， 则DF ＝－34x02－32x0＋6－(－12x0－2)＝－34x02－x0＋8.又S △ADE ＝S △ADF ＋S △EDF ，∴S △ADE ＝12·DF ·AG ＋12DF ·EH ＝12×4×DF＝2×(－34x02－x0＋8) ＝－32(x0＋23)2＋503，∴当x0＝－23时，△ADE 的面积取得最大值503.针对训练1．解： (Ⅰ)∵抛物线过点M(1，0)，∴a ＋a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，∴y ＝ax2＋ax ＋b ＝ax2＋ax －2a ＝a(x ＋12)2－9a 4，∴抛物线顶点Q 的坐标为(－12，－9a 4)．(Ⅱ)∵直线y ＝2x ＋m 通过M(1，0)，∴0＝2×1＋m ，解得m ＝－2.把y ＝2x －2代入y ＝ax2＋ax －2a ，得ax2＋(a －2)x －2a ＋2＝0，(*) ∴Δ＝(a －2)2－4a(－2a ＋2)＝9a2－12a ＋4，由(Ⅰ)知b ＝－2a ，又a<b ，因此a<0，b>0.因此Δ>0，因此方程(*)有两个不相等的实数根，故直线与抛物线有两个交点．(Ⅲ)把y ＝2x －2代入y ＝ax2＋ax －2a ，得ax2＋(a －2)x －2a ＋2＝0，即x2＋(1－2a )x －2＋2a ＝0， ∴[x ＋(12－1a )]2＝(1a －32)2， 解得x1＝1，x2＝2a －2，∴点N(2a －2，4a －6)．(ⅰ)依照勾股定理得， MN2＝[(2a －2)－1]2＋(4a －6)2＝20a2－60a ＋45＝20×(1a －32)2， ∵－1≤a ≤－12，由反比例函数性质知－2≤1a ≤－1，∴1a －32<0， ∴MN ＝25×(32－1a )＝35－25a ，∴55≤MN ≤7 5.(ⅱ)如解图，作直线x ＝－12交直线y ＝2x －2于点E.把x ＝－12代入y ＝2x －2得，y ＝－3，即E(－12，－3)．又∵M(1，0)，N(2a －2，4a －6)，且由(Ⅱ)知a<0，∴△QMN 的面积S ＝S △QEN ＋S △QEM ＝12|(2a －2)－1|·|－9a 4－(－3)|＝274－3a －27a 8.即27a2＋(8S －54)a ＋24＝0，(*)∵关于a 的方程(*)有实数根，∴Δ＝(8S －54)2－4×27×24≥0，即(8S －54)2≥(362)2，又∵a<0，∴S ＝274－3a －27a 8>274，∴8S －54>0，∴8S －54≥362，即S ≥274＋922， 当S ＝274＋922时，由方程(*)可得a ＝－223满足题意，故当a ＝－223，b ＝423时，△QMN 面积的最小值为274＋922.2．解： (1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax(x －10)，∵当t ＝2时，AD ＝4，∴点D 的坐标为(2，4)．∴4＝a ×2×(2－10)，解得a ＝－14，∴抛物线的函数表达式为y ＝－14x2＋52x ；(2)由抛物线的对称性得BE ＝OA ＝t ，∴AB ＝10－2t ，当x ＝t 时，AD ＝－14t2＋52t.∴矩形ABCD 的周长＝2(AB ＋AD)＝2[(10－2t)＋(－14t2＋52t)] ＝－12t2＋t ＋20 ＝－12(t －1)2＋412，∵－12＜0，∴当t ＝1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412；(3)当t ＝2时，点A 、B 、C 、D 的坐标分别为(2，0)、(8，0)、(8，4)、 (2，4)，如解图，连接AC 、BD 交于点P ，抛物线与矩形ABCD 交于G 、H 两点，∴矩形ABCD 对角线的交点P 的坐标为(5，2)，当平移后的抛物线过点A 时，点H 的坐标为(4，4)，现在GH 不能将矩形面积平分；当平移后的抛物线过点C 时，点G 的坐标为(6，0)，现在GH 也不能将矩形面积平分．∴当G 、H 中有一点落在线段AD 或BC 上时，直线GH 不可能将矩形的面积平分，当点G 、H 分别落在线段AB 、DC 上时，直线GH 过点P ，必平分矩形ABCD 的面积．∵AB ∥CD ，∴线段OD 平移后得到的线段GH ，∴线段OD 的中点Q 平移后的对应点是P ，在△OBD 中，PQ 是中位线，∴PQ ＝12OB ＝4， ∴抛物线向右平移的距离是4个单位． 3．解：(1)如解图，连接AC ，令y ＝a(x －1)(x －3)＝0，可得：x1＝1，x2＝3，∴OA ＝1，OB ＝3，∵△OCA ∽△OBC ，∴OC OB ＝OA OC ，∴OC2＝OA ·OB ＝1×3＝3，∴OC ＝ 3.(取正)(2)如解图，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，则CD ∥OM ， ∴OD OB ＝MC BM ，∵点C 是BM 的中点，∴OD ＝12OB ＝32，∴CD ＝OC2－OD2＝（3）2－（32）2＝32，∴C 点坐标为(32，－32)，设yBM ＝kx ＋b ，将B ，C 两点的坐标代入得： ⎩⎨⎧3k＋b ＝0，32k ＋b ＝－32， 解得：⎩⎨⎧k ＝3b ＝－3，∴直线BM 的解析式为：y ＝33x －3， 将点C(32，－32)代入y ＝a(x －1)(x －3)得：a(32－1)(32－3)＝－32，解得：a ＝233，∴抛物线的解析式为：y ＝233×(x －1)(x －3)＝233x2－833x ＋2 3.(3)存在点P ，使得四边形ABPC 面积最大．如解图，∵S 四边形ABPC ＝S △ABC ＋S △BPC ，S △ABC 是常量，S △BPC 的面积随点P 的位置变化而变化，∴向下平移直线BM ，当平移后的直线B ′M ′和抛物线y ＝233x2－833x ＋23有唯独公共点时，四边形ABPC 面积最大， 设直线B ′M ′的解析式为：y ＝33x －3－m ， 代入y ＝233x2－833x ＋23得： 33x －3－m ＝233x2－833x ＋23， 233x2－33x ＋33＋m ＝0，① 由题意可得：Δ＝(－33)2－4×233×(33＋m)＝0，解得：m ＝338，方程①变为：233x2－33x ＋2738＝0，解得：x1＝x2＝94，将x ＝94代入y ＝233x2－833x ＋23得： y ＝233×(94)2－833×94＋23＝－538，∴存在点P 使得四边形ABPC 面积最大，现在点P 的坐标为(94，－538)．4．解： (1)设抛物线的表达式为y ＝a(x －1)2＋4，把点E(0，3)代入得a(0－1)2＋4＝3，解得a ＝－1，∴y ＝－(x －1)2＋4＝－x2＋2x ＋3；(2)存在．如解图1，点E 关于对称轴直线x ＝1的对称点为E ′(2，3)， 设过E ′，F 的直线表达式为y ＝mx ＋n ， 把E ′、F 两点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝3，n ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－3， ∴直线E ′F 的表达式为y ＝3x －3，把x ＝1代入，得y ＝0，∴点G 的坐标为(1，0)；(3)要使MN 最大，即要使△ABN 面积最大，连接AN ，过N 作NH ⊥x 轴，交直线AB 于点H ，交x 轴于点K ，如解图2.在y ＝－x2＋2x ＋3中，令y ＝0，则－x2＋2x ＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，即B(3，0)，过A(1，4)，B(3，0)两点的直线表达式为y ＝－2x ＋6，设N(t ，－t2＋2t ＋3)，则H(t ，－2t ＋6)，∴NH ＝－t2＋4t －3，∵MN ⊥AB ，∴当MN 最大时，S △ABN 最大，又∵S △ABN ＝S △ANH ＋S △BHN ＝12NH ·|xB －xA|＝12NH ·2＝NH ，当NH 最大时，△ABN 面积最大，NH ＝－t2＋4t －3＝－(t －2)2＋1， 当t ＝2时，NH 最大，∴N(2，3)．过点A 作AQ ⊥x 轴，垂足为Q ，明显AQ 在抛物线的对称轴上， ∴AQ ＝4，OQ ＝1，BQ ＝BO －OQ ＝3－1＝2.在Rt △AQB 中，由勾股定理得AB ＝2 5.设直线PN 交x 轴于点D ，∵PN ⊥AB ，∴∠BMD ＝90°，∴∠ABD ＋∠BDN ＝90°.∵NH ⊥x 轴，∴∠DKN ＝90°，∴∠DNK ＋∠BDN ＝90°，∴∠ABD ＝∠DNK.在△ABQ 和△DNK 中，∠AQB ＝∠DKN ＝90°，∠ABD ＝∠DNK ，∴△ABQ ∽△DNK ，∴AQ DK ＝BQ NK ，∴4DK ＝23，∴DK ＝6，∴DO ＝DK －OK ＝6－2＝4，∴D(－4，0)．设直线PN 的表达式为y ＝kx ＋c ，把点D(－4，0)，N(2，3) 代入得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋c ＝0，2k ＋c ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝12，c ＝2， ∴直线PN 的表达式为y ＝12x ＋2，与y 轴交点P 的坐标为(0，2)，∴S △PON ＝12×2×2＝2.图1 图2类型三【例3】 解：(1)由对称性得：A(－1，0)，设抛物线的解析式为：y ＝a(x ＋1)(x －2)，把C(0，4)代入解析式得：4＝－2a ，a ＝－2，∴y ＝－2×(x ＋1)(x －2)，∴抛物线的解析式为：y ＝－2x2＋2x ＋4；(2)如解图1，设点P(m ，－2m2＋2m ＋4)，过P 作PD ⊥x 轴，垂足为D ，∴S 四边形COBP ＝S 梯形ODPC ＋S △PDB＝12m(－2m2＋2m ＋4＋4)＋12×(－2m2＋2m ＋4)(2－m)，S ＝－2m2＋4m ＋4＝－2×(m －1)2＋6，∵－2＜0，∴S 有最大值，则S 最大＝6；图1 图2(3)存在如此的点Q ，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形， 理由是：分以下两种情形：①当∠BQM ＝90°时，如解图2：∵∠CMQ ＞90°，∴只能CM ＝MQ.设直线BC 的解析式为：y ＝kx ＋b(k ≠0)， 把B(2，0)，C(0，4)代入得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝0，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝4， ∴直线BC 的解析式为：y ＝－2x ＋4，设M(m ，－2m ＋4)，则MQ ＝－2m ＋4，OQ ＝m ，BQ ＝2－m ，在Rt △OBC 中，BC ＝OB2＋OC2＝22＋42＝25，∵MQ ∥OC ，∴△BMQ ∽△BCO ， ∴BM BC ＝BQ BO ，即BM 25＝2－m 2， ∴BM ＝5×(2－m)＝25－5m ，∴CM ＝BC －BM ＝25－(25－5m)＝5m ， ∵CM ＝MQ ，∴－2m ＋4＝5m ，m ＝45＋2＝45－8， ∴Q(45－8，0)．②当∠QMB ＝90°时，如解图3，由①得，QM ＝CM ＝5m ，BM ＝25－5m ，∵△QMB ∽△COB ，∴QM CO ＝BM OB ＝QB CB ，∴5m 4＝25－5m 2＝QB 25， ∴m ＝43，∴QB ＝103，∴OQ ＝103－2＝43，∴Q(－43，0)，综上所述，Q 点坐标为(45－8，0)或(－43，0)．针对训练1．解： (1)∵二次函数y ＝ax2＋32x ＋c 的图象与y 轴交于点A(0，4)，与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为(8，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，64a ＋12＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－14，c ＝4， ∴抛物线表达式为y ＝－14x2＋32x ＋4；(2)△ABC 是直角三角形．理由如下： 令y ＝0，则－14x2＋32x ＋4＝0，解得x1＝8，x2＝－2，∴点B 的坐标为(－2，0)，在Rt △ABO 中，AB2＝BO2＋AO2＝22＋42＝20，在Rt △AOC 中，AC2＝AO2＋CO2＝42＋82＝80，又∵BC ＝OB ＋OC ＝2＋8＝10，∴在△ABC 中，AB2＋AC2＝20＋80＝102＝BC2，∴△ABC 是直角三角形．(3)∵A(0，4)，C(8，0)，∴AC ＝42＋82＝45， ①以A 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，现在N 的坐标为(－8，0)；②以C 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，现在N 的坐标为(8－45，0)或(8＋45，0)；③作AC 的垂直平分线，交x 轴于N ，现在N 的坐标为(3，0)，综上，若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点N 的坐标分别为(－8，0)、(8－45，0)、(3，0)、(8＋45，0)．2．解： (1)设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋2)2－8， 把A(－6，0)代入得a(－6＋2)2－8＝0，解得a ＝12，∴抛物线的解析式为y ＝12(x ＋2)2－8， 即y ＝12x2＋2x －6； (2)如解图，当x ＝0时，y ＝12x2＋2x －6＝－6，则C点坐标为(0，－6)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A(－6，0)，C(0，－6)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－6k ＋b ＝0，b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－6， ∴直线AC 的解析式为y ＝－x －6，设P(x ，12x2＋2x －6)(－6＜x ＜0)，则E(x ，－x －6)， ∴PE ＝－x －6－(12x2＋2x －6)＝－12x2－3x ＝－12(x ＋3)2＋92，当x ＝－3时，PE 的长度有最大值，最大值为92，现在P 点坐标为(－3，－152)；(3)存在．抛物线的对称轴为直线x ＝－2，设M(－2，t)，∵A(－6，0)，C(0，－6)，∴AC2＝62＋62＝72，AM2＝(－2＋6)2＋t2，CM2＝(－2)2＋(t ＋6)2， 当AC2＋AM2＝CM2，△ACM 为直角三角形，即72＋(－2＋6)2＋t2＝(－2)2＋(t ＋6)2，解得t ＝4，现在M 点坐标为(－2，4)；当AC2＋CM2＝AM2，△ACM 为直角三角形，即72＋(－2)2＋(t ＋6)2＝(－2＋6)2＋t2，解得t ＝－8，现在M 点坐标为(－2，－8)；当CM2＋AM2＝AC2，△ACM 为直角三角形，即(－2＋6)2＋t2＋(－2)2＋(t ＋6)2＝72，解得t1＝－3＋17，t2＝－3－17，现在M 点坐标为(－2，－3＋17)或(－2，－3－17)．综上所述，M 点的坐标为(－2，4)或(－2，－8)或(－2，－3＋17)或(－2，－3－17)．3．解： (1)抛物线过点B(6，0)，C(－2，0)，∴设抛物线解析式为y ＝a(x －6)(x ＋2)，将点A(0，6)代入，得：－12a ＝6，解得：a ＝－12，因此抛物线解析式为y ＝－12(x －6)(x ＋2)＝－12x2＋2x ＋6；(2)如解图1，过点P 作PM ⊥OB 于点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ，将A(0，6)，B(6，0)代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，6k ＋b ＝0， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝6， 则直线AB 解析式为y ＝－x ＋6，设P(t ，－12t2＋2t ＋6)，其中0<t<6，则N(t ，－t ＋6)，∴PN ＝PM －MN ＝－12t2＋2t ＋6－(－t ＋6)＝－12t2＋2t ＋6＋t －6＝－12t2＋3t ，∴S △PAB ＝S △PAN ＋S △PBN＝12PN ·(AG ＋BM) ＝12PN ·OB＝12×⎝⎛⎭⎪⎫－12t2＋3t ×6 ＝－32t2＋9t ＝－32(t －3)2＋272；∴当t ＝3时，△PAB 的面积有最大值，即点P 运动到(3，152)；(3)如解图2，∵PH ⊥OB 于H ，∴∠DHB ＝∠AOB ＝90°，∴DH ∥AO ，∵OA ＝OB ＝6，∴∠BDH ＝∠BAO ＝45°，∵PE ∥x 轴，PD ⊥x 轴，∴∠DPE ＝90°，若△PDE 为等腰直角三角形，则∠EDP ＝45°，∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即P 点E 与点A 重合，则当y ＝6时，－12x2＋2x ＋6＝6，解得x ＝0(舍)或x ＝4.即点P(4，6)．类型四【例4】 解：(1)直线l ：y ＝13x －43与x 轴交于点A ，∴点A 的坐标是(4，0)，抛物线的对称轴是直线x ＝32.∴－－32a ＝32，解得a ＝1，∴抛物线的解析式是y ＝x2－3x ＋c ，代入点A 坐标，得出42－3×4＋c ＝0，解得c ＝－4，∴抛物线的解析式是y ＝x2－3x －4.(2)平移直线l 通过原点O ，得到直线m ，直线l 解析式是：y ＝13x －43，∴直线m 的解析式是y ＝13x ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，设点P 坐标是(p ，13p)(p ＞0)， ∴PC ＝OB ＝p ，PB ＝13p ，点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且P E ＝13PF ， ∴∠PBE ＝∠PCF ＝90°，PE PF ＝PB PC ＝13，∴Rt △PEB ∽Rt △PFC.∴∠FPC ＝∠EPB ，而PC ⊥PB ，∠CPB ＝90°，∴∠FPE ＝∠FPC ＋∠CPE ＝∠CPE ＋∠EPB ＝90°，∴PE ⊥PF.(3)当(2)中的点P 坐标为(6，2)，则B(6，0)，设点E 的坐标是(a ，0)，①当PE ⊥PF 时，Rt △PEB ∽Rt △PFC ，∴PB ＝2，BE ＝6－a ，PC ＝6.当点E 在点B 的左侧时，点F 一定在点C 的上方，即是a ＜6时，Rt △PEB ∽Rt △PFC ，则PB PC ＝BE CF ，∴26＝6－a CF ，得出CF ＝18－3a.∴F(0，20－3a)，设Q 坐标是(xQ ，yQ)，当四边形PEQF 是矩形时，∠FPE ＝90°，只需四边形PEQF 是平行四边形．当四边形PEQF 是矩形时，xE ＋xF ＝xQ ＋xP ，且yE ＋yF ＝yQ ＋yP ， 得出⎩⎪⎨⎪⎧a ＋0＝xQ ＋6，0＋20－3a ＝yQ ＋2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧xQ ＝a －6，yQ ＝18－3a ， ∴点Q 坐标是(a －6，18－3a)，又∵点Q 在抛物线y ＝x2－3x －4上，代入抛物线解析式得出：a2－12x ＋32＝0，解得方程的两根分别是4与8，∵a ＜6，∴只取a ＝4，则a －6＝－2，18－3a ＝6.∴点Q 坐标是(－2，6)．②当点E 在点B 的右侧时，如解图．设E(a ，0)，已知P(6，2)，点F 在点C 的下方，Rt △PEB ∽Rt △PFC ，则PB PC ＝BE CF ，∴26＝a －6CF ，得出CF ＝3a －18.∴F(0，2－3a ＋18)，∴F(0，20－3a)，设点Q 坐标是(xQ ，yQ)，当四边形PEQF 是矩形时，∠FPE ＝90°，只需四边形PEQF 是平行四边形．xE ＋xF ＝xQ ＋xP ，且yE ＋yF ＝yQ ＋yP ， 得出⎩⎪⎨⎪⎧a ＋0＝xQ ＋6，0＋20－3a ＝yQ ＋2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧xQ ＝a －6，yQ ＝18－3a ， ∴点Q 坐标是(a －6，18－3a)，又∵点Q 在抛物线y ＝x2－3x －4上，代入抛物线解析式得出：a2－12x ＋32＝0，解得方程的两根分别是4(舍)与8，∴当a ＝8，点Q 坐标是(2，－6)，∵当x ＝2时，y ＝x2－3x －4＝－6，符合题意．综合所述，符合题意的点Q 坐标分别是(－2，6)与(2，－6)． 针对训练1．解： (1)∵直线y ＝x －5交x 轴于点B ，交y 轴于点C ， ∴B(5，0)，C(0，－5)．∵抛物线y ＝ax2＋6x ＋c 过点B ，C ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝25a ＋30＋c ，－5＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－5， ∴抛物线的解析式为：y ＝－x2＋6x －5.(2)∵OB ＝OC ＝5，∠BOC ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∵抛物线y ＝－x2＋6x －5交x 轴于A ，B 两点，∴A(1，0)，∴AB ＝4，∵AM ⊥BC ，∴AM ＝22， ∵PQ ∥AM ，∴PQ ⊥BC ， 若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则PQ ＝AM ＝22，过点P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，则∠PDQ ＝45°，∴PD ＝2PQ ＝4.设P(m ，－m2＋6m －5)，则D(m ，m －5)．分两种情形讨论如下：(ⅰ)当点P 在直线BC 上方时，PD ＝－m2＋6m －5－(m －5)＝－m2＋5m ＝4，∴m1＝1(舍去)，m2＝4(ⅱ)当点P 在直线BC 下方时，PD ＝m －5－(－m2＋6m －5)＝m2－5m ＝4， ∴m1＝5＋412，m2＝5－412. 综上，点P 的横坐标为4或5＋412或5－412. ②M(136，－176)或(236，－76)． 2．解： (1)抛物线y ＝x2＋bx ＋c 通过原点和点(－33，0)，可得抛物线解析式为：y ＝(x ＋33)x ，即y ＝x2＋33x ； (2)直线y ＝33x ＋m 与抛物线y ＝x2＋33x 相交于点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，且点A 在第二象限，联立可得： ⎩⎨⎧y ＝33x ＋m ，y ＝x2＋33x ， ∴x2＝m ，∴x1＝－m ，x2＝m ， ∴x2－x1＝2m ，∵y1＝33x1＋m ，y2＝33x2＋m ， ∴y2－y1＝33x2＋m －33x1－m ＝33(x2－x1)＝23m 3；(3)①若m ＝43，则直线为y ＝33x ＋43，与x 交点M(－433，0)，与y 轴交点N(0，43)， ∴tan ∠MNO ＝OM ON ＝433×34＝3，∴∠MNO ＝60°，又可得直线y ＝33x ＋43与抛物线y ＝x2＋33x 的交点A 和B 的横坐标为：xA ＝－m ＝－233，xB ＝233，∴A(－233，23)，B(233，2)，∴A 为MN 中点，在Rt △MON 中，OA ＝AN ，∴∠NAO ＝∠AON ＝∠ANO ＝60°，∵点A 关于原点的对称点为A ′(233，－23)，∴xA ′＝xB ，∴BA ′∥y 轴，∴∠ABA ′＝∠MNO ＝60°，∴△ABA ′为等边三角形．②存在点P 使得以点A 、B 、A ′、P 为顶点的四边形是菱形，证明如下：∵BA ′∥y 轴，∴当四边形P1AA ′B 是菱形时，如解图，AP1＝A ′B ＝2－(－23)＝83，∵点yA ＝23，∴yP1＝103，∴P1(－233，103)， 同理，当四边形P2ABA ′是菱形时，P2(－233，－2)，当四边形ABP3A ′是菱形时，点P 和点A 关于直线BA ′对称，∴P3(23，23)．综上，存在点P 使得以点A 、B 、A ′、P 为顶点的四边形是菱形，P 点坐标为： P1(－233，103)，P2(－233，－2)，P3(23，23)．3．解： (1)设抛物线解析式为：y ＝a(x －1)2＋4(a ≠0)．∵抛物线过C(0，3)，∴a ＋4＝3，∴a ＝－1.∴y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x2＋2x ＋3；(2)B(3，0)，C(0，3)．∴直线BC 为y ＝－x ＋3.∵S △PBC ＝S △QBC ，∴PQ ∥BC.①如解图1，过P 作PQ ∥BC 交抛物线于Q ，∵P(1，4)，∴直线PQ 为y ＝－x ＋5. 联立直线PQ 和抛物线解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋5，y ＝－x2＋2x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝1，y1＝4；或⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2，y2＝3，∴Q1(2，3)． ②如解图1，设抛物线的对称轴交BC 于点G ，交x 轴于点H ，G(1，2)，∴PG ＝GH ＝2.过点H 作Q2Q3∥BC 交抛物线于Q2，Q3.直线Q2Q3为y ＝－x ＋1. ∴联立直线Q2Q3和抛物线解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝－x2＋2x ＋3. 解得⎩⎨⎧x1＝3＋172，y1＝－1－172， ⎩⎨⎧x2＝3－172，y2＝－1＋172. ∴Q2(3＋172，－1－172)，Q3(3－172，－1＋172)， 综上所述，满足条件的点为Q1(2，3)，Q2(3＋172，－1－172)，Q3(3－172，－1＋172)． (3)存在满足条件的点M ，N.如解图2，过M 作MF ∥y 轴，过N 作NF ∥x 轴交MF 于点F ，过N 作NH ∥y 轴交BC 于H.则△MNF 与△NEH 差不多上等腰直角三角形．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN 为y ＝－x ＋b. ∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，y ＝－x2＋2x ＋3， ∴x2－3x ＋(b －3)＝0.∴NF2＝|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝21－4b.∵△MNF 等腰直角三角形，∴MN2＝2NF2＝42－8b.又∵NH2＝(b －3)2，∴NE2＝12(b －3)2.∵四边形MNED 为正方形，∴NE2＝MN2，∴42－8b ＝12(b2－6b ＋9)．∴b2＋10b －75＝0，∴b1＝－15，b2＝5.∵正方形边长为MN ＝42－8b ，∴MN ＝92或 2.4．解： (1)令y ＝0，则ax2－2ax －3a ＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∵点A 在点B 的左侧，∴A(－1，0)，如解图1，作DF ⊥x 轴于F ，∴DF ∥OC ，∴OF OA ＝CD AC ，∵CD ＝4AC ，∴OF OA ＝CD AC ＝4，∵OA ＝1，∴OF ＝4，∴D 点的横坐标为4，代入y ＝ax2－2ax －3a 得，y ＝5a ，∴D(4，5a)， 把A 、D 坐标代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝04k ＋b ＝5a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝a b ＝a ， ∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a.(2)如解图2，过点E 作EH ∥y 轴，交直线l 于点H ，设E(x ，ax2－2ax －3a)，则H(x ，ax ＋a)．∴HE ＝(ax ＋a)－(ax2－2ax －3a)＝－ax2＋3ax ＋4a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋a y ＝ax2－2ax －3a 得x ＝－1或x ＝4， 即点D 的横坐标为4，∴S △ADE ＝S △AEH ＋S △DEH ＝12×(4＋1)×(－ax2＋3ax ＋4a)＝－52a(x －32)2＋1258a ， ∴△ADE 的面积的最大值为1258a.∴1258a ＝254，解得：a ＝25，∴抛物线的函数表达式为y ＝25x2－45x －65.(3)已知A(－1，0)，D(4，5a)．∵y ＝ax2－2ax －3a ，∴抛物线的对称轴为x ＝1，设P(1，m)，①若AD 为矩形的边，且点Q 在对称轴左侧时，则AD ∥PQ ，且AD ＝PQ ，则Q(－4，21a)，m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P(1，26a)，∵四边形ADPQ 为矩形，∴∠ADP ＝90°，∴AD2＋PD2＝AP2，∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a －5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2，即a2＝17，∵a ＞0，∴a ＝77，∴P1(1，2677)．②若AD 为矩形的边，且点Q 在对称轴右侧时，则AD ∥PQ ，且AD ＝PQ ，则Q(4，5a)，现在点Q 与点D 重合，不符合题意，舍去；③若AD 是矩形的一条对角线，则AD 与PQ 互相平分且相等． ∴xD ＋xA ＝xP ＋xQ ，yD ＋yA ＝yP ＋yQ ，∴xQ ＝2，∴Q(2，－3a)．∴yP ＝8a ，∴P(1，8a)．∵四边形APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90°，∴AP2＋PD2＝AD2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a －5a)2＝52＋(5a)2，即a2＝14，∵a ＞0，∴a ＝12，∴P2(1，4)， 综上所述，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为(1，2677)或(1，4)．类型五【例5】 解：(1)∵x ＝－b 2a ＝32，b ＝32，∴a ＝－12，把A(4，0)，a ＝－12代入y ＝ax2＋32x ＋c ， 可得(－12)×42＋32×4＋c ＝0，解得c ＝2，∴抛物线解析式为y ＝－12x2＋32x ＋2.(2)如解图1，连接CM ，过C 点作CE ⊥MH 于点E ， ∵y ＝－12x2＋32x ＋2，∴当x ＝0时，y ＝2，∴C 点的坐标是(0，2)，设直线AC 解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，把A(4，0)、C(0、2)代入y ＝kx ＋b ， 可得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝2， 解得：⎩⎨⎧k ＝－12，b ＝2， ∴直线AC 解析式为y ＝－12x ＋2， ∵点M 在抛物线上，点H 在AC 上，MG ⊥x 轴，∴设点M 的坐标为(m ，－12m2＋32m ＋2)，H(m ，－12m ＋2)， ∴MH ＝－12m2＋32m ＋2－(－12m ＋2)＝－12m2＋2m ，∵CM ＝CH ，OC ＝GE ＝2，。

中考数学复习第三单元函数第15课时二次函数的综合应用

中考数学复习第三单元函数第15课时二次函数的综合应用

的形状为开口向下的抛物线,其顶点C距灯柱AB的水平距离为0.8米,距地面的
高度为2.4米,灯罩顶端D距灯柱AB的水平距离为1.4米,则灯罩顶端D距地面的
高度为
米.
图15-7
[答案] 1.95 [解析]如图,以点B为原点,建立直角坐标系. 根据题意,点A(0,1.6),点C(0.8,2.4),则设抛物线解析式为y=a(x-0.8)2+2.4. 将点A的坐标代入上式,得1.6=a(0-0.8)2+2.4,解得a=-1.25. ∴该抛物线的解析式为y=-1.25(x-0.8)2+2.4. ∵点D的横坐标为1.4, ∴y=-1.25×(1.4-0.8)2+2.4=1.95. 故灯罩顶端D距地面的高度为1.95米.
关系式是y=-x2+3x+4.请问:若不计其他因素,
水池的半径至少要
米,
才能使喷出的水流不至于落在池外.
图15-5
[答案]4 [解析]在y=-x2+3x+4中, 当y=0时,-x2+3x+4=0, ∴x1=4,x2=-1, 又∵x>0, ∴x=4, 即水池的半径至少要4米,才能使喷出的水流不至于落在池外.
2
3.[2018·绵阳]图15-4是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,水面下
降2 m,水面宽度增加
m.
图15-4
[答案] (4 2-4)
[解析]如图所示,建立平面直角坐标系,横轴 x 通过 AB,纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过抛物线 顶点 C,O 为原点.则抛物线以 y 轴为对称轴,A(-2,0),B(2,0),C(0,2), 通过以上条件可设抛物线解析式为 y=ax2+2,代入 A 点坐标(-2,0),解得 a=-0.5, 所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2, 当水面下降 2 m 时,水面的宽度即为直线 y=-2 与抛物线相交的两点之间的距离, 把 y=-2 代入抛物线解析式得出:-2=-0.5x2+2, 解得:x=±2 2,故水面此时的宽度为 4 2 m, 比原先增加了(4 2-4)m.故答案为(4 2-4).

2023年九年级中考数学专项训练——二次函数与一次函数的综合运用

2023年九年级中考数学专项训练——二次函数与一次函数的综合运用

2023年中考数学专项训练——二次函数与一次函数的综合运用一、综合题1．已知：二次函数y ＝ax 2+bx+12（a ＞0，b ＜0）的图象与x 轴只有一个公共点A ． （1）当a ＝12时，求点A 的坐标； （2）求A 点的坐标（只含b 的代数式来表示）；（3）过点A 的直线y ＝x+k 与二次函数的图象相交于另一点B ，当b≥﹣1时，求点B 的横坐标m 的取值范围．2．已知二次函数图象的顶点在原点 O ，对称轴为 y 轴.直线 1:l y kx b =+ 的图象与二次函数的图象交于点 (3,2)A - 和点 3(,)2B m （点 A 在点 B 的左侧）（1）求 m 的值及直线 1l 解析式；（2）若过点 (0,)P n 的直线 2l 平行于直线 1l 且直线 2l 与二次函数图象只有一个交点 Q ，求交点Q 的坐标.3．如图，已知抛物线 212y x bx =+ 与直线 2y x = 交于点O （0，0），A （a ，12），点B 是抛物线上O 、A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴和y 轴的平行线与直线OA 交于点C 、E ，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C 为OA 的中点，求BC 的长；（3）以BC 、BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为（m ，n ），求出m 、n 之间的关系式.4．已知，直线 23y x =-+ 与抛物线 2y ax = 相交于 A 、 B 两点，且 A 的坐标是 (3,)m -（1）求 a ， m 的值；（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．5．已知抛物线的解析式为 ()2221.y x m x m m =--+-（1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线 34y x m =-+ 的一个交点在y 轴上，求m 的值.6．如图，二次函数的图象与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D.（1）求点D 坐标及二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.7．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过点A （3，0），B （﹣1，0），C （0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A 为圆心的圆与直线BC 相切于点M ，求切点M 的坐标；（3）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．抛物线y=﹣23 x 2+ 73x ﹣1与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，其顶点为D ．将抛物线位于直线l ：y=t （t ＜ 2524）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A ，B ，D 的坐标分别为 ， ， ； （2）如图①，抛物线翻折后，点D 落在点E 处．当点E 在△ABC 内（含边界）时，求t 的取值范围； （3）如图②，当t=0时，若Q 是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线与 x 轴交于 (1,0)A - 、 (3,0)B 两点，与 y 轴交于点 (0,3)C .（1）求抛物线的解析式；（2）点 D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 C 、 B 不重合），过点 D 作 DF x ⊥ 轴于点F ，交直线 BC 于点 E ，连接 BD 、 CD .设点 D 的横坐标为 m ， BCD 的面积为 S .求 S关于 m 的函数解析式及自变量 m 的取值范围，并求出 S 的最大值； （3）已知 M 为抛物线对称轴上一动点，若MBC 是以 BC 为直角边的直角三角形，请直接写出点M 的坐标.10．如图，直线 12y kx =+ 与 x 轴交于点 ( 0)A m ， （ 4m > ），与 y 轴交于点 B ，抛物线 224y ax ax c =-+ （ 0a < ）经过 A ， B 两点， P 为线段 AB 上一点，过点 P 作 //PQ y 轴交抛物线于点 Q .（1）当 5m = 时， ①求抛物线的关系式；②设点 P 的横坐标为 x ，用含 x 的代数式表示 PQ 的长，并求当 x 为何值时， 85PQ =？ （2）若 PQ 长的最大值为16，试讨论关于 x 的一元二次方程 24ax ax kx h --= 的解的个数与 h 的取值范围的关系.11．如图，抛物线y=ax 2+bx 经过点A(7，0)，B(-1，4)，经过点B 的直线与抛物线的另一个交点C 在第四象限．已知△ABC 的面积为14．（1）求抛物线的函数关系式； （2）求点C 的坐标#（3）设P 是线段BC 延长线上的点，作直线PD△x 轴，交抛物线于点D 、E(点D 在点E 的左侧)．若DE=PE ，求点P 的横坐标．12．如图，若b 是正数，直线l ：y=b 与y 轴交于点A ；直线a ：y=x ﹣b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y=﹣x 2+bx 的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．（1）若AB=8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．13．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的四个顶点坐标分别为A(-2,4)，B(-2，-2)，C(4，-2)，D(4,4).（1）填空：正方形的面积为 ；当双曲线 ky x= (k≠0)与正方形ABCD 有四个交点时，k 的取值范围是 .（2）已知抛物线L ： 2()y a x m n =-+ (a>0)顶点P 在边BC 上，与边AB ，DC 分别相交于点E ，F ，过点B 的双曲线 ky x=(k≠0)与边DC 交于点N. ①点Q(m ，-m 2-2m+3)是平面内一动点，在抛物线L 的运动过程中，点Q 随m 运动，分别求运动过程中点Q 在最高位置和最低位置时的坐标.②当点F 在点N 下方，AE=NF ，点P 不与B ，C 两点重合时，求 BE CFBP CP- 的值. ③求证：抛物线L 与直线的交点M 始终位于轴下方.14．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(10)A -，，点(30)B ，，与y 轴交于点C ，且过点(23)D -，.点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点.（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值.（3）直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当ΔOBE 与ΔABC 相似时，求点Q 的坐标.15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x 2+4x+m(m 为常数)与y 轴的交点为A ，M(4，0)与N(0，-3) 分别是x 轴、y 轴上的点。

中考数学专题复习二次函数综合(四)

中考数学专题复习二次函数综合(四)

中考数学专题复习二次函数综合（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分 一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:C y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．点B 的坐标为()3,0，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B 、C 两点．（1）求k 的值和点C 的坐标；（2）求抛物线1C 的表达式及顶点D 的坐标；（3）已知点E 是点D 关于原点的对称点，若抛物线22:2(0)C y ax a =-≠与线段AE 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax a =-≠与x 轴交于点,A B （A 在B 的左侧）．（1）求点,A B 的坐标及抛物线的对称轴；（2）已知点(2,2),(22,5)P Q a a +，若抛物线与线段PQ 有公共点，请结合函数图象，求a 的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,4)，抛物线252y x x a =-+-的顶点为C ．（1）若抛物线经过点B 时，求顶点C 的坐标；（2）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若满足不等式2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，直接写出实数a 的值．4．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于点,A B ，且4AB =．抛物线与y 轴交于点C ，将点C 向上移动1个单位得到点D ．（1）求抛物线对称轴；（2）求点D 纵坐标（用含有a 的代数式表示）；5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A．(1)求点A的坐标（用含a的式子表示）；(2)求抛物线与x轴的交点坐标；(3)已知点P(a，0)，Q(0，a﹣2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．y x与抛6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线22y x ax a的顶点为A，直线32=-+物线交于点,B C(点B在点C的左侧)．（1）求点A坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段BC及抛物线在,B C两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为W．①当0a=时，结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；①如果区域W内有2个整点，请求出a的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线221(0)y mx mx m =-->与x 轴的交点为A ，B ，与y 轴交于C ．（1）求抛物线的对称轴和点C 坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．拋物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域为图形W （不含边界）．①当1m =时，求图形W 内的整点个数；①若图形W 内有2个整数点，求m 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数223y mx mx =++的图象与x 轴交于点()30A -,，与y 轴交于点B ，将其图象在点A ，B 之间的部分（含A ，B 两点）记为F ．（1）求点B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数22y x x a =++的图象与F 只有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()()231210y mx m x m m =--+-≠．(1)当m =3时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知点A (1，2)．试说明抛物线总经过点A ；(3)已知点B (0，2)，将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ，若抛物线与线段BC 只有一个公共点，求m 的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点(0,2)．（1）求c 的值；（2）当2a =时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点(2,0),(1,0)A B -，若抛物线22y ax a x c =++与线段AB 有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+=+y x bx c 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，且OB=2OD ．（1）当2b =时，①写出抛物线的对称轴；①求抛物线的表达式；（2）存在垂直于x 轴的直线分别与直线l ：22b y x +=+和抛物线交于点P ，Q ，且点P ，Q 均在x 轴下方，结合函数图象，求b 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23(0)y ax bx a a =++≠与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）．直线3y x =-+与抛物线的对称轴交于点(,1)D m ．（1）求抛物线的对称轴；（2）直接写出点C 的坐标；（3）点M 与点A 关于抛物线的对称轴对称，过点M 作x 轴的垂线l 与直线AC 交于点N ，若4MN ≥，结合函数图象，求a 的取值范围．13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y x mx =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 左侧），（1）若抛物线的对称轴是直线x =1，求出点A 和点B 的坐标，并画出此时函数的图象； （2）当已知点P （m ，2），Q (－m ，2m －1)．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x bx b =-+++的对称轴与x 轴交于点A ，将点A 向左平移b 个单位，再向上平移23b -个单位，得到点B ．（1）求点B 的坐标（用含b 的式子表示）；（2）当抛物线经过点()0,2，且0b >时，求抛物线的表达式；（3）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，直接写出b 的取值范围．参考答案：1．（1）1k =-，(0,3)C ；（2）243y x x =-+，()2,1-；（3）342a ≤< 【解析】【分析】（1）将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后得到3y kx =+，并且经过点()3,0B ，代入求得k 值，且C 点为抛物线1C 与y 轴交点，则C 点坐标为()0,c ，3y kx =+也经过C 点，代入可求出C 点坐标；（2）已知B 、C 两点的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线1C 的解析式，再根据顶点式则可求出顶点坐标；（3）将A 、E 两点的坐标分别代入抛物线2C 的解析式即可求出相应的a 值，通过观察图象，上下移动图象即可求出抛物线2C 与线段AE 有一个公共点时a 的范围．【详解】（1）解：将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后得到3y kx =+，①直线3y kx =+经过点()3,0B ，①330k +=，则1k =-．C 点为抛物线1C 与y 轴交点，则C 点坐标为()0,c ，且3y x =-+经过点(0,)C c ，代入得：3c =，则C 点坐标为()0,3．（2）解：抛物线2y x bx c =++经过点()3,0B 和点()0,3C ，①23y x bx =++，①9330b ++=， 4b =-，①抛物线1C 的函数表达式为243y x x =-+，①2(2)1y x =--，①顶点D 的坐标为()2,1-．（3）解：①点E 是点D 关于原点的对称点，①点E 的坐标为()2,1-．当22y ax =-经过点()2,1E -时，34a =，则2324y x =-， 当22y ax =-经过点1,0A 时，2a =，则222y x =-，结合下面图象可知a 的取值范围是342a ≤<．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的解析式和图像等知识点，熟练掌握函数的性质、图象及公式是解题的关键．2．（1）(0,0),(4,0)A B ，2x =；（2）32a ≥，或102a -≤<，或32a ≤- 【解析】【分析】（1）与x 轴的交点纵坐标为0，然后计算0y =时的x 值即可求出坐标;根据抛物线的对称轴为2b x a =-求解即可； （2）由抛物线的顶点坐标(2,4)a -和抛物线上两点(1,5),(5,5)M a N a -．分a ＞0，a ＜0两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）24(4)y ax ax ax x =-=-，当y=0时，(4)=0-ax x①120,4x x ==①抛物线与x 轴交于点(0,0),(4,0)A B ．抛物线24y ax ax=-对称轴为直线：422axa-=-=．（2）()22244(2)4y ax ax a x x a x a=-=-=--，抛物线的顶点坐标为：(2,4)a-．令5y a=，得245=0--ax ax a，(5)(1)0a x x-+=，解得1x=-，或5x=，①当5y a=时，抛物线上两点(1,5),(5,5)M a N a-．①当0a>时，抛物线开口向上，顶点位于x轴下方，且(22,5)Q a a+位于点P的右侧，如图1，当点N位于点Q左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时225+≥a，解得32a≥．①当0a<时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点(22,5)Q a a+位于点P的左侧，（i）如图2，当顶点位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，此时42-≤a，解得12a≥-．（ii）如图3，当顶点位于点P上方，点M位于点Q右侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时221+≤-a，解得32a≤-．综上，a的取值范围是32a≥，或12a-≤<，或32a≤-．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意利用不等式解决问题，属于二次函数综合题，题目较难．3．（1）533,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）a 的取值范围是06a <或a=494；（3）8a =． 【解析】【分析】（1）将B 点坐标代入抛物线即可求出a 的值，从而求出抛物线的解析式，再根据顶点坐标公式即可求出顶点坐标；（2）讲A 点和B 点的坐标分别代入抛物线解析式即可求出相应的a 值，通过观察图象，上下移动图象即可知道抛物线与线段AB 有交点时a 的范围；（3）抛物线252y x x a =-+-的对称轴为5=2x ，抛物线开口向上，当52x >时，y 越来越大，则2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，可知，当=3x 时，252=0x x a -+-，代入即可求出a 的值．【详解】解：（1）依据题意，将得点B 的坐标(6,4)代入抛物线得：436302a =-+-，解得0a =．此时，252y x x =--．所以顶点C 的坐标为533,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）当抛物线过(0,4)A 时，6a =，此时，254y x x =-+．当抛物线过(6,4)B 时，0a =，此时，252y x x =--．当抛物线顶点在线段AB 上时，a=494 .结合下面图象可知，a 的取值范围是06a <或a=494．（3）抛物线252y x x a =-+-的对称轴为5=2x ，抛物线开口向上，当52x >时，y 越来越大，则2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，可知，当=3x 时，不等式有最大值且最大值为0，则 252=0x x a -+-，代入得23532=0a -⨯+-，解得8a =．则实数a 的值为8．【点睛】 本题考查了二次函数的解析式、图象及二次函数与一元二次不等式的相关知识点，熟练掌握公式以及灵活观察图象是解题的关键．4．（1）对称轴1x =-；（2）31D y a =-+；（3）当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点．【解析】【分析】（1）直接根据二次函数的对称轴2b x a =-计算即可； （2）根据4AB =，对称轴1x =-可得(3,0)A -，(1,0)B ，把(1,0)代入22y ax ax c =++得20a a c ++=，则有3c a =-，可得C 点坐标为(0,3)a -，再根据平移，可得D 纵坐标； （3）分两种情况：当0a >和当0a <对抛物线的图像进行讨论即可．【详解】（1）抛物线22y ax ax c =++的对称轴为：2122b a x a a=-=-=-（2）4AB =，对称轴1x =-可得(3,0)A -，(1,0)B把(1,0)代入22y axax c =++得：20a a c ++=① 3c a =-①C 点坐标为(0,3)a -，(0,31)D a ∴-+，31D y a =-+（3）如图示，①当0a >时 将点(4,4)P -代入抛物线223y ax ax a =+-得：41683a a a =--，45a = ∴结合函数图象，可得当45a ≥时，抛物线与线段PD 只有一个交点； ①如下图示，当0a <时，抛物线的顶点为(1,4)a --，结合函数图象，可得当44a -=时，抛物线与线段PD 只有一个交点，①1a =- ，综上所述，当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点． 【点睛】 此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的对称轴，平移和二次函数图像的性质，熟悉相关性质是解题得关键．5．(1)A 的坐标为(0，3a )(2)抛物线与x 轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)(3)﹣1≤a ＜0或1≤a ＜3【解析】【分析】（1）计算x =0时，y =3a ，即可得到点A 的坐标；（2）令y ＝0得ax 2﹣4ax +3a ＝0，解方程即可；（3）分别令抛物线过点Q（0，a﹣2），抛物线过点P（a，0）讨论抛物线与线段PQ恰有一个公共点的情况，得到a的取值范围．(1)解：①抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A，当x=0时，y=3a，①A的坐标为（0，3a）；(2)解：当y＝0时．即ax2﹣4ax+3a＝0，①a（x-1）（x-3）=0，解得：x1＝1，x2＝3，①抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；(3)解：当抛物线过点Q（0，a﹣2）时，a＝﹣1，①P（﹣1，0），此时，抛物线与线段PQ有一个公共点．当抛物线过点P（a，0）时，a＝1或a＝3（不合题意舍去），此时，Q（0，﹣1），抛物线与线段PQ有一个公共点；综上所述，当﹣1≤a＜0或1≤a＜3时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．【点睛】此题考查了抛物线的性质，求抛物线与坐标轴的交点坐标，解一元二次方程，图象交点问题，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键．6．（1）A（a，0）；（2）①4；①21a-<<-【解析】【分析】（1）根据抛物线顶点坐标求法求解即可；（2）①画出图像，根据图像以及整点的概念求解即可；①由①推出a＜0，分别求出有2个整点和3个整点时a的取值，再得出取值范围.【详解】解：（1）①抛物线的解析式为：()2222y x ax a x a=-+=-，①可得顶点坐标为：A（a，0）；（2）①①a=0，①抛物线表达式为：2y x，令23x x=+，解得：x1=1132-，x2=1132+，①113212--<<-，113232+<<，①区域W内的整点有（0，1），（0，2），（1，2），（1，3）共4个整点；①由①可知当a=0时有4个整点，当a＞0时，对称轴在y轴右侧，此时有更多整点，①a＜0，①抛物线的解析式为：()2222y x ax a x a =-+=-，①抛物线的顶点在x 轴，开口向上，当抛物线在直线y=x+3左侧且两者相切时，没有整点，当抛物线向右平移时，第一个整点为（-1，1），代入抛物线，()211a =--， 解得：a=-2或0（舍），第二个整点为（0，2），代入抛物线，()220a =-， 解得：a=2（舍）或2-，第三个整点为（0，1），代入抛物线，()210a =-， 解得：a=1（舍）或-1，综上：a 的取值范围是：21a -<<-.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．7．（1）抛物线的对称轴为1x =，(0,1)C -；（2）①1个；①12m <≤．【解析】【分析】（1）先根据二次函数的对称轴2b x a =-可得其对称轴，再令0x =，求出y 的值，从而可得出点C 坐标；（2）①先得出抛物线的解析式，再画出图象，结合图象和整点的定义即可得；①先将二次函数的解析式化为顶点式，求出其顶点坐标，再结合图象，找出两个临界位置，分别求出m 的值，由此即可得出答案．【详解】（1）抛物线221y mx mx =--的对称轴为212m x m-=-= 令0x =得：1y =-则点C 坐标为(0,1)C -；（2）①当1m =时2221(1)2y x x x =--=--，画出其图象如下所示：结合图象和整点的定义可得：图形W内的整点只有1个，即点(1,1)-；①将抛物线221y mx mx =--化为顶点式2(1)1y m x m =---则抛物线的顶点坐标为(1,1)m --，且图象经过定点(0,1)C -结合图象可知，若图形W 内的整点有2个，则这两个整点只能是(1,1),(1,2)--因此有两个临界点：抛物线顶点为()1,2-和抛物线顶点为()1,3-当抛物线顶点为()1,2-时，12m --=-，解得1m = 当抛物线顶点为()1,3-时，13m --=-，解得2m =则m 的取值范围为12m <≤．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2）①，掌握图象法，正确找出两个临界位置是解题关键．8．（1）点B 的坐标为()0,3． 223y x x =--+． （2）33a -≤<或5a =．【解析】【分析】（1）令x=0可求出y 的值，从而得到点B 的坐标；把点A 坐标代入223y mx mx =++求出m 的值即可得到结论；（2）画出函数图象，再利用图象确定a 的取值范围即可.【详解】（1）①223y mx mx =++的图象与y 轴交于点B ，①点B 的坐标为()0,3．①223y mx mx =++的图象与x 轴交于点()30A -,， ①将()30A -,代入223y mx mx =++可得9630m m -+=． ①1m =-．①该函数的表达式为223y x x =--+．（2）①将二次函数223y mx mx =++的图象在点A ，B 之间的部分（含A ，B 两点）记为F ，①F 的端点为A ，B ，并经过抛物线223y mx mx =++的顶点C （其中C 点坐标为()1,4-）． ①可画F 如图1所示．①二次函数22y x x a=++的图象的对称轴为1x=-，且与F只有一个公共点，①可分别把A，B，C的坐标代入解析式22y x x a=++中．①可得三个a值分别为3-，3，5．画示意图如图2所示．①结合函数图象可知：二次函数22y x x a=++的图象与F只有一个公共点时，a的取值范围是33a-≤<或5a=．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，其中（2）是本题的难点，主要通过作图的方式，通过数形结合的方法即可解决问题．9．(1)(1，2)；(2)详见解析；(3)m =3或0<m <32或-3<m <0． 【解析】【分析】(1)把m =3代入解析式，化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；(2)把x =1代入解析式，y 总等于2，与m 无关，即可判断抛物线总经过点A (1，2)；(3)根据题意可以得到点C 的坐标，分顶点在线段BC 上、抛物线过点B (0，2)、抛物线过点C (3，2)时三种情况讨论，画出抛物线的图象，然后根据图象和题意，即可得到a 的取值范围．【详解】(1)把m =3代入()23121y mx m x m =--+-中，得：223653(1)2y x x x =-+=-+，①抛物线的顶点坐标是(1，2)； (2)当x =1时，3(1)2133212y m m m m m m =--+-=-++-=，①点A (1，2)，①抛物线总经过点A ；(3)①点B (0，2)，由平移得C (3，2)．① 当顶点在线段BC 上，抛物线与线段BC 只有一个公共点．由(1)知，抛物线的顶点A (1，2)在线段BC 上，此时，m =3；① 当抛物线过点B (0，2)时，将点B (0，2)代入抛物线表达式，得：212m -=，①m =32>0， 此时抛物线开口向上(如图1)，①当0<m<32时，抛物线与线段BC只有一个公共点；①当抛物线过点C(3，2)时，将点C(3，2)代入抛物线表达式，得：()991212m m m--+-=，①30m=-<，此时抛物线开口向下(如图2)，①当30m-<<时，抛物线与线段BC只有一个公共点，综上，m的取值范围是m=3或0<m<32或-3<m<0．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、坐标与图形变换-平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．10．（1）2；（2）顶点坐标为(1,0)-；（3）212a<+【分析】（1）把(0,2)代入解析式可得答案；（2）把2a=代入解析式，利用顶点坐标公式可得答案；（3）分情况讨论，由（2）知：抛物线与线段只有一个交点，再计算当抛物线过(2,0)-时a的值，从而根据图像可得结论．【详解】解：（1）抛物线22y ax a x c=++与y轴交于点(0,2)，2c∴=．（2）当2a=时，抛物线为2242y x x=++．∴顶点坐标为(1,0)-．（3）当0a>时，①当2a=时，如图1，抛物线与线段AB只有一个公共点．①当12a=+时，如图2，抛物线与线段AB有两个公共点．结合函数图象可得212a<+．当0a<时，抛物线与线段AB只有一个或没有公共点．综上所述，a的取值范围是212a<+．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，根据交点的情况判断系数的取值范围，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．11．（1）①1x=-；①228=+-y x x；（2）2b<-或23b>．【解析】（1）①由二次函数的对称轴方程可得出答案；①根据题意求出B 点坐标为（2，0），代入抛物线解析式2+=+y x bx c 可得出答案；（2）求出E （-b 22+，0），点D 的坐标为（-2b ，0）．①当b ＞0时，得出点A 的坐标为（-2b ，0），点B 的坐标为（b ，0），则-2b ＜-b 22+，解不等式即可；①当b ＜0时，点A 的坐标为（0，0），点B 的坐标为（-b ，0），则0＜-b 22+，解出b ＜-2． 【详解】解：（1）当2b =时，2y x bx c =++化为22y x x c =++．①21221b x a =-=-=-⨯． ①①抛物线的对称轴为直线1x =-，①点D 的坐标为（-1，0），OD=1．①OB=2OD ，① OB=2．①点A ，点B 关于直线1x =-对称，①点B 在点D 的右侧．① 点B 的坐标为（2，0）．①抛物线22y x x c =++与x 轴交于点B （2，0），① 440c ++=．解得8c =-．①抛物线的表达式为228=+-y x x ．（2）设直线22b y x +=+与x 轴交点为点E ， 当y=0时，202+=+b x ① 2=-2+b x ① E （22b +-，0）． 抛物线的对称轴为2b x =-，①点D的坐标为（2b-，0）．①当0b>时，2bOD=．①OB=2OD，① OB=b．① 点A的坐标为（2b-，0），点B的坐标为（b，0）．当2b-<22b+-时，存在垂直于x轴的直线分别与直线l：22by x+=+和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，解得23b>．①当0b<时，0b->．①2bOD=-．①OB=2OD，① OB=-b．①抛物线2+=+y x bx c与x轴交于点A，B，且A在B的左侧，① 点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（-b，0）．当0<22b+-时，存在垂直于x轴的直线分别与直线l：22by x+=+和抛物线交于点P，Q ，且点P ，Q 均在x 轴下方，解得b<-2．综上，b 的取值范围是2b <-或23b >． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．12．（1）抛物线的对称轴为直线2x =；（2）点C 的坐标为()3,0；（3）a 的取值范围是1a ≥或1a ≤-．【解析】【分析】（1）将点(,1)D m 代入3y x =-+，求得m ，即为对称轴；（2）由（1）知对称轴2m =，即22b a-=，得4b a =-，代入23(0)y ax bx a a =++≠，令0y =，可解得C 点坐标； （3）表示出点A ，点M 的坐标，根据//MN y 轴，得EN EG OA OC=，表示出EN ，进而得MN 长度表示，用4MN ≥，解出a 的取值范围即可．【详解】 （1）直线3y x =-+与抛物线的对称轴交于点(),1D m ，2m ∴=．∴抛物线的对称轴为直线2x =．（2）由（1）知对称轴2m =，即22b a-=，得4b a =- ①243(0)y ax ax a a =-+≠，令0y =，则2430ax ax a -+=，即(3)(1)0a x x --=解得123,1x x ==由于点B 在点C 左侧①点C 的坐标为()3,0．（3）抛物线23y ax bx a =++与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为()0,3a ．点M 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点M 的坐标为()4,3a ．①当0a >时，如图1．//MN y 轴，EN EG OA OC ∴=，即133EN a =． EN a ∴=．①34MN a a a =+=若4MN ≥，即44a ≥，得1a ≥．①当0a <时，如图2．同理可得|3|||4MN a a a =+=-若4MN ≥，即44a -≥，得1a ≤-．综上所述，a 的取值范围是1a ≥或1a ≤-．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握对称轴的表示与计算，函数图象与x 轴交点的计算，及平行于y 轴的线段长度的表示，及一元一次不等式的计算是解题的关键． 13．（1）点A 坐标为(－1，0)，点B 坐标为(3，0)，图像见解析；（2）m ≤－2 或m ≥1【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线x =1可得2(1)m --＝1，求出m=2，得2y x 2x 3=-++，求出与x 轴的交点坐标，根据点A 在点B 左侧即可求得点A ，点B 的坐标；（2）根据点Q 在点D 上方或与点D 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点得22123m m -≥-+，结合图象求解即可．【详解】（1）①抛物线的对称轴为：x ＝2b a-＝2(1)m --＝1 ①m ＝2①抛物线为：2y x 2x 3=-++将y ＝0代入，得2023x x =-++解得：1x ＝－1，2x ＝3，①点A 在点B 左侧①点A 坐标为(－1，0)，点B 坐标为(3，0)，（2）m ≤－2 或m ≥1将x m =代入23y x mx =-++，得3y =①抛物线过定点C （m ，3）①点P （m ，2）①点P 在点C 下方，如图，将x m=-代入23y x mx=-++，得223y m=-+，则2(23)D m m--+，①点Q在点D上方或与点D重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点①22123m m-≥-+整理得220m m+-≥设22y m m=+-，画图象如图：当y=0时，22=0m m+-，解得，1=2m-，2=1m，①抛物线22y m m=+-与x轴的交点坐标为（-2，0），（1，0）①当2m≤-或m1≥时，220m m+-≥所以，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，m的取值范围是2m≤-或m1≥．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．14．（1）(0，3-b 2)；（2）222y x x =-++；（3）-1≤b≤1【解析】【分析】（1）先求出点A 坐标，再根据平移规律即可求出点B 坐标；（2）把（0，2）代入2221y x bx b =-+++，结合b>0即可求出b ，问题得解；（3）把B 坐标代入抛物线解析式，求出b ，分b ＞1，b=1，-1＜b ＜1，b=-1，b ＜-1，画出函数图象，即可求解．【详解】解：(1)由题意得抛物线2221y x bx b =-+++的对称轴为22b x b =-=-， ①点A 坐标为（b ，0），①点B 坐标为（0，3-b 2）(2)把（0，2）代入2221y x bx b =-+++中，解得b=±1.①b>0，①b=1.①抛物线的表达式：222y x x =-++；(3)当抛物线过点B 时，抛物线AB 有一个公共点，①221=3b b +-①=1b ±，如图：当b ＞1时，抛物线与线段AB 无交点；当b=1时，抛物线与线段AB 有一个交点；当-1＜b＜1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b=-1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＜-1时，抛物线与线段AB无交点．①若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则-1≤b≤1．【点睛】本题考查了含参数的函数解析式，难度较大，解第（3）步关键是根据题意确定关键点取值，再结合图象分类讨论．答案第24页，共24页。

二次函数与代数

二次函数与代数

二次函数与代数一、引言代数学是数学的一个分支，研究各种数学对象及其运算规则。

而二次函数则是代数学中的一种重要函数形式，具有广泛的应用。

本文将探讨二次函数与代数的关系，并介绍二次函数的基本性质和应用。

二、二次函数的定义和性质1. 二次函数的定义二次函数是指形如f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

其中x为自变量，f(x)为因变量。

2. 二次函数的图像根据二次函数的定义，我们可以绘制出其图像。

二次函数的图像呈现出抛物线的形状，开口方向由二次项系数a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

3. 二次函数的顶点二次函数的图像在平面直角坐标系中有一个最高或最低点，称为顶点。

顶点的横坐标为-x轴对称点的横坐标，纵坐标为函数值最大或最小的值。

4. 二次函数的对称轴二次函数的图像关于一条直线对称，该直线称为二次函数的对称轴。

对称轴的方程为x=-b/(2a)。

5. 二次函数的零点二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即函数值为0的点。

根据二次函数的定义，零点可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0得到。

三、二次函数的应用1. 物体的抛体运动在物理学中，抛体运动是指物体在重力作用下，沿着抛物线轨迹运动的现象。

二次函数可以描述抛体运动的轨迹，通过调整函数的参数，可以分析物体的抛体运动轨迹、最高点、飞行时间等。

2. 金融领域中的应用在金融学中，二次函数被广泛应用于衡量风险和收益的关系。

例如，投资组合的效用函数可以用二次函数表示，通过优化该函数可以得到最佳的投资组合。

3. 工程中的应用在工程领域，二次函数也有各种应用。

例如，根据地形的测量数据可以使用二次函数拟合地表曲线，便于工程设计和规划；在控制系统中，二次函数可以用来描述系统的响应特性，从而设计出合适的控制策略。

四、总结通过本文的介绍，我们了解了二次函数的定义和性质，包括图像、顶点、对称轴和零点等重要概念。

九年级数学二次函数知识点归纳

九年级数学二次函数知识点归纳

九年级数学二次函数知识点归纳九年级数学二次函数知识点1一、基本概念1.方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）2.分类：二、解方程的依据—等式性质1.a=b←→a+c=b+c2.a=b←→ac=bc（c≠0）三、解法1.一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。

2.元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法四、一元二次方程1.定义及一般形式：2.解法：⑴直接开平方法（注意特征）⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）⑶公式法：⑷因式分解法（特征：左边=0）3.根的判别式：4.根与系数顶的关系：逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：5.常用等式：五、可化为一元二次方程的方程1.分式方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，）⑷验根及方法2.无理方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，）⑷验根及方法3.简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、列方程（组）解应用题一概述⑴审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。

①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。

一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。

在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。

因此，列方程是解应用题的关键。

二常用的相等关系1.行程问题（匀速运动）基本关系：=vt⑴相遇问题（同时出发）：+=；⑵追及问题（同时出发）：若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则⑶水中航行：；2.配料问题：溶质=溶液某浓度溶液=溶质+溶剂3.增长率问题：4.工程问题：基本关系：工作量=工作效率某工作时间（常把工作量看着单位“1”）。

初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件

初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件

面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上

二次函数综合题的解法探究与启示——以2023_年南充市中考数学二次函数题型为例

二次函数综合题的解法探究与启示——以2023_年南充市中考数学二次函数题型为例

二次函数综合题的解法探究与启示以２０２３年南充市中考数学二次函数题型为例相晨晨(合肥师范学院数学与统计学院ꎬ安徽合肥２３００７１)摘㊀要:二次函数综合题一直是各地中考的热点ꎬ也是教学的难点.文章以南充市２０２３年中考数学试题中的一道二次函数压轴题为例ꎬ通过探求多种解法ꎬ立足核心素养ꎬ明晰思维路径ꎬ培养学生利用数学知识解决问题的能力及提高学生的思维能力.关键词:二次函数ꎻ综合题ꎻ解法探究ꎻ启示中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０８－０００２－０４收稿日期:２０２３－１２－１５作者简介:相晨晨(１９９４ )ꎬ女ꎬ安徽省亳州人ꎬ硕士ꎬ从事数学教学论研究.基金项目:合肥师范学院研究生创新基金项目 基于网络画板培养初中生几何直观能力的教学实验研究 (项目编号:２０２３ｙｊｓ０３９).㊀㊀二次函数是初中数学的重要内容ꎬ也是中考数学的重要考点.由于其涉及的知识面广ꎬ思维难度大ꎬ通常以中考压轴题的形式呈现ꎬ对学生而言具有一定的难度.解决这类问题需要学生具备较高的数学素养和思维能力.２０２３年南充市中考数学第２５题是一道以二次函数为背景的压轴题ꎬ具有一定的选拔功能.本文立足核心素养ꎬ明晰思维路径ꎬ探究多种解法ꎬ培养学生利用数学知识分析问题和解决问题的能力ꎬ提升学生的数学核心素养.１试题呈现如图１ꎬ抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)与ｘ轴交于Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)两点ꎬ与ｙ轴交于点Ｃ.(１)求抛物线的解析式.(２)点Ｐ在抛物线上ꎬ点Ｑ在ｘ轴上ꎬ以ＢꎬＣꎬＰꎬＱ为顶点的四边形为平行四边形ꎬ求点Ｐ的坐标.(３)如图２ꎬ抛物线的顶点Ｄꎬ对称轴与ｘ轴交于点Ｅꎬ过点Ｋ(１ꎬ３)的直线(直线ＫＤ除外)与抛物线交于ＧꎬＨ两点ꎬ直线ＤＧꎬＤＨ分别交ｘ轴于点ＭꎬＮꎬ试探究ＥＭ ＥＮ是否为定值ꎬ若是ꎬ求出该定值ꎻ若不是ꎬ说明理由.图１㊀抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)㊀㊀图２㊀问题(３)示意图２试题分析不论是从知识的综合性还是思维的层次性来看ꎬ二次函数都当之无愧地占据着初中数学代数领域的 制高点 ꎬ是中考压轴题的命题热点[１].本题是一道二次函数的综合题ꎬ以二次函数为背景并结合图形与几何进行命题ꎬ不仅能考查学生对二次函数和图形与几何相关知识的掌握情况ꎬ还能考查学生综合应用知识的能力及灵活处理问题的心态.问题的难度层层递进ꎬ符合学生的心理特征及由易到难的解题模式.本题以核心素养为导向ꎬ集中体现了数学课程的育人价值ꎬ符合«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»所提出的命题原则ꎬ即实现对核心素养导向的义务教育数学课程学业质量的全面考查[２].本题主要考查的核心概念有二次函数㊁平行四边形的性质㊁一次函数㊁线段定值等ꎬ蕴含丰富的数学思想和方法ꎬ主要有方程思想㊁函数思想㊁数形结合思想㊁分类讨论思想和模型思想等.综合考查了学生的运算能力㊁几何直观㊁空间观念㊁推理能力和创新意识等核心素养.问题(１)难度较小ꎬ考查二次函数的解析式ꎬ学生只要熟知二次函数相关知识及求解方法ꎬ就能很容易解出正确答案.此问题主要考查学生的运算能力ꎬ培养学生会用数学的眼光观察现实世界.问题(２)难度上升ꎬ从学生的认知规律来看ꎬ只要学生认真审清题目ꎬ提取有关信息ꎬ采用 爬山法 ꎬ一步一步分析题目ꎬ也能很快解决问题.而本题是从平行四边形的性质出发ꎬ最终落脚到点的坐标ꎬ解题最关键的一点是学生能够考虑到分类讨论的思想ꎬ想到固定点ＢꎬＣ组成的线段ꎬ而点Ｐ在抛物线上ꎬ通过抛物线的图象来看ꎬ点Ｐ有可能在ｘ轴的上方ꎬ也有可能在ｘ轴的下方ꎬ然后采用数形结合的方法解决问题.此问题主要考查学生的运算能力㊁几何直观㊁推理能力等ꎬ培养学生会用数学的眼光观察现实世界和用数学的思维思考现实世界.问题(３)难度要比前两个问题高ꎬ学生要根据题目的信息先提出猜想ꎬ再进行证明ꎬ最后得出结论ꎬ并借助尺规将数学语言转化为实际图形ꎬ促进学生理解和思维的转变.此问题需要学生解出三个一次函数的解析式ꎬ并通过方程思想ꎬ解出两根之间的关系ꎬ再通过射影定理模型得出结论ꎬ对学生运算能力和逻辑思维能力的要求相对较高ꎬ知识的综合性更强ꎬ这不仅考查学生的 四基 和 四能 ꎬ更考查学生是否具有稳定的心态ꎬ培养学生会用数学的语言表达现实世界.３试题解答３.１问题(１)的解法解法１㊀(代入法)将Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)两点代入抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)当中ꎬ得出ａ－ｂ＋３＝０ꎬ９ａ＋３ｂ＋３＝０ꎬ{解得ａ＝－１ꎬｂ＝２.{所以抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３.解法２㊀(对称法)因为抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)与ｘ轴交于Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)两点ꎬ从而得出抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)的对称轴为ｘ＝１ꎬ所以ｂ＝２ａ.将Ａ(－１ꎬ０)代入抛物线中ａ－ｂ＋３＝０ꎬ从而得出ａ＝－１ꎬｂ＝２ꎬ所以抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３.解法３㊀(两点式)根据题意ꎬ可设抛物线的解析式为ｙ＝ａ(ｘ＋１)(ｘ－３)＝ａｘ２－２ａｘ－３ａꎬ从而得出－３ａ＝３ꎬ解得ａ＝－１ꎬ进而得出抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３(ａʂ０).３.２问题(２)的解法根据已知条件ꎬ以ＢꎬＣꎬＰꎬＱ为顶点的四边形为平行四边形ꎬ但并没有明确说明Ｐ的位置ꎬ所以要对点Ｐ的位置进行分类讨论ꎬ分为两种情况ꎬ第一种是Ｐ在ｘ轴的上方ꎬ第二种是Ｐ在ｘ轴的下方.第一种情况:Ｐ在ｘ轴的上方.解法１㊀(平行四边形的性质)如图３ꎬ过点Ｃ作ＣＰʊＢＱꎬ过点Ｐ作ＰＮʅＯＱꎬ设点Ｐ的坐标为(ｔꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３)ꎬ因为四边形ＢＣＰＱ为平行四边形ꎬ所以ＢＣ＝ＰＱꎬＣＰ＝ＢＱ进而得出Ｑ(ｔꎬ０)ꎬＯＱ＝３＋ｔꎬＯＮ＝ｔꎬＮＱ＝３ꎬ所以ＰＱ２＝ＰＮ２＋ＮＱ２ꎬ即(－ｔ２＋２ｔ＋３)２＋９＝１８ꎬ当－ｔ２＋２ｔ＋３＝３ꎬ解得ｔ＝０(舍去)或ｔ＝２ꎻ当－ｔ２＋２ｔ＋３＝－３ꎬ因为Ｐ在ｘ轴的上方ꎬ所以－ｔ２＋２ｔ＋３＝－３舍去ꎬ从而只有ｔ＝２符合题意ꎬ进而求出点Ｐ的坐标为(２ꎬ３).图３㊀Ｐ在ｘ轴的上方示意图解法２㊀直线ＣＢ的斜率为ｋＣＢ＝－１ꎬ又因为ＣＢʊＰＱꎬ所以ｋＰＱ＝－１ꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３＝３ꎬ解得ｔ＝０(舍去)或ｔ＝２ꎬ只有ｔ＝２是符合题意ꎬ从而求出点Ｐ的坐标为(２ꎬ３).第二种情况:Ｐ在ｘ轴的下方.解法１如图４ꎬ以ＢꎬＣꎬＰꎬＱ为顶点的四边形为平行四边形ꎬ所以四边形ＢＣＱＰ为平行四边形ꎬ即ＢＣ＝ＱＰꎬＢＣʊＱＰꎬøＣＢＯ＝øＢＱＰ＝４５ʎꎬ过点Ｐ作ＰＦʅＯＱꎬ设点Ｐ的坐标为(ｔꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３)ꎬøＣＯＢ＝øＰＦＱ＝９０ʎꎬøＱＰＦ＝øＯＣＢ＝４５ʎꎬ所以ꎬ因此ＣＯ＝ＰＦꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３＝－３ꎬ解得ｔ１＝１＋７ꎬｔ２＝１－７ꎬ点Ｐ的坐标为(１＋７ꎬ－３)和(１－７ꎬ－３).图４㊀Ｐ在ｘ轴的下方示意图解法２㊀直线ＣＢ的斜率为ｋＣＢ＝－１ꎬ又因为ＣＢʊＰＱꎬ所以ｋＰＱ＝－１ꎬ点Ｐ的坐标为(ｔꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３)ꎬ点Ｑ的坐标为(ｔ－３ꎬ０)ꎬｋＰＱ＝－ｔ２＋２ｔ＋３３＝－１ꎬ解得ｔ１＝１＋７ꎬｔ１＝１＋７ꎬ点Ｐ的坐标为(１＋７ꎬ－３)和(１－７ꎬ－３).评析㊀分类讨论是二次函数综合题常用的方法之一ꎬ是学生在学习过程中必须掌握的解题思想.解决本题的关键是对点Ｐ的位置进行分类讨论ꎬ从已知条件出发ꎬ可以把点Ｐ分为在ｘ轴的上方和在ｘ轴的下方.３.３问题(３)的解法解法１㊀如图５所示ꎬ因为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３＝－(ｘ－１)２＋４ꎬ所以Ｄ(１ꎬ４).设过点Ｄ的直线解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ将Ｄ(１ꎬ４)代入直线解析式ꎬ得出ｙ＝ｋｘ＋３－ｋ.因为ＧꎬＨ在抛物线上ꎬ可设Ｇ(ｘ１ꎬ－ｘ２１＋２ｘ１＋３)ꎬＨ(ｘ２ꎬ－ｘ２２＋２ｘ２＋３)ꎬ所以ｋ(ｘ－１)＋３＝－ｘ２＋２ｘ＋３ꎬ整理得出ｘ２＋(ｋ－２)ｘ－ｋ＝０ꎬ所以ｘ１＋ｘ２＝２－ｋꎬｘ１ｘ２＝－ｋ.设ＤＧ的解析式为ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１ꎬ将Ｄ(１ꎬ４)ꎬＧ(ｘ１ꎬ－ｘ２１＋２ｘ１＋３)代入解析中ꎬ进而求出解析式为ｙ＝－(ｘ１－１)ｘ＋ｘ１＋３.当ｙ＝０时ꎬ解得ｘ＝ｘ１＋３ｘ１－１ꎬ所以点Ｍｘ１＋３ｘ１－１ꎬ０æèçöø÷.同理可得Ｎｘ２＋３ｘ２－１ꎬ０æèçöø÷ꎬ所以ＥＭ＝１－ｘ１＋３ｘ１－１＝－４ｘ１－１ꎬ同理可求得ＥＮ＝４ｘ２－１ꎬ所以ＥＭ ＥＮ＝－１６ｘ１－１()ｘ２－１()＝－１６ｘ１ｘ２－ｘ１＋ｘ１()＋１＝－１６－ｋ－２＋ｋ＋１＝１６.从而可知ꎬＥＭ ＥＮ是定值ꎬ且定值为１６.图５㊀问题(３)解法１示意图评析㊀这类解法思路很明确ꎬ求出点的坐标ꎬ然后根据点的坐标求相关线段的长度ꎬ进而计算ＥＭ ＭＮ的值.虽然运算量较大ꎬ需要明确三条直线的解析式ꎬ但是解题的思路比较清晰.解法２㊀根据解法１ꎬ得出点Ｄ(１ꎬ４)ꎬ点Ｍｘ１＋３ｘ１－１ꎬ０æèçöø÷ꎬ点Ｎｘ２＋３ｘ２－１ꎬ０æèçöø÷ꎬ由此可知ＭＮ＝ｘ２＋３ｘ２－１－ｘ１＋３ｘ１－１＝４ｘ１－ｘ２()ｘ２－１()ｘ１－１()ꎬ由此可知ＭＮ２＝１６ｘ１＋ｘ２()２－６４ｘ１ｘ２ｘ２－１()２ｘ１－１()２＝１６ｋ２＋６４ｘ２－１()２ｘ１－１()２.由两点间的距离公式可得ＤＭ２＋ＤＮ２＝１６ｘ１－１()２＋１６ｘ２－１()２＋３２＝１６ｋ２＋６４ｘ１－１()２ｘ２－１()２ꎬ所以ＭＮ２＝ＤＭ２＋ＤＮ２ꎬ从而得出øＭＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＋øＥＤＮ＝９０ʎꎬ又因为ＤＥʅＭＮꎬ所以øＤＥＮ＋øＥＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＝øＤＥＮꎬ又øＤＥＭ＝øＤＥＮ＝９０ʎꎬ所以әＥＭＤʐәＥＤＮꎬ从而得出ＥＤ２＝ＥＭ ＥＮ＝１６.因此ꎬＥＭ ＥＮ是定值ꎬ且定值为１６.评析㊀根据点的坐标ꎬ利用两点间的距离公式可求得相关线段的长度ꎬ然后利用勾股定理的逆定理即可判定әＭＤＮ是直角三角形ꎬ最终利用直角三角形和相似三角形的性质解决问题.解法３㊀如图６所示ꎬ设过点Ｄ的直线解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ将Ｄ(１ꎬ４)代入直线解析式ꎬ得出ｙ＝ｋｘ＋３－ｋꎬ因为ＧꎬＨ在抛物线上ꎬ可设Ｇ(ｘ１ꎬｋｘ１＋３－ｋ)ꎬＨ(ｘ２ꎬｋｘ２＋３－ｋ)ꎬ从上面可知ｘ１＋ｘ２＝２－ｋꎬｘ１ｘ２＝－ｋꎬ过点Ｇ作ＧＦʅＤＥ于点Ｆꎬ过点Ｈ作ＨＪʅＤＥ于点Ｊꎬ则ＤＦ＝－ｋｘ１＋ｋ＋１ꎬＧＦ＝－ｘ１＋１ꎬＤＪ＝－ｋｘ２＋ｋ＋１ꎬＨＪ＝－ｘ２＋１ꎬ从而得出ＤＦ ＤＪ＝(－ｋｘ１＋ｋ＋１)(－ｋｘ１＋ｋ＋１)＝１ꎬＧＦ ＨＪ＝(－ｘ１＋１)(－ｘ２＋１)＝１ꎬ所以ＤＦ ＤＪ＝ＧＦ ＨＪꎬＤＦＧＦ＝ＨＪＤＪꎬ又因为øＤＦＧ＝øＨＪＤ＝９０ʎꎬ所以әＧＦＤәＤＪＨꎬ所以øＧＤＦ＝øＤＨＪꎬ所以øＧＤＨ＝øＧＤＦ＋øＪＤＨ＝øＤＨＪ＋øＪＤＨ＝９０ʎꎬＤＥʅｘ轴ꎬ所以øＤＥＭ＝øＮＥＤ＝９０ʎꎬ所以øＥＤＮ＋øＥＮＤ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＝øＤＮＥꎬ所以әＥＭＤәＥＤＮꎬ从而得出ＥＤ２＝ＥＭ ＥＮ＝１６.因此ꎬＥＭ ＥＮ是定值ꎬ且定值为１６.图６㊀问题(３)解法３示意图评析㊀根据图形特征ꎬ一条线段上有垂直线ꎬ并求ＥＭ ＥＮꎬ要能够想到射影定理ꎬ利用三角形相似ꎬ证明两个三角形相似要从角或者线段成比例角度考虑ꎬ同时解题的关键是要证明出øＭＤＮ＝９０ʎ.解法４㊀在上面的解法中已经求出了直线ＤＧ解析式为ｙ＝－(ｘ１－１)ｘ＋ｘ１＋３ꎬ同理可求出直线ＤＮ的解析式为ｙ＝－(ｘ２－１)ｘ＋ｘ２＋３ꎬ从而可以得出ｋＤＧ＝－(ｘ１－１)ꎬｋＤＮ＝－(ｘ２－１)ꎬ又因为ｘ１＋ｘ２＝２－ｋꎬｘ１ｘ２＝－ｋꎬ所以ｋＤＧ ｋＤＮ＝(ｘ１－１)ˑ(ｘ２－１)＝－１ꎬ则直线ＤＧ与直线ＤＮ互相垂直ꎬ进而øＭＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＋øＥＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＝øＤＮＥꎬ所以әＥＭＤәＥＤＮꎬ从而得出ＥＤ２＝ＥＭ ＥＮ＝１６.因此ꎬＥＭ ＥＮ是定值.评析㊀通过对图形的观察ꎬ发现解题的关键是要证明øＭＤＮ＝９０ʎꎬ两直线的夹角为直角ꎬ说明两直线互相垂直ꎬ则可以通过斜率关系进行证明ꎬ最后能求出ＥＭ ＥＮ的值.４解题反思４.１重视变式训练ꎬ发展思维能力题目不在于多ꎬ而在于精.一道题目不仅是一个知识点ꎬ它还可以是多个知识点的结合.在教学中教师可以围绕着一个问题向多个方向发散ꎬ把一道题变成一类题.就如本题中的二次函数ꎬ在方法上ꎬ对于点Ｐ的位置进行分类讨论ꎬ通过变式的形式可以从ＢꎬＣ所组成的线段是边还是对角线进行分类讨论ꎬ打破学生的常规思维.在内容上ꎬ除了可以考查线段乘积的定值和点的存在性ꎬ还可以与中点问题㊁线段的最值问题㊁面积定值㊁一次函数特殊角等问题进行结合.基于此ꎬ在教学中要不仅要培养学生能够灵活选择数学方法解决问题的习惯ꎬ还要通过 一题多解 培养学生思考问题和灵活变通的意识ꎬ而 一题多解 不仅有利于学生发散思维的培养ꎬ更有利于学生问题解决策略的形成㊁关键问题解决能力的培养[３].所以ꎬ在教学中教师可以通过变式进行教学ꎬ发展学生的思维能力ꎬ培养学生的发散思维ꎬ打破学生的思维定式ꎬ培养学生创新意识和实践能力.４.２构建知识网络ꎬ提高运算能力综合题往往不是一个数学知识点ꎬ而是多个数学知识的结合ꎬ所以在复习的过程中ꎬ要提高学生搭建知识网络的能力ꎬ形成知识框架ꎬ在教学中可以通过主题式学习ꎬ将知识进行整合.知识是解决问题的前提ꎬ而解决问题的成败关键在于学生的运算能力ꎬ它不仅是一种数学的操作能力ꎬ更是一种数学的思维能力[４]ꎬ教师在教学中可以通过日常的运算训练来发展学生的运算能力ꎬ有利于培养学生的思考问题的品质和养成科学的学习态度.参考文献:[１]石树伟.中考二次函数模型试题的源与流[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２０２２(５):６０－６３.[２]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(２０２２年版)[Ｍ].北京:北京师范大学出版社ꎬ２０２２.[３]高岩.二次函数背景下三角形面积最值问题的解法探究:由一道九年级期末压轴题引发的思考[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０２２(９):２０－２２.[４]金小亚.借助几何直观培养运算能力[Ｊ].教育实践与研究(Ａ)ꎬ２０１９(１):２５－２８.[责任编辑:李㊀璟]。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)(含简单答案)
10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数 的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点 ，P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线 ．
(1)点A的坐标为；
(2)若射线 平分 ，求二次函数的表达式；
(3)在（2）的条件下，如果点 是线段 （含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线 和抛物线于E、F两点，当m为何值时， 为直角三角形？
②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．
14．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．M是抛物线任意一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m（0＜m＜3）．
(1)求抛物线的解析式及tan∠OBC的值；
(2)当m＝1时，P是直线l上的点且在第一象限内，若△ACP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．
15．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知抛物线的对称轴是直线 ， ． 为抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ．
(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求直线 的解析式．
6．已知抛物线 经过 、 两点，O为坐标原点，抛物线交正方形 的边 于点E，点M为射线 上一动点，连接 ，交 于点F．
(1)求b和c的值及点C的坐标；
(2)求证∶
(3)是否存在点M，使 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
(1)求 ， 的长（结果均用含 的代数式表示）．

中考数学专题：二次函数综合题带答案

中考数学专题：二次函数综合题带答案

二次函数综合题类型一线段、周长、面积问题1.如图，直线y=-x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．2.如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．3.已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A（2，0）、B（-4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，抛物线y=ax2-3ax-4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．类型二存在性问题5.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，-2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x=-1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE=OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．7.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）在（1）的情况下，点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）在（1）的情况下，若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．7.如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y=ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．类型三角相等问题8.如图，已知点A（-1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．9.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】解：（1）∵直线y=-x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴=tan30°=，即=，解得AO=1，∴A（-1，0）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=-x2+x+；（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，∴可设M（t，-t2+t+），则D（t，-t+），∴DM=-t2+t+-（-t+）=-t2+t=-（t-）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，此时DM=×=，即△DMH周长的最大值为．【解析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、二次函数的性质、方程思想等知识．在（1）中注意函数图象与坐标的交点的求法，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中找到DH、MH与DM的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．2.【答案】解：（1）直线y=-5x+5，x=0时，y=5∴C（0，5）y=-5x+5=0时，解得：x=1∴A（1，0）∵抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，∴解得：，∴抛物线解析式为y=x2-6x+5；当y=x2-6x+5=0时，解得：x1=1，x2=5∴B（5，0）；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H，∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB=5-1=4，OC=5∴S△ABC=AB•OC=×4×5=10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M（m，m2-6m+5）（1＜m＜5）∴MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5∴S△ABM=AB•MH=×4（-m2+6m-5）=-2m2+12m-10=-2（m-3）2+8∴S四边形AMBC=S△ABC+S△ABM=10+[-2（m-3）2+8]=-2（m-3）2+18∴当m=3，即M（3，-4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD，∴BD=5-4=1∵AB=4，BP=2∴∵∠PBD=∠ABP∴△PBD∽△ABP∴∴PD=AP∴PC+PA=PC+PD∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA=PC+PD=CD最小∵CD=∴PC+PA的最小值为.【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最大值，解一次方程（组）和一元二次方程，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短．求线段与线段的几分之几的和的最小值，一般将“线段的几分之几”进行转换，变成能用“两点之间线段最短”的图形来求最小值．（1）由直线y=-5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标．（2）从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM；由点A、B、C坐标求△ABC面积；设点M横坐标为m，过点M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求△ABM的面积，得到△ABM面积与m的二次函数关系式，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值．（3）作点D坐标为（4，0），可得BD=1，进而有，再加上公共角∠PBD=∠ABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP，得等于相似比，进而得PD=AP，所以当C、P、D在同一直线上时，PC+PA=PC+PD=CD最小．用两点间距离公式即求得CD的长．3.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax+bx-4经过点A（2，0），B（-4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2+x-4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中-4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，-4），∴S=S△AOC+S△OCP+S△OBP=+，=4-2x-x2-2x+8，=-x2-4x+12，=-（x+2）2+16．∵-1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x=-2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y=-4，即P（-2，-4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（-2，-4）．（3），∴顶点M（-1，-）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y=kx+b，且过点A（2，0），M（-1，-），∴，∴直线AM的解析式为y=-3．在Rt△AOC中，=2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE=5，∴OE=AE-AO=5-2=3，∴E（-3，0），由图可知D（1，-2）设直线DE的函数解析式为y=mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y=--．∴，解得：，∴G（）．【解析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求函二次数解析式解答；（2）连接OP，由S=S△AOC+S△OCP+S△OBP，可得出关于P点横坐标的表达式，然后利用二次函数的最值问题求出点P的坐标；（3）连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．求出直线AM的解析式，再由△ADE∽△AOC，求出点E的坐标，求出直线DE的解析式，则由AM、DE两直线的交点可求得G点坐标．本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值问题．理解坐标与图形性质；会运用数形结合思想解决数学问题．4.【答案】解：（1）把C（0，2）代入y=ax2-3ax-4a得：-4a=2．解得a=-．则该抛物线解析式为y=-x2+x+2．由于y=-x2+x+2=-（x+1）（x-4）．故A（-1，0），B（4，0）；（2）存在，理由如下：由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，∴CD∥EG，∴=．∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．∴CD=2-1=1．∴=EG．设BC所在直线的解析式为y=mx+n（m≠0）．将B（4，0），C（0，2）代入，得．解得．∴直线BC的解析式是y=-x+2．设E（t，-t2+t+2），则G（t，-t+2），其中＜t＜4．∴EG=（-t2+t+2）-（-t+2）=-（t-2）2+2．∴=-（t-2）2+2．∵＜0，∴当t=2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．【解析】（1）将点C的坐标代入函数解析式求得a值即可；将所求得的抛物线解析式转化为两点式，易得点A、B的坐标；（2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，根据平行线截线段成比例将求的最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可．本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关系式以及平行线截线段成比例等知识点，综合性较强，难度不是很大．5.【答案】解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x=-1，则点B（-4，0），则函数的表达式为：y=a（x-2）（x+4）=a（x2+2x-8），即：-8a=-2，解得：a=，故抛物线的表达式为：y=x2+x-2；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：直线BC的表达式为：y=-x-2，则tan∠ABC=，则sin∠ABC=，设点D（x，0），则点P（x，x2+x-2），点E（x，x-2），∵PE=OD，∴PE=（x2+x-2+x+2）=（-x），解得：x=0或-5（舍去x=0），即点D（-5，0）S△PBE=×PE×BD=（x2+x-2+x+2）（-4-x）=；（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，只存在：BD=BM的情况，BD=1=BM，则y M=-BM sin∠ABC=-1×=-，则x M=，故点M（，-）．【解析】（1）点A（2，0）、点B（-4，0），则函数的表达式为：y=a（x-2）（x+4）=a （x2+2x-8），即可求解；（2）PE=OD，则PE=（x2+x-2-x+2）=（-x），求得：点D（-5，0），利用S△PBE= PE×BD=（x2+x-2-x+2）（-4-x），即可求解；（3）BD=1=BM，则y M=-BM sin∠ABC=-1×=-，即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6.【答案】解：（1）∵B（1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C（-2，0），Rt△ABC中，tan∠ABC=2，∴，∴，∴AC=6，∴A（-2，6），把A（-2，6）和B（1，0）代入y=-x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4；（2）①∵A（-2，6），B（1，0），易得AB的解析式为：y=-2x+2，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），∵PE=DE，∴-x2-3x+4-（-2x+2）=（-2x+2），x=1（舍）或-1，∴P（-1，6）；②∵M在直线PD上，且P（-1，6），设M（-1，y），∴AM2=（-1+2）2+（y-6）2=1+（y-6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y-6）2+4+y2=45，解得：y=3，∴M（-1，3+）或（-1，3-）；ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y-6）2，y=-1，∴M（-1，-1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y-6）2+45=4+y2，y=，∴M（-1，）；综上所述，点M的坐标为：∴M（-1，3+）或（-1，3-）或（-1，-1）或（-1，）．【解析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①先得AB的解析式为：y=-2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），根据PE=DE，列方程可得P的坐标；②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．7.【答案】解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为：（4，0），∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（-1，0），抛物线经过点C、A、A′，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，∴，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4；（2）如图1，连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+m，∴，解得：，∴直线AA′的解析式为：y=-x+4，设点M的坐标为：（x，-x2+3x+4），则S△AMA′=×4×[-x2+3x+4-（-x+4）]=-2x2+8x=-2（x-2）2+8，∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，∴M的坐标为：（2，6）；（3）设点P的坐标为（x，-x2+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时，∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（-1，0），∴点B的坐标为（1，4），∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，∵BQ=4，∴-x2+3x+4=±4，当-x2+3x+4=4时，解得：x1=0，x2=3，∴P1（0，4），P2（3，4）；当-x2+3x+4=-4时，解得：x3=，x4=，∴P3（，-4），P4（，-4）；②当BQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合；综上可得：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（，-4），P4（，-4）；如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．【解析】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三角形面积问题．掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A 的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+m，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，-x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解，即可求得答案.结合平行四边形的情况分析即可得到矩形的情况.8.【答案】解：（1）将点A（-1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：y=-x2+3x+4，当x=0时，y=4，∴C（0，4），设BC所在直线的表达式为：y=mx+n，将C（0，4）、B（4，0）代入y=mx+n，得：，解得：，∴BC所在直线的表达式为：y=-x+4；（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，∴DE∥PF，只要DE=PF，四边形DEFP即为平行四边形，∵y=-x2+3x+4=-（x-）2+，∴点D的坐标为：（，），将x=代入y=-x+4，即y=-+4=，∴点E的坐标为：（，），∴DE=-=，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，-t2+3t+4），F的坐标为：（t，-t+4），∴PF=-t2+3t+4-（-t+4）=-t2+4t，由DE=PF得：-t2+4t=，解得：t1=（不合题意舍去），t2=，当t=时，-t2+3t+4=-（）2+3×+4=，∴点P的坐标为（，）；（3）存在，理由如下：如图2所示：由（2）得：PF∥DE，∴∠CED=∠CFP，又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，∴∠PCF≠∠DCE，∴只有∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE，∴=，∵C（0，4）、E（，），∴CE==，由（2）得：DE=，PF=-t2+4t，F的坐标为：（t，-t+4），∴CF==t，∴=，∵t≠0，∴（-t+4）=3，解得：t=，当t=时，-t2+3t+4=-（）2+3×+4=，∴点P的坐标为：（，）．【解析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为y=-x2+3x+4，则C（0，4），由待定系数法求出BC所在直线的表达式即可（2）证DE∥PF，只要DE=PF，四边形DEFP即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线BC的解析式求出点E的坐标，则DE=，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，-t2+3t+4），F的坐标为：（t，-t+4），由DE=PF得出方程，解方程进而得出答案；（3）由平行线的性质得出∠CED=∠CFP，当∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE，则=，得出方程，解方程即可．本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键．9.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，1）代入得-3a=1，解得：a=-，∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1．（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=-，∴直线BC的解析式为y=-x+1．设点P（x，-x2+x+1），则D（x，-x+1）∴PD=（-x2+x+1）-（-x+1）=-x2+x，∴S△PBC=OB•DP=×3×（-x2+x）=-x2+x．又∵S△PBC=1，∴-x2+x=1，整理得：x2-3x+2=0，解得：x=1或x=2，∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．（3）存在．如图：∵A（-1，0），C（0，1），∴OC=OA=1∴∠BAC=45°．∵∠BQC=∠BAC=45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，解得：x=（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y=-x，AB的垂直平分线为直线x=1，∴点M为直线y=-x与x=1的交点，即M（1，-1），∴Q的坐标为（1，-1-）.【解析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，1）代入求得a的值即可；（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y=-x+1，设点P（x，-x2+x+1），则D（x，-x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y=-x与x=1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．10.【答案】解：（1）由题意，得，解得，抛物线的函数表达式为y=-x2+x+3；（2）设直线BC的解析是为y=kx+b，，解得∴y=-x+3，设D（a，-a2+a+3），（0＜a＜4），过点D作DM⊥x轴交BC于M点，如图1，M（a，-a+3），DM=（-a2+a+3）-（-a+3）=-a2+3a，∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠BOC，∴△DEM∽△BOC，∴=，∵OB=4，OC=3，∴BC=5，∴DE=DM∴DE=-a2+a=-（（a-2）2+，当a=2时，DE取最大值，最大值是，（3）假设存在这样的点D，△CDE使得中有一个角与∠CFO相等，∵点F为AB的中点，∴OF=，tan∠CFO==2，过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H，如图2，①若∠DCE=∠CFO，∴tan∠DCE==2，∴BG=10，∵△GBH∽BCO，∴==，∴GH=8，BH=6，∴G（10，8），设直线CG的解析式为y=kx+b，∴，解得∴直线CG的解析式为y=x+3，∴，解得x=，或x=0（舍）．②若∠CDE=∠CFO，同理可得BG=，GH=2，BH=，∴G（，2），同理可得，直线CG的解析是为y=-x+3，∴，解得x=或x=0（舍），综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为或．【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据正切函数，可得∠CFO，根据相似三角形的性质，可得GH，BH，根据待定系数法，可得CG的解析式，根据解方程组，可得答案．本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出DE的长，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出G点的坐标，由；利用了待定系数法求函数解析式，解方程组的横坐标．。

初三数学二次函数知识点总结

初三数学二次函数知识点总结

初三数学二次函数知识点总结初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k为常数。

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号决定了抛物线的开口方向，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h。

当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

三、二次函数图象的平移平移二次函数的步骤为：确定顶点坐标，保持抛物线形状不变，将顶点平移。

具体平移方法为：向右（左）平移h个单位，向上（下）平移k个单位。

平移规律可以概括为“左加右减，上加下减”。

四、二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²+bx+c的比较二次函数y=a(x-h)²+k和y=ax²+bx+c的区别在于表示方式不同，但它们的图象形状相同。

y=a(x-h)²+k更便于确定顶点坐标和对称轴，y=ax²+bx+c更便于确定一次项系数和常数项。

二次函数的特点和与其他函数的关系，如：设函数f(x)为一次函数，g(x)为二次函数，且在同一坐标系内，若f(x)和g(x)的图像均经过点(1,3)，则下列说法正确的是（）A．f(x)和g(x)的图像均经过点(2,6)B．f(x)和g(x)的图像均经过点(3,9)C．f(x)的图像经过点(2,6)，g(x)的图像经过点(2,5)D．f(x)的图像经过点(3,9)，g(x)的图像经过点(2,5)3．考查利用二次函数解决实际问题的能力，题的特点是给出具体的问题场景，需要学生根据题意列出方程并解答，如：一家餐馆销售汉堡，售价为每个3元，每天售出x个汉堡，该餐馆的总收入为y元．若这家餐馆每天的固定成本为32元，每售出一个汉堡的变动成本为1元，求这家餐馆每天售出多少个汉堡时，能收益最大？二次函数的解析式：二次函数的解析式由系数a、b、c决定，其中a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线在y轴的位置，c决定了抛物线与y轴的交点位置。

九年及数学中考专题(数与代数)-第十九讲《二次函数(1)》课件(北师大版)

九年及数学中考专题(数与代数)-第十九讲《二次函数(1)》课件(北师大版)

四.典型例题
解：(1)配方，y=－0.25(x2－4x+4－4)+2
=－0.25(x－2)2+3
∴图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，3）.
(2)把这个函数的图象向左、向下平移2个单位，顶点
成为(0，1)，形状不变，得到函数y=－0.25x2+1的图象.
∵△=12－4(－)·2=3＞0，
∴图象与x轴交于两点，解方程－0.25x2+x+2=0
第十九讲 二次函数的图象与性质 （1）
一.课标链接
二次函数的图象与性质 二次函数是中学数学中的第三类基本函数， 是数形结合的典型之一，是中学数学的知识 重点，它与一元二次方程和一元二次不等式 联系紧密，掌握二次函数的基本概念和图象 性质，能够解决相关问题是中考的测试要点 之一.题型有填空、选择与解答题，其中以 计算型综合解答题居多.
得
，
所以a 1
.
3 y 1 x 42 3 1 x2 8 x 7
3
3 33
四.典型例题
方法四：由于抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为
x1=1，x2=7． 可设两根式y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1=1，x2=7， 即有y=a(x-1)(x-7)，
把点（4，－3）代入上式得 -3=a(4-1)(4-7)-3 ，
此题可用以下四种方法 求出解析式. 知识考查：求解二次函数的 解析式的的方法.
四.典型例题
解： 方法一： 设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c， 根据题意以及对称性，可得，抛物线通过(4，-3)、 (1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a、b、c的
三元一次方程组 16a 4b c 3 ，解得

中考数学压轴题专题复习——二次函数的综合

中考数学压轴题专题复习——二次函数的综合

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=1 2 x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.（1）求点B 的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：4 时，求点E 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+23C′D 的最小值．【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋23C′D4103【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AEAP=AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32，即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP =AGAF=EGPF=15．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM＝2243()3+＝97．∵423'23OMOC==，'23OCOD=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCC D=，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM＝4103，∴C′B＋23C′D的最小值为4103．点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．2．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣12x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=211184x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣12）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】分析：（1）由待定系数法求解即可；（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得042101641a b a b --⎧⎨+-⎩＝＝解得1814a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝ ∴抛物线解析式为：y=18x 2−14x−1 ∴抛物线对称轴为直线x=-141228ba -=-⨯＝1 （2）存在使四边形ACPO 的周长最小，只需PC+PO 最小∴取点C （0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O 与直线x=1的交点即为P 点．设过点C′、O 直线解析式为：y=kx∴k=-1 2∴y=-1 2 x则P点坐标为（1，-12）（3）当△AOC∽△MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°∴∠CDN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，-12a-1）由△EDN∽△OAC ∴ED=2a∴点D坐标为（0，-52a−1）∵N为DM中点∴点M坐标为（2a，32a−1）把M代入y=18x2−14x−1，解得a=4则N点坐标为（4，-3）当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N 由（2）N（2，-1）∴N 点坐标为（4，-3）或（2，-1）点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．3．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若MN =C 的值； （Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】 【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解; (3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点，∴一元二次方程260x x c -++=有实根。

九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案

九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案

中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊三角形问题）1．如图，已知抛物线经过点A (-1，0)，B (4，0)，C (0，2)三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为(m ，0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到111A O C △，点A 、O 、C 的对应点分别是点1A 、1O 、1C 、若111A O C △的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点1A 的横坐标．2．如图，已知A （﹣2，0）、B （3，0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一动点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．(1)直接写出抛物线的函数关系式 ；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长 ；(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得⊥BCO ＋2⊥PCN ＝90°？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由；(4)连接AQ ，若△ACQ 为等腰三角形，请直接写出m 的值 ．3．如图，抛物线2y ax bx =+过()4,0A ，()1,3B 两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH x ⊥轴，交x 轴于点H ．(1)求抛物线的表达式；(2)求ABC 的面积；(3)若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，当CMN △为等腰直角三角形时，点N 的坐标为______．4．如图，已知二次函数的图象经过点()3,3A 、()4,0B 和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为(),0D m ，并与直线OA 交于点C ．(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；(3)当0m >时，探索是否存在点P ，使得PCO △为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得⊥ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得⊥P AB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()2,0A -和点()6,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC 交抛物线的对称轴l 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接CD 、BD ，点P 是射线DE 上的一点，如果PDB CDB S S =△△，求点P 的坐标；(3)点M 是线段BE 上的一点，点N 是对称轴l 右侧抛物线上的一点，如果EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，求点M 的坐标．7．已知抛物线经过A （－1，0）、B （0、3）、 C （3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD 于点E ，点M 为射线BD 上一动点，连接OM ，交BC 于点F(1)求抛物线的表达式；(2)求证：⊥BOF ＝⊥BDF ：(3)是否存在点M 使⊥MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长8．如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标； (3)当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．9．已知二次函数214y x bx c =-++图像的对称轴与x 轴交于点A （1，0），图像与y 轴交于点B （0，3），C 、D 为该二次函数图像上的两个动点（点C 在点D 的左侧），且90CAD ∠=．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C 与点B 重合，求tan⊥CDA 的值；(3)点C 是否存在其他的位置，使得tan⊥CDA 的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，D 是抛物线上的动点，已知A 的坐标为（-3，0），C 的坐标为（0，3）．(1)求该抛物线的函数表达式以及B 点的坐标；(2)在第二象限内是否存在点D 使得⊥ACD 是直角三角形且⊥ADC=90°，若存在请求出D 点的坐标，若不存在请说明理由；(3)如图2，连接AC ，BC ，当⊥ACD=⊥BCO ，求D 点的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ﹣1经过点A (﹣1,﹣2)和点B (﹣2,1)，抛物线C 2：y ＝3x 2＋3x ＋1，动直线x ＝t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ．(1)求抛物线C 1的表达式；(2)求线段MN 的长（用含t 的代数式表达）；(3)当⊥BMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值．12．如图，二次函数23y ax bx =++的图象经过点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数23y ax bx =++图象上有一动点P ，x 轴正半轴上有一点D ，且OD =2，当S △PCD =3时，求出点P 的坐标；(3)若点M 在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD 为直角边的Rt MCD ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为()4,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点，点P 的横坐标为()0m m ≥，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ．PM 与直线l 交于点N ，当点N 是线段PM 的三等分点时，求点P 的坐标；(3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标．14．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()30A -,，()1,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E 是线段AC 上一动点，过点E 的直线EF 平行于y 轴并交抛物线于点F ，当线段EF 取得最大值时，在x 轴上是否存在这样的点P ，使得以点E 、B 、P 为顶点的三角形是以EB 为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，M 是抛物线的顶点，直线1x =是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若,PD m PCD =△的面积为S ．⊥求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；⊥当S 取得最大值时，求点P 的坐标．(3)在（2）的条件下，在线段MB 上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+4x +c 与直线AB 相交于点A (0，1)和点B (3，4)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设C 为直线AB 上方的抛物线上一点，连接AC ，BC ，以AC ，BC 为邻边作平行四边形ACBP ，求四边形ACBP 面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，是否存在点E 使得△ADE 是以AD 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出．．．．点E 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．18．如图，已知抛物线212y x bx c =++经过点B （4，0）和点C （0，－2），与x 轴的另一个交点为点A ，其对称轴l 与x 轴交于点E ，过点C 且平行x 轴的直线交抛物线于点D ，连接AD ．(1)求该抛物线的解析式；(2)判断⊥ABD 的形状，并说明理由；(3)P 为线段AD 上一点，连接PE ，若△APE 是直角三角形，求点P 的坐标；(4)抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△APD 是直角三角形，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线22y ax x c =-+与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点A 在点B 的左侧，()1,0A -，()0,3C -，点E 是抛物线的顶点，P 是抛物线对称轴上的点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当点P 关于直线BC 的对称点Q 落在抛物线上时，求点Q 的横坐标；(3)若点D 是抛物线上的动点，是否存在以点B ，C ，P ，D 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点D 的坐标__________；若不存在，请说明理由；(4)直线CE 交x 轴于点F ，若点G 是线段EF 上的一个动点，是否存在以点O ，F ，G 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点G 的坐标__________；若不存在，请说明理由．20．如图1，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点P 为x 轴上方抛物线上的动点，点F 为y 轴上的动点，连接PA ，PF ，AF ．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如图1，当点F 的坐标为()0,4-，求出此时AFP 面积的最大值；(3)如图2，是否存在点F ，使得AFP 是以AP 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)213222y x x =-++ (2)存在，Q (3，2)或Q (-1，0)(3)两个“和谐点”，1A 的横坐标是1或122．(1)222433y x x =-++ (2)22655PN m m =-+ (3)存在，741253．(1)24y x x =-+(2)3(3)（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．4．(1)y =-x 2+4x (2)94(3)存在，点P 的坐标为(3+或(3-或（5，-5）或（4，0）5．(1)2142y x x =+- (2)（-2，-4）(3)P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--+，，(12--， 6．(1)21262y x x =-++ (2)()2,2(3)()4,2或(27．(1)2y x 2x 3=-++(2)见解析(3)存在，2或28．(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)()3,4-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭9．(1)211342y x x =-++(2)1(3)()2,1-，()32，(12--10．(1)y ＝-x 2-2x ＋3，B (1，0)(2)存在，D (－2，3) (3)D (－52，74)或(－4，－5)11．(1)y ＝2x 2+3x ﹣1(2)t 2+2(3)t ＝012．(1)2+23y x x =-+(2)P 1（32，154），P 2（2，3）(3)存在点M 其坐标为1M 43539（，）或2M13．(1)y ＝14x 2−x −3 (2)（3，−154）或（0，−3） (3)（0，−133）或（0，9）14．(1)223y x x =+-(2)()4,-0，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭15．(1)2y x 2x 3=-++ (2)⊥213(04)42S m m m =-+<≤；⊥S 有最大值为94，此时3,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在，(6-+-或(42-+16．(1)241y x x =-++ (2)274(3)存在，E （4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．17．(2)()11，-(3)()14-，或()25-，或⎝⎭或⎝⎭18．(1)213222y x x =-- (2)直角三角形，见解析(3)(1，－1)或(32，－54)(4)存在，( 32，－1＋2 )，( 32，－1－ 2，( 32，5)，( 32，－5) 19．(1)223y x x =-- (2)11(3)存在，()2,3-或()4,5或()2,5-(4)存在，39,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()1,2--20．(1)2y x 2x 3=-++ (2)323(3)存在，12(0,3),(0,1)F F --，32)F。

中考数学专题复习：二次函数图象综合应用

中考数学专题复习：二次函数图象综合应用

图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则： 开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小． 对称轴 2bx a=-（或x h =）． 顶点坐标(2ba-，24)4ac b a -或(h ，)k ． 单调性当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大（如图1）；知识互联网思路导航题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系二次函数图象综合应用当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小（如图2）与坐标轴的交点① 与y 轴的交点：()0c ，； ② 与x 轴的交点：()()1200x x ，，，，其中12x x ，是方程()200ax bx c a ++=≠的两根．图象与x 轴的交点个数① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点． ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点． ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．Ⅰ当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； Ⅱ当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．【引例】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】 由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<； 1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()a c ，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） 例题精讲典题精练A ．B ．C ．D ．⑶ 一次函数()0≠+=a b ax y 、二次函数bx ax y +=2和反比例函数()0≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为()02，-，则下列结论中，正确的是（ ）A ．k a b +=2B ．k b a +=C ．0＞＞b aD ．0＞＞k a【解析】 ⑴ B. ⑵ B ．⑶D.【例2】 ⑴ 如图，抛物线2y ax bx c =++，OA OC =，下列关系中正确的是（）A ．1ac b +=B ．1ab c +=C ．1bc a +=D ．1ac b+= ）⑵ 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为 ．【解析】 ⑴ A ．提示：把()0c -，代入2y ax bx c =++即可．⑵ 12-．提示：先把B ()0c ，代入2y ax bx c =++，得1ac b =--，再把()0c ，代入()()2y a x c x c =+-即可．【例3】 ⑴ 函数2y ax bx c =++与x y =的图象如图所示，有以下结论：①ac b 42-＞0；②01=++c b ；③063=++c b ；④当1＜x＜3时，()012＜c x b x +-+．其中正确的为．⑵ 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8 个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b += ；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 ⑴ ③④⑵ C ．对称轴在y 轴的右边得0ab <（由开口向下得0a <，故0b >），抛物线与y 轴交于正半轴得0c >，∴0abc <，①不正确；当1x =-时，函数值为0a b c -+<，②不正确； 当2x =时，函数值420a b c ++>，③正确；其实0x =和2x =到对称轴1x =的距离相等，函数值相等得42a b c c ++=，∴2b a =-代入0a b c -+<，32bc <，即23c b <，④正确；当1x =，∵1m ≠，2max y a b c am bm c =++>++，可知⑤正确；由对称轴12ba-=得20a b +=，故⑥正确；抛物线与x 轴有两个交点，故240b ac ->，故⑦不正确；0a b c ++>，0a b c -+<，故()220a c b +-<，故⑧不正确．对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--,如图④，当2bx a=-，min y y =； 当x n =，max y y =．【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；b 思路导航例题精讲题型二：二次函数的最值⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=，当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例4】 ⑴ 已知m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，则代数式6822+-k k 的最小值 为 ．⑵ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 ．⑶当12x ≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12【解析】 ⑴∵m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，∴m 、n 、k 最小为0，当n =0时，k 最大为：21；∴210≤≤k ，故最小值为2.5．⑵ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑶ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例5】 如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且与抛物线221y ax ax =--相交于典题精练A B ，两点．⑴ 求a 值； ⑵ 设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；⑶ 设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点()0Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C D ，两点，试问当x 为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？【解析】 ⑴ ∵点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，∴1191428a a -++=，解得12a =．⑵ 由⑴知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--．当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =．∵点M 在点N 的左边，∴2M x =-，1N x =． 当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． ∵点E 在点F 的左边，∴1E x =-，2F x =．∵0M F x x +=，0N E x x +=，∴点M 与点F 关于y 轴对称，点N 与点E 关于y 轴对称． ⑶ ∵102a =>．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． 根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又21221112211122y x x y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消y可解得12x x ==，则当0x =时，CD 的最大值为2．【例6】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)， 则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，∵0a <，据图象得对称轴在y 轴左侧，∴0b <∴()10a -+<，∴1a >-于是有10a -<<． ⑵ 由图象可知0a >．又顶点在y 轴的右侧，在x 轴的下方，则：02ba->，2404ac b a -<，∴0b <． 又∵当0x =时，1y c =-=当0y =时，1x =-，∴0a b c -+= ∴10a b =+> ∴10b -<<．∴202a b c a b c b b ++=-++=+ ∴220b -<<，即20a b c -<++<．精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用 【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息：⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断a 与b 之间的关系． ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于a b c ，，的等式． ⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．例. 2y ax bx c =++的图象如图所示．设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--， 则（ ）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0分析：依题意得0a >，012ba<-<，∴0b <，20a b +>，20a b ->， 又当1x =时，0y a b c =++<，当1x =-时，0y a b c =-+>，故()()(2)(2)2()0M a b c a b c a b a b a b c =-++--+++--=--+<，故选C ．☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲) 区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：2、轴动区间定：例．求2()22f x x ax =-+在[24]，上的最大值和最小值． 分析： 先求最小值．因为()f x 的对称轴是x a =，可分以下三种情况：⑴ 当2a <时，()f x 在[24]，上为增函数，所以min ()(2)64f x f a ==-； ⑵ 当24a ≤≤时，()f a 为最小值，2min ()2f x a =-；⑶ 当4a >时，()f x 在[24]，上为减函数，所以min ()(4)188f x f a ==-．综上所述：2min 64, (2)()2, (24)188, (4)a a f x a a a a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤最大值为(2)f 与(4)f 中较大者：(2)(4)(64)(188)124f f a a a -=---=-+，（1）当3a ≥时，(2)(4)f f ≥，则max ()(2)64f x f a ==-； （2）当3a <时，(2)(4)f f <，则max ()(4)188f x f a ==-．故max 64, (3)()88, (3)a a f x a a -⎧=⎨-<⎩≥ 点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x a = 与区间[24]，的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较(2)f 与 (4)f 的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两 种情况． 3、轴定区间动：例．若函数2()22f x x x =-+当1t x t +≤≤时的最小值为()g t ，求函数()g t 当[32]t ∈-，时的最值． 分析：2()(1)1f x x =-+，按直线1x =与区间[1]t t +，的不同位置关系分类讨论：若1t >，则2min ()()(1)1f x f t t ==-+；若11t t +≤≤，即01t ≤≤，则min ()(1)1f x f ==； 若11t +<，即0t <，则2min ()(1)1f x f t t =+=+．∴22(1)1(1)()1(0)1(0)t t g t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩≤≤1 函数()g t 在(0)-∞，内是减函数，在[01]，内是常值函数，在(1)+∞，内是增函数，又(3)(2)g g ->，故在区间[32]-，内，min ()1g t =（当01t ≤≤时取得），max ()(3)10g t g =-=．小结：（i ）解此类问题时，心中要有图象；（ii ）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标．因此， 可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题．设二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实根1x 、2x ()21x x ＜，ac b 42-=∆，方程对应的二次函数为()()02≠++=a c bx ax x f ．1．当方程有一根大于m ，另一根小于m 时，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ；2．当方程两根均大于m 时，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， m ab2-，()0＞m af ； 3．当方程两根均在区间()n m ，内，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， n abm ＜＜2-，()0＞m af ，()0＞n af ； 4．当两根中仅有一根在区间()n m ，内，对应函数()x f 的图像有下列四种情形：方程系数所满足的充要条件： ()()0＜n f m f ⋅；5．当两根在区间[]n m ，之外时：对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ，()0＜n af ；6．当两根分别在区间()n m ，、()t s ，内，且s n ≤，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＞m af ，()0＜n af ，()0＜s af ， ()0＞t af ．小结： 由函数图像与x 轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式ac b 42-=∆的符号；②对称轴abx 2-=的位置分布；③二次函数在实根分布界点处 函数值的符号．例．若方程01222=+-+m mx x 的两个根均大于2，求实数m 的取值范围． 分析：令()1222+-+=m mx x x f ，如图得充要条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=≥+-⋅-=∆20124220124422＞＞m m m f m m ，解得4316-≤-m ．训练1. 已知：a b c >>，且0a b c ++=，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是下列图象中的（ ）A B C D【解析】 B ．由a b c >>，且0a b c ++=，可得0a >， 0c <，且过()10，点，由a b c >>，且a b c ++=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：a b a b >>--，∴112ba -<<， ∴11224b a -<-<．另一方法：∵a b >，∴330a b ->，330a b a b c -+++>，从而得到420a b c -+>．训练2.已知二次函数()2211y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ()12x x <，则对于下列结论：⑴ 当2x =-时，1y =；⑵ 当2x x >时，0y >；⑶ 方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根1x 、2x ；⑷11x <-，21x >-；⑸21x x -=确的结论是______.（只需填写序号）【解析】 ⑴⑶⑷．当2x =-时，代入得1y =，故⑴正确；因为k 的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当2x x >时，0y >，故⑵不正确；联立方程()22110y kx k x y ⎧=+--⎪⎨=⎪⎩可得()22110kx k x +--=，抛物线与x 轴有两个交点，即方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根．当1x =-时，y k =-，若0k >，0y k =-<，若0k <，0y k =->，故⑷正确．21x x -=.训练3. 如图所示，二次函数2(2)5y x a x a =--+-的图象交x 轴于A 和B ，交y 轴于C ，当线段AB 最短时，求线段OC 的长．【解析】 设1(A x ，0)，2(B x ，0)，思维拓展训练(选讲)则1x ，2x 是方程2(2)50x a x a --+-=的两根，则12AB x x =-=== 当4a =时，AB 取最小值，即最短，此时，抛物线为221y x x =--， 可求得C 的纵坐标为1-，即线段OC 的长是1．训练4. 小明为了通过描点法作出函数21y x x =-+的图象，先取自变量x 的7个值满足：213276x x x x x x d -=-==-= ，再分别算出对应的y 值，列出表1：表1：x1x 2x3x4x 5x 6x7xy1 3 7 13 21 31 43记121m y y =-，232m y y =-，343m y y =-，454m y y =-，…； 121s m m =-，232s m m =-，343s m m =-，… ⑴ 判断1s 、2s 、3s 之间关系；⑵ 若将函数“21y x x =-+”改为“2(0)y ax bx c a =++≠”，列出表2：表2：x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y其他条件不变，判断1s 、2s 、3s 之间关系，并说明理由；⑶ 小明为了通过描点法作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，列出表3： 表3： x 1x 2x 3x4x 5x 6x7x y 10 50 110 190 290 420 550由于小明的粗心，表3中有一个y 值算错了，请指出算错的y 值（直接写答案）．【解析】 ⑴ 123s s s ==；⑵ 123s s s ==．证明：()()222121111112m y y a x d b x d c ax bx c adx ad bd ⎡⎤⎡⎤=-=++++-++=++⎣⎦⎣⎦()222322122m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2234331222m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2245441223m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()22212111222s m m ad x d ad bd adx ad bd ad ⎡⎤⎡⎤=-=+++-++=⎣⎦⎣⎦ 同理22322s m m ad =-=，23432s m m ad =-=． ∴123s s s ==．⑶ 表中的420改为410．题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴ 函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【解析】 ⑴ A ．⑵ D ．【练习2】 如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经点()12-，和()10，且与y 轴交于负半轴．⑴ 下列四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=， 其中正确的结论的序号是 ． ⑵给出下列四个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >．其中正确的结论的序号是 ．【解析】 ⑴图象开口向上得0a >；对称轴02ba->可得0b <；当0x =时，0y <，即0c <；由1x =时，0y =，即0a b c ++=．故①④．⑵由⑴可知0abc >；对称轴12ba-<，∴20a b +>；∵点()12-，和()10，在抛物线上，代入解析式得20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩两式相加得1a c +=，得1a c =-，∵0c <，∴11c ->，即1a >．A BCD复习巩固故②③④．【练习3】 如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（ ）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．102b -<< D ．01b <<【解析】 B ．【练习4】 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象大致如图所示，⑴判别a ，b ，c 和24b ac -的符号，并说明理由； ⑵如果OA OC =，求证：10ac b ++=【解析】 ⑴ 解：因为抛物线开口向上，0a >．因为抛物线与y 轴交于负半轴，0c <．又因为抛物线对称轴在y 轴的右侧，02ba->，即a ，b 异号，由0a >，得0b <． 因为抛物线与x 轴有两个交点，所以方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，所以其判别式240b ac ->．⑵ 证明：由于C 点坐标为()0c ，，而OA OC =，所以A 点坐标为()0c ，，把()0A c ，代入2y ax bx c =++，得20ac bc c =++． 因为0c ≠，所以10ac b ++=．题型二 二次函数的最值 巩固练习【练习5】 已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥， ∴0∆≥. ∴方程①有两个实数根.⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+-()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=. 等号右边=0. ∴左边=右边.∴ 1x =是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =-∵ 1m n -=， ∴ a m =.当2x =时，222122(1)22y n m m m m m =+=-+=+-，22222()()42(1)24y m n m m m m n m m m m m =+--+-=+--+=--+如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，22211273363(24CD y y m m m =-=--+=-++由12y y =，得222224m m m m +-=--+解得m =-2或m =1.∴ m A =-2，m B =1.∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.【测试1】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断：24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【解析】由图像可知0a >，102ba-<<，2404ac b a -<，2000a b c ⋅+⋅+<，0a b c -+=，0a b c ++>，于是20000040a b c a b c a b c b ac >><++>-+=->，，，，，．【测试2】 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；【解析】由图像可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =． ∵当0x =时，20011y =⨯-+=当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．课后测。

二次函数代数推理综合问题解析

二次函数代数推理综合问题解析

二次函数代数推理综合问题解析
二次函数（Quadratic Functions）最基础水平的代数推理问题之一，可以
用来解决各种给定一些参数的情况下，求出另一个参数或参数值之类的问题。

这类函数由俩参数组成，称为x、y，x为自变量，y为因变量。

在一般的情况下，这两
个参数可以满足以下数学关系：y=ax^2+bx+c。

总而言之，可以用二次函数来描述
在x和y两个参数间二次关系的简单函数。

比如说，假如我们知道了x以及y的值，就可以通过反推，求出这个函数的系
数a、b、c，至于求解的过程，可以使用高等数学中的一些解决方法，比如求根公式、全局最小值法等等。

然后，在得出了三个系数之后，就可以计算出当x变化之后y的大致变化情况了。

二次函数的应用不仅仅限于数学中，实际上，和复杂事物的表达和分析有着极
大的关联，比如弹道运动、地理范围等等，都可以使用这类数学关系很好地建模。

不仅如此，在许多工程之中，也都被广泛使用，比如电路的阻抗计算，金融市场的投资估算，航空机动控制等等。

二次函数的应该特别强调的是，首先，我们要有一定的解析技能去解决复杂问题，而这类问题居然还是可以用简单的二次方程来解决，这就引发了一种我们可以解决更大更复杂性问题的想法。

其次，这类函数本身具有极大的可编程性，根据需求改变，可以随意地变化它的特性，解决各种任务。

总之，二次函数的实用性是极为强大的，可以说无所不能。

而它的数学表现力，则可以为不同的问题提供最准确的解决方案，可以说把许多场景中的复杂系统，转换成简单的二次方程，才让解决问题变得简单。

最新九年级中考数学专题： 二次函数综合题(相似三角形问题)含答案

最新九年级中考数学专题： 二次函数综合题(相似三角形问题)含答案

2023年九年级中考数学专题： 二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图1，抛物线()221y x m m =--+（m 为常数）与x 轴交于A B 、两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ．（1）下列说法：①抛物线开口向上，①点C 在y 轴正半轴上；①12m >；①抛物线顶点在直线21y x =-+上，其中正确的是_______；（2）如图2，若直线21y x =-+与该抛物线交于M N 、两点（点M 在点N 下方），试说明：线段MN 的长是一个定值，并求出这个值；（3）在（2）的条件下，设直线21y x =-+与y 轴交于点D ，连接BM BN BD 、、，当:1:2DN MN =时，求此时m 的值，判断MBN △与MDB △是否相似，并说明理由．2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()260y ax ax c a =-+>与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为C ，直线AC 交y 轴于点D ，连接BD ，且ABD △与ABC 的面积之比为1：2．（1）顶点C 的横坐标为__________； （2）求点B 的坐标；（3）连接CO ，将BCO 绕点C 按逆时针方向旋转一定的角度后，点B 与点A 重合，此时点O 恰好也在y 轴上，求抛物线的表达式．3．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ，点D 是直线BC 上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，交直线BC 于点M ．当2DM ME =时，求点D 的坐标； （3）如图2，设AB 的中点为点N ，过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接CD 、CN ，使得以C 、D 、F 三点为顶点的三角形与CNO 相似，请直接写出点D 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP ∠=∠，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标； （3）若点B 的横坐标为t ，90ABC ∠=︒，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当0t <时，点C 的横坐标的取值范围．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：①ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE +BF 的最大值；①点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线L 与x 轴交于,A B 两点，且经过点(0,2)C -，抛物线的顶点D 的坐标为325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求抛物线L 的函数表达式；（2）如图1，点E 为第四象限抛物线L 上一动点，过点E 作EG BC ⊥于点G ，求EG 的最大值，及此时点E 的坐标；（3）如图2，连接,AC BC ，过点O 作直线//l BC ，点,P Q 分别为直线l 和抛物线L 上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点,P Q ，使PQB CAB ∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）过点A 作AP ①CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积；（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ①x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与①PCA 相似？若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．8．如图，在同一直角坐标系中，抛物线1L ：28y ax bx =++与x 轴交于()8,0A -和点C ，且经过点()2,12B -，若抛物线1L 与抛物线2L 关于y 轴对称，点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B ．（1）求抛物线2L 的表达式；（2）现将抛物线2L 向下平移后得到抛物线3L ，抛物线3L 的顶点为M ，抛物线3L 的对称轴与x 轴交于点N ，试问：在x 轴的下方是否存在一点M ，使MNA '与ACB '△相似？若存在，请求出抛物线的3L 表达式；若不存在，说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点(1,0),(3,0)A B -，与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）连接BC 与OP ，交于点D ，当:PD OD 的值最大时，求点P 的坐标；（3）点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使90CMN ∠=︒，且CMN △与BOC 相似，若存在，请直接写出点M 的坐标．10．如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -、()6,0B 两点，与y 轴交于C 点，设抛物线的顶点为D ．过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ．P 为线段DE 上一动点，(),0F m 为x 轴上一点，且PC PF ⊥．（1）求抛物线的解析式：（2）①当点P 与点D 重合时，求m 的值；①在①的条件下，将COF 绕原点按逆时针方向旋转90︒并平移，得到111C O F △，点C ，O ，F 的对应点分别是点1C ，1O ，1F ，若COF 的两个顶点恰好落在抛物线上，直接写出点1F 的坐标； （3）当点P 在线段DE 上运动时，求m 的变化范围．11．综合与实践如图1，抛物线y ＝﹣83x 2﹣94x +6与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线AC 的表达式；（2）点E 在抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点F ，使得以点A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设点P 从点O 出发以1个单位长度/秒的速度向终点A 运动，同时点Q 从点A 出发以54个单位长度/秒的速度向终点C 运动，运动时间为t 秒，当①OPQ 的平分线恰好经过OC 的中点时，求t 的值．12．抛物线23y x bx =-++与x 轴交于(3,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使12ACPACDSS =，求点P 的坐标；（3）在坐标轴上找一点M ，使以点B ，C ，M 为顶点的三角形与ACD △相似，直接写出点M 的坐标．13．如图，将抛物线2443y x =-+平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C ，新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，联结BC ，tanB 4=，设新抛物线与x 轴的另一交点是A ，新抛物线的顶点是D ．（1）求点D 的坐标；（2）设点E 在新抛物线上，联结,AC DC ，如果CE 平分DCA ∠，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线2443y x =-+沿x 轴左右平移，点C 的对应点为F ，当DEF 和ABC 相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(2)3，和(312)--，． （1）求此二次函数的表达式；（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点A 和点()10B ,，交y 轴于点()0,3C ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，PG y ⊥轴，交抛物线于点G ，过点G 作GF x ⊥轴于点F ，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作直线MN x ⊥轴交抛物线于点N ，是否存在点M ，使得AMN 与OBC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,2C -．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，求DEAE的最大值； （3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线//l BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使PQB CAB ∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图1，在平面直角坐标xoy 系中，已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （﹣4，0）、B（2，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，沿直线AC 平移抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c ，使得A 、C 两点的对应点E 、F 始终在直线AC上．①设在平移过程中抛物线与y 轴交于点M ，求点M 纵坐标的最大值；①试探究抛物线在平移过程中，是否存在这样的点E ，使得以A 、E 、B 为顶点的三角形与①ABF 相似．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （4，0），E （1，3），与y 轴交于点C ．（1）求该二次函数表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）P 为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P 作PQ ∥AC ，交直线BC 于点Q ，作PM ∥y 轴交BC 于M ．①求证：△PQM ∽△COA ； ②求线段PQ 的长度的最大值．19．如图，直线y x n =-+与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ．（1）求抛物线的解析式；（2）(m,0)E 为x 轴上一动点，过点E 作ED x ⊥轴，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接BP ． ①点E 在线段OA 上运动，若BPD ∆直角三角形，求点E 的坐标；①点E 在x 轴的正半轴上运动，若45PBD CBO ∠+∠=︒．请直接写出m 的值．20．如图，点A ，B 都在x 轴上，过点A 作x 轴的垂线交抛物线24y x x =-+于点C ，过点B 作x 轴的垂线交该抛物线于点D ，点C ，D 都在第一象限，点D 在点C 的右侧，DE AC ⊥于点E ，连结CD ，BE ，//CD EB ．（1）若2OA =，求AB 的长．（2）若点A 是线段OB 的中点，求点E 的坐标．（3）根据（2）的条件，连结OD ，动点P 在线段OB 上，作PQ OD ⊥交OD 于点Q ，当PDQ 与CDE △相似时，求OQOD的值．答案1．（1）①①①；（3）m =3，相似；m =1，不相似2．（1）3；（2）（5，0）；（3）2y 3．（1）2y x 2x 3=-++；（2）()2,3D ；（3）57,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭或315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭4．（1）214y x x =-或21(2)14y x =--；（2）点C 的坐标为(6,3)或51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）164t t --+；12C x ≥ 5．（1）（2）①9；①(4,6)D 或25(3,)4D ．6．（1）213222y x x =--；（2）max ()=EG E 的坐标为(2,3)-；（3）存在，点P 的坐标为6834,99⎛⎫ ⎪⎝⎭或⎝⎭． 7．（1）A （-1，0），B （1，0），C （0，-1）；（2）四边形ACBP 的面积为4；（3）M 点的坐标为（-2，3）或（43，79）或（4，15）． 8．（1）抛物线2L 的解析式为21382y x x =-++．（2）函数3L 的解析式为：2121322y x x =-+-或2126323y x x =-+-． 9．（1）2 246y x x =-++；（2）点P 的坐标为315,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，点M 的坐标为939,48⎛⎫ ⎪⎝⎭． 10．（1）2134y x x =--；（2）①4；①1(2，9)16或13(6-，49)144；（3）748m ≤≤ 11．（1）直线AC 的表达式为364y x =+；（2）点E 1的坐标为20(3,)3--；点E 2的坐标为(3,10)-；点E 3的坐标为(3,3-+；点E 4的坐标为(3,3--；（3）t 的值为5．12．（1）223y x x =--+；(1,4)D -；（2）⎝⎭P 或⎝⎭；（3）点M 的坐标为(0,0)或(9,0)-，或10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭． 13．（1）16(1,)3-；（2）(2,4)-；（3）242()433y x =-++或241()4312y x =--+ 14．（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，点D 的坐标分别为3944⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(12)，； （3）当5p x >时，锐角PCO ACO ∠<∠；当5p x =时，锐角PCO ACO ∠=∠；当25p x <<时，锐角PCO ACO ∠>∠．15．（1）223y x x =--+，()1,4-；（2）()2,3P -；（3）存在，()2,0-或2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭16．（1）213222y x x =--；（2）45；（3）存在，点P 的坐标为6834,99⎛⎫ ⎪⎝⎭或⎝⎭17．（1）2142y x x =--+；（2）①6；①存在，E (62--或(62--18．（1）二次函数表达式为：213222y x x =-++ ；（2）△ABC 为直角三角形；（3）； 19．（1）234y x x =-++；（2）①(2,0)或(3,0)；①7m =或134．20．（1；（2）1296,749E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）2或4932。

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二次函数与代数综合中考要求重难点1. 理解二次函数图象与x 轴的交点与一元二次方程的关系；2. 理解二次函数图象与x 轴的位置关系与一元二次方程解的情况的联系；3. 会利用二次函数图象判断一元二次方程的根的个数；4. 会根据抛物线与x 轴的位置关系求字母系数；5. 会用图象法求一元二次方程的近似解；6. 掌握抛物线与x 轴的交点与一元二次方程两根之间的联系，灵活运用相关的概念解题；7. 掌握并运用二次函数()()12y a x x x x =--解题；8. 理解二次函数与不等式之间的关系；9. 会用函数的观点去看方程和会用数形结合的思想去解决问题； 10. 理解二次函数与一次函数、反比例函数之间的关系。

11. 会将二次函数、一次函数与反比例函数综合应用。

课前预习你知道“函数”的发展史吗？你知道“函数”是怎样发展来的吗？让我们一起回顾一下函数概念的发展史吧。

函数（function ）这一名词，是德国的数学家莱布尼茨17世纪首先采用的． 与莱布尼茨几乎同时，瑞士数学家雅克·柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义． 1718年，雅克·柏努意的弟弟约翰·柏努意给出了函数的如下定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数．换句话说定义为：由x 和常量所构成的任一式子都可称之为关于x 的函数．约翰·柏努意的学生瑞士数学家欧拉，把约翰·柏努意关于函数的定义又推进了一步，使之更加明朗化．为了适应当时所出现的各种情况，为了适应数学的发展，法国数学家柯西引入了新的函数定义。

在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词．德国数学家黎曼引入了新的定义：“对于x 的每一个值，y 总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x ，y 之间的对应方法如何，均将y 称为x 的函数．”1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义，这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系以求出每一个x 的对应值．1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x 与y 之间的对应关系是无关紧要的，所以重新定义，这个抓住了概念的本质属性，曾被比较长期的使用着．上面我们对函数概念的历史发展作了概述，我们看到，“函数”这个重要概念发展到近代，经过了一段如此漫长的道路，从某种意义上来说，它反映了人类对事物逐渐精确化的认识过程．数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用．例题精讲模块一 二次函数与一元二次方程1. 求二次函数2y ax bx c =++()0a ≠的图象与x 轴的交点坐标，就是令0y =，求20ax bx c ++=中x 的值的问题。

此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程的根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数。

2. 当20ax bx c ++=中的0∆>时，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点；当20ax bx c ++=中的0∆=时，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有一个交点； 当20ax bx c ++=中的0∆<时，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴没有交点；3. 抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点之间的距离公式||AB ==()0∆>【例1】 （2020 广东）求二次函数221y x x =--与x 轴的交点坐标？ 【难度】1星【解析】求二次函数221y x x =--与x 轴的交点坐标，也就是令0y =，解一元二次方程即可。

【答案】对于221y x x =-- 令0y =，则2210x x --=解得11x =21x =∴二次函数221y x x =--与x 轴的交点坐标为()1，()1【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点的横坐标是方程220x x +-=的两个根，且抛物线经过点()2,8，求二次函数的解析式【难度】1星【解析】通过交点确定函数的解析式，可以采用双根式。

【答案】∵220x x +-= ∴11x =，22x =-∴交点坐标为()1,0，()20-，设抛物线的解析式为()()12y a x x =-+ 将点()2,8代入得 ()()82122a =-+ 解得2a =∴二次函数的解析式为2224y x x =+-【例2】 已知抛物线()221423y k x kx k =+++-，求：（1）k 为何值时，抛物线与x 轴相交于两点，仅相交于一点、不想交？ （2）k 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点，分别在原点的两侧？ 【难度】2星【解析】判断抛物线与x 轴的交点情况，主要判断24b ac -；两交点是否在原点两侧，要由根与系数的关系来推断。

【答案】（1）()()()224442123824b ac k k k k -=-⨯+-=+ ∴当8240k +>，且()210k +≠即当3k >-且1k ≠-时，抛物线与x 轴交于两点 当8240k +=，且()210k +≠ 即当3k =-时，抛物线与x 轴交于一点当8240k +<，且()210k +≠即当3k <-时，抛物线与x 轴无交点（2）设抛物线与x 轴的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ∵抛物线与x 轴的两个交点分别在原点的两侧，则 240b ac ->，且120x x < 又24824b ac k -=+，()122321k x x k -=+∴()824023021k k k +>⎧⎪-⎨<⎪+⎩解得312k -<<∴当312k -<<时，抛物线与x 轴的两个交点分别在原点的两侧【巩固】（2019 武汉）已知抛物线()221y x k x k =++-与x 轴有两个交点，且这两个交点分别在直线1x =的两侧，则k 的取值范围是？【难度】2星【解析】本题要求两个交点分别在直线1x =的两侧，则两根中一根大于1，另一根小于1。

【答案】∵抛物线与x 轴有两个交点，且在直线1x =的两侧 ∴()()120110x x ∆>⎧⎪⎨--<⎪⎩即()1212010x x x x ∆>⎧⎪⎨-++<⎪⎩∴解得3k <-【巩固】m 为何值时，抛物线()2121y m x mx m =-++-与x 轴没有交点？ 【难度】1星【解析】判断函数图象与x 轴的交点情况要通过判断∆来决定。

【答案】()()2224184m m m ∆=--=- ∵图象与x 轴没有交点 ∴840m -< 所以当12m <时，函数与x 轴没有交点【例3】 已知二次函数2241y x x =--的图象与x 轴交与A 、B 两点，与y 轴交于点C ，求ABC ∆的面积 【难度】2星【解析】本题的关键是求线段AB 的长 【答案】依题意知()0,1C -21AB x x =-==∴11122ABC c S AB y ∆=⋅⋅==模块二 二次函数与一元二次不等式1. 二次函数2y ax bx c =++与一元二次不等式20ax bx c ++>及20ax bx c ++<之间的关系如下：（其中12x x < ）【例4】 已知二次函数2y x x a =-+(0)a >，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ ） A ．1m -的函数值小于0 B ．1m -的函数值大于0 C ．1m -的函数值等于0D ．1m -的函数值与0的大小关系不确定【难度】2星【解析】由题意得：此二次函数与x 轴有两交点，两交点横坐标为1x ，212()x x x <，两交点的距离为d = ∵0a >，∴1d <，∵当x 取m 时，函数值小于0， ∴12x m x <<，∴1211m x x x -<-<，∴11m x -< ∴当x 取1m -时，函数值大于0【答案】B【巩固】小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式245x x -+的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找值为1时x 的值，小亮负责找值为0时x 的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ） A ．小明认为只有当2x =时，245x x -+的值为1. B ．小亮认为找不到实数x ，使245x x -+的值为0.C ．小梅发现245x x -+的值随x 的变化而变化，因此认为没有最小值D ．小花发现当x 取大于2的实数时，245x x -+的值随x 的增大而增大，因此认为没有最大值.【难度】2星【解析】当2451x x -+=时，解得122x x ==，故A 正确当2450x x -+=时，0∆<，故B 正确∵2245(2)1x x x -+=-+，当2x =时，有最小值1，但没有最大值.故C 错 D 正确.【答案】D【例5】 （2020 北京中考）已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数.（1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.【难度】3星【解析】二次函数与方程、不等式综合.【答案】（1）由题意得，168(1)0k ∆=--≥．∴3k ≤． ∵k 为正整数， ∴123k =，，．（2）当1k =时，方程22410x k k ++-=有一根为零； 当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根；当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根． 综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．当3k =时，二次函数为2242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．（3）设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，则(30)A -，，(10)B ，．依题意翻折后的图象如图所示． 当直线12y x b =+经过A 点时，可得32b =； 当直线12y x b =+经过B 点时，可得12b =-． 由图象可知，符合题意的(3)b b <的取值范围为1322b -<<【例6】 阅读材料，解答问题。

例：用图象法解一元二次不等式：2230x x --> 设223y x x =--，则y 是x 的二次函数 ∵10a => ∴抛物线开口向上又∵当0y =时，2230x x --= 解得11x =-，23x =∴2230x x -->的解集为1x <-或3x >（1）观察图象，直接写出一元二次不等式2230x x --<的解集是 （2）仿照上例，解一元二次不等式210x ->。

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