实对称矩阵的特征值和特征向量

2.(定理4.13)实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.
定理4.4 矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 定理2.15 正交向量组必线性无关.
推论 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 3.实对称矩阵的属于ni重特征值的线性无关的特征向量恰有ni个.
4. n 阶实对称矩阵恰有n个线性无关的特征向量, 进而有n个单 位正交的特征向量. 5. 实对称矩阵必可对角化, 即
1 0 0 2 0 0 2 0 0 1
7.(定理4.14)若A为实对称矩阵, 则正交矩阵Q, 使Q1 AQ 为对角矩阵.
实对称矩阵的对角化：
1.求A的所有互异的特征值1, 2,, m ,其中i的重数为ni ,i 1,2,, m. 2.i , 解方程组(i E A)x 0, 求A的属于i的线性无关的特征向量i1,i2 ,,ini . 3.利用Schmidt正交化方法将i1,i2 ,,ini 正交化, 再单位化,i 1,2,, m. 设所得的单位正交向量组为1, 2 ,, n. 4.令Q (1, 2,, n ),则Q为正交矩阵, 且
1
,
求A.
1
2 2 2
ex.设矩阵
A
2
5ຫໍສະໝຸດ Baidu
4
,
(1)求一可逆矩阵P，使P
1
AP为
2 4 5
对角矩阵; (2)求一正交矩阵Q，使Q 1 AQ为对角矩阵.
4.3 over
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
7
§4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量 实对称矩阵: 对称的实矩阵. 共轭矩阵: A (aij )nn A (aij )nn 性质: (1) A为实对称矩阵 A A AT . (2) AB A B , kB k B (k C). (3)若A为实对称矩阵 ,则 , Rn , 有( A , ) ( , A ). 实对称矩阵的性质: 1.(定理4.12)实对称矩阵的特征值都是实数. 推论 实对称矩阵的特征向量都是实向量.
1
1
2
Q1AQ
2
m
m
正交化、单位化仅保持矩 阵的某一特征值与其对应 的特征向量之间的对应关 系.
2 2 2
例2
设矩阵
A
2
1
4
,
求一正交矩阵Q，使Q
1
A
Q为对角矩阵.
2 4 1
例3设实对称矩阵A33的特征值为1 0, 2 1(二重), A的属于
0
1的特征向量为1
若A为实对称矩阵 ,则可逆矩阵 P,使P1AP为对角矩阵 .
6. 若两实对称矩阵有相同的特征值，则二者相似.
推广 若两矩阵都可对角化，且有相同的特征值，则二者相似.
ex.与矩阵A
1
1
相似的矩阵是( ).
2
1
1 1 0 1 0 0 1 0 1
( A) 2 (B) 0 1 0(C) 0 1 1(D) 0 2 0