2015年绵阳南山中学(实验学校)自主招生考试数学试题及答案
四川省绵阳南山中学2018-2019年度初升高自主招生数学试题(含答案)
18．一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水.任意转动这个正方体,则水 面在容器中的形状可以是 :(1) 三角形;(2)长方形;(3)正方形;(4)正六边形.其中正确的结论是 ____________.(把你认为正确的序号都填上) 三．解答题:本大题共 7 个小题,共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
由此还可以对某些函数的增减性进行判断和证明。
如：证明函数 f (x) 2 (x 0) 是减函数． x
证明：假设 x1 x2 ，且 x1 0, x2 0,
f
(x1)
f
(x2 )
2 x1
2 x2
2(x2 x1) x1x2
∵ x1 x2 ，且 x1 0, x2 0,
2018 年自主招生考试 数学试卷 第 3页 共 4 页
20．（本小题满分 12 分） 为了落实“全民阅读活动”，从某学校初一学生中随机抽取了 100 名学生，获得了他们一
周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1
0 x2
6
2
2 x4
8
故 从 该 校 随 机 选 取 一 名 学 生 ， 估 计 其 该 周 课 外 阅 读 时 间 少 于 12 小 时 的 概 率 为
0.9.
……………（8 分）
（3）样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第 4 组
…………（12 分）
(每小问 4 分。重点在估计二字上，规范酌情扣分)
4．使代数式 1 4 3x 有意义的非正整数 x 有（ ） x3
2015年绵阳市自主招生考试数学试题含答案解析
数学综合练习一一.选择题1．把不等式组：的解集表示在数轴上，正确的是（）A．B．C．D．2．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为（）A．0.21×10﹣4B．2.1×10﹣4C．2.1×10﹣5D．21×10﹣63．化简÷（1+）的结果是（）A． B． C．D．4．如图，一根直尺EF压在三角形30°的角∠BAC上，与两边AC、AB交于M、N，那么∠CME+∠BNF是（）A．135°B．150°C．180°D．不能确定5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（）A．1 B．C．D．26．设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m（m＞0）的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（）A．2＜α＜β＜3 B．2＜α＜3＜β C．α＜2＜β＜3 D．α＜2且β＞37．如图，函数y=﹣x与函数y=﹣的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，则四边形ACBD的面积为（）A．8 B．6 C．4 D．28．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A．a2﹣πB．4﹣πC．πD．（4﹣π）a29．有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1＜d＜7．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．在平面直角坐标系中，对于平面任一点（a，b），若规定以下三种变换：①f（a，b）=（﹣a，b），如，f（1，3）=（﹣1，3）；②g（a，b）=（b，a），如，g（1，3）=（3，1）；③h（a，b）=（﹣a，﹣b），如，h（1，3）=（﹣1，﹣3）．按照以下变换有：f（g（2，﹣3））=f（﹣3，2）=（3，2），那么f（h（5，﹣3））等于（）A．（﹣5，﹣3） B．（5，﹣3）C．（5，3） D．（﹣5，3）11．如图，△OAB中，OA=OB，∠A=30°，⊙O与AB相切，切点为E，并分别交OA，OB于C，D两点，连接CD．若CD等于，则扇形OCED的面积等于（）A．π B．π C．π D．π12．如图，在菱形ABCD中，AB=BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．其中正确的结论（）A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③二、填空题13．分解因式：x3﹣4x2﹣12x= ．14．风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为．15．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是．16．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE 相交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于P．已知A（2，3），B（1，1），D（4，3），则点P的坐标为（，）．18．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为．三、解答题19．计算：（）﹣2﹣6sin30°+（﹣2）0+|2﹣|；（2）先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x=﹣3．20．童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时．工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟．（1）小李生产1件A产品需要分钟，生产1件B产品需要分钟．（2）求小李每月的工资收入范围．21．关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan（α+β）=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°=tan（45°+60°）====﹣（2+）．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．22．如图1，四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC、AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG；（2）以线段DE、DG为边作出正方形DEFG，连接KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．23．已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上，以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O 上的一点．（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO，求证：△CAO∽△BCO；（2）如果AP=m（m是常数，且m＞1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项，当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点A，D的坐标分别为（5，0）和（3，0）．（1）求点C的坐标；（2）求DE所在直线的解析式；（3）设过点C的抛物线y=2x2+bx+c（b＜0）与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得△CMG为等边三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．2015年四川省绵阳自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．1．【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x≤1，所以不等式组的解集是﹣1＜x≤1．故选：B．2．【考点】科学记数法—表示较小的数．【专题】应用题．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：0.000 021=2.1×10﹣5．故选C．3．【考点】分式的混合运算．【分析】首先对括号内的式子通分相加，然后把除法转化成乘法，进行约分即可．【解答】解：原式=÷=•=．故选A．4．【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角形内角和可以求得∠AMN+∠ANM的度数，然后根据对顶角相等，从而可以求得∠CME+∠BNF的度数．【解答】解：∵∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∠A=30°，∴∠AMN+∠ANM=180°﹣∠A=180°﹣30°=150°，∵∠AMN=∠CME，∠ANM=∠BNF，∴∠AMN+∠ANM=150°，故选B．【点评】本题考查三角形内角和定理、对顶角的性质，解题的关键是明确三角形内角和，利用数形结合的思想解答．5．【考点】等腰直角三角形；解直角三角形．【分析】先作DE⊥AB于E，再根据tan∠DBA=，求得BE=5AE，最后根据AB=AE+BE=AE+5AE=6，求得AE=，并在等腰直角三角形ADE中，由勾股定理求得AD即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，∵tan∠DBA==，∴BE=5DE，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE，∴BE=5AE，又∵AC=6，∴AB=6，∴AE+BE=AE+5AE=6，∴AE=，∴在等腰直角三角形ADE中，由勾股定理得AD=2，故选（D）【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及直角三角形，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式进行求解．6．【考点】根与系数的关系．【分析】令m=0，根据已知条件得出函数出y=（x﹣2）（x﹣3）的图象与x轴的交点分别为（2，0），（3，0），再根据m＞0，得出原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，从而得出答案．【解答】解：令m=0，则函数出y=（x﹣2）（x﹣3）的图象与x轴的交点分别为（2，0），（3，0），∵m＞0，∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，∴α＜2且β＞3；故选D．7．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定与性质．【分析】反比例函数y=xk图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，据此进行计算即可．【解答】解：∵过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，∴△AOC的面积=×|﹣4|=2，又∵AO=BO，∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD，∴CO=DO，∴四边形ADBC是平行四边形，∴四边形ACBD的面积=4×△AOC的面积=4×2=8，故选（A）．【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义以及平行四边形的判定与性质，在反比例函数的图象上任意一点向一条坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．8．【考点】轨迹；正方形的性质．【分析】这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是就是小正方形的面积与扇形的面积的差的4倍．【解答】解：小正方形的面积是：1；当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是．则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×（1﹣）=4﹣π．故选：B．【点评】本题主要考查了轨迹、正方形和圆的面积的计算公式，正确记忆公式是关键．9．【考点】命题与定理．【专题】压轴题．【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．【解答】解：①两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故错误；③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1≤d≤7，故错误．所以只有一个正确，故选A．【点评】此题综合考查平行线的性质，全等三角形的判定，菱形的对称性及两圆的位置与半径的关系．10．【考点】点的坐标．【分析】根据f（a，b）=（﹣a，b），h（a，b）=（﹣a，﹣b），可得答案．【解答】解：f（h（5，﹣3））=f（﹣5，3）=（（5，3），故选：C．【点评】本题考查了点的坐标，利用f（a，b）=（﹣a，b），h（a，b）=（﹣a，﹣b）是解题关键．11．【考点】扇形面积的计算；切线的性质．【专题】计算题．【分析】根据切线的性质得到直角△AOE，由∠A=30°，得到∠AOE=60°，然后在直角△COF中，求出圆的半径，再用扇形面积公式计算出扇形的面积．【解答】解：如图：∵AB与⊙O相切，∴OE⊥AB．∵OA=OB，∠A=30°，∴∠AOE=∠BOE=60°，∴OE垂直平分CD．设OE交CD于F，在直角△COF中，CF=CD=，∴CO=2，∴S扇形OCED==π．故选B．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据切线的性质得到直角三角形，解直角三角形得到圆的半径，然后用扇形的面积公式求出扇形的面积．12．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．【专题】压轴题．【分析】①易证△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；②证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°．过点C作CM ⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S四边形BCDG=S四边形CMGN，易求后者的面积．③过点F作FP∥AE于P点．根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF．【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD．∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形．∴∠A=∠BDF=60°．又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB；②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．∴∠BGC=∠DGC=60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．∴CM=CN，∵，∴△CBM≌△CDN，（HL）∴S四边形BCDG=S四边形CMGN．S四边形CMGN=2S△CMG，∵∠CGM=60°，∴GM=CG，CM=CG，∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2．③过点F作FP∥AE于P点．∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：BE=1：6=FG：BG，即 BG=6GF．故选D．【点评】此题综合考查了全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、不规则图形的面积计算方法等知识点，综合性较强，难度较大．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．13．分解因式：x3﹣4x2﹣12x= x（x+2）（x﹣6）．【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣提公因式法．【分析】首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要彻底．【解答】解：x3﹣4x2﹣12x=x（x2﹣4x﹣12）=x（x+2）（x﹣6）．故答案为：x（x+2）（x﹣6）．【点评】此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识．此题比较简单，注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底．14．风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为．【考点】概率公式．【分析】由风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，∴选出一人担任班长，则组长是男生的为： =．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．15．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】根据题意易证△OBE∽△DBC和△EPF∽△EDC，利用相似三角形的相似比求解．【解答】解：∵OB=OD=BD，OE⊥BC，CD⊥BC，∴△OBE∽△DBC，∴OE：CD=1：2，∵OE∥CD，∴△OEP∽△CDP，∴，∵PF∥DC，∴△EPF∽△EDC，∴，∵CE=BC，∴=．故答案为．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形对应边的比相等．16．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE 相交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）．【考点】相似三角形的性质；等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，∴=，∵AB=2AD，S△ABC=，∴S△ADE=，如图，在△EAF中，过点F作FH⊥AE交AE于H，∵∠EAF=∠BAD=45°，∠AEF=60°，∴∠AFH=45°，∠EFH=30°，∴AH=HF，设AH=HF=x，则EH=xtan30°=x．又∵S△ADE=，作CM⊥AB交AB于M，∵△ABC是面积为的等边三角形，∴×AB×CM=，∠BCM=30°，设AB=2k，BM=k，CM=k，∴k=1，AB=2，∴AE=AB=1，∴x+x=1，解得x==．∴S△AEF=×1×=．故答案为：．【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点，解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后问题可解．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于P．已知A（2，3），B（1，1），D（4，3），则点P的坐标为（ 3 ，）．【考点】等腰梯形的性质；两条直线相交或平行问题．【分析】过A作AM⊥x轴与M，交BC于N，过P作PE⊥x轴与E，交BC于F，根据点的坐标求出各个线段的长，根据△APD∽△CPB和△CPF∽△CAN得出比例式，即可求出答案．【解答】解：过A作AM⊥x轴与M，交BC于N，过P作PE⊥x轴与E，交BC于F，∵AD∥BC，A（2，3），B（1，1），D（4，3），∴AD∥BC∥x轴，AM=3，MN=EF=1，AN=3﹣1=2，AD=4﹣2=2，BN=2﹣1=1，∴C的坐标是（5，1），BC=5﹣1=4，CN=4﹣1=3，∵AD∥BC，∴△APD∽△CPB，∴===，∴=∵AM⊥x轴，PE⊥x轴，∴AM∥PE，∴△CPF∽△CAN，∴===，∵AN=2，CN=3，∴PF=，PE=+1=，CF=2，BF=2，∴P的坐标是（3，），故答案为：3，．【点评】本题考查了坐标与图形性质，梯形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要是考查学生综合运用知识进行计算的能力．18．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣x+．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】先求出点A的坐标，再根据中位线定理可得顶点C的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出b的值，再求出点D的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，把点A、D的坐标代入进行计算即可得解．【解答】解：∵令x=0，则y=，∴点A（0，），根据题意，点A、B关于对称轴对称，∴顶点C的纵坐标为×=，即=，解得b1=3，b2=﹣3，由图可知，﹣＞0，∴b＜0，∴b=﹣3，∴对称轴为直线x=﹣=，∴点D的坐标为（，0），设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，则，解得，所以，y=x2﹣x+．故答案为：y=x2﹣x+．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的对称性确定出顶点C的纵坐标是解题的关键，根据平移变换不改变图形的形状与大小确定二次项系数不变也很重要．三、解答题：本大题共6个小题，共46分．19．（1）计算：（）﹣2﹣6sin30°+（﹣2）0+|2﹣|；（2）先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x=﹣3．【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）根据负整数指数幂、锐角三角函数、零指数幂和绝对值可以解答本题；（2）先化简式子，再将x的值代入即可解答本题．【解答】解：（1）（）﹣2﹣6sin30°+（﹣2）0+|2﹣|=4﹣6×+1+|2﹣|=4﹣3+1+﹣2=2；（2）÷（x+2﹣）====，当x=﹣3时，原式=．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．20．童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时．工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟．（1）小李生产1件A产品需要15 分钟，生产1件B产品需要20 分钟．（2）求小李每月的工资收入范围．【考点】二元一次方程组的应用．【专题】应用题．【分析】（1）生产1件A产品需要的时间+生产1件B产品需要的时间=35分钟，生产3件A产品需要的时间+生产2件B产品需要的时间=85分钟，可根据这两个等量关系来列方程组求解；（2）可根据（1）中计算的生产1件A，B产品需要的时间，根据“每生产一件A种产品，可得报酬1.50元，每生产一件B种产品，可得报酬2.80元”来计算出生产A，B产品每分钟的获利情况，然后根据他的工作时间，求出这两个获利额，那么他的工资范围就应该在这两个获利额之间．【解答】解：（1）设小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要x分钟和y分钟，根据题意，得，解得．答：小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要15分钟和20分钟；（2）w=500+1.5x+2.8（22×8×60﹣15x）÷20，整理得w=﹣0.6x+1978.4，则w随x的增大而减小，由（1）知小李生产A种产品每分钟可获利1.50÷15=0.1元，生产B种产品每分钟可获利2.80÷20=0.14元，若小李全部生产A种产品，每月的工资数目为0.1×22×8×60+500=1556元，若小李全部生产B种产品，每月的工资数目为0.14×22×8×60+500=1978.4元．故小李每月的工资数目不低于1556元而不高于1978.4元．【点评】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：“1件A，1件B用时35分钟”和“3件A，2件B用时85分钟”，列出方程组，再求解．21．关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan（α+β）=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°=tan（45°+60°）====﹣（2+）．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】压轴题；阅读型．【分析】先由俯角β的正切值及BC求得AB，再由俯角α的正切值及BC求得A、D两点垂直距离．CD 的长由二者相减即可求得．【解答】解：由于α=60°，β=75°，BC=42，则AB=BC•tanβ=42tan75°=42•=42•=42（），A、D垂直距离为BC•tanα=42，∴CD=AB﹣42=84（米）．答：建筑物CD的高为84米．【点评】本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．22．如图1，四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC、AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG；（2）以线段DE、DG为边作出正方形DEFG，连接KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）①根据正方形性质求出AD=DC，∠GAD=∠DCE=90°，根据全等三角形判定推出即可；②根据全等得出∠GDA=∠CDE，求出∠GDE=∠GDA+∠ADE=∠ADC=90°即可；（2）四边形CEFK是平行四边形，推出EF=CK，EF∥CK，根据平行四边形的判定推出即可．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠GAD=∠DCE=90°，在△GAD和△ECD中∴△GAD≌△ECD（SAS），∴DE=DG；②∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∵△GAD≌△ECD，∴∠GDA=∠CDE，∴∠GDE=∠GDA+∠ADE=∠CDE+∠ADE=∠ADC=90°，∴DE⊥DG；（2）四边形CEFK是平行四边形，理由如下：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠ECD=90°，BC=CD，在△KBC和△ECD中，∴△KBC≌△ECD（SAS），∴DE=CK，∠DEC=∠BKC，∵∠B=90°，∴∠KCB+∠BKC=90°，∴∠KCB+∠DEC=90°，∴∠EOC=180°﹣90°=90°，∵四边形DGFE是正方形，∴DE=EF=CK，∠FED=90°=∠EOC，∴CK∥EF，∴四边形CEFK是平行四边形．【点评】此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂．23．已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上，以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点．（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO，求证：△CAO∽△BCO；（2）如果AP=m（m是常数，且m＞1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项，当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）．【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．【分析】（1）根据夹角相等，对应边成比例可证；（2）OP是OA，OB的比例中项，OC=OP，△CAO∽△BCO可得．【解答】（1）证明：∵AP=2PB=PB+BO=PO，∴AO=2PO．∴==2，∵PO=CO，∴．∵∠COA=∠BOC，∴△CAO∽△BCO；（2）解：设OP=x，则OB=x﹣1，OA=x+m，∵OP是OA，OB的比例中项，∴x2=（x﹣1）（x+m），∴x=．即OP=，∴OB=，∵OP是OA，OB的比例中项，即=，∵OP=OC，∴．设⊙O与线段AB的延长线相交于点Q，当点C与点P，点Q不重合时，∵∠AOC=∠COB，∴△CAO∽△BCO，∴=，∴===m．当点C与点P或点Q重合时，可得=m，∴当点C在圆O上运动时，AC：BC=m．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点A，D的坐标分别为（5，0）和（3，0）．（1）求点C的坐标；（2）求DE所在直线的解析式；（3）设过点C的抛物线y=2x2+bx+c（b＜0）与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得△CMG为等边三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据折叠的性质可得出BC=CD=AO=5，可在直角三角形OCD中，根据CD和OD的长用勾股定理求出OC的值．即可得出C点的坐标．（2）本题的关键是求出E点的坐标，可设AE=x，那么BE=DE=4﹣x，在直角三角形DEA中，用勾股定理即可求出AE的长，也就求得了E点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DE的解析式．（3）根据C点的坐标即可得出抛物线的待定系数中c=4，根据抛物线的和等边三角形的对称性，如果△CMG是等边三角形，G必为抛物线顶点，可据此表示出G点的坐标．设抛物线的对称轴与直线BC的交点为F，那么可根据G点的坐标和C点的坐标求出CF和FG的长，然后根据△CMG是等边三角形FG=FC，据此可求出b的值，即可确定抛物线的解析式，然后根据抛物线的解析式即可求出G点的坐标．【解答】解：（1）根据题意，得CD=CB=OA=5，OD=3，∵∠COD=90°，∴OC==4．∴点C的坐标是（0，4）；（2）∵AB=OC=4，设AE=x，则DE=BE=4﹣x，AD=OA﹣OD=5﹣3=2，在Rt△DEA中，DE2=AD2+AE2．∴（4﹣x）2=22+x2．解之，得x=，即点E的坐标是（5，）．设DE所在直线的解析式为y=kx+b，∴解之，得∴DE所在直线的解析式为y=x﹣；（3）∵点C（0，4）在抛物线y=2x2+bx+c上，∴c=4．即抛物线为y=2x2+bx+c．假设在抛物线y=2x2+bx+c上存在点G，使得△CMG为等边三角形，根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点G一定在该抛物线的顶点上．设点G的坐标为（m，n），∴m=﹣，n==，即点G的坐标为（﹣，）．设对称轴x=﹣b与直线CB交于点F，与x轴交于点H．则点F的坐标为（﹣b，4）．∵b＜0，∴m＞0，点G在y轴的右侧，CF=m=﹣，FH=4，FG=4﹣=．（*）∵CM=CG=2CF=﹣，∴在Rt△CGF中，CG2=CF2+FG2，（﹣）2=（﹣）2+（）2．解之，得b=﹣2．∵b＜0∴m=﹣b=，n==．∴点G的坐标为（，）．∴在抛物线y=2x2+bx+c（b＜0）上存在点G（，），使得△CMG为等边三角形．在（*）后解法二：Rt△CGF中，∠CGF=×60°=30度．∴tan∠CGF==tan30度．∴．解之，得b=﹣2．【点评】本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、图形翻折变换、等边三角形的判定和性质等重要知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．。
绵阳南山2016年高中自主招生数学真卷
190 9绵阳南山中学2016年高中自主招生数学真卷（考试时间:120分钟 满分:150分）第I 卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36 分） 1、南山中学（含实验校区），2015年高考本科上线人数高达2、，64的立方根是5、全国青少年信息学奥林匹克竞赛（简称NOI ）,南山中学22名同学在32届NOI2015中荣获国家级一等奖（全省共71人，全市共32人）.学校现正紧锣密鼓 的筹备将于今年7月在南山中学举办的33届NOI2016.我们常用的数是十进8083人，以绝对优势雄踞全省第一, 数字8083用科学记数法表示为（A.8.08 103B.8.083 1 02C. 8.083 103D.8.083 104A.2B. _2C._4 D.43、班长统计参加校运动会比赛各项目人数得到六个数据：3 ， 2, 1, 3, 2, 3,则这组数据A.2 B.2.5 C.4、在菱形ABCD 中，A 吐4,ZB AD= 30的位置关系为（） 7 3,AB 是。
0的直径，则直线CD 与。
0BD.3A.相交B.相切C.相离D. 相交或相切或相离2 2A.B.19C.18D.17制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数码 0和1的二进制数，这两者 可以相互换算.例如将二进制数1101换算成十进制数应写为1 x 2+1 x 2+0x 21+1X 20=13,按此方式，则将十进制数33换算成二进制数应该写成（）A.101001101B.110000C.100001D.10001 & x 1、x 2是一元二次方程x 2 -：i k - 2 x • k 2 3k 5 =0的两个实根，则xf x ；的最大值是（）2 27、南山中学与火车站之间有不同的 5条路可走，火车站与南山实验之间有不同 的4条路可走.某人由南山中学经火车站到南山实验， 再由南山实验经火车站 返回到南山中学共有（ A.400B.40C.20D.18 8、分式方程亠•.口二上处只有一个实数解，则实数k 二（）X-1 x x （x —1）A.1B.-1C.7D.1 或-1 或 79、如图，点C 是以AB 为直径的半圆上任意一点，以 AC CB 为直径的半圆在以 AB 为直径的半圆外的左右两半月状画斜线，阴影部分的面积之和记作S 阴影，△ ABC 的面积记作S-ABC ，则正确的是（）直线y =2x -2与x 轴相交于点B, C （0，b ）、D （0，b+2），当四边形ABCD 周 长取得最小值时，b =（）种不同的线路走法.A. S ABC ■ S 阴影B.S.ABC = S 阴影C. S.ABC ：:： S阴影D. 只有当AC=CB 寸，S.：ABC = S 阴影10、如图，点E 、点F 分别是正方形 ABCD边 BC CD 的11、如图，在第一象限的点 A 既在双曲线12 上，又在直线 xy =2x _2 上，且A. 4B. 5fi第（9）题图第（10）题图4 D. 第（11）题图 3 第（12）题图2 2A. 2B.C.22D.B.C.1D.12、如图，A B 是以O 为圆心,5 2为半径的圆周上两点,C 为圆内一点，BO 6,CA= 8，BCLCA 贝U OC=()2第口卷（非选择题共114分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13、因式分解：（ax+by 2—c 2x 2 十（ay —bx f —c 2y 2 ="5x +1 X3（x —1 ）13的正数解是-x —1 <7 —一 x、2215、函数y = ax 2-]a-3 x •1的图象与x 轴只有一个交点，则实数a =17、如图，四边形 ABCD CDEF EFGH 都是边长为1的正方形，则/B GA+Z BFAS.ABC 表示AA BC 的面积）.下列结论:①9S.EFC =2S 「ABC ；② =3；③S.ADF 二S.BED 二Sg,其中正确结论的序号 是 .（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共7小题，共90分）19、（本题共2小题，每小题8分，共16分）4cos30 -4-3414、不等式组JFA D Lr h18、如图，在厶ABC 中, AB= .3，AO2.， BO .. 5，点D E 、F 分别是线段ABBC CA 上非线段端点的点，若满足条件AB = BC = CA 二 S ABC 二丫 （其中AD BE CF S p EF16、如图，在3X5的矩形方格图中，不包含画斜线阴影部分的所有矩形个数是个. 第（17）题图⑵设x=2+V3 , y=2_j3，求算?x-1L口一―—的(x — 2x x — 4x + 4 丿y y(y_2) 值•20、（本小题满分12分）如图，点E、F分别是矩形ABCD边BC CD的中点，AE平分/ BAF FE平分/ CFA AE交BD于点G, CH L EF交EF于点H.(1) 证明:AG+H& AE;(2 )证明:AE? GA= DC? EF.21、（本小题满分12分）某校初中三年级共有甲、乙、丙三个班，甲班比乙班总人数多4人，丙班比乙班总人数少1人.如果把原来甲班全部女生调到乙班，原来乙班全部女生调到丙班，原来丙班全部女生18人调到甲班，则三个班总人数恰好一样.求甲、乙两个班原来女生的人数.22、(本小题满分12分)为了保密，许多情况下都要采用密码，这时就需要破译密码的“钥匙”，有一种密码，密码是由两个字母组成，密码“钥匙”是由密码对应的四个数字组成.规则如下表：密码由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在前面，第二排取的字母放在后面，对应的密码”“钥匙”由密码对应的数字按相同的次序排成.例如密码BV对应的四位数密码”“钥匙” 是1221，1221中含有两个不同数字1、2.试用列举法求下列事件的概率(1) 四位数密码“钥匙”由四个不同数字组成;(2) 四位数密码“钥匙”由三个不同数字组成23、(本小题满分12分)将一条长度为6的线段AD折成三段AB BC CD，一边靠墙围成四边形ABCD 形状，设A吐X.(1)若四边形ABCD1 一个底角为60°的等腰梯形，梯形ABCD勺面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；⑵若四边形ABCD1 一个矩形，矩形ABCD勺面积为S，求S与x之间的函数关系式，注明自变量x的取值范围；(3) 试比较在一边靠墙围成矩形与一边幕墙围成底角为60°的等腰梯形两种不同折法的四边形ABC［面积中，如何折成三段能使四边形ABCD勺面积最大？并求出最大面积，写出AB BC CD的长度及四边形ABCD勺形状.24、(本小题满分12分)观察下列三行数：2, -4 , 8, -16 , 32, -64①2, 6, 14, 30, 62, 126②1, -2 , 5, -12 , 27, -58③(1)第①行数按什么规律排列？记第①行第n个数为a,请用含n的代数式表示a n ；(2) 记第②、③行第n个数分别为b n、C n，直接写出b n、5，关于n的代数式；(3) 计算：a n ■ bn • C n.25、（本小题满分14分）1 3如图，抛物线y= —x2——x—2与x轴交于A、B两点（点A在左侧），与y轴2 2父于点C.（1）点D是线段AB的中点，求直线CD的解析式；（2）抛物线上点E使厶OBE tA ABC两个三角形的面积之比为5:4 ,即S OBE : S A BC =5：4,求点E的坐标；⑶设厶ABC的内心为过点I,过点I任作一直线I分别交射线CA CB（点C 除外）于点M N,则-1 —的值是否为定值？若是，写出求解定值过CM CN程并求出该定值；若不是，请说明理由•答案一、选择题1、C 2 、A3、B48、C 8 、D9、B10二、填空题13、a2 b2 -c2 x 2 2y)14、17、451、②③三、解答题19、（1）3- 4.3（2）- 8叮3320、（1）略（2）略、B5、C6、A、D11、A12、A1 21? 厶，315 、0, 1, 9 16 、3121、甲班原来女生为21人，乙班原来女生为20人.22、(1 ) P=—(2)P=253、3 223、(1) y =-A x2 3..3x(0 ：：x ：：3)4⑵S - -2x2 6x（0 ：：x ：：3）⑶四边形ABCD fe梯形时面积最大，最大值为 3 3，此时AB=CD=2,BC=2.24、C n =(-1 n*(2n -nn - 2( n为偶数)2n2 -n-2(n为奇数)25、(1)(2)点E的坐标为（口2，25），（，2 8 2 25），（ 1，-7)a nb n ■ Cn1 1 3.55 （3）是定值,------ 十--------- = -----------------CN CM 10。
【新】2019-2020绵阳南山中学实验学校初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】
第一套：满分120分2020-2021年绵阳南山中学实验学校初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，； （2）若，则A =C ； （3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线33y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是 ；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：， 其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． （3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形； （2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。
绵阳南山中学(实验校区)2011年自主招生考试数学试题卷
绵阳南山中学(实验校区)2011年自主招生考试数 学 试 题 卷本试卷分试题卷和答题卷两部分.试题卷2页,答题卷共6页. 满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卷上，并认真核对姓名、考号.2. 选择题使用2B 铅笔填涂在机读卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题卷的对应位置. 超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 考试结束后，将试题卷和机读卡、答题卷一并交回.第I 卷（选择题，共36分）一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. )72(--等于( )A.27 B.72 C.27-D.72-2. 计算=-32)2(b a ( )A.244b aB.368b aC.368b a -D.358b a3. 下列属于必然事件的是( )A. 度量三角形的内角和，结果是360 B. 2011年6月19日绵阳是雨天 C. 掷一枚正方体骰子,向上的点数不小于1D. 从一副扑克牌中抽取一张，其点数是54. 下列图形具有稳定性的是( )A. 矩形B. 平行四边形C. 菱形D. 直角三角形5. 下列四边形：①等腰梯形，②正方形，③矩形，④菱形，其中对角线一定相等的是( )A. ①②③B. ①②③④C. ①②D. ②③6. 右图所示的三角形绕虚线旋转一周所得的几何体是( )7. 右图是小明用八块相同的小正方体搭建的一个积木,它的俯视图是( )8. 如图,一次函数b kx y +=的图象过点A 、B,则0>+b kx 的解集是( )A. 0>xB.2>xC.3->xD.23<<-x9. 南山中学高二某英才班40名学生为“希望小学”捐款，共捐1000表中捐款20元和30元人数不小心被墨水污染，已经看不清楚，请你根据表中信息计算出捐款20元和30元的人数分别为( )A. 15人，12人B. 13人，14人C. 12人，15人D. 14人，13人10.如图,在ABC Rt ∆中,90=∠ACB ,AB CD ⊥于点D ,BCD ACD ∠=∠3,点E 是AB 中点,10=AB ,则线段DE 的长度为( )A. 3B. 5C.25211. 如图,点C 是线段BD 上一点,在BD 同侧作正三角形ABC 和正三角形ECD ,BE 交AC 于点M ,AD 交CE 于点N ,连结MN ,则下列关系中不正确．．．的是( ) A. AD BE = B. DN DC =C.CN CM =D.BD MN //12. 如图,在ABC Rt ∆中, 90=∠C ,30=∠A ,点O 在斜边AB 上,切AC 于点D ,交BC 于点E ,则图中阴影部分的周长为( )A.π3121++ B.π3131++C. π3231++ D.π6122++第II 卷（非选择题，共114分）AB C DB A二．填空题：本大题共6个小题,每小题4分,共24分. 将答案填写在答题卷相应的横线上. 13. 分解因式：=-x x 43.14. 如图,CD AB //,EF 与AB 、CD 分别交于点E 、F ,EF EP ⊥,FP 平分EFD ∠，若40=∠BEP ，则=∠EPF .15. 2011年4月，第六次全国人口普查结果公布，中国内地人口已 达13.39亿人，用科学记数法表示这一数据应为 人 .16. ABC ∆中任意一点),(00y x P 经平移后对应点为点)3,5(001-+y x P ，将ABC ∆作同样平移得到111C B A ∆，若点)3,2(-A ，则点1A 的坐标为 .17. 如图,南山中学数学研究性学习小组制作了一个脸谱,它的上半部分是 半圆,眉心在圆心处,两眼在直径AB 上;下半部分是一段抛物线,下鄂恰 好在顶点处. 经过测量，两眼所在的直径AB 长24cm ，下鄂点到头 顶中点长24cm .请你计算，过眉心且与直径AB 成45角的线段CD 的 长约为 cm .(参考数据:163.310,414.12≈≈,结果精确到0.01) 18. 如图,四边形ABCD 为矩形,4=AB ,3=AD ,把矩形ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处,点P 、Q分别是AD 、EC 中点,PQ 交AE 、CD 于点M 、N ,则线段MN 的长度为 .A B C绵阳南山中学(实验校区)2011年自主招生考试数 学 答 题 卷时间：120分钟 总分：150分二.每小题4分，共24分13. 14. 15. 16. 17. 18.三.解答题：本大题7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．(本题共2个小题，每小题8分，共16分) （1）计算：845sin )21()2011(2⨯+-+--；（2）计算：)(3)235(22222y x x yyx xy y x y xy -÷---+.20. (本题满分12分)如图，用一长为m 24的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为m 5.3）围成中间有三道篱笆（均平行于墙CD ）的矩形饲养场ABCD . （1）若围成的饲养场面积为216m ，求边AB 的长；（2）能否围成面积为220m 的饲养场?若能，求出边AB 的长；若不能，请说明理由.21. (本题满分12分)南山中学今年高一某班进行了体能测试，根据成绩绘制了下列统计图1和图2：图1（1）请在原图上补全统计图1和图2（图2中，请标明各部分的圆心角的度数）； （2）分别计算该班本次体能测试成绩的平均数和中位数； （3）你能得出哪些结论？（只要求写出其中两条）22. (本题满分12分)一次函数的图象与反比例的图象交于点)1,2(--A 和),1(n B . （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）设一次函数图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点， 点C 关于y 轴对称点为点E ,求CDE ∆和BCE ∆面积之比.图240分20%23.(本题满分12分)如图，AB 为圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，AC 平分DAB ∠， CD AD ⊥，线段AB 与DC 的延长线交于点P .（1）求证：CD 是圆O 的切线；（2）若1==BO PB ，求图中阴影部分的面积（结果保留根号）.24. (本题满分12分)已知二次函数c bx x y ++=2的图象过点)0,1(-A 和点)12,5(B . （1）求此函数的解析式及图象的对称轴；（2）在对称轴上是否存在点P ，使得PB PA =？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在二次函数的图象上求点Q ，使得QAB ∆是以AB 为直角边的直角三角形.25. (本题满分14分) 已知正方形ABCD ，一等腰直角三角形的一个锐角顶点与点A 重合，将此三角形绕点A 旋转，两边分别与线段BC 、CD （或其延长线上）交于点M 、N .（1）当点M 、N 在边BC 、CD 上时，如图1，求证：MN DN BM =+；（2）当点M 、N 在边BC 、CD 延长线上时，如图2，线段BM 、DN 、MN 间又有何数量关系？并证明；（3）在(2)中作直线BD 分别交直线AM 、直线AN 于P 、Q 两点，若10=MN ，8=CN ，求AQ .图1图2B绵阳南山中学(实验校区)2011年自主招生考试数学试卷参考答案及评分意见说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准相应给分.2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不在给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确地做到这一步就得的累加分数.一.选择题： 本大题共12个小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. B2.C3.C4.D5.A6.B7. D8.C9.A 10.D 11.B 12.C二.填空题：每小题4分，共24分13. )2)(2(+-x x x 14.65 15. 910339.1⨯ 16. )0,3( 17. 49.22 18.59 三.解答题：本大题7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19． (本题共2个小题，每小题8分，共16分)解:（1）原式=222241⨯++ ……………………….…………………………….6分 241++=.7= ………………..…………………………………………………8分 （2）原式=)(333222y x x yyx y xy -÷-+ …………………….……………………………….2分 yy x x y x y x y x y )(3))(()(3-⋅+-+=………………………….……………………….6分 .9x = ………………………………………………………………………8分20．(本题满分12分)解: （1）设x AB =,由题意得,2122424x xAD -=-=…………….....………………1分 可列方程:,16)212(=-x x ………………………………………………4分 解得2=x 或.4=x ………………………………………………………6分 又,5.30≤<x ……………………….……….………...………………7分 ,2=∴x 即.2=AB ………………………………………………………9分 （2）由题意得,20)212(=-x x整理得01062=+-x x ,,041014)6(2<-=⨯⨯--=∆∴此方程无解.………………………………….………………………11分 ∴不能围成面积为220m 的饲养场. ………………………..……….12分21. (本题满分12分)解：（1）设高一某班总人数为x 人，.40,8%20==⋅x x∴38分的人数为10)86124(40=+++-（人） ………………………………….2分.3分30分：,36440360=⨯ 35分：,1081240360=⨯ 36分：,54640360 =⨯38分：,901040360=⨯ 40分：.72840360 =⨯ …………………………………5分补全统计图2见上. …………………………..…………………………...………6分 (2)平均数为4.364040838103663512304=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ (7)分中位数为：36 ………………………………………………………………………8分 (3)答案不唯一，可参考如下：①可估计高一年级35分人数最多，占30% ； ②可估计高一年级30分人数最少，占10% ；③从平均数和中位数看高一年级有45% 的人超过36分；④因为年级有55%的学生未达到平均成绩，故以后学生必须加强体育锻炼. …12分 22. (本题满分12分)解：（1）设反比例函数的解析式为)0(>=k xky ，即.xy k = 由题意得⎩⎨⎧⨯=-⨯-=,1,)1()2(n kk 解得⎩⎨⎧==.4,2n k∴反比例函数的解析式为.)2,1(,2B xy =………………………………………………3分 设一次函数的解析式为)0(≠+=a b ax y ，由题意得⎩⎨⎧=+-=+-,2,12b a b a 解得⎩⎨⎧==.1,1b a∴一次函数的解析式为.1+=x y ………………………………………………………6分(2)由1+=x y 得),1,0(),0,1(D C -.222=+=∴OD OC CD由点E 是点C 关于y 轴对称点知)0,1(E ，B 点与E 点的横坐标相同,x BE ⊥∴轴.,2222=+=∴BE CE CB ……………………………………………………………9分 CDE ∆ 和CBE ∆高相同,CDE ∆∴和CBE ∆面积之比为CD 与CB 的长度之比. ,2:122:2:==CB CDCDE ∆∴和CBE ∆面积之比为.2:1 ……………………………………………………12分23.(本题满分12分) (1)证明:连结.OC由,OC OA =得OCA OAC ∠=∠ 又AC 平分DAB ∠，,OAC DAC ∠=∠∴于是,OCA DAC ∠=∠ ……………………..3分图2图1.//AD OC ∴∴由CD AD ⊥,得CD OC ⊥CD ∴是圆O 的切线. ………………………6分 （2）设AD 交圆O 于E ，连结.,CB OE在PCO Rt ∆中, 1==BO PB , .1====∴CB PB OB OC,,60BCP P COB CBO ∠=∠=∠=∠∴由602=∠=∠CBO P ,得,30=∠P在PAD Rt ∆中, ,233,23,33====PD AD OA PA 在PCO Rt ∆中, ,3,22===PC BO PO.23=-=∴PC PD CD …………………………………………………….9分 ∴阴影部分的面积:OCE AOE AOCD S S S S 扇形梯形--=∆43)(2122OA CD OC AD -⋅-⋅+= 36016014323)123(2122⨯-⨯-⨯+=π .6833π-= ……………………..1224. (本题满分12分) 解:（1）由题意得⎩⎨⎧=++=+-,12525,01c b c b 解得⎩⎨⎧-=-=.3,2c b∴二次函数的解析式为.322--=x x y∴对称轴方程为1212=⨯--=x x 即 ………………3分（2）设点),1(m P ,对称轴交x 轴于点C ,作BD 垂直于对称轴,于是).12,1(),0,1(D C .4|,12|=-=∴BD m PD在PBD Rt ∆中, 244)12(222222-=+-=+=m m BD PD PB 在PCA Rt ∆中, ,42222m PC AC PA +=+=,PB PA =∴ ,41602422+=+-∴m m m 解得.213=m∴点P 的坐标为).213,1( …………………………………………………………….7分（3）设点)32,(0200--x x x Q①若A ∠为直角，作x QM ⊥轴于M ,x BN ⊥轴于N ,QM BR ⊥于R . )12,(),0,5(),0,(00x R N x M ∴在BQR Rt ∆中, ,)5(]12)32[(202020222-+---=+=x x x RB QR BQ 在AMQ Rt ∆中, ,)32()1(202020222--++=+=x x x QMAM AQ在ABN Rt ∆中, ,18012622222=+=+=BN AN AB ,222QB AB AQ =+A即.)5(]12)32[(180)32()1(2020*******-+---=+--++x x x x x x 展开整理得,0532020=--x x 解得10-=x (舍去)或.250=x ∴点).47,25(-Q ……………………………………………………………………..9分 ②若B ∠为直角,由,222QB AB AQ +=同理可求).465,27(-Q .11分 综上所述,点Q 的坐标为)47,25(-或).465,27(- ……………12分 25. (本题满分14分) 证明：（1）延长MB 到E ,使,DN BE =连结.AE 如右图.,,,ADN ABE DN BE AD AB ∠=∠==.ADN ABE ∆≅∆∴.,DAN BAE AN AE ∠=∠=∴,90 =∠+∠+∠DAN MAN BAM,90 =∠+∠+∠∴BAE MAN BAM即90=∠+∠MAN MAE , 由,45=∠MAN 得.45=∠MAE .MAE MAN ∠=∠∴ 又..,ME MN MAN MAE AM AM =∴∆≅∆∴= 又,DN BM BE BM ME +=+=MN DN BM =+∴. ………………………………………………………………4分 （2）在线段BC 上截取BF ，使DN BF =，连结AF ，易得.ADN ABF ∆≅∆ .,AN AF DAN BAF =∠=∠∴,90,90 =∠+∠∴=∠+∠FAD DAN FAD BAF 即.90 =∠FAN∴由,45 =∠MAN 得.45 =∠FAM .FAM MAN ∠=∠∴ 又..,NM FM ANM AFM AM AM =∴∆≅∆∴= 即.MN BF BM =-MN DN BM =-∴. ………………………………………………………………9分 (3)连结AC ,如右图.在MNC Rt ∆中, .622=-=CN MN CM由(2)知MN DN BM =-,即,)()(MN BC CN CM BC =--+ 整理得,122=-+=CM CN MN BC 即,6==AC BC 在ABM Rt ∆中, .5622=+=BM AB AM ,45,45=∠+∠=∠+∠DAN MAD MAD CAM ,135,=∠=∠∠=∠∴A D Q A C M D A QC A M 又 .~AD Q A C M ∆∆∴ .ACADAM AQ =∴.10326656=⨯=⋅=∴AC AD AM AQ ……………………………………………..14分。
四川省绵阳市绵阳中学初中数学自主招生试题
一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ） A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(2)(2)x x x x -=+-+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x++-=，则1x x的值是（ ）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（ ） A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m n m n m n -=+，那么51*22＝（ ）A.54B.5C.3D.9 6、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％ 8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且3θ=，则角θ所对的弦长等于（ ）A.8B.10C.82D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。
绵阳南山中学(实验学校)2012年(高中)自主招生考试数学试题及答案
保密★启用前绵阳南山中学(实验学校)2012年自主招生考试数 学 试 题本套试卷分试题卷和答题卷两部份,试题卷共6页,答题卷共6页,满分150分,考试时间120分钟.注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上,并认真核对姓名与考号;2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效;3.非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上,答在试题卷上无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔;4.考试结束后,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.第Ⅰ卷(选择题,共36分)一.选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目的要求.)1. |-25|的平方根是( )A .625B .5C .-5D . ±5 2.下列运算正确的是( ) A .236(2)8a a -=- B .3362a a a += C .632a a a ÷= D .3332a a a ⋅= 3.下左图是一个由小立方块所搭的几何体,则从不同的方向看所得到的平面图形中(小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数),不正确的是( )4.有两个口袋,其中甲袋中有写着1,2,3,4的四张牌,乙袋中有写着2,3,4的三张牌.从两袋中各取出一张牌,若每张牌被取出的机会相等,则两张牌上数字之和大于6的概率为( ) A .12B .13 C .14D .16第3题图12142A 12242B 1111123C 1111123D5.已知圆柱的底面半径为r ,高为h ,若圆柱的体积为1,表面积为12,则11r h+等于( ) A .2 B .3 C .6 D .126.创办于1908年的四川省绵阳南山中学,2012年3月27日迎来了她104周年的校庆日.在校庆后,学生会记者随机采访了部分观看校庆文艺节目的学生,并把调查结果绘成了下面的统计图:已知此次被调查的男、女学生人数相同.根据图中信息,有下列判断: ①在被调查的学生中,持非常满意态度的人数占53%; ②本次共调查了200名学生; ③在被调查的学生中,有30%的女生持满意态度; ④在我校高一、高二参加各种社团的900名学生中,根据调查结果估计持满意与非常满意态度的人数之和超过了720人.其中,正确的判断有( )A .4个B .3个C .2个D .1个 7.如图:平面上有两个全等的正十边形ABCDEFGHIJ 、A 1B 1C 1D 1E 1F 1G 1H 1I 1J 1,其中C 点与J 1点重合,E 点与H 1点重合,则∠DCA 1的度数是( ) A .96 B .108 C .118 D .1268.已知正△ABC 内接于圆O ,四边形DEFG 为半圆O 的内接正方形(D 、E 在直径上,F 、G 在半圆上的正方形),S △ABC =a ,S 四边形DEFG =b ,则ab的值等于( ) A .2 B .62 C .335 D .153169.根据下左图中已填出的“√”和“×”的排列规律,把②、③、④还原为“√”或“×”且符合左图的排列规律,下面“”中还原正确的是( )10.若方程()()0x a x b x ---=的两根为c 、d ,则方程()()0x c x d x --+=的两根为第6题图 12264462女生人数男生人数一般满意非常满意10203040506070满意28%19%一般非常满意A. B. C.第9题××××④③②①×√√×××××√√√√√×××√××××√√×√第7题图 (H 1)I 1(J 1)G 1F 1E 1D 1C 1B 1A 1J I H GF E D CB A( )A .a 、bB .-a 、-bC .c 、dD .-c 、-d11.如左图:△ABC 是边长3的正三角形,点D 在线段BC 上,点E 在射线AC 上,点D 沿BC 方向从B 点以每秒1个单位的速度向终点C 运动,点E 沿AC 方向从A 点以每秒2个单位的速度运动,当D 点停止时E 点也停止运动.设运动时间为t 秒,若△DEC 的图形的面积用y 来表示(规定:当三点在一条直线上时,三点组成的三角形面积为零),则y 关于t 的函数图象是( )o第11题图D.C.B.A.yty4321o123ty4321o123t123t43214321321oyEC D BA12.如右图:过△ABC 的顶点A 作对边BC 上的中线AE 与高AD ,E 为BC 中点,D 为垂足.规定A DEm BE=,特别地,当D 与E 重合时,规定0A m =.对B m 、C m 作类似的规定.给出下列结论:①若∠C =90︒,∠A =30︒,则11,2A C m m ==; ②若1A m =,则△ABC 为直角三角形;③若>1A m ,则△ABC 为钝角三角形;若<1A m ,则△ABC 为锐角三角形; ④若0A B C m m m ===,则△ABC 为等边三角形.其中,正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4第Ⅱ卷(非选择题,共114分)二.填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.) 13.函数11y x =-的自变量x 的取值范围是 .14.将如右图所示的正方体的展开图重新折叠成正方体后,和“成”字相对面上的汉字是 . 15.下图是由6个正方形构成的长方形,若最小正方形的面积为1,则这个长方形的面积等于____________.第12题DE CBA第14题图 成 功 祝 你 南 山16.上图为△ABC 与⊙O 的重叠情形,其中BC 为⊙O 的直径.若︒∠70＝A ,BC ＝2,则图中阴影部份的面积等于____________.17.如上图:在锐角△ABC 中,AB =42,∠BAC =45︒,∠BAC 的平分线与BC 交于点D ,M 、N 分别是AD 、AB 上的动点,则MB +MN 的最小值等于____________. 18.如右图,⊙A 的半径为r ,⊙O 的半径为4r ,⊙A 从图中所示位置出发沿⊙O 的表面作无滑动的滚动,当公转一周时,自转的转数为_________. 三.解答题(本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(本题共2个小题,每小题8分,共16分) (1)计算:01272cos30|13|( 3.14)(32)π--︒--+--+;(2)先化简,再求值:22221(1)11x x x x x x ++÷++--,其中21x =-.20.(本小题满分12分)小王从A 地前往B 地,到达后立刻返回,他与A 地的距离y (千米)和所用的时间x (小时)之间的函数关系如图所示.(Ⅰ)小王从B 地返回A 地用了多少小时？(Ⅱ)求小王出发6小时后距A 地多远？ (Ⅲ)在A 、B 之间有一C 地,小王两次经过C 地的时间差为2小时20分,求A 、C 两地相距多远？21.(本小题满分12分)某商业集团新进了40台空调机,60台电冰箱,计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售,其中70台给甲连锁店,30台给乙连锁店.两个连锁店销售这两种电器每台的利润(元)如下表:空调机 电冰箱甲连锁店200 170 乙连锁店160 150 第17题图第15题图 第16题图 CBOAD E 第20题图E O D C y (千米)x (小时)73240B A AO 第18题图设集团调配给甲连锁店x 台空调机,集团卖出这100台电器的总利润为y (元). (Ⅰ)求y 关于x 的函数关系式,并求出x 的取值范围; (Ⅱ)为了促销,集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a 元销售,其他的销售利润不变,并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润,问该集团应该如何设计调配方案,使总利润达到最大？ 22.(本小题满分12分)如图,反比例函数ky x(x >0,且k 为正常数)的图象经过四边形OABC 的顶点A 、C ,∠ABC ＝90°,OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角,AB ∥x 轴,将△ABC 沿AC 翻折后得△AB 1C ,B 1点落在OA 上. (Ⅰ)求四边形OABC 的面积; (Ⅱ)若以OA 为直径的圆经过点C ,且四边形OABC 的面积为22,求直线OB 的解析式.23.(本小题满分12分)如图,AB 为⊙O 的直径,AM 和BN 是它的两条切线,E 为⊙O 的半圆弧上一动点(不与A 、B 重合),过点E 的直线分别交射线AM 、BN 于D 、C 两点,且CB ＝CE . (Ⅰ)求证:CD 为⊙O 的切线;(Ⅱ)连结AC 与BE 交于点H ,若tan ∠BAC ＝22,求AH CH 的值.24.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,点A (-1,0),点B (0,-3),点C 在x 轴上.已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点,且它的对称轴为x =1,点P 是在直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点(点P 与B 、C 不重合),过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F . (Ⅰ)求该二次函数的解析式; (Ⅱ)在对称轴上求一点M ,使得MA +MB 取到最小值; (Ⅲ)若设点P 的横坐标为m ,用含m 的代数式表示线段PF 的长并求△PBC 面积的最大值,及此时点P 的坐标.25.(本小题满分14分)如图,OA =10是半圆C 的直径,点B 是该半圆周上一动点(点B 与点第23题图EHM NCDOAB第22题图B 1CB A xyO 第24题y C x O F x=1P BAO 、点A 不重合),连结OB 、AB ,并延长AB 至点D ,使DB =AB ,过点D 作直线OA 的垂线,分别交直线OA 、直线OB 于点E 、F ,点E 为垂足,连结CF . (Ⅰ)当∠AOB =30°时,求弧AB 的长度; (Ⅱ)当DE =8时,求线段EF 的长; (Ⅲ)在点B 运动过程中,是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似?若存在,请求出此时OE 的长度;若不存在,请说明理由.第25题图 F BD O AE C绵阳南山中学(实验学校)2012年自主招生考试数学答案及评分标准一.选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目的要求.)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B C C B B D C ACC二.填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.) 13.1x > 14.你 15.143 16.718π 17.4 18.4 三.解答题(本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本题共2个小题,每小题8分,共16分) (1)原式=1333(31)+132----+…………6分3232(32)(32)-=+-+-……………………7分32(32)22=+--=+.………………………8分 (2)原式=222(1)21(1)(1)1x x x x x x x +-++÷-+-……………3分 22211(1)(1)21x x x x x x x x +-=⨯=-+++………………………6分 当21x =-时,原式=1222=.…………………………8分 20.(本小题满分12分)(Ⅰ)小王从B 地返回A 地用了4小时.……………2分(Ⅱ)小王出发6小时,∵6>3,可知小王此时在返回途中. 设DE 所在直线的解析式为y =kx +b ,由图象可得:324070k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得60420k b =-⎧⎨=⎩.………5分 ∴DE 所在直线的解析式为60420(37)y x x =-+≤≤. 当x =6时,有60642060y =-⨯+=,∴小王出发6小时后距A 地60千米.………7分 (Ⅲ)设AD 所在直线的解析式为1y k x =,易求180k =, ∴AD 所在直线的解析式为80(03)y x x =≤≤.……9分设小王从C 到B 用了0x 小时,则去时C 距A 的距离为024080y x =-,返回时,从B 到C 用了(073x -)小时,这时C 距A 的距离为00760[3()]420100603y x x =-+-+=+,由002408010060x x -=+,解得01x =.故C 距A 的距离为024080160x -=米.……………………12分21.(本小题满分12分)(Ⅰ)根据题意知,调配给甲连锁店电冰箱(70-x )台, 调配给乙连锁店空调机(40-x )台,电冰箱(x -10)台,……………1分则y =200x +170(70-x )+160(40-x )+150(x -10),即y =20x +16800.……………3分∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≥-≥,010,040,070,0x x x x ∴10≤x ≤40. ……………………………5分 ∴y =20x +16800(10≤x ≤40)………………………………6分 (Ⅱ)按题意知:y =(200-a )x +170(70-x )+160(40-x )+150(x -10), 即y =(20-a )x +16800. ………………8分 ∵200-a ＞170,∴a ＜30. …………………9分当0＜a ＜20时,x =40,即调配给甲连锁店空调机40台,电冰箱30台,乙连锁店空调0台,电冰箱30台; …………………………………10分当a =20时,x 的取值在10≤x ≤40内的所有方案利润相同; …………………………………11分当20＜a ＜30时,x =10,即调配给甲连锁店空调机10台,电冰箱60台,乙连锁店空调30台,电冰箱0台. …………………………………12分22.(本小题满分12分)(Ⅰ)过C 作x 轴的垂线,交x 轴于D 点.令C (,ka a).…………1分 因AB ⊥BC ,所以AB 1⊥B 1C ,由OC 是∠AOD 的平分线,所以CD =B 1C . 又CB =B 1C ,所以CB =CD .从而B 的坐标是(2,k a a ),A 的坐标是(2,2a ka).………3分于是AB =2a ,OD =a ,BD =2ka.…………………4分故S 四边形OABC =S 梯形OABD -S △OCD =121()222a k k a a k a a+⨯-⨯=.………………6分 (Ⅱ)由四边形OABC 的面积为22,得=22k .……………8分 以OA 为直径的圆经过点C ,则AC ⊥OC . 可证得∠COD =∠ACB ,于是△ABC ∽△CDO ,所以AB BC CD DO=,代入得2ka a k a a=,即42216,2a k a ==∴=.……………10分B 的坐标是(2,22).令OB 的方程为y =mx ,代入得222m =,即得2m =,于是OB 的解析式为2y x =.…………………12分23.(本小题满分12分)(Ⅰ)连接OE .……………1分 ∵OB ＝OE ,∴∠OBE ＝∠OEB .∵BC ＝EC ,B 1C BA xy DO∴∠CBE ＝∠CEB . ………2分 ∴∠OBC ＝∠OEC .∵BC 为⊙O 的切线,∴∠OEC ＝∠OBC ＝90°,…………3分 ∵OE 为半径,∴CD 为⊙O 的切线.……………4分 (Ⅱ)延长BE 交AM 于点G ,连接AE ,过点D 作DT ⊥BC 于点T .因为DA 、DC 、CB 为⊙O 的切线,∴DA ＝DE ,CB ＝CE .在Rt △ABC 中,因为tan ∠BAC ＝22,令AB ＝2x ,则BC ＝ 2 x .∴CE ＝BC ＝ 2 x .………………………………………6分 令AD ＝DE ＝a ,则在Rt △DTC 中,CT ＝CB －AD ＝ 2 x －a , DC ＝CE ＋DE ＝ 2 x ＋a ,DT ＝AB ＝2x ,∵DT 2＝DC 2－CT 2, ∴(2x )2＝( 2 x ＋a )2－( 2 x －a )2. ……………7分 解之得,x ＝ 2 a . ………………8分 ∵AB 为直径,∴∠AEG ＝90°.∵AD ＝ED ,∴AD ＝ED ＝DG ＝a . ∴AG ＝2a .…………………………………………9分 因为AD 、BC 为⊙O 的切线,AB 为直径, ∴AG ∥BC .所以△AHG ∽△CHB . ∴AH CH ＝AG CB ＝2a 2 x . ……………………………………………11分 ∴AHCH＝1. ……………………………………………12分 24.(本小题满分12分)(Ⅰ)令二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠,由已知可得:1203b aa b c c ⎧-=⎪⎪-+=⎨⎪=-⎪⎩,解之得332333a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩, 于是其解析式为2323333y x x =--,即23(23)3y x x =--.…………………4分(Ⅱ)由于M 在对称轴上,所以MA +MB =MB +MC ,故M 点为直线BC 与对称轴的交点. 由对称轴为x =1且点A (-1,0),于是点B (3,0),令直线BC 的方程为y =kx +b ,则33,3303b b k b k ⎧=-⎧-=⎪⎪∴⎨⎨+=⎪=⎩⎪⎩,于是BC 的方程为333y x =-.…………6分 当x =1时得233y =-,于是点M 的坐标为23(1,)3-.…………8分 T GB AOD CNMHE(Ⅲ)在BC 的方程333y x =-中,令x =m ,可得F 的坐标是F (m ,333m -). 又点P 的坐标是P (m ,2323333m m --). …………9分 于是PF =2233233(3)(3)33333m m m m m ----=-+,其中0<m <3.…10分21333(3)223BCP BPF CPF S S S PF m m ∆∆∆=+=⨯⨯=-+ 223339(3)[()]2224m m m =-+=--+. 因为0<m <3,所以,当32m =时,BCP S ∆取到最大值938. 此时点P 的坐标是(353,24-).…….……………12分 25.(本小题满分14分)(Ⅰ)连结BC ,∵OA =10 ,CA =5, ∠AOB =30°,∴∠ACB =2∠AOB =60°, ∴弧AB 的长=35180560ππ=⨯⨯.……4分(Ⅱ)连结OD ,∵OA 是⊙C 直径,∴∠OBA =90°.又∵AB =BD ,∴OB 是AD 的垂直平分线,∴OD =OA =10. 在Rt △ODE 中,OE ==-22DE OD 681022=-, ∴AE =AO －OE =10-6=4. 由∠AOB =∠ADE =90°-∠OAB ,∠OEF =∠DEA , 得△OEF ∽△DEA ,∴OE EF DE AE =,即684EF=,∴EF =3.……8分 (Ⅲ)设OE =x .①当交点E 在O 、C 之间时,由以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,有∠ECF =∠BOA 或∠ECF =∠OAB . 当∠ECF =∠BOA 时,此时△OCF 为等腰三角形,点E 为OC 中点,即OE =25;..……9分 当∠ECF =∠OAB 时,有CE =5-x , AE =10-x ,∴CF ∥AB ,有CF =12AB ,∵△ECF ∽△EAD , ∴AD CF AE CE =,即51104x x -=-,解得:310=x ,即OE =310..……10分 C E AO DBFFBDO AEC第 11 页 共 11 页 ②当交点E 在点C 的右侧时,∵∠ECF ＞∠BOA ,∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能是∠ECF =∠BAO .连结BE ,∵BE 为Rt △ADE 斜边上的中线,∴BE =AB =BD ,∴∠BEA =∠BAO ,∴∠BEA =∠ECF ,∴CF ∥BE , ∴OE OC BE CF =. ∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠,∴△CEF ∽△AED ,∴CF CE AD AE=, 而AD =2BE ,∴2OC CE OE AE=, 即55210x x x -=-,解得417551+=x ,417552-=x ＜0. 因x >5,所以舍去x 2,∴OE =41755+..……12分 ③当交点E 在点O 的左侧时,∵∠BOA =∠EOF ＞∠ECF ,∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能是∠ECF =∠BAO . 连结BE ,得BE =AD 21=AB ,∠BEA =∠BAO , ∴∠ECF =∠BEA ,∴CF ∥BE ,∴OE OC BE CF =. 又∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠, ∴△CEF ∽△AED ,∴ADCF AE CE =, 而AD =2BE ,∴2OC CE OE AE =,∴5+5210+x x x=, 解得417551+-=x ,417552--=x ＜0(舍去),∴OE =51754-. 综上所述:存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时OE 的长度为:25、310、41755+、51754-..……14分 C E A O DB FC E AO D BF。
四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高一上学期12
月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题A ．[]1,3-B ．3．下列与函数y x =是同一个函数的是（A ．2
x y x
=
B ．4．已知sin 0θ<，tan 0θ<A ．第一象限
B ．第二象限
5．已知p ：12x ->，q ：（
）A ．3
m <B ．6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常
用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数
．已知函数()2f x +是偶函数，当时，()()12f x f x -⎡⎤⎣⎦()1a f =，52b f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，b c 、的大小关系为（
c b a
<<B ．b <<<c a b
D 中国的5G 技术世界领先，
A ．()f x 在()0,2上单调递增
B ．()f x 在()0,2上单调递减
C ．()f x 存在最大值
D ．()f x 图象关于1x =对称
三、单空题
四、填空题
五、计算题
六、问答题
(1)试求()p f t =的函数关系式；
(2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．
22．已知函数()4x f x m =+(1)若3m =-，解关于x 的不等式(2)若函数()()y f x f x =+-。
绵阳南山中学(实验学校)自主招生考试数学试题及答案
2C ． ( －8, 4)或( 8, － 4) D. ( －2, 1)或( 2, －1) 8. 如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=6 ， BC=8 ，⊙ O 为△ ABC 的内切圆，点 D是斜边 AB 的中点，则 tan ∠ ODA 的值为（ ）C 保密★启用前绵阳南山中学 ( 实验学校 )2015 年自主招生考试试题3 3 A.B. O23BA数 学本套试卷分试题卷和答题卷两部份 ,试题卷共 6 页,答题卷共 6 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟 .注意事项 :C. 3D.29. 若关于 x 的一元二次方程 kx 22 x A. k1B.k 1 且 k 0 D1 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ( )C. k1D.k 1 且 k 01. 答卷前 ,考生务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上 ,并认真核对姓名与考号 ;10. 如图，△ ABC 的周长为 26，点 D ， E 都在边 BC 上，∠ ABC 的平分线垂直于 AE ，垂足为 Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为 P ，若 BC=10，则 PQ 的长为（ ）。
2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动 ,用橡皮擦干净后 ,再选涂其它答案标号 ,答在试题卷上无效 ;A. 32 B. 5A 2 3. 非选择题 (主观题 )用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上 ,答在试题卷上无效 .作图一律用 2B 铅笔或 0.5 毫米黑色签字笔 ;4. 考试结束后 ,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.C.3D.4PQBD E C（第 10 题）第 I 卷( 选择题, 共 36 分)11.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ 0,3），△ OAB 沿 x 轴向右平移后得到△O ′A ′B一.选择题 (本大题共 12 个小题 ,每小题 3 分,共 36 分) 1.－ 4 的倒数是（ ） A ． 4B ．－ 4C ． 14D ．－ 14点 A 的对应点在直线 y 9A.43x 上一点，则点 B 与其对应点 B ′间的距离为（）4B. 3C. 4D. 52. 下列运算正确的是（） A . a 3a 32a3B . a3a3a6C . ( 2 x ) 36x 3D . a 6a2a 412．如图 12，抛物线 y ax bx+c(a 0) 过点（ 1，0）和点（ 0，-2），且顶点在第三象限， 设 P= a b c ，则 P 的取值范围是（） .3.用科学记数法表示 0.000031 ，结果是（ ）A ． 3.1 ×10-4B ． 3.1 ×10-5C ． 0.31 ×10-5D ．31×10-6A ． - 4＜ P ＜0B ． - 4＜ P ＜ -2 a 2C ． - 2＜ P ＜ 0D ． - 1＜ P ＜04. 要使式子有意义，则 a 的取值范围为 ( )a二、填空题（每小题4 分，共 24 分）A. a2 B.a 2 C.a 2且a 0 D. a 213．分解因式： 4ax12ax 9 a ＝．图 1216 题图 5. 如图是由 5 个大小相同的正方体摆成的立方体图形 ,它的左视图是（）14：已知 22m -6m-1=0 求 2m 1 -6m+2 =.Cm2x m 15. 已知关于x 的方程3 的解是正数，则 m 的取值范围为 ：.x 1AOBAB C D16. 在平面直角坐标系中，点O 是原点，点 B （ 0， 3），17 题图6. 如图，已知直线AB ∥ CD ， C 125°，点 A 在第一象限且 AB ⊥BO ，点 E 是线段 AO 的中点，点 M 在线段 AB 上．若点 B 和点 E 关于直线A 45°，那么 E 的大小为（ ） OM 对称，且则点 M 的坐标是 ( ，) ．A. 70°B. 80° 17．如图， AB 是半圆 O 的直径，且 AB 8 ，点 C 为半圆上的一点．将此C.90°D. 100° 7. 在平面直角坐标系中，已知点 E( －4, 2)， F(－ 2, －2)，以原点 O 为位似中心，相似比为1 ，把△ EFO 缩小，则点 E 的对应点 E ′的坐标是（）2半圆沿 BC 所在的直线折叠，若圆弧 BC 恰好过圆心 O ，则图中阴影部分的面积是（结果保留）．18.射线 QN 与等边△ ABC 的两边 AB ， BC 分别交于点 M ，N ，且 AC ∥ QN ，18 题A ． ( －2, 1)B. ( －8, 4)AM=MB=2cm ，QM=4cm 。
绵阳南山中学(实验学校)自主招生考试数学试题及答案
18题保密★启用前绵阳南山中学(实验学校)2015年自主招生考试试题数 学本套试卷分试题卷和答题卷两部份,试题卷共6页,答题卷共6页,满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上,并认真核对姓名与考号;2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效;3.非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上,答在试题卷上无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔;4.考试结束后,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.第I 卷(选择题,共36分)一.选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分)1． －4的倒数是（ ）A ．4B ．－4C ．14D ．－142．下列运算正确的是（ ）A .3332a a a = B . 633a a a =+ C . 336)2(x x -=- D . 426a a a =÷ 3． 用科学记数法表示0.000031，结果是（ ）A ．3.1×10-4B ．3.1×10-5C ．0.31×10-5D ．31×10-64．要使式子2a a+有意义，则a 的取值范围为( )A.2a ≥- .2B >-a.20C ≥-≠a 且a D.2≥-a 5．如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形,它的左视图是（ ）A B C D6．如图，已知直线AB CD ∥，125C ∠=°， 45A ∠=°，那么E ∠的大小为（ ） A.70° B.80° C.90° D.100°7.在平面直角坐标系中，已知点E (－4,2)，F (－2,－2)，以原点O 为位似中心， 相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是（ ） A ．(－2,1) B. (－8,4)C ．(－8,4)或(8,－4) D. (－2,1)或(2,－1)8．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O 为△ABC 的内切圆，点D是斜边AB 的中点，则tan ∠ODA 的值为（ ）A.32 B.33C.3D.29．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A.1k >-B. 1k >-且0k ≠C.1k <D. 1k <且0k ≠10．如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ， ∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为（ ）。
四川省绵阳市南山中学2014至2015学年高二下学期入学考试题 数学理
2015年3月绵阳南山中学高2016届高二下入学考试数学试题（理科）命题人：雍华 审题人：王怀修一、选择题（本大题共有10个小题，每题4分，共40分.每个小题给出的四个选项中只有一个正确.） 1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标方程为3cos ,[0,]2πρθθ=∈，表示的曲线为（ ）A.半圆B.线段C.圆D.直线 2．在空间直角坐标系中，点()4,1,2-P 关于x 轴的对称点的坐标是（ ）A.()4,1,2---B. ()4,1,2--C.()4,1,2-D.()4,1,2-3．如图所示是2014年某大学自主招生面试环节中，六位评委为某考生打出的面试分数的茎叶统计图，若该生笔试成绩90分，下列关于该同学成绩的说法正确的是( )A ．面试成绩的中位数为83B ．面试成绩的平均分为84C ．总成绩的众数为173D ．总成绩的方差与面试成绩的方差都是194．已知20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下图所示．则成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数分别为（ ） A.2,3 B.2,4 C.3,2 D.4,2（4题图） 5．若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( ) A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）两点，若21x x +=6，则|AB|=（ ）A ．2 B. 4 C. 6D. 87．从正方形四个顶点中任取2个点，则这2个点间的距离大于该正方形边长的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.238．执行如图的程序框图,如果输入的10N =,那么输出的S =A ．10131211++++ B ．11131211++++C ．123910112311211⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯+D ．1231011112311211⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯+9．已知命题:p 任意;44,0≥+>xx x 命题:q 存在12,00-=∈x R x .则下列判断正确的是（ ） （8题图） A.p 是假命题 B.q 是真命题C.)(q p ⌝∧是假命题D.)()(q p ⌝∨⌝是真命题10．已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且为坐标原点）O BFO BAO (900=∠+∠，则椭圆的离心率e =（ ）A ．21B.215- C.213- D.23 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.）11．若直线l 310y --=倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为12．根据如图的程序语句，当输入X 的值为2时，输出结果为 13．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是14.已知抛物线24y x =的准线与双曲线2221(0)x y a a-=>交于,A B 两点，且F 为抛物线的焦点，若FAB ∆为直角三角形，则a =15．已知动圆M 与圆O 1：05622=+++x y x 外切，同时与圆O 2： 091622=--+x y x 内切，曲线C 为动圆圆心M 的轨迹；则下列命题中：(1)动圆圆心M 的轨迹方程是1273622=+y x ；(2)若01260O MO ∠=，则12o Mo S ∆=（3）以坐标原点为圆心半径为6的圆与曲线C 没有公共点；（4）动点(),,(0)M x y y ≠分别与两定点()()6,06,0-、连线的斜率之积为34-，其中正确命题的序号是： .三、解答题（本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．17．已知直线l 经过直线1l ：2x ＋y －5＝0与2l ：x －2y ＝0的交点A ， (1)当直线l 在两坐标轴上的截距相等时，求直线l 的方程； (2)当点B (5,0)到l 的距离最大值时，求直线l 的方程．18．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程； （2）若（1）中过点A 作圆C 的切线，切点分别为F E 、,求弦EF 的长度.19．已知椭圆C 左、右焦点分别为21F F 、，椭圆的离心率为12，且椭圆经过点3(1,)2； (1)求椭圆C 的标准方程；(2)线段PQ 是椭圆过点2F 的弦，且F PF 22λ=,求1PF Q ∆内切圆面积最大时实数λ的值.2016年3月绵阳南山中学高2016届高二下入学考试参考答案数学试题（理科）1-10: ＡＡＣＡＣ ＤＢＣＤＢ11 12. 6 13.16π14.5515.（1） （4）16．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.......................4分(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个.....................................................................................................7分每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件D 为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个......8分 所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415................................10分17.解：（1）由⎩⎨⎧=-=-+02052y x y x 得)1,2(A ................1分设直线)0(1:≠=+a a y a x l ，则)0(112≠=+a aa 03:,3=-+∴=∴y x l a .............................4分 当0=a 时，02:=-y x l .......................6分 或03:=-+∴y x l 02=-y x （2）由题意：当AB l ⊥时，l B 到的距离最大331=∴-=k k AB .................8分53:-=∴x y l .................10分18.解:(1)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),.............1分∵圆C 的半径为1∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x ..................2分 显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,∴113232=++-k k .....................3分∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k ...............4分∴圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y 即3=y 或01243=-+y x ......5分(2)由（1）知)3,3(131)2()3(322E y x y x y ∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-+-=；...........6分 234:34-=∴=∴⊥x y FC k AF FC FC 直线 ...........8分)56,512(56512234 01243F y x x y y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧-==-+ ...............9分 510=∴EF ...........................10分 19.解：（1）分：椭圆分3134C 21321491 212222222 =+∴⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=y x c b a cb a b a ac (2)设1PF Q ∆内切圆半径为r ，1122(,),(,)P x y Q x y111112121212121()442112,,24PF Q PF Q S PF QF PQ ar r F F S F F y y y y r y y ∆∆=++====-=-∴=-.........5分设直线 :1PQ x ny =+代入13422=+y x 中得：,096)43(22=-++ny y n121222690,,3434n y y y y n n --∴∆>+==++...............6分12y y ∴-=.............................7分令212344,n t y y +=≥∴-=分 124,03t y y ≥∴<-≤当120,=3n PQ x y y =⊥-即轴时，，1PF Q ∆内切圆面积最大，122=∴=λλF PF .......................10分。
南山中学实验学校自主招生考试模拟试题
南山中学实验学校自主招生考试模拟试题（一）数学试题一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算3×(2) 的结果是( ) A ．5B ． 5C ．6D ． 62．如图1，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点， ∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于( ) A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°3．下列计算中，正确的是( )A ．B ．CD ．4．如图2，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， 则□ABCD 的周长为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．155．把不等式< 4的解集表示在数轴上，正确的是( )6．如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( ) A ．点P B ．点M C ．点RD ．点Q7．若220x x ++=，则xy 的值为（ ）A ．6或0B ．6-或0C．5或0D ．8-或8．已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 （ ）A ．y x> B ．x =y C ．y x < D ．与a 、b 的取值有关9．如图4,已知边长为1的正方形ABCD ，E 为CD 边的中点，动点P 在正方形ABCD 边上沿A B C E →→→运动，设点P 经过的路程 为 x ，△APE 的面积为y ，则y 关于x 的函数的图象大致为（ ）---020=623)(a a =3±2a a a =+2x - ABCD 40°120°图1ABCD图2图3A B DC10．如图5，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形 一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部 分）外轮廓线的周长是( )A ．7B ．8C ．9D ．1011．如图6，已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则下列6个代数式,,,,2,ab ac a b c a b c a b ++-++2a b -中其值为正的式子个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图7-1．在图7-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图7-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是( )卷Ⅱ(非选择题,共114分)二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案直接填写在题中横线上． 13．的相反数是 ．14．如图8，矩形ABCD的顶点A ，B 在数轴上， CD = 6， 点A 对应的数为，则点B 所对应的数为 ． 15．如图9，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌， 从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 ．16．已知x = 1是一元二次方程的一个根，则 的值为 ． 17．把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S 1；若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S 2，则S 1 S 2（填“＞”、“＜”或“=”）． -1-02=++n mx x 222n mn m ++图5图7-1图7-2图8图10-1图10-2图918．南山中学高一年级举办数学竞赛，A 、B 、C 、D 、E 五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况.A 说：B 第三名,C 第五名； B 说：E 第四名，D 第五名； C 说：A 第一名，E 第四名；D 说：C 第一名，B 第二名；E 说：A 第三名，D 第四名.老师说:每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为 .三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．(1)（本小题满分8分）解方程：.(2)（本小题满分8分）先化简再求值：22214()2442a a a a a a a a ----÷++++，其中22430a a +-=.20．（本小题满分12分）甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．1211+=-x x8分9分 分数10分 图11-2 7分 甲校成绩统计表乙校成绩扇形统计图图11-1（1）在图11-1中，“7分”所在扇形的圆心角等于 （2）请你将图11-2的统计图补充完整．（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．（4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？21．（本小题满分12分）如图12，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ． （1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标； （2）若反比例函数（x ＞0）的图象经过点M ， 求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上； （3）若反比例函数（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围． xmy =xmy =22．（本小题满分12分）某仪器厂计划制造A、B两种型号的仪器共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表：（1）该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？（2）该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？（3）根据市场调查，每套B型仪器的售价不会改变，每套A型仪器的售价将会提高a万元（a>0），且所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造才能获得最大利润？图13-2A D O BC 2 1MN图13-1AD BMN1 2 图13-3AD O BC21MNO23．（本小题满分12分）在图13-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图13-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系； （2）将图13-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图13-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图13-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图13-3，求的值． ACBD如图14，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，，AD = 6，BC = 8，，点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P ，Q 运动的时间是t 秒(t ＞0)．（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中， 写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）． （2）当BP = 1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积． （3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖， 被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最 大值能否持续一个时段？若能，直接．．写出t 的取值范围； 若不能，请说明理由． 90B ∠=︒33=AB PQ图14（备用图）如图15，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过x 轴上的两点1(,0)A x 、B 3(0,)2C -，P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若b =，求：（1）抛物线的解析式；（2）D 在抛物线上，且C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称， 问直线BD 是否经过圆心P ？并说明理由； （3）设直线BD 交P 于另一点E ，求经过点E 和P 的切线的解析式．。
绵阳南山中学(实验学校)2013年(中考)自主招生考试数学试题及答案
保密★启用前绵阳南山中学（实验学校）2013年自主招生考试数 学 试 题本套试卷分试题卷和答题卡两部份，试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考试号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡对应位置上，并认真核对姓名与考号;2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效;3.非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的位置上，答在试题卷上无效.作图一律用2B 或0.5毫米黑色签字笔;4.考试结束后，请将本试题卷、答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）1．4-的相反数是 ( ) A ．14-B ．14C ．4D ．4- 2．绵阳科技城是四川省第二大城市，2012年国民生产总值约为14000000万元，用科学记数法表示应为 ( ) A ．71410⨯ B ．71.410⨯C ．61.410⨯D ．70.1410⨯3．一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85， 98．关于这组数据说法错误的是 ( ) A ．平均数是91 B ．极差是20 C ．中位数是91 D ．众数是984．在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 （ ）A ．12B ．13C ．16 D ．15．已知x 是实数，且(2)(3)10x x x ---=，则x 2+x+1的值为（ ）A ．13B ． 7C ． 3D ． 13或7或36. 如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则sin C 等于 ( ) A.34 B.43 C.45D. 35（第6题图）（第7题图）7．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是 ( )A ．点(0，3)B ．点(2，3)C ．点(6，1)D ．点(5，1) 8．将抛物线23y x =向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为 （ ）A ．23(2)1y x =-+ B ．23(2)1y x =+-C ．23(2)1y x =-- D ．23(2)1y x =++9．图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2+(a ＋c)x ＋c 与一次函数y ax c =+的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是 ( )10. 如图O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，O ⊙半径为23，2AC =，则sin B 为 （ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4311．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD 绕点C 沿顺时针方向旋转90°后，得到矩形FGCE （点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、G 、E ）．动点P 从点B 开始沿BC-CE 运动到点E 后停止，动点Q 从点E 开始沿EF-FG 运动到点G 后停止，这两点 的运动速度均为每秒1个单位．若点P 和 点Q 同时开始运动，运动时间为x （秒）， △ APQ 的面积为y ，则能够正确反映y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A B C D12. 如图，在ABC ∆中，5==AC AB ，8=CB ，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分面积是 （ ）A ．25244π- B ．2524π- C ．2512π- D ．25124π-第12题图A ．B ．C ．D ． yx OO OOyxyxyx第9题图ACBD O第10题图第11题图绵阳市2008-2012年农业观光园经营年收入统计图绵阳市2009-2012年农业观光园 经营年收入增长率统计表 第Ⅱ卷（非选择题，共114分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.） 13．函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是 ．14．分解因式：3244a a a -+= ．15．已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程28150x x -+=的两根,且两圆的圆心距122O O t =+,若这两个圆相交,则t 的取值范围为 .16. 在平面直角坐标系xOy 中，有一只电子青蛙在点A(1,0)处．第一次，它从点A 先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A 1；第二次，它从点A 1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A 2；第三次，它从点A 2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A 3；第四次，它从点A 3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A 4；……依此规律进行，点7A 的坐标为 ；若点A n 的坐标为（2014，2013），则n= ．17. 如图，PA 与⊙O 相切于点A ，PO 的 延长线与⊙O 交于点C ，若⊙O 的半径为3， PA=4．弦AC 的长为 ．18. 在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC AB BC E ∠==°，，为AB 边上一点，15BCE ∠=°，且AE AD =．连接DE 交对角线AC 于H ，连接BH ．下列结论：①ACD ACE △≌△； ②CDE △为等边三角形；③2EHBE=； ④EBC EHC S AH S CH =△△． 其中结论正确的是 .三、解答题(本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）（1）计算：0112(31)2sin 603-+--︒+．（2）先化简，后计算： ，其中33a =-.20．（本小题满分12分）近年来，绵阳郊区依托丰富的自然和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目，城郊旅游业迅速崛起，农民的收入逐步提高．以下是根据绵阳市统计局2013年1月发布的“绵阳市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分．年份年增长率（精确到1%）第17题图PBOCA第18题图请根据以上信息解答下列问题：(1) 绵阳市2010年农业观光园经营年收入的年增长率 是 ；（结果精确到1%）(2) 请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（结果精确到0.1）(3) 如果从2012年以后，绵阳市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长，请你估算，若经营年收入要不低于2008年的4倍，至少要到 年（填写年份）.21. （本小题满分12分）如图，已知等腰直角△ABC 中，∠BAC= 90，圆心O 在△ABC 内部，且⊙O 经过B 、C 两点，若BC=8，AO=1，求⊙O 的半径.22．（本小题满分12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2300元，销售单价定为3000元.在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2500元.（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2500元？（2）设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获得的利润为y 元，求y （元）与x （件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 23．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以A C 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作FE ⊥AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ． (1) 求证：EF 与⊙O 相切；(2) 若AE=6，sin ∠CFD=35，求EB 的长．2009年 12% 2010年 2011年 22% 2012年24%CBOA 第21题图24. （本小题满分12分）如图，AB 为⊙O 的直径，AB=4，P 为AB 上一点，过点P 作⊙O的弦CD ，设∠BCD=m ∠ACD ．（1）已知221+=m m ，求m 的值，及∠BCD 、∠ACD 的度数各是多少？ （2）在（1）的条件下，且21=PB AP ，求弦CD 的长；（3）当323-2+=PB AP 时，是否存在正实数m ，使弦CD 最短？如果存在，求出m 的值，如果不存在，说明理由.25. （本小题满分14分）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：34y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B(0,32-)，抛物线234y x bx c =++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C 9(,)4n ．(1) 求n 的值和抛物线的解析式；(2) 点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为(0)t t n <<．DE ∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值；(3) M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1．若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求出点A 1的横坐标．图1图2第24题图P CDOBA绵阳南山中学(实验学校)2013年自主招生试卷数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A B C C D B 题号 9 10 11 12 答案DAAD二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13. 2x ≥ 14. 2(2)a a - 15. 06t << 16.(5,4),4025 17.125518..（1）（2）（4） 三、解答题本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分） （1）解：原式31423123233+-⨯+=+. ………………………8分 （2）原式= …………………5分当33a =-时，原式233=.…………………………………8分 20. （1）17%； ……………………………4分 （2）所补数据为21.7； ……………………6分补全统计图如图20； …………………8分 （3）2015． …………………………12分21. 解：联结BO 、CO ，联结AO 并延长交BC 于D …1分∵等腰直角三角形ABC 且∠BAC =︒90 ∴ AB=AC ……2分 ∵ O 是圆心 ∴OB=OC∴直线OA 是线段BC 的垂直平分线 …4分 ∴ AD ⊥BC ，且D 是BC 的中点 ……………6分在Rt △ABC 中，AD=BD =BC 21∵BC=8∴ BD=AD = 4 ……………8分 ∵AO=1∴OD=BD-AO=3 ……………10分图20CBOA 第21题∵AD ⊥BC ∴∠BDO =︒90 ∴OB =5432222=+=+BD OD ……12分22. 解：（1）设商家一次购买该种产品x 件时，销售单价恰好为2500元，依题意得300010(10)2500x --=，解得60x =. ………………………………3分答：商家一次购买该种产品60件时，销售单价恰好为2500元. ………… 4分 （2）当010x ≤≤时，(30002300)700y x x =-=; ……………… 6分当1060x <≤时，[]2300010(10)230010800y x x x x =---=-+; …… 8分当60x >时，(25002300)200y x x =-= . ……………………10分所以，()()()⎪⎩⎪⎨⎧∈>∈≤<+-∈≤≤=Z x x x Z x x x x Z x x x y ,60,200,6010,80010,100,7002……………………1２分23. （1）证明：连接OD . ∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC . ………1分 ∵AB =AC ，∴∠ACB =∠B . ………2分 ∴∠ODC =∠B .∴OD ∥AB . …………………………… 3分 ∴∠ODF =∠AEF . ………4分∵EF ⊥AB ，∴∠ODF =∠AEF =90°. ………5分∴OD ⊥EF .∵OD 为⊙O 的半径，∴EF 与⊙O 相切. ……………………………………6分 （2）解：由（1）知：OD ∥AB ，OD ⊥EF .在Rt △AEF 中，sin ∠CFD =AE AF = 35，AE=6. ∴AF =10. ……………………………………………………8分∵OD ∥AB ，∴△ODF ∽△AEF .∴AEODAF OF =. …………………………9分 设⊙O 的半径为r ，∴10-r 10 = r6.解得r =154. …………………………10分 ∴AB = AC =2r = 152 . ∴EB =AB -AE = 152 -6= 32. …… ………… 12 分 24.解：（1）由221+=m m ，得 2=m . …………………………1分 连结AD 、BD. ∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB =90°，∠ADB =90°，第23题图又∵∠BCD=2∠ACD ，∠ACB =∠BCD +∠ACD.∴∠ACD =30°，∠BCD =60°. ……………………2分 （2）连结AD 、BD ，则∠ABD=∠ACD=30°，AB =4， ∴AD =2，32=BD . ……3分∵21=PB AP ，∴34=AP ，38=BP . …………4分 ∵∠APC=∠DPB ，∠ACD =∠ABD .∴△APC ∽△DPB …………………5分 ∴BPPCDP AP DB AC ==， ∴3383234=⋅=⋅=⋅DB AP DP AC ①，4832339PC DP AP BP ⋅=⋅=⋅=② 同理△CPB ∽△APD ……………………6分 ∴AD BC DP BP =，∴316238=⋅=⋅=⋅AD BP DP BC ③， 由①得DP AC 338=，由③得16,3BC DP=23316338==：：BC AC ， 在△ABC 中，AB =4，∴2224)316()338=+DPDP （，∴372=DP .由②273239PC DP PC ⋅=⋅=，得16721PC =. ∴167271072137DC CP PD =+=+=. ……………………8分 方法二由①÷③得23316338==：：BC AC ， 在△ABC 中，AB =4，72143774=⋅=AC ，7782774=⋅=BC . 由③316778=⋅=⋅DP DP BC ，得372=DP .P ABO DC 第24题图P ABO DC 第24题由②273239PC DP PC ⋅=⋅=，得16721PC =. ∴167271072137DC CP PD =+=+=. ……………………8分 （3）连结OD ，由323-2+=PB AP ，AB ＝4， 则323-24+=-AP AP ，则AP AP ）（）（3-2)32(432--=+， 则32-=AP .32=-=AP OP . ……………………10分要使CD 最短，则CD ⊥AB 于P ， 于是23cos ==∠OD OP POD .︒=∠30POD ，∴∠ACD =15°，∠BCD =75°， ∴m =5，故存在这样的m 值，且m =5. ……………12分 25．解：解：（1）∵直线l ：34y x m =+经过点B （0，32-）， ∴32m =-. ∴直线l 的解析式为3342y x =-. ∵直线l ：3342y x =-经过点9(,)4c n ,∴933,442n =-解得5n = .………………………1分 ∵抛物线234y x bx c =++经过点9(,)4c n 和点B （0，32-），23,29355.44c b c ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⨯++⎪⎩解得3,3.2b c =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ……………2分∴抛物线的解析式为233342y x x =--. ……………3分（2）∵直线l ：3342y x =-与x 轴交于点A ，∴点A 的坐标为(2,0).∴OA=2.在Rt △OAB 中，OB=32， ∴AB =22OA OB +=22352()22+=.……………5分∵DE ∥y 轴， ∴∠OBA =∠FED .∵矩形DFEG 中，∠DFE =90°， ∴∠DFE =∠AOB =90°.∴△OAB ∽△FDE . ………6分∴OA OB ABFD FE DE==. ∴45OA FD DE DE AB =⋅=，35OB FE DE DE AB =⋅=. ……………………7分∴p =2(FD+ FE )=43142()555DE DE ⨯+=.∵D （t ，233342t t --），E （t ，3342t -），且05t <<，∴223333315()(3)424244DE t t t t t =----=-+.∴22143152121()544102p t t t t =⨯-+=-+.∵2215105()1028p t =--+，且21010-<，∴当52t =时，p 有最大值1058…………………………9分（3）根据题意可得11O B 与x 轴平行，11O A 与y 轴平行.1）当11,O B 在抛物线上时，根据条件可设11113(,),(,)2O t y B t y +， 则223333333()3()424222t t t t --=+-+-，解得54t =. …………11分 2）当11,A B 在抛物线上时，根据条件可设11113(,),(,2)2A t yB t y +-， 则223333333()3()2424222t t t t --=+-+-+，解得1336t =. .……13分 综上，点A 1的横坐标为54或1336. .……14分 FG yxO B A D C E l图25。
2011年绵阳南山中学实验学校自主招生各科考试试题含答案
2011年绵阳南山中学实验学校自主招生考试试题（一）数学试题卷I （选择题，共36分）一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算3×(-2) 的结果是( )A ．5B ．-5C ．6D ．-62．如图1，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点， ∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于( ) A ．60° B ．70°C ．80°D ．90°3．下列计算中，正确的是( )A ．020=B ． 623)(a a = C3=± D ．2a a a =+4．如图2，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， 则□ABCD 的周长为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．155．把不等式2x -< 4的解集表示在数轴上，正确的是( )2011年绵阳南山中学实验学校自主招生考试试题（一）理化试题（考试时间120分钟，满分200分）可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Fe 56 Cu 64第Ⅰ卷（选择题，共81分）一、选择题（每小题3分，共66分。
每小题只有一个选项是最符合题目要求的） 1. 我市正在推广“LED ”绿色节能光源。
砷化镓（GaAs ）是光源材料，Ga 为+3价，As 的化合价为（ ） A . ＋3 B. ﹣3 C. ＋5 D. ﹣5 2. 下列物品属于有机合成材料的是（ ）A. 导电塑料B. 铝制电缆C. 越王勾践青铜剑D. 羊毛绒纺织品 3. 化学与人们的生活紧密相连，用所学化学知识判断，下列做法或说法错误．．的是（ ） A. 天然气、瓦斯等气体和面粉、煤粉等固体粉尘都易发生爆炸 B. 多吃水果蔬菜可以补充维生素，过多摄入微量元素不利健康C. 将自行车擦干净，并将其链条、钢圈等构件抹上油，可有效防止生锈D. 利用洗涤剂的乳化功能，可将白衬衣上的蓝墨水渍迅速洗掉4. 氯化钴（CoCl 2）晶体因含结晶水数目不同而呈现不同的颜色，故可作硅胶干燥剂的指示剂和隐形ABCD图2ABCD 40°120°图1墨水。
2015年四川省绵阳市南山双语学校小升初数学试卷(带解析)
②2011×
③777×9+37×111．
26．求未知数x
①8（x﹣2）=2（x+7）； ② = ； ③ x+ x=1.4面积．（单位，厘米）
28．看统计图解答．
（1）平均每月生产摩托车多少万台？
（2）上半年产量是下半年的百分之几？
29．画出如图的对称轴．
=（50÷2）×（50÷2+1）
=25×26，
故答案为：25，26．
15．1500
【解析】
试题分析：利用成活率= ×100%，所以，树苗总数=成活树苗÷成活率．本题已知最少成活率为75%，最高成活率为80%，所以栽活1200棵树苗，应按照最高的成活率计算，至少应栽1200÷80%棵树苗．
解答：解：1200÷80%=1500（棵）
解答：解：兔：（52﹣16×2）÷（4﹣2）
=20÷2
=10（只）；
鸡：16﹣10=6（只）；
答：鸡有6只，兔有10只．
故答案为6，10
14．25，26
【解析】
最后的一个偶数除以2加1的乘积，由此即可得出答案．
解答：解：2+4+6+8+10+…+50，
此数列是连续的偶数之和，最后一个偶数是50，
所以，2+4+6+8+10+…+50，
【详解】
（1）分别是做AB的垂直平分线，与直线的交点是C点，可做等腰三角形；
（2）以AB为半径，以A点为圆心画圆，与直线有两个交点，分别是C1、C2． 这两点均可作为符合条件的C点；
（3）同样，以AB为半径，以B点为圆心画圆，与直线交的两个点也符合条件，其中一个就是图上的C点；
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18题保密★启用前绵阳南山中学(实验学校)2015年自主招生考试试题数 学本套试卷分试题卷和答题卷两部份,试题卷共6页,答题卷共6页,满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上,并认真核对姓名与考号;2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效;3.非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上,答在试题卷上无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔;4.考试结束后,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.第I 卷(选择题,共36分)一.选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分)1． －4的倒数是（ ）A ．4B ．－4C ．14D ．－142．下列运算正确的是（ ）A .3332a a a = B . 633a a a =+ C . 336)2(x x -=- D . 426a a a =÷ 3． 用科学记数法表示0.000031，结果是（ ）A ．3.1×10-4B ．3.1×10-5C ．0.31×10-5D ．31×10-6 4．要使式子2a a+有意义，则a 的取值范围为( ) A.2a ≥- .2B >-a.20C ≥-≠a 且a D.2≥-a 5．如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形,它的左视图是（ ）A B C D6．如图，已知直线AB CD ∥，125C ∠=°， 45A ∠=°，那么E ∠的大小为（ ） A.70° B.80° C.90° D.100°7.在平面直角坐标系中，已知点E (－4,2)，F (－2,－2)，以原点O 为位似中心， 相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是（ ） A ．(－2,1) B. (－8,4) C ．(－8,4)或(8,－4) D. (－2,1)或(2,－1)8．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O 为△ABC 的内切圆，点D是斜边AB 的中点，则tan ∠ODA 的值为（ ）A.32 B.33C.3D.29．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A.1k >-B. 1k >-且0k ≠C.1k <D. 1k <且0k ≠10．如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ， ∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为（ ）。
A.32B.52C.3D.411.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0,3），△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O ′A ′B 点A 的对应点在直线34y x =上一点，则点B 与其对应点B ′间的距离为（ ） A. 94B. 3C. 4D. 512．如图12，抛物线2+(0)y ax bx c a =+≠过点（1，0）和点（0，-2），且顶点在第三象限，设P =a b c -+，则P 的取值范围是（ ）.A ．-4＜P ＜0B ．-4＜P ＜-2C ．-2＜P ＜0D ．-1＜P ＜0二、填空题（每小题4分，共24分）13．分解因式：24129ax ax a -+＝ ． 14：已知m 2-6m-1=0求2m 2-6m+21m= . 15．已知关于x 的方程231x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围为：______. 16.在平面直角坐标系中，点O 是原点，点B （0，3），点A 在第一象限且AB ⊥BO ，点E 是线段AO 的中点，点M 在线段AB 上．若点B 和点E 关于直线OM 对称，且则点M 的坐标是 ( ， ) ．17．如图，AB 是半圆O 的直径，且8AB =，点C 为半圆上的一点．将此 半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O ，则图中阴影部分 的面积是 （结果保留π）． 18.射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM=MB=2cm ，QM=4cm 。
动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，O D C AB 图12AB C D E P Q （第10题） 16题图 CABO17题图图22以点P 为圆心，3cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上）， 请写出t 可取的一切值______（单位：秒） 三．解答题 19.计算：（本小题满分16分）（1）计算：232143()(23)2sin 45()22014π--++-+︒+︒-（2）先化简，再求值：22214(),2 1.2442a a a a a a a a a ----÷=-++++其中20.某中学为了了解七年级600名学生在“学雷锋活动月”中做好事的情况，随机调查了七年级50名学生在一个月内做好事的次数，并将所得数据绘制成统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）所调查的七年级50名学生在这个月内做好事次数的平均数是 ，众数是 ，极差是 。
（2）根据样本数据，估计该校七年级600名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于4次的人数．21．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相 交于点M ，与BD 相交于点N ，连BM ，DN 。
（1）证：四边形BMDN 为菱形；（2）若AB=4，AD=8，求Sin ∠ABM 的值。
22. 已知直线l 分别与x 轴.y 轴交于A .B 两点，与双曲线ay x=（a ≠0，x ＞0）分别交于D .E 两点. 若点D 的坐标为（3，1），点E 的坐标为（1，n ） （1）分别求出直线l 与双曲线的解析式；（2）求△EOD 的面积 （3）若将直线l 向下平移m （m ＞0）个单位，当m 为何值时，直线l 与双曲线有且只有一个交点？23. （本题满分12分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A 、B 两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题：（1）符合题意的搭配方案有几种？（2）如果搭配一个A 种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？24. （本小题满分12分）如图：已知AB 是⊙O 的直径，AB=10，点C 、D 在⊙O 上，DC 平分∠ACB ，点E 在⊙O 外，∠EAC=∠D 。
（1）求证：AE 是⊙O 的切线； （2）若BC=6，求CD 的长；（3）若∠D=60O，求阴影部分的面积。
25. （本小题满分14分）如图，抛物线与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，且x 1＜x 2，与y 轴交于点()0,5C -，其中x 1，x 2是方程2450x x --=的两个根。
（1）求这条抛物线的解析式； （2）点M 是线段AB 上的一个动点,过点M 作MN ∥BC ,交AC 于点N ,连接CM ,当△CMN 的面积最大时，求点M 的坐标。
； （3）点()4,D k 在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴是否存在点F ，使以A ，D ，E ，F 四点为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出所有满足条件的点F 的坐标；如果不存在，请说明理由。
造型花卉 甲 乙 A 80 40 B5070B ACDNOMxyCBAO O DCBAO DCBA参考答案一、选择题1、D2、D3、B4、C5、B6、B7、D8、D9、B 10、C 11、C 12、A 二、填空题13、a(2x-3)2 14、 39 15、m>-3且m ≠2 16、 17、83π 18、2或8或3≤t ≤7 三、9821 =-++=19.①原式 2222222(2)14(2)(2)2(2)(2)(1)2(2)442(2)4421(2)4(2)12a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a⎧⎫----÷⎨⎬+++⎩⎭+---+=⋅+---++=⋅+--+=⋅=+-+=+②原式=2221212211a a a a a a =∴+=++=+=∴=原式 20.①平均数是 4 ，众数 5 ，极差是 4 。
5263134165104101852804045050x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++++===561324505024600288()50++=⨯=②人21.证明①∵四边形ABCD 为矩形 ∴MD//BN∴∠MDB=∠NBO 又MN ∠平分BO ∴BO=DO∴△MOD ≌△NOB ∴MO=NO 又MN ⊥BD∵四边形BNDM 为菱形②∴由①四边形BNDM 为菱形 ∴BM=MD=x ∴AM=8-x AB=4∴在△ABM 中42+（8-x 2）=x 2∴16+64-16x+x 2=x 2∴AM=3 ∴SM ∠ABM=35AM BM =BACDNOM②23.②W利润=1000x+1500(60-x)=1000x+90000-1500x=-500x+90000 37≤x≤40且为整∵-500＜0∴W随x的增大而减小∴x=40 W=7000024.解①∵∠D=∠B 又∠D=∠CAE ∴∠B=∠CAE又∵AB为⊙O直径∵∠B+∠BAC=90o∴∠BAC+∠CAE=90o∴∠AE为⊙O的切线②过B作BH⊥CD于HBC=6 AB=10 AC=8∵∠BCD=∠ACD=45o BC=6∴∠BH=CH=又∠BCD=∠ACD ∴BD AD=∵BD=AD又AB=10∵BD=AD=∴∠DH=∵CD=③当∠D=60o时，∠COA=120o又AB=10r=5 ∠OAC=30o∴S阴影=S扇AOC-S△AOC=12025525360434ππ⨯-=-25.①x2-4x-5=0 (x-5)(x+1=0∴x=5 x=-1∴A(-1,0) B(5,0) C(0,5)∴y=a(x+1)(x-5)-5=a×(-5)∴a=1∵y=x2-4x-5o o 5 45// 45 (,0) 1565(1)611 (1)5(1)22CMN CAM NAMOC OB CBO MN BCNMA M x ANM ACB NH x NH x S S S x x ==∴∠=∴∠=+∴=∴=+=-=⨯+⨯-+⨯△△△设△∽△②5(1)6x +2255(1)(1)212555(21)1222x x x x x =+-+=-++++2222255555 1261222510251266525(8)1265255(4)1612612565(4)12665x=4S =6x x x x x x x x x =---++=-++=--+=--++⨯=--+∴当时最大。