选修2-1常用逻辑用语复习小结(1)
高中数学新人教A版选修2-1课件：模块复习课第1课时常用逻辑用语
命题q:“不等式x2-4x+1-m≤0无解”,
则Δ=16-4(1-m)<0,即m<-3.
如果命题p∨q为真,命题p∧q为假,则命题p,q一真一假,
若p真,q假,则-3≤m≤1,
若p假,q真,则不存在满足条件的m值,
∴-3≤m≤1.
∴实数m的取值范围是[-3,1].
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④已知p,q为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“( p)∧( q)”为真命
题.
其中所有真命题的序号是
.
思路分析对于②③要注意四种命题及其关系,对于④涉及含逻辑
联结词的命题,要根据真值表与逻辑联结词的含义判断.
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自主解答①∵x-3=0⇒x-3≤0,∴为真命题.
②逆命题:“若a⊥b,则a·b=0”为真命题.
的必要不充分条件.
答案B
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4.(2019 北京高考)设点 A,B,C 不共线,则“与的夹角为锐角”是
“| + |>||”的(
)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析∵A,B,C 三点不共线,∴| + |>||⇔| + |>| −
当a>1时,由(x-1)(x-a)≤0得1≤x≤a,
若p是q的必要不充分条件,则a>3,
即实数a的取值范围是(3,+∞).
答案(3,+∞)
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专题三 全称命题与特称命题
例3 判断下列命题是特称命题还是全称命题,用符号写出其否定
选修2-1 常用逻辑用语(全章复习专用)
精心整理基础典型题归类与解析C．π是有理数D．x2－5x＝0的根是自然数解析：选D.x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．二、题型二：复合命题的结构例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)6是12和18的公约数；(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)已知x、y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.解析：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．因为当a＝0时，方程变为2x－1＝0，此时只有一个实根x＝.(3)已知x、y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．变式练习：指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：(1)若整数a是偶数，则a能被2整除；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；(3)相等的两个角的正切值相等．解析：(1)条件p：整数a是偶数，结论q：a能被2整除，真命题．(2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，即“若一个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形”．条件p：一个四边形的对角线相等且互相平分，结论q：该四边形是矩形，真命题．．例求使pq是假例ABCD．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．故选D.例6．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数答案： B例7．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是( )A．若x≤y，则x2≤y2B．若x>y，则x2<y2C．若x2≤y2，则x≤y D．若x<y，则x2<y2解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．例8．．给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；y，则非x例∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．六、题型六：判断条件关系及求参数范围例10．“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当x＝2kπ＋时，tan x＝1，而tan x＝1得x＝kπ＋，所以“x＝2kπ＋”是“tan x＝1”成立的充分不必要条件．故选A.例11、设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：由题意得：故D是A的必要不充分条件例12．已知条件p：－1≤x≤10，q：x2－4x＋4－m2≤0(m>0)不变，若非p是非q的必要而不充分条件，如何求实数m的取值范围？解：p：－1≤x≤10.q：x2－4x＋4－m2≤0⇔[x－(2－m)][x－(2＋m)]≤0(m>0)⇔2－m≤x≤2＋m(m>0)．因为非p是非q的必要而不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，即{x|－1≤x≤10}{x|2－m≤x≤2＋m}，故有或，解得m≥8.所以实数m的范围为{m|m≥8}．变式练习1：已知条件：p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.p：x2＋2x－3>0，则x>1或x<－3；q：5x－6>x2，即x2－5x＋6<0，由小集合⇒大集合，∴q⇒p，但p q．故选A.变式练习2已知p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范围．解析：q是p的必要不充分条件，则p⇒q但qp.∵p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.∴a＋1≥1且a≤，即0≤a≤.∴满足条件的a的取值范围为.七、充要条件的论证例13求证：0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．证明：充分性：∵0<a<，∴Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0可变成1>0.显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．必要性：∵ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，∴a＝0或解得0≤a<.例ABCD例变式练习2：(2010年高考安徽卷)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．解：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3变式练习3．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：方程x2－x＋1＝0有实根；(2)p：函数y＝tan x是周期函数；(3)p：∅⊆A；(4)p：不等式x2＋3x＋5<0的解集是∅.解析：题号判断p的真假非p的形式判断非p的真假(1)假方程x2－x＋1＝0无实数根真(2)真函数y＝tan x不是周期函数假(3)真∅A 假(4)真不等式x2＋3x＋5<0的解集不是∅假十、全称命题与特称命题相关小综合题例16．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0.(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2.(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)∃x0∈R，使x＋1<0.解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0(a>0且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，x＋1>0.∴命题(4)是假命题．例17．若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是( ) A．a≤－3或a>2 B．a≥2C．a>－2 D．－2<a<2解析：依题意：ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，所以有：⇔⇔a≥2.所以选B变式练习1：已知命题p：∃x0∈R，tan x0＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p且q”是________命题．(填“真”或“假”)解析：当x0＝时，tan x0＝，∴命题p为真命题；x2－x＋1＝2＋>0恒成立，∴命题q为真命题，∴“p且q”为真命题．所以填：真变式练习2：已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题，其中正确的是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：当x＝时，tan x＝1，∴命题p为真命题．由x2－3x＋2<0得1<x<2，∴命题q为真命题．∴p∧q为真，p∧¬q为假，¬p∨q为真，¬p∨¬q为假．所以选D十一、综合训练典型题例18．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0.又a>0，所以a<x<3a，当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，实数x的取值范围是1<x<3.由解得即2<x≤3.所以q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.若p∧q为真，则⇔2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3)．(2)非p是非q的充分不必要条件，即非p⇒非p且非q非q.设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，则A B.所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.所以实数a的取值范围是(1,2]．例19．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．(1)(2)即(2)∴m∵f∴mq：关于x＝[∴－(a2－a)≤－2，即a2－a－2≥0，解得a≤－1或a≥2.即p：a≤－1或a≥2由不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R得，即解得0≤a＜4∴q：0≤a＜4.∵p∧q假，p∨q真．∴p与q一真一假．∴p真q假或p假q真，即或∴a≤－1或a≥4或0≤a＜2.所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．。
北师大版高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语复习小结》课件
全称命题的否定是特 称命题，特称命题的 否定是全称命题.
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常用逻辑用语复习小结
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【全称量词与存在量词】
例4 已知函数gx log2 x m,
解：1由题对任意的x 1,4，
1对任意的x 1,4，使得gx 0成立， 使得gx 0成立,
常用逻辑用语
命题
充分条件与 必要条件
全称量词与 存在量词
了解命题的逆命题、否 命题与逆否命题，会分 析四种命题的相互关系
理解充分条件、必要条 件与充要条件的意义
理解全称量词与存在 量词的意义，能正确 地对含有一个量词的 命题进行否定
逻辑联结词 “且”“或”“非”
通过数学实例，了解逻 辑联结词“且”“或”“非” 的含义
则求实数m的取值范围.
等价转化——借助全称量词与 存在量词对条件进行转化
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常用逻辑用语复习小结
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【逻辑联结词“且”“或”“非”】
1.真假判定 p且q：有假则假，p或q：有真则真，p：真假相反；
2.集合观点 交集：p且q，并集：p或q，补集：p.
常用逻辑用语复习小结 【课堂小结】
命题
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等价转化的思想
常用逻辑用语
充分条件与 必要条件
全称量词与 存在量词
逻辑联结词 “且”“或”“非”
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正确地使用常用逻辑用语，不仅是学习 这一部分的内容，而且还需要在今后的 学习中，通过不断地正确使用常用逻辑 用语，加深对常用逻辑用语的认识.
选修2-1第一章 常用逻辑用语 章末知识整合
一、命题及其关系1．命题(1)命题是能够判断真假的陈述句，判断为真的是真命题，判断为假的是假命题．一个命题由条件和结论两部分构成，常写成“若p，则q”的形式．(2)判断命题真假的方法：①直接判断：先确定命题的条件与结论，再判断条件能否推出结论；②间接判断，判断其逆否命题的真假(互为逆否命题的两个命题同真假)．2．四种命题及其关系一般地，原命题、逆命题、否命题和逆否命题之间的相互关系如下：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件、必要条件、充要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇒/ q，则p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件．因此，给定p，q，则p是q的什么条件仅有下列四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件．(2)判断方法：①定义法：②集合法：令A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.③等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p；q⇒p与綈p⇒綈q；p⇔q与綈q⇔綈p的关系进行判断．对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般运用等价法．三、逻辑联结词(1)常用的逻辑联结词有“且”“或”“非”．由其联结命题p，q，可构成形式分别为“p且q”“p或q”“非p”的命题．(2)“命题的否定”与“否命题”的区别：命题的否定为非p，一般只否定命题p的结论；否命题就是对原命题“若p，则q”既否定它的条件，又否定它的结论．(3)命题p，q的运算“且”“或”“非”与集合P，Q的运算“交”“并”“补”有如下的对应关系：p或q↔P∪Q；p且q↔P∩Q；非p↔∁U P.四、全称命题和特称命题(1)确定命题中所含量词的意义，是全称命题和特称命题的判断要点．有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词．(2)可以通过“举反例”否定一个全称命题，同样也可以举一例证明一个特称命题．而肯定全称命题或否定特称命题都需要推理判断．(3)含有一个量词的命题的否定：将全称量词改为存在量词或将存在量词改为全称量词，并否定结论．[注意]一般命题的否定，直接否定结论即可．一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·山东高考)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：a ＋b ＋c ＝3的否定是a ＋b ＋c ≠3，a 2＋b 2＋c 2≥3的否定是a 2＋b 2＋c 2<3. 答案：A2．给出命题p ：3>1，q ：4∈{2,3}，则在下列三个命题：“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”中，真命题的个数为( )A ．0B ．3C ．2D ．1解析：因为p 真q 假，所以“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，“綈p ”为假． 答案：D3．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a >0且b >0可得a ＋b >0，ab >0.由a ＋b >0有a ，b 至少有一个为正．由ab >0可得a ，b 同号． 两者同时成立，则必有a >0，b >0. 答案：C4．(2011·天津高考)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4，所以充分性满足．反之，不成立，如x ＝y ＝74，满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分而不必要条件．答案：A5．全称命题“∀x ∈R ，x 2＋5x ＝4”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋5x 0＝4B ．∀x ∈R ，x 2＋5x ≠4C ．∃x 0∈R ，x 20＋5x 0≠4D ．以上都不正确解析：全称命题的否定为特称命题． 答案：C6．已知命题p ：若不等式x 2＋x ＋m >0恒成立，则m >14；命题q ：在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的充要条件， 则( )A ．p 假q 真B ．“p 且q ”为真C ．“p 或q ”为假D ．綈p 假綈q 真解析：易判断出命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以綈p 为假．綈q 为假．结合各选项知B 正确．答案：B7．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b .现给出下列四个命题：①p ∧q ，②p ∨q ，③綈p ，④綈q ，其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：p 真q 假，∴p ∨q 真，綈q 真，故②④正确． 答案：B8．平面向量a ，b 共线的充要条件是( ) A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0解析：a ∥b ⇒/ a ，b 方向相同，所以A 不正确；同理B 不正确；当a ＝0，b ≠0时，b ＝λa 不成立，而此时，a ，b 共线，所以C 不正确；根据共线向量定理知D 正确．答案：D9．命题“若C ＝90°，则△ABC 是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：原命题是真命题．其逆命题为“若△ABC 是直角三角形，则C ＝90°”．这是一个假命题，因为当△ABC 为直角三角形时，也可能A 或B 为直角．这样，否命题是假命题，逆否命题是真命题．因此，真命题的个数是2.答案：C10．(2012·福建高考)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件解析：因为∀x ∈R ，e x ＞0，故排除A ；取x ＝2，则2x ＝x 2，故排除B ；取a ＝b ＝0，则a ＋b ＝0，但不能得到ab＝－1，故排除C ；D 是真命题．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．命题“若ab ＝0，则a ＝0，或b ＝0”的否命题是________．解析：据否命题的定义知，命题“若ab ＝0，则a ＝0，或b ＝0”的否命题是“若ab ≠0，则a ≠0，且b ≠0”．答案：若ab ≠0，则a ≠0，且b ≠0 12．给定下列命题：①若k >0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根； ②“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题； ③“菱形的对角线垂直”的逆命题； ④“若x >0，则x ＋1x >0”的否命题．其中真命题的序号是________． 解析：①∵Δ＝4－4(－k )＝4＋4k >0， ∴是真命题．②否命题“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”是真命题． ③逆命题“对角线垂直的四边形是菱形”是假命题．④逆命题“若x ＋1x >0，则x >0”是真命题，故否命题是真命题．答案：①②④13．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：p ：a －4<x <a ＋4.q ：2<x <3.由綈p 是綈q 的充分条件可知， q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3.∴－1≤a ≤6. 答案：[－1,6]14．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的范围是________． 解析：由x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}得 x <1或x ≥2. ∵此命题是假命题， ∴1≤x <2.答案：[1,2)三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)写出命题“若x 2＋7x －8＝0，则x ＝－8或x ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．解：逆命题：若x ＝－8或x ＝1，则x 2＋7x －8＝0. 逆命题为真．否命题：若x 2＋7x －8≠0，则x ≠－8且x ≠1. 否命题为真．逆否命题：若x ≠－8且x ≠1，则x 2＋7x －8≠0. 逆否命题为真．16．(本小题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x ≥2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.解：(1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题；(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题； (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题； (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．17．(本小题满分12分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，得⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}， ∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A . 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使B ⊆A ，则方程f (x )＝0的两根分别在区间(－∞，2]，[3，＋∞)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤0，18－27＋a ≤0.解得a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}．18．(本小题满分14分)已知p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：若p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0成立为真， 则“a ＝0”，或“a >0且a 2－4a <0”． 解得0≤a <4.若q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根为真， 则Δ＝1－4a ≥0，得a ≤14.因为p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， 故p ，q 有且仅有一个为真命题， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a <0或a ≥4，a ≤14，或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4，a >14.。
高二上期末复习4--选修2-1常用逻辑用语
例5．指出下列各组命题中p是q的什么条件（充分 不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充 分也不必要条件）： （１）p：a2>b2 q：a>b 则p是q的（必要不充分） （２）p：{x|x>2或x<3} q：{x|x2x6<0} 则p是q 的（ 必要不充分） （３）p：a与b都是奇数 q：a+b是偶数 则p是q的 （ 充分不必要） （４）p：0<m<１/３ q：方程mx22x+3=0有两 个同号且不相等的实数根，则p是q的（充要条件 ）
假
2)由1)知当1<a≤2或a≥10时方程有两个正根
4 当a=1时,方程化为3x-4=0,有一正根 x 3
又方程有一正根一负根的充要条件是a<1
故方程至少有一个正根的充要条件a≤2或a≥10
1.四种命题反映出命题之间的内在联系,要注意结合实际 问题,理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程.
命题的否定与否命题是完全不同的概念
1．任何命题均有否定，无论是真命题还是
假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提 出来的。 2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题， 两者的真假性必然是一真一假，一假一真； 而否命题与原命题可能是同真同假，也可 能是一真一假。 3． 原命题“若P则q” 的形式，它的否命题 “若p，则q”，仅否定结论；而它的否命 题为 “若┓p，则┓q”，既否定条件又否 定结论。
若p q, 则p, q互为充要条件。
（4）“或”、“且”、“非”的真值判断
“非p”形式复合命题的真假与P的真假相反； “p且q”形式复合命题当P与q同为真时为
真，其他情况时为假； “p或q”形式复合命题当p与q同为假时为 假，其他情况时为真．
(转)高二数学选修2-1、2-2、2-3知识点小结
中间变量对自变量的导数。
6. 定积分的概念，几何意义，区边图形的面积的积分形式表示，注意确定上方函数，下方函数的
选取，以及区间的分割.微积分基本定理
b a
f (x)dx F (x) |ba F (b) F(a) .
物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题。
7. 函数的单调性
（1）设函数 y f (x) 在某个区间（a，b）可导，如果 f ' (x) 0 ，则 f (x) 在此区间上为增函数；
面面垂直： n1 n2
4. 夹角问题
线线角 cos | cos a,b | | a b | （注意异面直线夹角范围 0 ）
| a || b |
2
线面角 sin | cos a, n | | a n | | a || n |
二面角
|
cos
||
cos
n1, n2
|
| n1 n2 | n1 || n2
线线平行： a / /b a / /b 线面平行： a / / a n 或 a / /b ， b 或 a xb yc(b，c 是 内不共线向量）
面面平行： // n1 / /n2
3. 垂直
线线垂直： a b a b a b 0
线面垂直： a a / /n 或 a b, a c (b，c 是 内不共线向量）
① 直线具有斜率 k ，两个交点坐标分别为 A(x1, y1), B(x2, y2 )
AB
1 k2 x1 x2
(1 k2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
1 1 k2
y1 y2
② 直线斜率不存在,则 AB y1 y2 .
（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。
高中数学人教版选修2-1第一章基本逻辑语用知识点最完全精炼总结 (1)
高二数学 选修2-1第一章 常用逻辑用语1.四种命题及相互关系：2．充分条件、必要条件、充要条件若p ，则q 是真命题 p 是q 充分条件（不唯一）q 是p 必要条件（理解: 没有q 就没有p ）从集合的观点理解: 若p ，则q 是假命题 p 不是q 充分条件 q 不是p 必要条件若q ，则p 是真命题 q 是p 充分条件（不唯一）p 是q 必要条件（理解:没有p 就没有q ）若q ，则p 是假命题 q 不是p 充分条件 p 不是q 必要条件 p 是q 充要条件 且 p 是q 充分条件：充要条件:A B =充分不必要条件:A B ⊂ p 是q 必要条件：充要条件:A B =必要不充分条件:B A ⊂ 3.逻辑联结词原命题 若p 则q逆命题 若q 则p否命题 若﹁ p 则﹁ q逆否命题 若﹁ q 则﹁p互为逆否 同真同假互逆命题 真假无关互逆命题 真假无关互否命题真假无关互否命题真假无关p q⇔⇒⇔⇔A B⊆{()},{()}A x x p x B x x q x =∈=∈p q ⇔⇒⇔⇔q p⇔⇒⇔⇔q p ⇔⇒⇔⇔p q ⇔⇔B A⊆B A⊆B A A B ⊆⇔=A B ⊆原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有（n-1）个小于大于或等于至多有n个至少有（n+1）个对所有x,成立存在某x，不成立p或q ⌝p且⌝q对任何x，不成立存在某x，成立p且q ⌝p或⌝q4.全称命题:∀x∈M，p(x)全称命题否定:∃x0∈M,⌝p(x0)特称命题:∃x0∈M，p(x0)特称命题否定:∀x∈M,⌝p(x)全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.。
高中数学选修2-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.1知识点总结含同步练习及答案
2.若则命题的四种形式 描述： 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论． 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命 题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题 为“若 q ，则 p ”． 否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么 这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”． 逆否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命 题（inverse and negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么 它的逆否命题为“若 ¬q ，则 ¬p ”． 四种命题的相互关系 四种命题的真假关系 ① 互为逆否的两个命题，它们有相同的真假性； ② 互逆或互否的两个命题，它们的真假性没有关系． 例题： 把下列命题改写成“若 p ，则 q ” 的形式，并判断命题的真假． （1）当 ac > bc 时， a > b ； （2）已知 x ，y 为正整数，且 y = x + 1 ，当 y = 3 时，x = 2； （3）当 m > （4）菱形的对角线互相垂直． 解：（1）若 ac > bc，则 a > b，假命题； （2）已知 x ，y 为正整数，且 y = x + 1 ，若 y = 3，则 x = 2 ，真命题； （3）若 m > （4）若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，真命题．
数学选修2-1一章常用逻辑用语
对一些词语的否定
词语
等于 大于 小于
是
否定
不等于 不大于 不小于
不是
词语
任意的 所有的
且 都是
否定
某个 某些
或 不都是
至多有一个 至少有两个 至多有n个 至少有(n+1)个
至少有一个 一个都没有 至少有n个 至多有(n-1)个
“非 p”─ p 的全盘否定.特别注意!
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课堂练习 3:
1.已知命题
p:若1≤
x
≤2
,则
x2
1 3x
2
0
命题 p 的否定为:___________________.
2.命题“若 x2 1,则 x 1”的否定是__________________.
课堂练习 3 答案:
1.若1≤
x
≤2
,则
x2
1 3x
2
≤
0
或
x2 3x 2 0 .
2.若 x2 1,则 x 不一定等于 1.
• “非” A xx U 且 x A
注:⑴“p 且 q”─ p、q 同时为真才为真.
⑵“p 或 q” ─ 只要 p、q 中有一个为真就 为真.(p、q 同时为假才为假.)
⑶“ p”─ p 的全盘否定，p 与p 一真一假.
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课本 P19 例 4 写出下列命题的否定,并断它们的真 假: ⑴ p: y sin x 是周期函数; ⑵ p: 3 < 2; ⑶ p: 空集是集合 A 的子集. 解:⑴ p: y sin x 不是周期函数. 命题 p 是真命题, p 是假命题.
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课外练习:
1.设有两个命题，命题 p：关于 x 的不等式 (x 2) x2 3x 2 ≥0
最新-高中数学 第一章《常用逻辑用语》复习小结课件 新人教B版选修2-1 精品
常用逻辑用语复习小结
知道命题的特征.
本章知识结构:
能准确写出命题
重要考点 常用逻辑用语 的否定.
命题及 其关系
充分条件 必要条件 充要条件
简单的逻辑联结 全称量词 词:且、或、非 存在量词
原命题 若p,则q 互 否
否命题 若 p,则 q
互逆 互为逆否
同真同假 互逆
逆命题 若q,则p
互 否
逆否命题 若 q,则 p
注:(1) “互为”的; (2)原命题与其逆否命题同真同假. (3)逆命题与否命题同真同假.
二、充要条件、必要条件的判定
对于充分条件和必要条件，要能够正确地理解和判断
(1)从概念的角度去理解． ①若pq，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． ②若pq，则p是q的充要条件． ⑧若p q，且qp，则称p是q的充分不必要条件． ④若pq，且q p，则称p是q的必要不充分条件． ⑤若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件 (2)从命题的角度去理解． 设原命题为“若p，则q”，则 ①若原命题为真，则p是q的 充分条件 ． ②若逆命题为真，则p是q的 必要条件 ． ③若原命题和逆命题都为真，则p是q的 充要条件 . ④若原命题为真而逆命题为假，则p是q的 充分不必要条件 . ⑤若原命题为假而逆命题为真，则p是q的 必要不充分件 ． ⑥若原命题和逆命题都为假，则p是q的既不充分也不必要条件.
四种命题:原命题、逆命题、 否命题、逆否命题. 1.原命题与逆否命题同真同假.
2.证明一个命题,可以考虑证它 的逆否命题来间接证明.
最新人教版高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》单元小结
本章小结知识整合1.知识纲要命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与特称量词.2.方法总结(1)理解四种命题及其相互关系,特别是互为逆否命题的两个命题同真假.(2)掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义,并会判断两个命题的关系.对于A 、B 两个命题若A ⇒B ,A 是B 的充分条件;若B ⇒A ,A 是B 的必要条件;若A =B ,则A 是B 的充要条件;并会用充要条件的知识解决一些与其他知识相关的问题.(3)正确地使用逻辑联结词“或”“且”“非”，并会判断复合命题的真假(即掌握真值表).另外理解清楚“或”“且”“非”与集合的“交”“并”“补”的对应关系.(4)会判断全称命题与特称命题,并且会写命题的否定;理清命题的否定与否命题的区别;全称命题的否定为特称命题;特称命题的否定为全称命题.使用逻辑联结词的情况是( )A.没有使用逻辑联结词B.使用了联结词“且”C.使用了联结词“或”D.使用了联结词“非”解析:“x 2-4=0的解是x =±2”就是指“x 2-4=0的解是x =2或x =-2”,因此该命题是用逻辑联结词“或”联结的.答案:C点评:要理解联结词“或”“且”“非”的含义.“或”相当于集合中的“并集”与日常用语中的“或”含义不同.日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”可以两个都选，但又不是两个都必须选，而是两个中至少有一个，相当于“并集”定义中的“或”.“且”相当于集合中的“交集”，即必须两个都选.“非”相当于集合在全集中的补集.【例3】 写出下列命题的“⌝p ”命题，并判断它们的真假.(1)p :对任意实数x ，都有x 2-2x +1≥0;(2)p :存在实数x ,使得x 2-9=0.解：（1）⌝p :∃x 0∈R ,使得x 2-2x +1＜0.由于x 2-2x +1=(x -1)2,且任意实数的平方非负，知“⌝p ”为假命题.(2)⌝p :不存在实数x ，使得x 2-9=0.因当x =3时，x 2-9=0成立，即p 真，故“⌝p ”为假命题.亦可写为“所有的实数x ，使得x 2-9≠0”.点评：根据“⌝p ”形式命题与p 的真假相反来判断，问题比较简单时也可以直接判断.【例4】求关于x 的方程ax 2+2x +1=0至少有一个负的实根的充要条件.解:(1)a =0时适合.(2)当a ≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则a <0;若方程有两个负的实根,则必须满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-=∆〈-〉.044,02,01a aa 解得0<a ≤1.综上知,若方程至少有一个负的实根,则a ≤1;反之,若a ≤1,则方程至少有一个负的实根,因此,关于x 的方程ax 2+2x +1=0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.点评:(1)a =0的情况不要忽视;(2)若令f (x )=ax 2+ 2x + 1,由于f (0)=1≠0,从而排除了方程有一个负根,另一个根为零的情形.【例5】已知关于x 的方程(1-a )x 2+(a +2)x -4=0,a ∈R ,求:(1)方程有两个正根的充要条件;(2)方程至少有一个正根的充要条件.典例启示【例1】写出下面命题的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假.如果两圆外切,那么圆心距等于两圆半径之和.解:逆命题:如果圆心距等于两圆半径之和,那么两圆外切;真命题.否命题:如果两圆不外切,那么圆心距不等于两圆半径之和;真命题.逆否命题:如果圆心距不等于两圆半径之和,那么两圆不相外切;真命题.点评:写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题,关键是熟悉命题的结构;原命题与逆否命题同真假,原命题的逆命题与否命题同真假.所以只要判断出原命题及它的逆命题的真假,便可得到原命题的否命题及它的逆否命题的真假.【例2】 命题“方程x 2-4=0的解是x =±2.”在这个命题中,解析:先求出方程有两个实根的充要条件,再讨论x 2的系数及运用根与系数的关系分别求出要求的充要条件.解:(1)方程(1-a )x 2+(a +2)x -4=0有两个实根的充要条件是⎩⎨⎧≥∆≠-,0,01a 即()()⎩⎨⎧≥-++≠,01162,12a a a ⎩⎨⎧≥≤≠⇔,102,1a a a 或 即a ≥10或a ≤2且a ≠1.设此时方程的两实根为x 1、x 2,有两个正根的充要条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧〉⋅〉+≥≤≠.0,0,102,12121x x x x a a a 或 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧〉-〉-+≥≤≠⇔,014,012,102,1a a a a a a 或即1＜a ≤2或a ≥10是方程有两个正根的充要条件.(2)由(1)知当1＜a ≤2或a ≥10时方程有两个正根,当a =1时,方程化为3x -4=0,有一正根34 x ,又方程有一正根一负根的充要条件是a ＜1,故方程至少有一个正根的充要条件是a ≤2或a ≥10.点评:处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论,要紧扣定义.【例6】写出下列各命题的否定：（1）x =±3;(2)圆既是轴对称图形也是中心对称图形；（3）a ,b ,c 都相等；（4）点p 或点N 在直线PQ 上；（5）对任意实数x ，有x 2-2x +1≥0;(6)存在一个实数x ，使x 2-4=0.解：（1）x ≠3,且x ≠-3;(2)圆不是轴对称图形或不是中心对称图形；（3）a 、b 、c 不都相等，即a ≠b 或b ≠c 或c ≠a ,即a 、b 、c 中至少有两个不相等；（4）点p 、N 都不在直线PQ 上；（5）存在一个实数x ,使x 2-2x +1＜0;(6)对任意实数x ,都有x 2-4≠0.点评：（1）注意正确书写一些常用词语的否定.(2)命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题.。
《常用逻辑用语小结》人教版高二数学选修2-1PPT课件(第1.1.5课时)
紫色石蕊溶液和无色酚酞溶液
变色规律:
２、紫色石蕊溶液
遇酸溶液 变红 遇碱溶液 变蓝
３、无色酚酞溶液
遇酸溶液 不变色 遇碱溶液 变红
指示剂的作用:
能检验溶液的酸碱性
如何用酸碱指示剂检验溶液的酸碱性？
取少量该溶液 滴入几滴石蕊试液 若溶液呈现红色，则说明该溶液为酸性溶液。 若溶液呈现蓝色，则说明该溶液为碱性溶液。
条件;
(5)若A=B时，则p, q互为 充要 条件;
(6)若AB且BA时，则p是q的 既不充分也不必要
有 条件。
新知探究
规律总结： 集合法判定，主要在于判断p , q相应的集合关系
3.等价判断法
利用等价命题进行转换，当要证明p成立时，就可以去证明q成立。
一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断。
自制指示剂
1、下列物质能使紫色石蕊试液变红的是（ A ）
A.稀盐酸
B.石灰水
C.食盐水
D.水
2、下列日常所见的溶液中呈酸性的是（ C ）
A.肥皂水
B.石灰水
C.雪碧
D.蔗糖水
3、许多植物的花瓣或果实中含有色素，现提取几种植物的花瓣或果实的汁液，
用稀酸、稀碱和水逐一检验，现象记录如下表：
植物的汁液 牵牛花 万寿菊 胡萝卜 玫瑰
较珍贵的酒放在窖中保存，在微生物的作用下，产生了酸。
向溶液中加入酸碱指示剂
பைடு நூலகம்
实验探究
实验材料：白醋、澄清石灰水、稀盐酸、氢氧化钠溶液 实验试剂：石蕊、酚酞试液 实验步骤：将两种试剂分别滴入盛有上述溶液的试管中，
观察溶液颜色变化 ，记录实验现象。
食醋
加入紫色石蕊溶液后的颜色变化 加入无色酚酞溶液后的颜色变化
高二数学选修2-1知识点总结
根底梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“”表示；存在量词用符号“”表示．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否认(1)全称命题的否认是特称命题；特称命题的否认是全称命题．(2)p或q的否认为：非p且非q；p且q的否认为：非p或非q.一个关系逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．两类否认1．含有一个量词的命题的否认(1)全称命题的否认是特称命题全称命题p：某∈M，p(某)，它的否认p：某0∈M，p(某0)．(2)特称命题的否认是全称命题特称命题p：某0∈M，p(某0)，它的否认p：某∈M，p(某)．2．复合命题的否认(1)非(p∧q)(p)∨(q)；(2)非(p∨q)(p)∧(q)．三条规律(1)对于“p∧q”命题：一假那么假；(2)对“p∨q”命题：一真那么真；(3)对“p”命题：与“p”命题真假相反．双基自测1．(人教A版教材习题改编)命题p：某∈R，in 某≤1，那么( )．A．p：某0∈R，in 某0≥1 B．p：某∈R，in 某≥1C．p：某0∈R，in 某0>1 D．p：某∈R，in 某>1解析命题p是全称命题，全称命题的否认是特称命题．答案 C2．(2022·北京)假设p是真命题，q是假命题，那么( )．A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题C．p是真命题 D．q是真命题解析此题考查命题和逻辑联结词的根底知识，意在考查考生对逻辑联结词的理解运用能力．只有q是真命题．答案 D3．命题p：假设a，b∈R，那么|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要条件．命题q：函数y＝的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)那么()．A．“p或q”为假 B．“p且q”为真C．p真q假 D．p假q真答案 D4．设p、q是两个命题，那么复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是()．A．p、q中至少有一个为真 B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为真 D．p为真、q为假答案 C答案存在某0∈R，使|某0－2|＋|某0－4|≤3考向一含有逻辑联结词命题真假的判断A．q1，q3 B．q2，q3C．q1，q4 D．q2，q4[审题视点] 根据复合函数的单调性判断p1，p2的真假．解析可判断p1为真，p2为假；那么q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．答案 C“p∨q”、“p∧q”、“q”形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“q”形式命题的真假．【训练1】命题p：某0∈R，使in 某0＝25；命题q：某∈R，都有某2＋某＋1＞0.给出以下结论①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∨q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．其中正确的选项是()．A．②③ B．②④C．③④ D．①②③解析命题p是假命题，命题q是真命题，故③④正确．答案 C考向二全称命题与特称命题【例2】写出以下命题的否认，并判断其真假．(1)p：某∈R，某2－某＋41≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：某0∈R，某02＋2某0＋2≤0；(4)：至少有一个实数某0，使某03＋1＝0.[审题视点] 改变量词，否认结论，写出命题的否认；判断命题的真假．解 (1)p：某0∈R，某02－某0＋41＜0，假命题．(2)q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)r：某∈R，某2＋2某＋2＞0，真命题．(4)：某∈R，某3＋1≠0，假命题．全称命题与特称命题的否认与命题的否认有一定的区别，否认全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否认结论．而一般命题的否认只需直接否认结论即可．【训练2】写出以下命题的否认，并判断真假．(1)p：某∈R，某不是3某－5＝0的根；(2)q：有些合数是偶数；(3)r：某0∈R，|某0－1|＞0.解 (1)p：某0∈R，某0是3某－5＝0的根，真命题．(2)q：每一个合数都不是偶数，假命题．(3)r：某∈R，|某－1|≤0，假命题．考向三根据命题的真假，求参数的取值范围【例3】(2022·浙大附中月考)命题p：方程某2＋m某＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q：方程4某2＋4(m－2)某＋1＝0无实数根．假设“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的'取值范围．[审题视点] 先解不等式将命题p与命题q具体化，然后根据“p或q”与“p且q”的条件可以知道命题p与命题q一真一假，从而求出m的取值范围．解由p得：－m＜0，Δ1＝m2－4＞0，那么m＞2.由q得：Δ2＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，那么1＜m＜3.又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假．①当p真q假时，m≤1或m≥3，m＞2，解得m≥3；②当p假q真时，1＜m＜3，m≤2，解得1＜m≤2.∴m的取值范围为m≥3或1＜m≤2.含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．【训练3】 a＞0，设命题p：函数y＝a某在R上单调递增；命题q：不等式a某2－a某＋1＞0对某∈R恒成立．假设p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．解∵函数y＝a某在R上单调递增，∴p：a＞1.不等式a某2－a某＋1＞0对某∈R恒成立，∴a＞0且a2－4a＜0，解得0＜a＜4，∴q：0＜a＜4.∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p、q中必有一真一假．①当p真q假时，a≥4，a＞1，得a≥4.②当p假q真时，0＜a＜4，0＜a≤1，得0＜a≤1.故a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．标准解答1——借助常用逻辑用语求解参数范围问题【问题研究】利用常用逻辑用语求解参数的取值范围主要涉及两类问题：一是利用一些含有逻辑联结词命题的真假来确定参数的取值范围；二是利用充要条件来确定参数的取值范围.求解时，一定要注意取值区间端点值的检验，处理不当容易出现漏解或增解的现象.,【解决方案】解决此类题目首先是合理转化条件、运用有关性质、定理等得到参数的方程或不等式，然后通过解方程或不等式求得所求问题.【例如】 c＞0，且c≠1，设p：函数y＝c某在R上单调递减；q：函数f(某)＝某2－2c某＋1在，＋∞1上为增函数，假设“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c 的取值范围．(1)p，q真时，分别求出相应的c的范围；(2)用补集的思想求出p，q分别对应的c的范围；(3)根据“p∧q”为假、“p∨q”为真，确定p，q的真假．[解答示范] ∵函数y＝c某在R上单调递减，∴0＜c＜1.即p：0＜c＜1.∵c＞0且c≠1，∴p：c＞1.又∵f(某)＝某2－2c某＋1在，＋∞1上为增函数，∴c≤21.即q：0＜c≤21.∵c＞0且c≠1，∴q：c＞21且c≠1.又∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p真q假或p假q真．①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩且c≠11＝＜c＜11；②当p假，q真时，{c|c＞1}∩21＝.综上所述，实数c的取值范围是＜c＜11.解决此类问题的关键是首先准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求出来，然后转化为集合交、并、补的根本运算．【试一试】设p：方程某2＋2m某＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程某2＋2(m－2)某－3m＋10＝0无实根．求使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围．[尝试解答] 由某1＋某2＝－2m＞0，Δ1＝4m2－4＞0，得m＜－1.∴p：m＜－1；由Δ2＝4(m－2)2－4(－3m＋10)＜0，知－2＜m＜3，∴q：－2＜m＜3.由p∨q为真，p∧q为假可知，命题p，q一真一假，当p真q假时，m≥3或m≤－2，m＜－1，此时m≤－2；当p假q真时，－2＜m＜3，m≥－1，此时－1≤m＜3.∴m的取值范围是{m|m≤－2，或－1≤m＜3}．。
第一章逻辑联结词小结(人教版选修2-1)
§1.1-1.4第一章 常用逻辑用语（复习）编 号 28使用人________ 【学习目标】 1. 命题及其关系（1）了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题间的相互关系； （2）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 2.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 3. (1) 理解全称量词与存在量词的意义；（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【学习重难点】重点：命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题间的相互关系；理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；难点：全称量词与存在量词的意义，正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【学法指导】1。
命题真假的判断，充要条件的判定，含一个量词的命题的否定是高考考查的重点．其中命题真假的判断和充要条件的判定往往与其他知识相结合，考查相关知识点，体现了在知识交汇点处命题的特点，一般以选择题的形式出现，难度不大．2．解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面：一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆；二是要掌握判断全称命题与特称命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明特称命题为真． 【学习过程】 复习1：复习导学：问题1：.什么是命题?其常见的形式是什么?什么是真命题?什么是假命题?问题2：.所有命题可以写成四种命题形式吗？有哪四种命题?他们之间的关系是怎样的?问题3：什么是充分条件、必要条件和充要条件？问题4：你学过哪些逻辑联结词?四逻辑联结词联结而成的命题的真假性怎样?问题5：.否命题与命题的否定有什么不同?问题6：什么是全称量词和存在量词?问题7：怎样否定含有一个量词的命题?合作探究：（A ）例1 命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A.若21x ≥，则1x ≥或1x ≤- B.若11x -<<，则21x < C.若1x >或1x <-，则21x > D.若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥(B)变式：命题“若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥”的逆否命题是 .小结：弄清四种命题之间的关系是解决此类问题的关键. (B)例2 下列各小题中，p 是q 的充要条件的是（ ）.（1）p ：2m <-或6m >；q ：23y x mx m =+++有两个不同的零点课堂流程：课型：新授课 编号: 28 编写人：杨留杰 审核组：高二数学组 审核人：高翔宇 班级： 姓名： 日期：2012-11-23※※※※※※※※※※※密※※※※※※※※※※※※※※封※※※※※※※※※※※※※线※※※※※※※（2）p ：()1()f x f x -=；q ：()y f x =是偶函数 （3）p ：cos cos αβ=；q ：tan tan αβ= （4）p ：A B A = ；q ：U B A =U c 痧 A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)(B)变式：设命题p ：|43|1x -≤，命题q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.小结：处理充分、必要条件的问题首先要分清条件和结论，有时利用逆否命题与原命题等价的性对解题很有帮助. (C)例3 给出下列命题:p ：关于x 的不等式22(1)0x a x a --+>的解集是R ，q ：函数2lg(2)x y a a =-是增函数.(1) 若p q ∨为真命题，求a 的取值范围. (2) 若p q ∧为真命题，求a 的取值范围.【自我检测】（A ）1. 下列语句不是命题的有（ ）.①230x -=；②与一条直线相交的两直线平行吗？③315+=；④536x -> A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 1.(A) 2. 如果命题“p 且q ”与命题“p 或q ”都是假命题，那么 （ ） A.命题“非p ”与命题“非q ”的真值不同 B.命题p 与命题“非q ”的真值相同C.命题q 与命题“非p ”的真值相同D.命题“非p 且非q ”是真命题(B) 3.若命题p 的逆命题是q ，命题p 的否命题是r ，则q 是r 的 （ ） A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.以上结论都不正确(B)4.判断下列命题的真假．(1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 的逆命题与逆否命题； (2)若0<x <5，则|x －2|<3的否命题与逆否命题； (3)设a 、b 为向量，如果a ⊥b ，则a ·b ＝0的逆命题和否命题． (B)5.下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是 ( )．A ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >dB ．p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝ax －b (a >0且a ≠1)的图象不过第二象限C ．p ：x ＝1，q ：2x ＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log ax (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数(B)5. 给出命题：p ：31>，q ：4{2,3}∈，则在下列三个复合命题：“p 且q” “p或q” “非p”中，真命题的个数为（ ）. A.0 B.3 C.2 D.1(C)6. 若a b c 、、是常数，则“2040a b ac >-<且”是“对任意x R ∈，有20a xb xc ++>”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件(C)7. 已知a ，b 是两个命题，如果a 是b 的充分条件，那么a ⌝是b ⌝的 条件. (C)8“tan tan αβ≠”的 条件是“αβ≠”。
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知 识 体 系 构 建 单 元 巩 固 提 升 单 元 质 量 评 估
p 真 真 假 假
q 真 假 真 假
p∧q 真 假 假 假
p∨q 真 真 真 假
﹁
p
假 假 真 真
命题的否定与否命题的区别
∴p是q的必要不充分条件.
变式训练
设x,y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )
典例分析
例3 判断下列命题是全称命题还是特称命题,写出命题 的否定，并判断其真假:
(1)p:x R, x 2 x 1 0 4 (2)p:所有的正方形都是矩形; (3)p: x R，x 2 2x 8 0 0 0 0
x0 M , p( x0 )
特称命题 x0 M , p( x0 )
否定
x M , p( x)
思考：如何判断真假，真假关系如何？
典例分析
的逆否命题是( )
例1 命题“若函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”
（A）若loga2≥0，则函数 A f(x)=logax(a＞0,a≠1)在其定义域内不是减函数 （B）若loga2＜0，则函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)在其定义域内不是减函数 （C）若loga2≥0，则函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)在其定义域内是减函数 （D）若loga2＜0，则函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)在其定义域内是减函数
一、命题概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假 的陈述句称为命题． 其中判断为真的语句称为真命题，判断为假 的语句称为假命题． 命题的形式：“若P, 则q”
单 元 巩 固 提 升 单 元 质 量 评 估
知 识 体 系 构 建
也可写成 “如果P,那么q” 的形式 也可写成 “只要P,就有q” 的形式
三、四种命题及其关系 原命题
互 为 逆
互逆
否 逆
逆命题
否
互 否
互
为
互 否
否命题
互逆
逆否命题
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 （2）两个命题互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系
“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面
知 识 体 系 构 建
= >
是
都是
否定 ≠ ≤ 不 是
至多 有一 个 不都是 至少 有两 个
典例分析
例2 若p:|x|＞2，q:x＞2，则p是q成立的( )
（A）充分不必要条件 （C）充要条件 （B）必要不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
【审题指导】判断p是q成立的什么条件，关键是看p与q 所代表的集合的包含关系
【规范解答】选B.|x|＞2 x＞2或x＜-2，
∵{x|x＞2}
{x|x＞2或x＜-2},
单 元 巩 固 提 升 单 元 质 量 评 估
3 (4)是特称命题 , p： x∈R，x +1≠0.
因为x=-1时，x3+1=0,所以 p为假命题.
知 识 体 系 构 建
4.若命题“﹁p”与命题“p∨q”都是真 命题，那么（ B ） A．命题p与命题q的真假相同 B．命题q一定是真命题 C．命题q不一定是真命题 D．命题p不一定是真命题
至少 有一 个 没有 一个
任 意 的 某 个
所有 的 某些
单 元 巩 固 提 升 单 元 质 量 评 估
四、 四种命题及其关系
单 元 巩 固 提 升 单 元 质 量 评 估
p是q充分不必要条件
知 识 体 系 构 建
p p
q q
p是q必要不充分条件
p是q充要条件
p是q既不充分又不必要条 件
p
p
q
q
五、逻辑联结词
知 识 体 系 构 建
• （1）原命题“若P则q” 的形式，它的否定 “若p，则题的否定（非）的真假性与原命题 单 元 相反；而否命题的真假性与原命题无关.
单 元 巩 固 提 升
质 量 评 估
六、全称命题与特称命题
全称命题
否定
x M , p( x)
(4)p：至少有一个实数x0，使x03+1=0;
1 2 【规范解答】（1）是全称命题, p:x 0 R，x 0 x 0 ＜0 . 1 2 因为对于任意的x，x 2 x 1 （x ） 0 ，所以 p为假命题. 4 2 4
(2)是全称命题, p:存在一个正方形，它不是矩形.正方形 是特殊的矩形，所以 p为假命题. (3)是特称命题, p: x∈R，x2+2x+8＞0. 因为对于任意的x,x2+2x+8=(x+1)2+7≥7＞0，所以 p为真命题.
通常,我们把这种形式的命题中的P叫做 命题的条件,q叫做结论.
记做:
pq
二、 四 种 命 题 条件Ｐ的否定，记作“Ｐ”。读作“非 Ｐ”。
知 识 体 系 构 建 单 元 巩 固 提 升 单 元 质 量 评 估
原命题： 若p 则q 逆命题： 若q 则p
否命题：若 p 则 q
逆否命题：若 q 则 p