第四节 三角函数有理式与某些无理根式的不定积分

2
cos
x

1

cos
2x
来计算.
2
b、对于 sin mx.cos nx.dx、 sin mx.sin nx.dx、 cos mx.cos nx.dx、(m n)
可用三角函数的积化和差公式：
2
sin.sin 1 cos( ) cos( ), sin.cos 1 sin( )
2(t 1)
2(t 1)2
2(t 1)
7
于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分：
I 2(t 1). 2(t 1) . t 2 2t 3 dt 2 dt
t 2 3 t 2 2t 3 2(t 1)2
t2 3
2
t
2
x2 2x 3 x
n1 ax b ,L cx d
,
nk
ax cx

b d
dx,
5
可作变换：n ax b t
或：n ax b cx d
t,
其中：n n1, n2 , L ,
nk ;
例1 求
x 23 x 1 dx.
4x
1
解： 令 t 12 x, x t12 , dx 12t11dt, t 0.
原式 t6 2t4 1.12t11dt 12 t14 2t12 t8 dt 4 t15 24 t13 4 t9 C
t35Leabharlann 13 345
x4

24
13
x12

4
3
x4
C.
5 13 3
6
3、形如 R x, ax2 bx c dx, a 0, ax2 bx c 0, 在一般的
的积分公式。
5）、形如：
dx , (n N , 且 n 3), 则令 x 1, 再利
xn x2 a2
t
用凑微分法或由已知公式；当 n 3 时，则一般用第二换元法
（作三角函数变换去根号）
10
R(sin x, cos x)dx 才考虑用万能置换法？
一般地，不满足上述2）的各种特殊情形的，才考虑用万 能置换法。
4
三、某些无理（根式）函数的不定积分 一般的无理（根式）函数的不定积分并不一定能求得出来，而对于 一些简单的无理函数则可通过适当的代换可化为有理函数的不定积 分，作代换的目的就是去掉根号。以下是一些常见无理（根式）函 数的不定积分的求法：
1）、万能置换法：令 tg x t, 则 sin x 2t , cos x 1 t2 ,
2
1 t2
1 t2
dx

2 1 t2
dt,

R（sin x, cos x)
dx

R

1
2t t
2
,1 1
t2 t2

.
1
2 t
2
dt.
从而可用有理函数的积分法求出其积分。
注：利用欧拉变换求积分，一般都引入相当复杂的计算，在一些
特殊的情况下，尽量避免欧拉变换法。
1）、形如：
dx
,先对 ax2 bx c 配方，最后还原成
ax2 bx c
以下三种情况之一：
dX
或： dX
。（其中A是常数）
X 2 A2
A2 X 2
2)、形如：
mx n dx
2
2
cos( )，
cos.cos 1 cos( ) cos( ). 求出其积分。
2
m
n
c、对于 sin x cos x dx, 当m、n中有一奇数时，可拆开它，然后用
凑微分法求其积分；
当m、n均为偶数时，可利用倍角公式：sin x cos x 1 sin 2x; 2
2
sin
x

1

cos
2x
;
2
cos
x

1
cos
2x
反复使用即可求出其积分。
2
2
3
6 4 拆4项与4反4复7使用4倍4角公4式 48
d、对于
m
sin x
dx、
m
cosx
dx,
In
n
tgx
1 n1
dx

n
tgx 1
In2
(可用分部积分法 递推公式求出）
(2)、若 R(sin x, cos x) R(sin x, cos x),即R(sin x, cos x) 关于cos x是奇函数，则令：sin x t ; 若 R( sin x, cos x) R(sin x, cos x) ，则令：cos x t ; R( sin x, cos x) R(sin x, cos x),则令：tgx t 或 ctgx t.在何种情况下，
1、形如 R x, n ax b
dx
或：
R

x,
ax b n cx d
dx, 可作变换：
n ax b t 或：n ax b t ; cx d
2、形如
R x, n1 ax b，L ，nk ax b
dx
或：
R x,
arctan c arctan
c.
3
3
3
3
（2）、第二欧拉变换法：若 c 0, 令： ax2 bx c xt c
或 xt c ;
(3)、第三欧拉变换法：若 ax2 bx c 0 有两个不同的实根 与 ，则
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令： ax2 bx c a(x )(x ) t (x ) , 或 t (x ) 。
二、三角函数有理式的不定积分 1、u ( x)、v( x)的有理式
由u ( x)、v( x)及常数经过有限次的四则运算所得到的函 数称为关于u(x)、v(x)的有理式，并用 R（u(x)、v(x))表示。
2、三角函数有理式用 R（sin x, cos x)表示;
3、 R（sin x, cos x) dx 的求法：
1
在理论上，任一有理三角函数的不定积分，通过万能置换法总可 以求出其积分，但其计算过程都比较烦琐，因此在特殊的情况下， 一般不采用此方法。（见下面介绍）
2)、特殊情形的求法：
（1）、三角恒等变换法
a、对于
2
sin mx
dx
、
2
cos mx
dx，可利用倍角公式
:
2
sin
x

1

cos
2x
,
2
情况下采用欧拉变换法：
（1）第一欧拉变换法：若a 0, 令： ax2 bx c t ax 或：
t ax
例2
求 I= x
dx x2 -2x-3
解：因 a 1 0, 采用第一欧拉变换法，令 x2 -2x-3 x t,则可解出：
x t2 3 , dx t2 2t 3 dt, x2 -2x-3 (t2 2t 3)
, ax2 bx c
利用凑微分法和配方后作代换后即可求
出其积分。
9
3）、形如： ax2 bx c dx, 对ax2 bx c配方最终还原成：
X 2 A2 dX 或： A2 X 2 dX 三种情况之一。（A是常数）
4）、形如 mx n ax2 bx c dx，先凑微分，再利用已知