常用逻辑用语复习小结(精华)

Hale Waihona Puke Baidu图 像 等 价 条 件
x1≥x2>k
y
x1≤x2<k x3<k<x4 x1,x2∈(k1,k2)
y y y
k1<x1<k2, k3<x2<k4
0 k
x
0
k
x
0
k
x
0 k1
k2 x
0 f (k ) 0 b k 2a
0 f (k ) 0 b k 2a
(3)从集合的角度去理解． 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即 A={x|p(x)}，B={x|q(x))，则 ①若AB，则p是q的 充分条件 ． ②若B A，则p是q的 必要条件 ． ③若A=B，则p是q的 充要条件 ． 充分不必要条件 ④若A B且B A，则p是q的 ． 必要不充分条件 ⑤若B A且A B，则p是q的 ． ⑥若A B且B A，则p是q的 既不充分也不必要条件 .
式组)
类 别 两正根 两负根 一正一负根
充要条 件
0 x1 x2 0 x x 0 1 2
0 x1 x2 0 x x 0 1 2
x1 x2 0
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区间根问题：(抓 、顶点横坐标、端点值 列不等式组)
根 的 分 布
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x 2 x 2 0 , 则 x 1 或 x 2 . 若
3答案
3.已知 x, y R ,且 x y 2 , 大于 1.
求证: x, y 中至少有一个
法一:假设 x, y 均不大于 1，即 x ≤1且y ≤1, 则x y ≤ 2 ，这说明原命题的逆否命题成立 ∴原命题成立.
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1.逻辑联结词
• “或” A B x x A或x B • “且”A B x A且x B • “非” A x x U且x A



注:⑴“p 或 q” ─ 只要 p、 中有一个为真 q 就为真.(p、q 同时为假才为假.) ⑵“p 且 q”─ p、q 同时为真才为真.
由 于 x 0 ,
命题q的真命题 a ≥ 1.(10分) ∵根据题意知，命题 p 与 q 为有且只有一个是真命题，当命题 p 为真命题且 命题 q 为假命题时 a 不存在；当命题 p 为假命题且命题 q 为真命题时 a 的取 值范围是[1，2].综上，命题 p 或 q 为真命题，命题 p 且 q 为假命题时实数 a 的 取值范围是[1，2](12 分)
小于 0”的否定为____________________.
a 、 b 、 c R ，若 x a 2 2b 1 ， y b2 2c 1 ，
z c 2 2a 1 ，则 x 、 y 、 z 三个都小于 0” 1 2 3.设命题 p：函数 f ( x) lg(ax x a) 的定义域为 R；命 16
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练习2
练习2.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0， abc > 0， 求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0
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例题应用:
例1．已知关于x的方程 (1a)x2+(a+2)x4=0,aR
求：1) 方程有两个正根的充要条件,并写出它 的一个充分不必要条件和必要不充分条件； 2) 方程至少有一个正根的充要条件。 3) 方程的两个根都大于1的充要条件。
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符号根问题：(抓 , x1 x2 , x1 x2 三方面列不等
0 f (k ) 0 1 f (k ) 0 f (k ) 0 2 k1 b k 2 2a
否定
不等于 不大于 不小于 不是
词语
任意的 所有的 且 都是
否定
某个 某些 或 不都是
至多有一个 至少有两个 至多有n个 至少有(n+1)个 至少有一个 一个都没有 至少有n个 至多有(n-1)个
“非 p”─ p 的全盘否定.特别注意!
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练习一 : 1. 有下列四个命题 : ①“ 若 | x | 3 ，则 x 3或x 3”的逆命题 ; ②命题“ a、b 都是偶数，则 a＋b 是偶数”的逆否命题是 “a＋b 不是偶数，则 a、b 都不是偶数” ; ③若有命题 p：7≥7，q:ln2 ＞0, 则 p 且 q 是真命题; ④若一个命题的否命题为真， 则它的逆命题一定是真 . 其 中真命题为 ( D ) (A)①④ (B)②③ (C)②④ (D)③④ 2. 命题： 若 x 2 x 2 0 ,则 x≠–1 且 x≠2” “ 的否命题是_______. 3. 已知 x, y R ,且 x y 2 ,求证: x, y 中至少有一个大于 1.
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同步练习
1. A
2.
C
3. B
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4.设p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，其中a<0；q：实数x满足 x2-x-6≤0或x2+2x-8>0，且¬P是¬q的必要不充分条件， 求a的取值范围． 分析：本题可依据四种命题间的关系进行等价转化． 解：由¬P是¬ q的必要不充分条件，转化成它的逆否命题 q是P的必要不充分条件，即P是q的充分不必要条件， 也就是pq且q p． 化简条件p得，A={x|3a<x<a,a<0} 化简条件q得，B={x|x<-4或x≥-2}
⑶“ p”─ p 的全盘否定， 与p 一真一假. p
2.全称命题 p: x M , p( x) .
它的否定p: x M , p( x) .
即“全称命题”的否定是“特称命题” ，反过来也一样. 另外,判断全称命题为假,只要找一个反例即可; 9
特别注意对一些词语的否定
词语
等于 大于 小于 是
64 2 (1 a ) a 1 又∵0 < a, b, c < 1 ∴ 0 (1 a )a ≤ 4 2 1 1 同理： (1 b)b ≤ (1 c )c ≤ 4 4 1
以上三式相乘:(1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 与①矛盾∴结论成立
常用逻辑用语知识的学习，我们要充分品味逻辑用 语的严谨性、准确性和其中蕴含的思维规律，但又不要 刻意追求那些形式化又无实际意义的东西的推敲，贵在 思维的熏陶。
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常用逻辑用语复习小结
本章知识结构:
重要考点
命题及 其关系
常用逻辑用语
知道命题的特征. 能准确写出命题 的否定.
全称量词 存在量词
充分条件 必要条件 充要条件
∴“点 P(2,3)∈A∩(CUB)”的充要条件是“m>-1 且 n<5”
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练习三: 1.已知命题 p:方程 x 2 3x 2 0 的根是 x=2;命题 q:方程 x 2 3x 2 0 的根是 x=1,则命题 p或q 为____________.
方程 x 2 3x 2 0 的根一定是 x=2 或一定是 x=1 2. 写 出 命 题 “ a 、 b 、 c R ， 若 x a 2 2b 1 ， y b 2 2c 1， z c 2 2a 1 ，则 x 、 y 、 z 中至少有一个不
常用逻辑用语复习小结
常用逻辑用语知识是进行数学推理和思维必不可少 的基本知识.通过本章的学习,使我们体会到逻辑用语的 严谨性、准确性及其中蕴含的一些思维规律,甚至有些同 学会认为我们好像是在 “咬文嚼字” 而且有些思维是形 ， 式化的在进行，其实这种训练可以有助于我们正确理解 数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容.
法二:假设 x, y 均不大于 1，即 x ≤1且y ≤1, 则x y ≤ 2 ，这与已知条件 x y 2 矛盾 x, y 中至少有一个大于 1
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练习1.设0 < a, b, c < 1， 求证:(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于1/4
1 1 1 证：设(1 a)b > , (1 b)c > , (1 c)a > 4 4 4 1 ① 则三式相乘:(1a)b•(1b)c•(1c)a >
B {( x, y) x y n ≤ 0
求证: “点 P(2,3)∈A∩(CUB)”的充要条件是“m>-1 且 n<5”.
证明: ∵点 P(2,3)∈A∩(CUB) P(2,3)∈A 且 P(2,3)∈CUB
2 2 3 m 0 即 m>-1 且 n<5 2 3 n 0
题 q：不等式 2x 1 1 ax 对一切正实数均成立.如果命题 p 或 q 为真命题，命题 p 且 q 为假命题，求实数 a 的取值范围.
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3答案
3.解：命题 p 为真命题 函数 f ( x ) lg( ax 2 x
1 a )的定义域为 R 16
a 0 1 a 2. ax 2 x a 0对任意实数x均成立 1 2 16 1 4 a 0
四种命题形式及其关系
原命题 若p,则q 互 否 否命题 若 p,则 q 互逆 互为逆否 逆命题 若q,则p
同真同假
互逆
互 否
逆否命题 若 q,则 p
注:(1) “互为”的; (2)原命题与其逆否命题同真同假. (3)逆命题与否命题同真同假.
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二、充要条件、必要条件的判定
对于充分条件和必要条件，要能够正确地理解和判断 (1)从概念的角度去理解． ①若pq，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． ②若pq，则p是q的充要条件． ⑧若p q，且q p，则称p是q的充分不必要条件． ④若p q，且q p，则称p是q的必要不充分条件． ⑤若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件 (2)从命题的角度去理解． 设原命题为“若p，则q”，则 ①若原命题为真，则p是q的 充分条件 ． ②若逆命题为真，则p是q的 必要条件 ． ③若原命题和逆命题都为真，则p是q的 充要条件 . ④若原命题为真而逆命题为假，则p是q的 充分不必要条件 . ⑤若原命题为假而逆命题为真，则p是q的 必要不充分件 ． 5 ⑥若原命题和逆命题都为假，则p是q的 既不充分也不必要条件.
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幻灯片切换
练习二 1.设甲、 乙、 丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙
的充分条件但不是乙的必要条件,那么丙是甲的( A ) (A)充分条件不必要条件 (B)必要条件不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2.若不等式 x 1 ＜ a 成立的充分条件是 0 x 4 ，则 a 的取值范围
命题p为真命题 a 2. 又 命题q为真命题 2 x 1 1 ax对一切正实数均成立
a 2x 1 1 2x 2 对一切正实数x均成立 x x( 2 x 1 1) 2x 1 1
2 x 1 1, 2 x 1 1 2 , 2 1 .(8 分 ) 2x 1 1
是
a≥3 .
3. 设集合 U {( x, y) x R, y R}, A {( x, y) 2 x y m 0},
B {( x, y) x y n ≤ 0
求证: “点 P(2,3)∈A∩(CUB)”的充要条件是“m>-1 且 n<5”
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3答案
3. 设集合 U {( x, y) x R, y R}, A {( x, y) 2 x y m 0},
简单的逻辑联结 词:且、或、非
四种命题:原命题、逆命题、 否命题、逆否命题. 1.原命题与逆否命题同真同假.
2. p q 说 p 与 q 互为充 要条件.充要条件的探求 2.证明一个命题,可以考虑证它 是学好数学的基本功. 3
的逆否命题来间接证明.
1. p q 说 p 是 q 的充分 条件, q 是 p 的必要条件.