例三角函数有理式的积分

Qn ( x ) 1 Pn ( x ) ( x 2)( x 1) 2 ( x 2 2 x 3) 2
B1 B2 N1 x M1 N2 x M2 A 2 2 2 2 ( x 2) ( x 1) ( x 1) ( x px q ) ( x px q )
代数基本定理
定理1 任何一个 n 次多项式 pn ( x ) 可以分解成
下面的形式
pn ( x) ( x a1 ) ( x a2 ) ( x p1 x q1 ) ( x p2 x q2 )
其中
1
2
2
1
2
2
a1 , a2
1 , 2 , 为其实数； 为实数根，


1 d ( x 1) 2 ln( x 2 x 3) 3 2 ( x 1) 2 ( 2 ) 2

1 3 x 1 2 ln( x 2 x 3) arctan c 2 2 2
三角函数有理式的积分 三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限四则运 算所构成的函数，由于各种三角函数都可用
dx
du
于是

1 sin x dx sin x (1 cos x )
2u (1 ) 2 2du 1 u 2 2 2u 1 u 1 u (1 ) 2 2 1 u 1 u

1 1 1 u2 ( u 2 )du ( 2u ln u ) c 2 u 2 2
sin x 及
cos x 的有理式表示，故三角函数有理式也就是
sin x, cos x
1 sin x dx 例5 求 sin x(1 cos x) x 有三角公式知 sin x 与cos x 都可以用 tan 2
有理式表示，即
的有理式，记作 R(sin x, cos x)
的
x x 2 tan 2 tan x x 2 2 sin x 2 sin cos 2 2 2 x 2 x sec 1 tan 2 2
x
2

1 x 3x
4 2

1 3x

1 3( x 3)
2
]dx
1 1 x x arctan c 3x 3 3 3
例4

1 ( x 2 2 x 3) dx dx dx 3 2 2 2 2 x 2x 3 x 2x 3 x 2x 3
x2
例2
2x 3 3 2 x x 2 x x ( x 1)( x 2)
2x 3
A( x 1)( x 2) Bx( x 2) Cx( x 1) 2 x 3
令x0
令 x 1
3 得 3 2 A, A 2
5 得 3B 5, B 3


N2 x M2 ( x px q )
2
1

N x M x 2 px q

( x 2 px q ) R1 x S1 ( x 2 px q ) 1 R2 x S 2
R x S x 2 px q
其中 Ai , Bi , M i , N i , Ri , S i 等都是未定常数。 可通过比较多项式系数而定出。
的形式，则有理真分式可展开成
Qn ( x ) A A1 A2 1 Pn ( x ) ( x a1 ) ( x a1 ) ( x a1 )

B1


( x a2 )
2

B2
( x a1 )
1

B ( x a1 )


N1 x M1 ( x px q )
令 x 2
2x 3 2x 3 3 5 1 3 2 x x 2 x x( x 1)(x 2) 2 x 3( x 1) 6( x 2)
1 得 6C 1, C 6


2x 3 2x 3 dx dx 3 2 x( x 1)(x 2) x x 2x
2 2 2
A C 0 D B 0 3 A 3B 0 3B 1
A B C D
0 1 3 0 1 3

2x5 6x3 1 x 3x
2
4
2
dx [2 x
[

1 x 3x
2
4
2
]dx
x 2 1 tan 1 tan 2 x 2 x 2 cos x cos sin 2 2 2 x sec 1 tan2 2
2
x 2 x 2
x 令 u tan 2 2 1 u cos x 2 1 u
sin x
2u 1 u2
2 1 u2
x 2arctanu

1 x 1 x 2 x tan tan ln tan c 4 2 2 2 2
一般地对于三角有理式的积分，令
R(sin x, cos x )dx R( 1 u
2u
2
,
1 u2 1 u
x u tan 2
) 2 1 u
2
2
du
简单无理函数的积分 主要讨论
R( x, axቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ b ) 及 R( x,
n
n
例1
例2

x 1 dx x
ax b ) cx e
令
令 3
x 1 t
1
dx x2 dx
3
x2
6
例3
(1
3
x) x
令
xt
例4
1 1 x x x dx
1 x 1 令 t, x 2 x t 1
例1
x3 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3)
x3
A B x2 x3
A( x 3) B( x 2) x 3
A B 1 3 A 2 B 3
A 5 , B 6
A B C x x 1 x 2
Qn ( x ) A1 A2 1 Nx M 2 2 2 2 Pn ( x ) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) x 1
例
1 A1 ( x 2 1) A2 ( x 1)( x 2 1) ( Nx M )( x 1)2
( x 2 p1 x q1 ) 1 , ( x 2 p2 x q2 ) 2 ,分别对应于一对复根，
1 , 2 为其实数，且
1 2 2 1 2 2 n
定理2 若有理真分式
Qn ( x ) Pn ( x )
的分母Pn ( x ) 分解成定理1
3 5 1 [ ]dx 2 x 3( x 1) 6( x 2)
2x 6x 1 1 2x 4 例3 4 2 2 x 3x x 3x
5 3
1 A B Cx D 2 2 4 2 x x x 3x x 3
1 Ax( x 3) B( x 3) x (Cx D)