大学物理习题集(上,含解答)

大学物理习题集（上册，含解答）

第一章 质点运动学

1．1 一质点沿直线运动，运动方程为x (t ) = 6t 2 - 2t 3．试求： （1）第2s 内的位移和平均速度；

（2）1s 末及2s 末的瞬时速度，第2s 内的路程； （3）1s 末的瞬时加速度和第2s 内的平均加速度．

[解答]（1）质点在第1s 末的位置为：x (1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)．

在第2s 末的位置为：x (2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)． 在第2s 内的位移大小为：Δx = x (2) – x (1) = 4(m)，

经过的时间为Δt = 1s ，所以平均速度大小为：v =Δx /Δt = 4(m·s -1)． （2）质点的瞬时速度大小为：v (t ) = d x /d t = 12t - 6t 2，

因此v (1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s -1)，

v (2) = 12×2 - 6×22 = 0

质点在第2s 内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m ． （3）质点的瞬时加速度大小为：a (t ) = d v /d t = 12 - 12t ，

因此1s 末的瞬时加速度为：a (1) = 12 - 12×1 = 0，

第2s 内的平均加速度为：a = [v (2) - v (1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s -2)．

[注意] 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．

1．2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s 内走过路程s = 30m ，而其速度增为n = 5倍．试证加速度为2

2(1)(1)n s

a n t

-=

+，并由上述数据求出量值． [证明]依题意得v t = nv o ，根据速度公式v t = v o + at ，得

a = (n – 1)v o /t ， (1)

根据速度与位移的关系式v t 2 = v o 2 + 2as ，得 a = (n 2 – 1)v o 2/2s ，(2) （1）平方之后除以（2）式证得：2

2(1)(1)n s

a n t

-=

+． 计算得加速度为：2

2(51)30

(51)10

a -=

+= 0.4(m·s -2)．

1．3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s -1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m ，忽略空气阻力，且取g = 10m·s -2．问：

（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？

（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？ [解答]方法一：分步法．

（1）夹角用θ表示，人和车（人）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为

v y 0 = v 0sin θ = 24.87(m·s -1)．

取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式

v t - v 0 = at ，

这里的v 0就是v y 0，a = -g ；当人达到最高点时，v t = 0，所以上升到最高点的时间为

t 1 = v y 0/g = 2.49(s)．

再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式：v t 2 - v 02 = 2a s ， 可得上升的最大高度为：h 1 = v y 02/2g = 30.94(m)．

人从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为;h 2 = h 1 + h = 100.94(m)．

根据自由落体运动公式s = gt 2/2，得下落的时间为

:2t =

．

图1.3

因此人飞越的时间为：t = t 1 + t 2 = 6.98(s)． 人飞越的水平速度为;v x 0 = v 0cos θ = 60.05(m·s -1)， 所以矿坑的宽度为：x = v x 0t = 419.19(m)．

（2）根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为：v y = gt = 69.8(m·s -1)， 落地速度为：v = (v x 2 + v y 2)1/2 = 92.08(m·s -1)， 与水平方向的夹角为：φ = arctan(v y /v x ) = 49.30º，方向斜向下．

方法二：一步法．

取向上为正，人在竖直方向的位移为y = v y 0t - gt 2/2，移项得时间的一元二次方程

2

01sin 02

gt v t y θ-+=，

解得：0(sin t v g θ=．

这里y = -70m ，根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为：t = 6.98(s)．

由此可以求解其他问题．

1．4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即d v /d t = -kv 2，k 为常数．

（1）试证在关闭发动机后，船在t 时刻的速度大小为0

11

kt v v =+； （2）试证在时间t 内，船行驶的距离为01

ln(1)x v kt k =

+． [证明]（1）分离变量得2d d v

k t v =-， 故 020

d d v t v v k t v =-⎰⎰，

可得：

011

kt v v =+． （2）公式可化为0

01v v v kt

=+，

由于v = d x/d t ，所以：00001

d d d(1)1(1)

v x t v kt v kt k v kt =

=+++ 积分

00001

d d(1)(1)x t

x v kt k v kt =++⎰⎰

．

因此 01

ln(1)x v kt k

=+． 证毕．

[讨论]当力是速度的函数时，即f = f (v )，根据牛顿第二定律得f = ma ． 由于a = d 2x /d t 2， 而 d x /d t = v ， a = d v /d t ， 分离变量得方程：d d ()

m v

t f v =

， 解方程即可求解．

在本题中，k 已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n 次方成正比，则 d v /d t = -kv n ． （1）如果n = 1，则得

d d v

k t v

=-， 积分得ln v = -kt + C ．当t = 0时，v = v 0，所以C = ln v 0， 因此ln v/v 0 = -kt ，

得速度为 ：v = v 0e -kt ．