基础知识天天练 数学8-6

第8模块 第6节

[知能演练]

一、选择题

1．椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为

3

2

，则m 的值为 ( )

A ．2或1

2

B ．2 C.1

4

或4

D.14

解析：∵x 2

＋my 2

＝1，即x 2

＋y 2

1m

＝1是椭圆，∴m >0.

当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝1，b 2＝1m ，c 2＝a 2－b 2＝1－1

m ，此时m >1，

由e ＝c

a

＝

c 2a 2

＝1－1m ＝3

2

⇒m ＝4； 当焦点在y 轴上时，a 2＝1m ，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1

m －1，此时0

由e ＝c

a ＝

c 2

a 2

＝1m －11m

＝32⇒m ＝1

4.故选C. 答案：C

2．动点P 为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F 1、F 2为椭圆的两个

焦点，动圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的

( )

A ．椭圆

B ．双曲线的右支

C ．抛物线

D ．一条直线

解析：如右图所示，设三个切点分别为M 、N 、Q ， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝

|PF 1|＋|PM |＋|F 2N |＝|F 1M |＋|F 2N |＝|F 1N |＋|F 2N |＝|F 1F 2|＋2|F 2N |＝2a ，

∵|F 2N |＝a －c ，∴N 点是椭圆的右顶点，

∴CN ⊥x 轴，∴C 点轨迹为直线．

答案：D

3．以坐标轴为对称轴，离心率为

3

2

且经过点(2,0)的椭圆方程是 ( )

A.x 24

＋y 2

＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 216＋y 2

4

＝1 C.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24

＝1 D.x 24＋y 2＝1或y 216＋x 2

4

＝1 解析：由于椭圆的焦点位置不确定，从而分两种情况：(1)当焦点在x 轴时，设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，

由⎩⎨⎧

b a

＝a 2－c 2

a 2＝1－c 2a

2＝1－(

32)2＝12

，22a 2

＋0

2b 2

＝1，

解得：⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝2，

b ＝1，(2)当焦点在y 轴时，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)，由

⎩⎨⎧

b a

＝a 2－c 2

a 2＝1－c 2a

2＝1－(

32)2＝12

，02a 2

＋2

2b 2

＝1，

解得：⎩

⎪⎨⎪⎧

b ＝2，

a ＝4，故选D.

答案：D

4．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，点P 为该椭圆上一动点，则当PF 2→·P A 1

→取最小值时，|PF 2→＋P A 1→

|的值为

( )

A ．2 2

B ．3

C ．2 3

D.13

解析：由已知得：a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以F 2(1,0)，

A 1(－2,0)，设P (x ，y )，所以PF 2→·P A 1→

＝(－2－x )(1－x )＋y 2，又点P 在椭圆上，所以y 2＝3－3

4

x 2，代入上式可得：

PF 2→·P A 1→

＝(x ＋2)(x －1)＋y 2＝14x 2＋x ＋1＝14(x 2＋4x ＋4)＝14

(x ＋2)2，

显然当x ＝－2时PF 2→·P A 1→取得最小值，所以P (－2,0)，容易知|PF 2→＋P A 1→

|＝3. 答案：B 二、填空题

5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是__________．

解析：设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)．

由题意知：⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝2

b ，

c ＝23，

a 2＝

b 2＋

c 2

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝4，

b ＝2，

c ＝2 3.

∴标准方程为x 216＋y 2

4＝1.

答案：x 216＋y 2

4

＝1

6．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的焦距为2

c ，以点O 为圆心，a

为半径作圆M .若过点P (a 2

c ，0)所作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为

__________．

解析：如右图，切线P A 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，

故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a ＝22. 答案：

2

2

三、解答题

7．求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

(1)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6；

(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝2

3

.