距离最短问题 (1)
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分析：首先主导思想还是“两点之间，线段最短”，解决方法可以利用轴对称找到 两
个对称点，使得三角形的三边之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”。 思考:你能求得出PC+CD+DP之和最小为多少吗？
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（2009陕西）如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°， ∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则 BM+MN的最小值是____．
6、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于 M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________。
5
7、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC 于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________。
7题图
8题图
8、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交
9题图
10题图
7
11、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4 （1）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动
点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．
8
12、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2， BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高 为（ ）
3
•3、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的 一动点，DN＋MN的最小值为_________。
•4、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点， E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
4
5、已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直 径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
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⑴如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接 DE． 若在边OA上任取点E'与点E不重合、，连接CE'、DE'、D'E' 由DE'+CE'=D'E'+CE'＞CD'=D'E+CE=DE+CE， 可知△CDE的周 长最小． ∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点， ∴BC=3，D'O=DO=2，D'B=6， ∵OE∥BC， ∴Rt△D'OE∽Rt△D'BC， 如图，作点D关于x轴的对称点D'，在CB 边上截取CG=2，连接D'G与x轴交于点E，在EA上截取EF=2， ∵GC∥EF，GC=EF， ∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF， 又DC、EF的长为定值， ∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周 长最小． ∵OE∥BC， ∴Rt△D'OE∽Rt△D'BG，
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如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在 要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B 村的路程最近？
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作法:(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段) 1)过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定长 P'Q'; 2)作出点A关于直线L的对称点A',连接A'B',交直线L于P; 3)在直线L上截取线段PQ=P'Q'. 则此时AP+PQ+BQ最小. 略证:由作法可知PQ=P'Q'=BB ,四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四边形. 下面只要说明AP+BQ<AP'+BQ'即可. 点A与A'关于直线L对称,则AP=A'P,AP'=A'P'. 故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B'; AP'+BQ'=A'P'+B'P'. 显然, A'B'<A'P'+B'P';(三角形三边关系) 即AP+BQ<AP'+BQ'.
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在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边 OB的中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小 时，求点E、F的坐标。
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1.如图，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E斜边AB的中点， P是AC的一动点，则PB+PE的最小值为
2.如图2, △ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使 BM+MN的值最小，求这个最小值
0
A
0
C
E P
C
BBaidu Nhomakorabea
图1
A
B
图2
（第24题图）
15
如图，∠MON=30°，A在OM上，OA=2，D在ON上，OD=4，C是OM 上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为
BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，则AB的长
6
9、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，若AC＝5cm，BC ＝4cm，则△BDC的周长为________．
10、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方 形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为
13、（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中 点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 ____________㎝（结果不取近似值）.
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例：如图，点P在∠AOB内部，且∠AOB度数为45°,OP=2cm,在射线OA、OB上 找点C、D，使PC+CD+DP之和最小。
最短路线（距离）问题
考查知识点----“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”， “线段的平移”。
原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。出题背景变式有角、三角形、菱形、 矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”.
数学模型 1、实际问题：要在河边修建一个水泵站，
分别同侧的张村、李庄送水， 修在河边什么地方可使所用的水管最短？
2、数学问题： 已知：直线l和l的同侧两点A、B。 求作：点C，使C在直线l上，并且AC＋CB最小。
1
二、构建“对称模型”实现转化 2
1、 （2009年孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，－2）， B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时， AC + BC的值最小．
．
解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交 点就是C，B二点． 此时AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′为最短距离． 连接DD′，AA′，OA′，OD′． ∵OA=OA′，∠AOA′=60°， ∴∠OAA′=∠OA′A=60°， ∴△ODD′是等边三角形． 同理△OAA′也是等边三角形． ∴OD'=OD=4，OA′=OA=2， ∠D′OA′=90°． ∴A′D′=
个对称点，使得三角形的三边之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”。 思考:你能求得出PC+CD+DP之和最小为多少吗？
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（2009陕西）如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°， ∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则 BM+MN的最小值是____．
6、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于 M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________。
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7、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC 于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________。
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8题图
8、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交
9题图
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11、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4 （1）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动
点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．
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12、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2， BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高 为（ ）
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•3、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的 一动点，DN＋MN的最小值为_________。
•4、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点， E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
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5、已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直 径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
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⑴如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接 DE． 若在边OA上任取点E'与点E不重合、，连接CE'、DE'、D'E' 由DE'+CE'=D'E'+CE'＞CD'=D'E+CE=DE+CE， 可知△CDE的周 长最小． ∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点， ∴BC=3，D'O=DO=2，D'B=6， ∵OE∥BC， ∴Rt△D'OE∽Rt△D'BC， 如图，作点D关于x轴的对称点D'，在CB 边上截取CG=2，连接D'G与x轴交于点E，在EA上截取EF=2， ∵GC∥EF，GC=EF， ∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF， 又DC、EF的长为定值， ∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周 长最小． ∵OE∥BC， ∴Rt△D'OE∽Rt△D'BG，
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如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在 要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B 村的路程最近？
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作法:(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段) 1)过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定长 P'Q'; 2)作出点A关于直线L的对称点A',连接A'B',交直线L于P; 3)在直线L上截取线段PQ=P'Q'. 则此时AP+PQ+BQ最小. 略证:由作法可知PQ=P'Q'=BB ,四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四边形. 下面只要说明AP+BQ<AP'+BQ'即可. 点A与A'关于直线L对称,则AP=A'P,AP'=A'P'. 故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B'; AP'+BQ'=A'P'+B'P'. 显然, A'B'<A'P'+B'P';(三角形三边关系) 即AP+BQ<AP'+BQ'.
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在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边 OB的中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小 时，求点E、F的坐标。
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1.如图，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E斜边AB的中点， P是AC的一动点，则PB+PE的最小值为
2.如图2, △ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使 BM+MN的值最小，求这个最小值
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E P
C
BBaidu Nhomakorabea
图1
A
B
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（第24题图）
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如图，∠MON=30°，A在OM上，OA=2，D在ON上，OD=4，C是OM 上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为
BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，则AB的长
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9、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，若AC＝5cm，BC ＝4cm，则△BDC的周长为________．
10、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方 形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为
13、（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中 点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 ____________㎝（结果不取近似值）.
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例：如图，点P在∠AOB内部，且∠AOB度数为45°,OP=2cm,在射线OA、OB上 找点C、D，使PC+CD+DP之和最小。
最短路线（距离）问题
考查知识点----“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”， “线段的平移”。
原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。出题背景变式有角、三角形、菱形、 矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”.
数学模型 1、实际问题：要在河边修建一个水泵站，
分别同侧的张村、李庄送水， 修在河边什么地方可使所用的水管最短？
2、数学问题： 已知：直线l和l的同侧两点A、B。 求作：点C，使C在直线l上，并且AC＋CB最小。
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二、构建“对称模型”实现转化 2
1、 （2009年孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，－2）， B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时， AC + BC的值最小．
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解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交 点就是C，B二点． 此时AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′为最短距离． 连接DD′，AA′，OA′，OD′． ∵OA=OA′，∠AOA′=60°， ∴∠OAA′=∠OA′A=60°， ∴△ODD′是等边三角形． 同理△OAA′也是等边三角形． ∴OD'=OD=4，OA′=OA=2， ∠D′OA′=90°． ∴A′D′=