高考数学专题复习分类讨论思想

二、分类讨论思想
高考动向
分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中经常使用的数学思想方法之一.突出考查学生思维的严谨性和周密性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力，能体现“着重考查数学能力”的要求.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性.
知识升华
1．分类讨论的常见情形
（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.
（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.
（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0，a＞0解法是不同的.
（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等.
（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.
（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.
2．分类的原则
（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据.
（2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.
3．分类讨论的一般步骤
第一，明确讨论对象，确定对象的范围；
第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；
第三，逐类讨论，获得阶段性结果；
第四，归纳总结，得出结论.
4. 分类讨论应注意的问题
第一，按主元分类的结果应求并集.
第二，按参数分类的结果要分类给出.
第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可
能，应尽量避免分类.
经典例题透析
类型一：不等式中的字母讨论
1、（2010·山东）若对于任意，恒成立，则a的取值范围是________.
举一反三：
【变式1】解关于的不等式:（）.
【变式2】解关于的不等式:.
类型二：函数中的分类讨论
2、设为实数，记函数的最大值为，
（Ⅰ）设，求的取值范围，并把表示为的函数；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）试求满足的所有实数.
解析：
（I）∵，
∴要使有意义，必须且，即
∵，且……①
∴的取值范围是，
由①得：，
∴，，
（II）由题意知即为函数，的最大值，
∵时，直线是抛物线的对称轴，
∴可分以下几种情况进行讨论：
（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，故；
（2）当时，，，有=2；
（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若即时，，
若即时，，
若即时，，
综上所述，有=
（III）当时，；
当时，，，∴，
∴，
故当时，；
当时，，由知：，故；
当时，，故或，从而有或，
要使，必须有，，即，
此时，，
综上所述，满足的所有实数为：或.
举一反三：
【变式1】函数的图象经过点(-1，3)，且f(x)在(-1，+∞)上恒有f(x)<3，求函数f(x).
解析：f(x)图象经过点(-1，3)，则，
整理得：，解得或
(1)当时，则，此时x∈(-1，+∞)时，f(x)>3，不满足题意；
(2)当，则，此时，x∈(-1，+∞)时，
即f(x)<3，满足题意为所求.
综上，.
【变式2】已知函数有最大值2，求实数的取值.
解析：
令，则().
(1)当即时，，
解得:或（舍）；
(2)当即时，,
解得:或（舍）；
(3)当即时，，解得（全都舍去）.
综上，当或时，能使函数的最大值为2.
举一反三：
【变式1】设，
（1）利用函数单调性的意义，判断f(x)在（0，+∞）上的单调性；
（2）记f(x)在0<x≤1上的最小值为g(a)，求y=g(a)的解析式.
解析：
（1）设0<x1<x2<+∞
则f(x2)-f(x1)=
由题设x2-x1>0，ax1·x2>0
∴当0<x1<x2≤时，，∴f(x2)-f(x1)<0，
即f(x2)<f(x1)，则f(x)在区间[0，]单调递减，
当<x1<x2<+∞时，，∴f(x2)-f(x1)>0，
即f(x2)>f(x1)，则f(x)在区间（，+∞）单调递增.
（2）因为0<x≤1，由（1）的结论，
当0<≤1即a≥1时，g(a)=f()=2-;
当>1，即0<a<1时，g(a)=f(1)=a
综上，所求的函数y=g(a)＝.
类型三：数列
4、数列{a n}的前n项和为S n，已知{S n}是各项均为正数的等比数列，试比较与
的大小，并证明你的结论.
解析：设等比数列{S n}的公比为q，则q>0
①q=1时，S n=S1=a1
当n=1时，，a2=0，∴，即
当n≥2时，a n=S n-S n-1=a1-a1=0，，即
(2)q≠1时，S n=S1·q n-1=a1·q n-1
当n=1时，
∴，即.
当n≥2时，
a n=S n-S n-1=a1·q n-1-a1·q n-2=a1·q n-2(q-1)
此时
∴q>1时，，
0<q<1时，.
总结升华：等比数列前n项和公式分q=1或q≠1两种情况进行讨论.
举一反三：
【变式1】求数列：1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,……（其中a≠0）的前n项和S n. 解析：数列的通项a n=a n-1+a n+…+a2n-2
讨论：
（1）当a=1时，a n=n，S n=1+2+…+n=
（2）当a=-1时，，∴，
（3）当a≠±1且a≠0时，，∴
.
【变式2】设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和，证
明:.
解析：
（1）当q=1时，S n=na1，从而，（2）当q≠1时，，从而
由（1）（2）得:.
∵函数为单调递减函数.
∴
∴.
【变式3】已知{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列.
(Ⅰ)求q的值；
(Ⅱ)设{b n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n，当n≥2时，比较S n 与b n的大小，并说
明理由.
解析：
(Ⅰ)由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,
∵a1≠0，∴2q2-q-1=0，
∴或，
(Ⅱ)若q=1，则
当n≥2时，
若
当n≥2时，
故对于n∈N+，当2≤n≤9时，S n>b n；当n=10时，S n=b n；当n≥11时，S n<b n.
【变式4】对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中
；一般地，规定为的k阶差分数列，其中
且k∈N*，k≥2。

（1）已知数列的通项公式。

试证明是等差数列；
（2）若数列的首项a1=―13，且满足，求数列
及的通项公式；
（3）在（2）的条件下，判断是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。

解析：
（1）依题意：，
∴
∴，
∴数列是首项为1，公差为5的等差数列。

（2），
（3）令，
则当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增；
又因，
而，
所以当n=2时，数列a n存在最小值，其最小值为－18。