第7讲-二次函数与其它代数知识综合
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。
在这个表达式中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$ 和 $c$ 是系数，其中 $a$ 称为二次项系数，$b$ 称为一次项系数，$c$ 称为常数项。
二、二次函数的性质1. 抛物线形状：二次函数的图像是一个向上或向下开口的抛物线。
2. 开口方向：当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
3. 对称轴：二次函数图像关于直线 $x = -\frac{b}{2a}$ 对称，这条直线称为抛物线的对称轴。
4. 顶点：抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。
5. 与 X 轴的交点：二次函数与 X 轴的交点称为根，可以通过解方程$ax^2 + bx + c = 0$ 来找到。
三、二次函数的图像1. 顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是顶点坐标。
2. 交点式：$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是与 X 轴的交点坐标。
3. 标准式：$y = ax^2 + bx + c$。
四、求解二次方程1. 因式分解法：当能够找到两个数，它们的和等于 $b$，积等于$c$ 时，可以使用因式分解法。
2. 完全平方法：通过配方将二次方程转化为完全平方的形式。
3. 公式法：使用二次公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ 来求解。
五、二次函数的应用1. 物理运动：描述物体在重力作用下的自由落体运动和抛体运动。
2. 优化问题：在商业和工程中，用于寻找最大利润或最小成本。
3. 数据拟合：在统计学中，用于拟合数据点，找到最佳曲线。
《二次函数》知识点知识点总结
《二次函数》知识点知识点总结《二次函数》知识点总结一、二次函数的定义一般地，如果形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，那么就叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。
需要注意的是，二次函数的二次项系数 a 不能为 0，如果 a ＝ 0，那么就变成了一次函数。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／ 2a 。
抛物线的顶点坐标为（b ／ 2a，（4ac b²) ／ 4a）。
三、二次函数的表达式1、一般式：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）2、顶点式：y ＝ a(x h)²＋ k（a ≠ 0），其中顶点坐标为（h，k）3、交点式：y ＝ a(x x₁)（x x₂)（a ≠ 0），其中 x₁、x₂是抛物线与 x 轴交点的横坐标四、二次函数的性质1、当 a ＞ 0 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大。
函数有最小值，当 x ＝ b ／ 2a 时，y 最小值＝（4ac b²) ／ 4a 。
2、当 a ＜ 0 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小。
函数有最大值，当 x ＝ b ／ 2a 时，y 最大值＝（4ac b²) ／ 4a 。
五、抛物线的平移抛物线的平移实质上是它的顶点（h，k）的移动（点的移动规律）。
向左平移 h 个单位长度，顶点坐标变为（h m，k）；向右平移 m个单位长度，顶点坐标变为（h ＋ m，k）。
向上平移 n 个单位长度，顶点坐标变为（h，k ＋ n）；向下平移 n个单位长度，顶点坐标变为（h，k n）。
六、二次函数与一元二次方程的关系二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），当 y ＝ 0 时，就变成了一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）。
二次函数的相关知识点总结
二次函数的相关知识点总结一、二次函数的概念。
1. 定义。
- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项。
- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。
二、二次函数的图象。
1. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。
2. 抛物线的顶点坐标。
- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 例如，对于二次函数y=x^2-2x - 3，其中a = 1，b=-2，c=-3。
根据顶点坐标公式，-(b)/(2a)=-(-2)/(2×1)=1，frac{4ac - b^2}{4a}=frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=(-12 - 4)/(4)=-4，所以顶点坐标为(1,-4)。
3. 抛物线的对称轴。
- 对称轴方程为x =-(b)/(2a)。
4. 抛物线的开口方向。
- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 例如，y = 3x^2+2x - 1中a = 3>0，开口向上；y=-2x^2+5x+3中a=-2 < 0，开口向下。
三、二次函数的性质。
1. 增减性。
- 当a>0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大。
- 当a < 0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小。
2. 最值。
- 当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，y_min=frac{4ac - b^2}{4a}，此时x =-(b)/(2a)。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是一种基本的数学函数，也是高中数学中重要的一部分。
下面是关于二次函数的知识点总结。
一、函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都映射到另一个集合的元素上。
函数有定义域、值域和对应关系，可以用图像、表格和公式的形式来表示。
二、二次函数的定义二次函数是一个具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以是开口向上的“U”型或开口向下的“∩”型。
三、二次函数的图像特点1.对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
2.初中线：二次函数的图像在抛物线的顶点上与对称轴相交，这个点称为抛物线的顶点。
3.开口方向：二次函数的图像开口方向由a的正负决定，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。
4.顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
5. 零点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，可以用求根公式(-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解。
四、二次函数的性质1.定义域和值域：二次函数的定义域为实数集，值域根据二次函数开口的方向来确定。
2.单调性：当a>0时，二次函数在定义域上是递增的；当a<0时，二次函数在定义域上是递减的。
3.最值：当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
4.轴对称性：二次函数是轴对称的，对称轴为x=-b/2a。
5.单调区间：当a>0时，二次函数在对称轴两侧是递增的；当a<0时，二次函数在对称轴两侧是递减的。
6.零点个数：二次函数的零点个数最多为2个。
五、二次函数的标准形式和一般形式1.标准形式：二次函数的标准形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
2. 一般形式：二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c。
《二次函数》知识点梳理与总结
《二次函数》知识点梳理与总结
一、定义
二次函数是一类二元多项式函数，其一般形式如下：
f(x)=ax2+bx+c
其中a≠0，且a，b，c为常数。
它是一阶导数连续可微的函数。
二、性质
1．二次函数的图象是一个双曲线，其有两条对称轴，分别为y轴和其他对称轴，其上还有一个坐标原点称为顶点。
2．关于y轴的对称性:f(-x)=f(x)
3．关于其他对称轴的对称性：f(x+b/2a)=f(x-b/2a)
4．关于顶点：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))
5．当a>0时，双曲线凹，即顶点在第四象限。
6．当a<0时，双曲线凸，即顶点在第一象限。
7．函数的单调性：除两端点外，双曲线上任一点，函数值都在顶点极值线的两侧。
8．二次函数的极值：极值点在二次函数在顶点处，y值为f(-b/2a) 9．函数的凹凸：当a>0时，双曲线是凹函数；当a<0时，双曲线是凸函数。
三、解法
1．利用顶点标准格式求二次函数的顶点：
顶点坐标：(-b/2a，f(-b/2a))
2．利用极值定理求二次函数的极值：
极值点在二次函数在顶点处，y值为f(-b/2a)
3．利用对称性求双曲线的轴的对称性：
1）关于y轴的对称性：f(-x)=f(x)
2）关于其他对称轴的对称性：f(x+b/2a)=f(x-b/2a)。
二次函数全章知识点综合
二次函数全章知识点综合页眉内容二次函数知识点总结二次函数知识点：1．二次函数的概念：一般地，形如y x 2 bx c （，b ，c 是常数，0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．22. 二次函数y x 2 bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量⑵，b ，c 是常数，是二次项系数，x 的二次式，x 的最高次数是2．b 是一次项系数，c 是常数项．二次函数的基本形式21. 二次函数基本形式：y x 2 的性质：结论：的绝对值越大，抛物线的开口越小。
总结：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上0，0 y 轴x 0 时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值0 ．向下0，0y 轴x 0 时，y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值0 ．22. y x 2 c 的性质：页眉内容结论：上加下减。
总结：23. y x h 的性质：结论：左加右减。
总结：24. y x h k 的性质：总结：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上h ，k X=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k ．向下h ，k X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k ．二次函数图象的平移1. 平移步骤：2⑴将抛物线解析式转化成顶点式y x h 2 k ，确定其顶点坐标h ，k ；⑵保持抛物线y x 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减”．、二次函数y x h k 与y x 2 bx c 的比较请将y 2x 2 4x 5利用配方的形式配成顶点式。
二次函数与代数
二次函数与代数一、引言代数学是数学的一个分支，研究各种数学对象及其运算规则。
而二次函数则是代数学中的一种重要函数形式，具有广泛的应用。
本文将探讨二次函数与代数的关系，并介绍二次函数的基本性质和应用。
二、二次函数的定义和性质1. 二次函数的定义二次函数是指形如f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中x为自变量，f(x)为因变量。
2. 二次函数的图像根据二次函数的定义，我们可以绘制出其图像。
二次函数的图像呈现出抛物线的形状，开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
3. 二次函数的顶点二次函数的图像在平面直角坐标系中有一个最高或最低点，称为顶点。
顶点的横坐标为-x轴对称点的横坐标，纵坐标为函数值最大或最小的值。
4. 二次函数的对称轴二次函数的图像关于一条直线对称，该直线称为二次函数的对称轴。
对称轴的方程为x=-b/(2a)。
5. 二次函数的零点二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即函数值为0的点。
根据二次函数的定义，零点可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0得到。
三、二次函数的应用1. 物体的抛体运动在物理学中，抛体运动是指物体在重力作用下，沿着抛物线轨迹运动的现象。
二次函数可以描述抛体运动的轨迹，通过调整函数的参数，可以分析物体的抛体运动轨迹、最高点、飞行时间等。
2. 金融领域中的应用在金融学中，二次函数被广泛应用于衡量风险和收益的关系。
例如，投资组合的效用函数可以用二次函数表示，通过优化该函数可以得到最佳的投资组合。
3. 工程中的应用在工程领域，二次函数也有各种应用。
例如，根据地形的测量数据可以使用二次函数拟合地表曲线，便于工程设计和规划；在控制系统中，二次函数可以用来描述系统的响应特性，从而设计出合适的控制策略。
四、总结通过本文的介绍，我们了解了二次函数的定义和性质，包括图像、顶点、对称轴和零点等重要概念。
二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳二次函数是高中数学中的重要章节，它在数学和实际生活中有着广泛的应用。
所以，对于二次函数的知识点的掌握对于学习数学和解决实际问题都是非常重要的。
下面将从定义、图像、性质、解析式和实际应用等方面详细归纳二次函数的知识点。
一、定义和基本形态二次函数是指一个一元二次方程确定的函数，它的一般形式可以表示为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
它的定义域是全体实数集R。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向和抛物线的开口相同。
当a > 0时，抛物线向上开口；当a < 0时，抛物线向下开口。
这个基本形态是理解二次函数的关键。
二、图像的性质1. 零点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值。
二次函数的零点可以通过解一元二次方程来求得，也就是求解 ax² + bx + c = 0 的解。
当零点存在时，它的个数最多为2个。
2. 对称轴：二次函数的图像总是关于一个直线对称的。
这条直线称为二次函数的对称轴。
对称轴方程的求法是x = -b / 2a。
3. 顶点和最值：二次函数总是有一个最值点，也就是函数的最大值或最小值。
当a > 0时，函数的最小值出现在顶点上；当a < 0时，函数的最大值出现在顶点上。
顶点的坐标可以通过对称轴的x坐标带入函数中求得。
4. 开口：二次函数的开口决定了其函数值的增减。
当 a > 0时，函数是向上开口的，函数值随着x的增大而增大；当a < 0时，函数是向下开口的，函数值随着x的增大而减小。
三、解析式及其对称性根据二次函数的定义，我们可以得到它的一般解析式 f(x) = ax² + bx + c。
在解析式中，a是二次项的系数，b是一次项的系数，c是常数项。
二次函数的解析式可以通过给定的系数a、b、c进一步确定函数的性质。
1. 对称性：二次函数具有对称性，也就是函数图像在对称轴两侧关于对称轴对称。
二次函数的知识点归纳总结
二次函数的知识点归纳总结二次函数是一类形式为：f（x）=ax^2+bx+c（a≠0）的函数，它是由一个未知量x及其次方以及常数和构成的多项式函数，是函数论中最重要的一类函数，也是流行的一类多项式函数，可以表示物理、化学等各种简单工程运动的轨迹。
1、定义：2、关于二次函数的一般性质：（1）根据二次函数f（x）的形式，当a>0时，f（x）的图像至少在原点处有一个局部极大值；当a<0时，f（x）的图像至少在原点处有一个局部极小值。
（2）二次函数f（x）=ax^2+bx+c，其图像受常数c的影响最大，位移平面；受系数a的影响较大，改变函数图像的凹凸程度以及波长；受系数b的影响最小，表明函数图像关于原点x轴对称。
（3）二次函数f（x）=ax^2+bx+c中，判别式D=b^2-4ac，有3种不同的情况：（a）D>0，表明函数的图像具有两个不同的实根x1和x2，也就是在X轴上有两个不同的交点；无论D的值如何，都可以一般的、因式分解的、平方差的、二次根和完全平方式的解法来得到函数的实根。
（1）一般解法：f（x）=0，解出二次函数的实根x1和x2的方法是把二次函数的系数都乘以同一个数，使这个函数化简成一元二次方程的形式，然后求解其实根。
（2）因式分解：这是一种形式上很漂亮的方法，但是只有当判别式D=b^2-4ac被完全开方时才可以用，即只有当D=（a+b）*（A-b）时，这样当把ax^2+ bx+ c这个二次多项式用（a+b）*（a-b）因式分解后再解每个因式，就可以求出实根x1,x2。
（3）平方差的方法：这是一种非常好的方法，可以用它来快速求出二次函数的实根。
其原理是：用a，b，c构成两个二次数相差一个平方差，每个二次数的两个实根相等，根据这个性质，我们要找到这两个二次数的实根，就成了一个直觉的问题。
（4）完全平方式：这相对于因式分解和平方差法来说是一种更为抽象的方式，其方法是：从f（x）=ax^2+bx+c函数中把bc/a去掉，把（b/2a)^2也去掉，只留下一个完全平方式，然后按照完全平方式的特征，把a的倍数运算到等式另一边，最后化简求解。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模和解几何问题的重要工具。
下面是关于二次函数的知识点的归纳总结。
一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 的函数，其中 a、b、c 是常数。
2.二次函数的图象：二次函数的图象是一个抛物线，开口方向取决于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
3.对称轴：二次函数的对称轴是与图象关于x轴对称的直线，其方程为x=-b/2a。
4. 零点：二次函数的零点是函数图象与 x 轴的交点，可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c =0 来得到。
5.最值：二次函数的最值取决于a的正负性，当a>0时，函数取最小值；当a<0时，函数取最大值。
二、二次函数的变形与性质1.平移变换：二次函数可以通过平移变换来改变其图象的位置。
平移变换的一般形式是f(x)→f(x-h)+k，其中h和k是任意实数。
2.缩放变换：二次函数可以通过缩放变换来改变其图象的形状。
缩放变换的一般形式是f(x)→af(x)，其中a是非零实数。
3.纵坐标平移：二次函数可以通过纵坐标平移来改变其图象的位置。
纵坐标平移的一般形式是f(x)→f(x)+k，其中k是任意实数。
4.二次函数的奇偶性：如果a是偶数，则二次函数是偶函数；如果a是奇数，则二次函数是奇函数。
5.顶点坐标的性质：顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))是二次函数的最值点，当a>0时是最小值，当a<0时是最大值。
三、二次函数的方程与不等式1. 二次方程的解：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解可以通过求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 来得到。
2. 解的判别式：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解的判别式是 D =b^2 - 4ac，根据判别式的值可以判断方程有几个实数解。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是数学中一种重要的函数形式，具有较广泛的应用。
本文将详细介绍二次函数的定义、性质、图像与变换、解析式、根与判别式、与其他函数的关系以及应用等知识点。
一、定义与性质：二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
二次函数的定义域为全体实数集R，值域根据a的正负值有所不同。
二次函数的图像为抛物线，开口向上或向下。
性质1：二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) = 2ax + b。
性质2：当二次函数的对称轴为x=h时，最高/最低点的横坐标为x=h，纵坐标为f(h)。
性质3：如果a>0，则抛物线开口向上，最低点为最小值；如果a<0，则抛物线开口向下，最高点为最大值。
二、图像与变换：二次函数的图像为一条抛物线，关键要素有顶点、对称轴、开口方向以及最高/最低点等。
1.顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中-b/2a为对称轴的横坐标，f(-b/2a)为对称轴上的纵坐标。
2.对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条线，其方程为x=-b/2a。
3.开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a>0，开口向上；若a<0，开口向下。
4.最高/最低点：顶点即为最高或最低点，纵坐标为二次函数的最值。
变换1：平移变换二次函数f(x) = ax^2 + bx + c关于横轴上下平移h个单位的函数为f(x) = a(x-h)^2 + bx + c。
变换2：垂直伸缩与翻转二次函数f(x) = ax^2 + bx + c关于纵轴上下压缩k倍且翻转ξ度的函数为f(x) = a(k(x-ξ))^2 + bx + c。
三、解析式：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
根据实际问题的要求，可以确定二次函数的具体形式。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是高中数学中重要的一章知识点，它是一种以二次方程为模型的函数。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的定义、性质、图像以及与实际问题的应用等方面的知识。
本文将对二次函数的相关知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握二次函数。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向（正负号决定开口的方向），b决定了二次函数的对称轴，c则表示二次函数的纵坐标的平移。
二、二次函数的图像二次函数的图像通常是抛物线形状的。
开口向上的抛物线表示a>0，则最低点为顶点；开口向下的抛物线表示a<0，则最高点为顶点。
顶点的坐标可通过求解二次函数的顶点公式得到：x=-b/2a，y=f(-b/2a)。
对于一般式的二次函数，纵坐标平移c对于顶点的影响为纵坐标上下平移。
三、二次函数的性质1. 定义域和值域：定义域是函数可以取到的所有实数，对于二次函数来说，定义域是整个实数集；而值域则取决于a的正负号，开口向上的二次函数值域的下界为顶点的纵坐标，开口向下的二次函数值域的上界为顶点的纵坐标。
2. 对称性：二次函数关于对称轴对称，其中对称轴的方程为x=-b/2a。
对称性使得我们可以通过研究对称轴两侧的取值来推导出整个函数的形态。
3. 零点与判别式：一般二次函数的零点是指使得f(x)=0的x值，可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0的根公式求得。
判别式可以通过b²-4ac的计算获得，判别式的正负可以判断二次函数的零点个数与开口方向。
4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增，而当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。
5. 极值点：二次函数的最小值或最大值即为极值点，对于开口向上的二次函数，极小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，极大值为顶点的纵坐标。
初中代数知识点总结：初中代数二次函数公式定理
初中代数知识点总结：初中代数二次函数公式定理今天小编为大家整理了一篇有关初中代数知识点总结：初中代数二次函数公式定理的相关内容，以供大家阅读！1二次函数及其图像二次函数我们把函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a不等于0)叫做二次函数函数y=ax2(a不等于0)的图像和性质用表里各组对应值作为点的坐标,进行描点,然后用光滑的曲线把它们顺次联结起来,就得到函数y=x2的图象这个图象叫做抛物线函数y=x2的图像,以后简称为抛物线y=x2这条抛物线是关于y轴成对称的我们把y轴叫做抛物线y=x2的对称轴对称轴和抛物线的焦点,叫做抛物线的顶点函数y=ax2+bx+c(a不等于0)的图像和性质抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是(-b/2a,4ac-b2/4a),对称轴方程是x=-b/2a,当a〉0时,抛物线的开口向上,并且向上无限延伸;当a〈0时,抛物线的开口向下,并且向下无限延伸当a〉0时,二次函数y=ax2+bx+c在x〈-b/2a时是递减的,在x〉-b/2a时是递增的;在x=-b/2a处取得y最小=4ac-b2/4a当a〈0时,二次函数y=ax2+bx+c在x〈-b/2a时是递减的;在x=-不/2a 处取得y最大=4ac-b2/4a要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。
在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
2根据已知条件求二次函数其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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初中代数二次函数公式定理
初中代数二次函数公式定理1.二次函数及其图像1.二次函数我们把函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,且a不等于0)叫做二次函数2.函数y=ax²(a不等于0)的图像和性质用表里各组对应值作为点的坐标,进行描点,然后用光滑的曲线把它们顺次联结起来,就得到函数y=x²的图象这个图象叫做抛物线函数y=x²的图像,以后简称为抛物线y=x²这条抛物线是关于y轴成对称的我们把y轴叫做抛物线y=x²的对称轴对称轴和抛物线的焦点,叫做抛物线的顶点3.函数y=ax²+bx+c(a不等于0)的图像和性质抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是(-b/2a,4ac-b²/4a),对称轴方程是x=-b/2a,当a〉0时,抛物线的开口向上,并且向上无限延伸;当a〈0时,抛物线的开口向下,并且向下无限延伸当a〉0时,二次函数y=ax²+bx+c在x〈-b/2a时是递减的,在x〉-b/2a时是递增的;在x=-b/2a 处取得y最小=4ac-b²/4a当a〈0时,二次函数y=ax²+bx+c在x〈-b/2a时是递减的;在x=-不/2a 处取得y最大=4ac-b²/4a2.根据已知条件求二次函数1.根据已知条件确定二次函数2.二次函数的最大值或最小值3.一元二次方程的图像解法直角三角形概述定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
性质：直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R＝C/2）。
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5：在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
二次函数代数综合
二次函数代数综合一．二次函数与一次函数综合一次函数()0y kx n k =+≠的图象l 与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象G 的交点，由方程组2y kx ny ax bx c =+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定： 1．方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点； 2．方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； 3．方程组无解时⇔l 与G 没有交点．二．二次函数与不等式综合二次函数与不等式的联系．如下表（以0a >为例）：判别式:24b ac ∆=- 0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象不等式的解集20ax bx c ++>(0)a >1x x <或2x x >2b x a≠-任意实数20ax bx c ++<(0)a >12x x x <<无解 无解三．二次函数与方程及代数式综合二次函数与方程及代数式综合主要是二次函数与一元二次方程综合及二次函数与代数式的化简求值，与方程综合注意分类讨论以及整数解问题，与代数式综合的解题思想是“消元降次，整体代入”．x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxO xy知识精讲三点剖析二次函数代数综合一．考点：二次函数代数综合．二．重难点：二次函数与一次函数综合，二次函数与不等式综合，二次函数与方程及代数式综合．三．易错点：1．二次函数与一次函数综合中求解参数的取值范围时容易漏解或者是分不清取值范围的上限或者下限；2．二次函数与不等式综合问题解题时不要直接硬算，要结合函数图像，利用函数的增减性来求解参数的取值范围；3．二次函数与代数式综合除了极少数情况下可以直接计算之外，一般情况下都是通过“消元降次，整体代入”的方法来求解；4．二次函数与方程综合注意二次项系数的分类讨论．题模一：与不等式综合例1.1.1如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【答案】（1）y=12x2-12x-1（2）（-1，0）（3）-1＜x＜4【解析】题模精讲（1）∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过A （2，0），B （0，-1）和C （4，5）三点， ∵42011645a b c c a b c ++=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，∵a=12，b=-12，c=-1，∵二次函数的解析式为y=12x 2-12x -1； （2）当y=0时，得12x 2-12x -1=0； 解得x 1=2，x 2=-1， ∵点D 坐标为（-1，0）； （3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是-1＜x ＜4．例 1.1.2已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）．（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题：①若25=a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1112y x =-；2(,4)a a -（2）24x <≤；13562a ≤<【解析】（1）∵ 一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，∴ 20,4 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1,21.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩…………………………… 1分 ∴1112y x =--------------------------------------------2分 ∵ 22224)(42a a x ax x y -+-=+-=，∴ 二次函数图象的顶点坐标为2(,4)a a -．………… 3分（2）①当25=a 时，4522+-=x x y ．………… 4分 如图10，因为10y >且20y ≤，由图象得24x <≤．…… 6分 ②13562a ≤<．……………………………7分题模二：与一次函数综合例1.2.1在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-．（1）求B 点坐标；（2）直线142y x m n =++经过点B ．①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G与直线142y x m n =++只有两个公共点时，d 的取值范围是________．【答案】（1）()4,0（2）2142y x x =--；122y x =-（3）502d -<<【解析】该题考查的是函数综合． （1）依题意，可得抛物线的对称轴为212mx m-=-=．………………………1分 ∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为()2,0-， ∴点B 的坐标为()4,0………………………2分（2）∵点B 在直线142y x m n =++上， ∴024m n =++①∵点A 在二次函数22y mx mx n =-+的图象上， ∴044m m n =++② ………………………3分 由①，②可得12m =，4n =-………………………4分 ∴抛物线的解析式为2142y x x =--，直线的解析式为122y x =-……………5分 （3）502d -<<………………………7分例1.2.2在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y mx mx =--()0m ≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ． （1）求点A ，B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；（3）若该抛物线在21x -<<-这一段位于直线l 的上方，并且在23x <<这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．【答案】（1）()1,0（2）22y x =-+（3）2242y x x =-- 【解析】该题考察的是一次函数和二次函数综合． （1）当0x =时，2y =∴ 点A 的坐标为()0,2-， …………………1分 将222y mx mx =--配方，得()212y m x m =---，∴ 抛物线的对称轴为直线1x =，∴ 点B 的坐标为()1,0， …………………2分（2）由题意，点A 关于直线1x =对称点的坐标为()2,2-．………………………………3分 设直线l 的解析式为y kx b =+ ∵ 点()1,0和点()2,2-在直线l 上， ∴022k b k b =+⎧⎨-=+⎩， 解得22k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线l 的解析式为22y x =-+．………………………………………………4分 （3）由题意可知，抛物线关于直线1x =对称，直线AB 和直线l 也关于直线1x =对称∵ 抛物线在23x <<这一段位于直线AB 的下方， ∴ 抛物线在10x -<<这一段位于直线l 的下方， 又∵ 抛物线在21x -<<-这一段位于直线l 的上方，∴ 抛物线与直线l 的一个交点横坐标为1- ， …………………………………5分 ∴ 由直线l 的解析式22y x =-+ 可得这个店的坐标为()1,4-，………………6分 ∵ 抛物线222y mx mx =--经过点()1,4-， ∴2m =．∴ 所求抛物线的解析式为2242y x x =--． …………………………………7分 例1.2.3在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y=x ﹣1交于点A ，点A 关于直线x=1的对称点为B ，抛物线C 1：y=x 2+bx+c 经过点A ，B ． （1）求点A ，B 的坐标；（2）求抛物线C 1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C 2：y=ax 2（a ≠0）与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【答案】（1）A （3，2），B （﹣1，2）． （2）y=x 2﹣2x ﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）． （3）2a<29≤．【解析】（1）当y=2时，则2=x ﹣1， 解得：x=3， ∴A （3，2），∵点A 关于直线x=1的对称点为B ， ∴B （﹣1，2）． （2）把（3，2），（﹣1，2）代入抛物线C 1：y=x 2+bx +c 得： 2=9+3b+c2=1-b+c ⎧⎨⎩解得：21b c =-⎧⎨=-⎩∴y=x 2﹣2x ﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C 2过A 点，B 点时为临界，代入A （3，2）则9a=2，解得：a=29， 代入B （﹣1，2），则a （﹣1）2=2， 解得：a=2，∴2a<29≤． 题模三：与代数式综合例1.3.1已知关于x 的方程()03132=+++x m mx ．（1）求证：不论为m 任意实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式； （3）若点P （1x ，1y ）与点Q （n x +1，2y ）在（2）中抛物线上，（点P 、Q 不重合），且21y y =，求代数式81651242121++++n n n x x 的值． 【答案】（1）见解析（2）243y x x =++（3）24【解析】（1）当0m =时，原方程化为,03=+x 此时方程有实数根 x = -3. 当0m ≠时，原方程为一元二次方程.∵()()2223112961310m m m m m ∆=+-=-+=-≥． ∴此时方程有两个实数根．综上，不论m 为任何实数时，方程 03)13(2=+++x m mx 总有实数根． （2）∵令0y =, 则 03)13(2=+++x m mx ． 解得 13x =-，21x m=-． ∵ 抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，m 为正整数，∴1m =. ∴抛物线的解析式为243y x x =++. （3）∵点()11,F x y 与()12,Q x n y +在抛物线上， ∴2211121143,()4()3y x x y x n x n =++=++++.∵12y y =，∴22111143()4()3x x x n x n ++=++++. 可得 04221=++n n n x ，即 0)42(1=++n x n ． ∵ 点P , Q 不重合，∴ 0n ≠．∴ 124x n =--.∴ 222211114125168(2)265168x x n n n x x n n n ++++=+⋅+++ 22(4)6(4)516824.n n n n n =++--+++=随练1.1如图，二次函数213y ax bx =++的图象与x 轴相交于点()3,0A -、()1,0B ，交y 轴点C ， C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数2y mx n =+的图象经过B 、D 两点． （1）求二次函数的解析式及点D 的坐标；（2）根据图象写出21y y >时，x 的取值范围．【答案】（1）223y x x =--+（2）2x <-或1x >随堂练习【解析】本题考查了一次函数和二次函数综合应用． （1）∵二次函数经过()3,0A -，()1,0B设二次函数解析式为()()31y a x x =+-，代入()0,3C ，解得1a =-， 二次函数解析式为()()23123y x x x x =-+-=--+∵C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，二次函数对称轴为1x =- ∴()2,3D -（2）两函数的交点为()1,0B ，()2,3D -，所以当21y y >时，根据图象可得2x <-或1x >． 随练1.2已知：抛物线()2220y ax a x =+--=过点()3,4A ．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线()2220y ax a x =+--=在直线1y =-下方的部分沿直线1y =-翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ．点()1,M m y 在图象G 上，且10y ≤．①求的取值范围；②若点()2,N m k y +也在图象G 上，且满足24y ≥恒成立，则k 的取值范围为_________． 【答案】（1）22y x x =--（2）①10m -≤≤或12m ≤≤②4k ≤或4k ≤- 【解析】该题考查的是二次函数综合．（1）∵抛物线()222y ax a x =+--过点()3,4A ，∴()93224a a +--=． 解得1a =．∴抛物线的解析式为22y x x =--． --------------2分（2）①当0y =时，220x x --=．∴1x =-或2．∴抛物线与x 轴交于点()1,0A -，()2,0B ．-----3分 当2y =-时，222x x --=- ． ∴0x =或1．∴抛物线与直线2y =-交于点()0,2C -，()1,2D -．∴C ，D 关于直线1y =-的对称点()'0,0C ，()'1,0D ．----4分 ∴根据图象可得10m -≤≤或12m ≤≤．----------------5分m②的取值范围为4k ≥或4k ≤-．----------------7分随练1.3已知抛物线2221y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ．（1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若△BOC 是等腰三角形，求抛物线的 解析式；（3）已知一次函数y kx b =+，点(),0P n 是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式．【答案】（1）()1,0A m -;()1,0B m +（2）243y x x =-+-（3）1y x =-+ 【解析】该题考查的是二次函数综合． （1）令0y =，有22210x mx m -+-+=． ∴()210x m --+=． ∴()21x m -=． ∴11x m =+，21x m =-． ∵点B 在点A 的右侧，k∴()1,0A m -，()1,0B m +．…………………………………………2分（2）∵点B 在原点的右侧且在点A 的右侧，点C 在原点的下方，抛物线开口向下， 10m ->．∴1m >． ∴1OB m =+．令0x =，有21y m =-+．∴21OC m =-．∵△BOC 是等腰三角形，且 90BOC ∠=︒， ∴OB OC =．即211m m +=-． ∴210m m --=．∴12m =，21m =-（舍去）． ∴2m =．∴抛物线的解析式为243y x x =-+-．………………………………4分（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，由此可得交点坐标为()1,0和()4,3-．将交点坐标分别代入一次函数解析式y kx b =+中， 得043k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=⎩一次函数的解析式为1y x =-+．…………………………………………7分随练1.4已知关于x 的一元二次方程()2221230x k x k k -++--=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 取最小的整数时，求抛物线()222123y x k x k k =-++--的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y x m =+有三个不同公共点时m 的值．yxO 123 4 12 3 4 5【答案】（1）1k >-（2）()1,0-或()3,0（3）1m =或134m =【解析】该题考查抛物线的性质与几何变换（1） 由题意，得，()()224142316160k k k k ∆=+---=+>∴1k >-∴k 的取值范围为1k >-．…………2分 （2）∵1k >-，且k 取最小的整数，∴0k = ∴()222314y x x x =--=--则抛物线的顶点坐标为()1,4-…………………3分 ∵223y x x =--的图象与轴相交， ∴2230x x --=∴13x =-或∴抛物线与轴相交于()1,0A -,()3,0B …………4分（3）翻折后所得新图象如图所示.…………5分平移直线y x m =+知: 直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于时，此时过点()1,0A - 1.01m =-+，即1m =………………6分②当直线位于时，此时与函数()22313y x x x =-++-≤≤的图象有一个公共点，∴方程223x m x x +=-++，即230x x m --+=有两个相等实根，∴()1430m ∆=--= 即134m =………………7分 x x 1l 2l 1l 1l 2l 2l当134m =时，1212x x ==满足13x -≤≤ 由①②知1m =或134m =． 随练1.5已知二次函数22(3(1)22)t y t x x =++++在0x =与2x =的函数值相等． （1）求二次函数的解析式； （2）若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点()3,A m -，求m 与k 的值； （3）设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 的左侧 ），将二次函数的图象B ，C 间的部分（含点B 和点C ）向左平移n （0n >）个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线y kx b =+向上平移n 个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。
专题七 二次函数综合问题
质求解.确定函数最值时,函数自变量的取值范围应确定正确.
(2)已知两个定点和一条定直线,要求在定直线上确定一点,使得这个点到两定点距离和最小,其变形问题有三角
形周长最小或四边形周长最小等.这类问题的解决方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点
与另一个定点,所得直线与已知直线的交点即为所求的点,然后通过求直线的表达式及其与定直线的交点坐标,
顶点的Rt△PEQ,且满足tan∠EQP=tan∠OCA.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2
解:(3)存在.设点 P 的坐标为(m,- m +m+4),点 Q 的坐标为(t,-t+4),
由已知得 tan∠OCA=
= = .
①当点 Q 在点 P 的左侧时,如图②所示,分别过点 P,Q 作 x 轴的垂线,垂足分别为 N,M.
小值时,求点M的坐标及这个最小值.
思路分析:(3)可求MQ=OB=1,则求MC+MQ+BQ的最小值,只需确定MC+BQ的最小值,这可利
用
点
点O关于抛物线对称轴的对称点进行求解.
C
或
解:(3)如图②所示,过点 C 作 CF∥x 轴,交 y 轴于点 G,交抛物线于点 F,连接 OF,交抛物线的对称轴
x=-1 于点 M,过点 M 作 MQ⊥y 轴于点 Q,连接 MC,BQ,由对称性可知 MC=MF.
直线 BC 的表达式为 y=-x+4.
(2)点F是抛物线对称轴上一点,当FA+FC的值最小时,求出点F的坐标及FA+FC的最小值.
解:(2)如图①所示,∵点 A,B 关于抛物线的对称轴 x=1 对称,
数学二次函数知识点总结
数学二次函数知识点总结数学二次函数知识点总结在我们平凡的学生生涯里，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点就是学习的重点。
那么，都有哪些知识点呢？下面是小编整理的数学二次函数知识点总结，欢迎大家分享。
数学二次函数知识点总结篇11二次函数及其图像二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax^2bxc(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax∧2;bxc(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);顶点式y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线];重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，其知识点涉及函数的定义、性质、图象、解析式、应用等。
下面是对二次函数知识点的总结。
一、函数的定义和基本性质：二次函数是形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c 为实数，a称为二次函数的系数。
①定义域：二次函数的定义域是任意实数集R。
②值域：对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，函数的值域是[0,+∞)，当a<0时，函数的值域是(-∞，0]，当a=0时，函数的值域是{c}。
③对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线x=-b/2a。
④顶点：二次函数的顶点是对称轴上的点(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
⑤开口方向：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
二、图象和性质：①图象特点：二次函数在平面直角坐标系内的图象是一个抛物线。
②定点：二次函数开口向上时，顶点是最小点；二次函数开口向下时，顶点是最大点。
③与坐标轴的交点：二次函数与x轴的交点叫做零点，是方程ax^2+bx+c=0的解；与y轴的交点是函数的常数项c。
④单调性：二次函数的单调性受其系数a的符号影响。
当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。
⑤零点与解析式：对于二次函数y=ax^2+bx+c，其零点可以通过求解方程ax^2+bx+c=0得到，其中的判别式Δ=b^2-4ac可以判断二次方程的解的情况。
三、解析式和变形：①标准形式：二次函数的标准形式是y=ax^2+bx+c。
②顶点式：二次函数的顶点式是y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
③因式分解式：当二次函数可因式分解时，可以表示成y=a(x-p)(x-q)的形式。
四、一些常见问题和解法：①如何确定二次函数的开口方向和顶点：若a>0，则开口向上，顶点为抛物线的最小值；若a<0，则开口向下，顶点为抛物线的最大值。
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内容基本要求略高要求较高要求 二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题；2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；一、二次函数与一次函数的联系一次函数()0y kx n k =+≠的图像l 与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像G 的交点，由方程组2y kx ny ax bx c =+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.二、二次函数与方程、不等式的联系1.二次函数与一元二次方程的联系： 1.直线与抛物线的交点:（1）y 轴与抛物线2y ax bx c =++的交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点(h ,2ah bh c ++).（3）抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()1200A x B x ，，，，由于1x 、中考要求知识点睛第7讲二次函数与其它代数知识综合2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212,b cx x x x a a+=-⋅=12AB x x a =-===2.二次函数常用解题方法⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：3.二次函数与一元二次方程之根的分布（选讲）所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x 轴的交点问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的．设()()20f x ax bc c a =++≠的二实根为1x ，2x ，()12x x <，24b ac ∆=-，且()αβαβ<，是预先给定的两个实数．⑴ 当两根都在区间()αβ，内，方程系数所满足的充要条件： ∵12x x αβ<<<，对应的二次函数()f x 的图象有下列两种情形：当0a >时的充要条件是：0∆>，2ba αβ<-<，()0f α>，()0f β>． 当0a <时的充要条件是：0∆>，2baαβ<-<，()0f α<，()0f β<．两种情形合并后的充要条件是：()()0200b a f f αβαααβ⎫∆><-<⎪⎬⎪>>⎭，， ……①⑵ 当两根中有且仅有一根在区间(),αβ内，方程系数所满足的充要条件； ∵1x αβ<<或2x αβ<<，对应的函数()f x 的图象有下列四种情形：从四种情形得充要条件是： ()()0f f αβ⋅< ……②⑶ 当两根都不在区间[]αβ，内方程系数所满足的充要条件： 当两根分别在区间[]αβ，的两旁时； ∵12x x αβ<<<对应的函数()f x的图象有下列两种情形：当0a >时的充要条件是：()0f α<，()0f β<． 当0a <时充要条件是：()0f α>，()0f β>． 两种情形合并后的充要条件是：()0f αα<，()0f αβ< ……③当两根分别在区间[,]αβ之外的同侧时：∵12x x αβ<<<或12x x αβ<<<，对应函数()f x 的图象有下列四种情形：当12x x α<<时的充要条件是：0∆>，2baα-<，()0f αα> ……④当12x x β<<时的充要条件是：0∆>，2baβ->，()0f αβ> ……⑤4区间根定理如果在区间()a b ，上有()()0f a f b ⋅<，则至少存在一个()x a b ∈，，使得()0f x =． 此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力．重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点.难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．板块一 二次函数与一次函数的联系【例1】 （09湖北省荆门市）函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）【解析】 本题考查函数图象与性质，当0a >时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D 是错的，函数1y ax =＋与210y ax bx a =≠＋＋（）的图象必过（0，1），所以C 是正确的，故选C ．【巩固】（09年嘉兴市）已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（ ）【解析】 考察系数与函数图像的关系。
A 选项：一次函数01a ＜＜，二次函数1a ≥；B 选项：一次函数1a =-， 二次函数1a =；C 选项：一次函数1a =-， 二次函数1a =-；D 选项：一次函数1a =， 二次函数1a =-. 【解析】 所以选 C【例2】 （08泰州市）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过三点A ()1,0-，B ()3,0，C ()0,3，它的顶点为M ，又正比例函数y kx =的图像于二次函数相交于两点D 、E ，且P 是线段DE 的中点。
⑴ 该二次函数的解析式，并求函数顶点M 的坐标； ⑵ 知点E ()2,3，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量x 的取值范围；⑶ 02k <<时，求四边形PCMB 的面积s 的最小值。
【参考公式：已知两点()11D x y ，，()22E x y ，，则线段DE 的中点坐标为121222x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭， 0≠a ax y =2ax y =重、难点例题精讲【解析】 由2y ax bx c =++，则得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩故函数解析式是：223y x x =-++。
由()222314y x x x =-++=--+ 知，点M （1，4）。
（2）由点E ()2,3在正比例函数y kx =的图像上得，332,2k k ==得，故32y x =，由23223y xy x x ⎧=⎪⎨⎪=-++⎩解得D 点坐标为（39,24--），由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量x 的取值范围是322x -p p 。
（3）223y kx y x x =⎧⎨=-++⎩ 解得，点D 、E 坐标为Dk ）、Ek ），则点P 坐标为P （22,22k kk --g ）由02k <<，知点P 在第一象限。
由点B ()3,0，C ()0,3，M （1，4），得 ()13411524222COBM S ⨯+=+⨯⨯=四边形， 则1515121233222222OPC OPB PCMB k kS S S k --=--=-⨯⨯-⨯⨯V V g 四边形整理，配方得：231934216PCMB S k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭四边形。
故当12k =时，四边形PCMB 的面积值最小，最小值是9316。
板块二 二次函数与反比例函数的联系【例3】 （2009烟台市）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【解析】 考察函数图像与系数之间的关系。
由二次函数图像可知 00a b ＞，＜，0c ＜，所以240b ac -＞。
当x =1时，y ＜0，所以a +b +c ＜0.所以选 D 。
【例4】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 （1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11k y x =，22ky x =．1111122S x y k ∴==，2221122S x y k ==．12S S ∴=，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫⎪⎝⎭，，11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S ∴=---=---=--△△△△△△矩形2112S k k ∴=-+．当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值． 131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值．（3）解：设存在这样的点F ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-，90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠=o Q EMN MFB ∴∠=∠．又90ENM MBF ∠=∠=o Q ， ENM MBF ∴△∽△． EN EMMB MF∴=11414312311331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴==⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 94MB ∴=．222MB BF MF +=Q ，，解得218k =．21432k BF ∴== ∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．【例5】 (2009年义乌)已知点A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点，点C 、D 是某个函数图像上的点，当四边形ABCD （A 、B 、C 、D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。