2008年高考福建卷(理科数学)

2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（福建卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．1-
2.设集合{0}1x
A x x =<-，{03}
B x x =<<，那么“m A ∈”是“m B ∈”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设{}n a 是公比为正数的等比数列，若17a =，516a =，则数列{}n a 前7项的和为
A ．63
B ．64
C ．127
D ．128 4.函数3()sin 1f x x x =++（x R ∈），若()2f a =，则()f a -的值为
A ．3
B ．0
C ．1-
D ．2-
5.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4
5，那么播下4粒种子恰有2粒发
芽的概率是
A ．16625
B ．96625
C ．192625
D ．256625
6.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为
A ．
3 B ．5 C ．5 D ．5
7.某班级要从4名男生2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为
A ．14
B ．24
C ．28
D ．48
8.若实数x 、y 满足100
x y x -+≤⎧⎨>⎩，则y x 的取值范围是
A ．(0,1)
B ．(0,1]
C ．(1,)+∞
D ．[1,)+∞ 9.函数()cos f x x =（x R ∈）的图象按向量(,0)v m =平移后，得到函数()
y f x '=-
的图象，则m 的值可以为
A ．2
π
B ．π
C ．π-
D ．2π-
10.在ABC ∆中，A ，B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c .
若222()tan a c b B +-=,则角B 的值为
A ．6π
B ．3π
C ．6π或56π
D ．3
π
或
23π
11.双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的两个焦点为1F ，2F ，若P 为其上一点，
且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为
A ．(1,3)
B ．(1,3]
C ．(3,)+∞
D ．[3,)+∞ 12.已知函数()y f x =，()y g x =的导函数的图象如下图，那么()y f x =，()y g x =的图象可能是
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13.若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++= .(用数字作答)
14.若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θ
θ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）没有公共点，则实数m
的取值范围是 .
15.若三棱锥的三个侧面两两垂直，
，则其外接球的表面积是 .
)
)
)
16.设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意,a b P ∈，都有a b +、a b -，
ab 、a
P b
∈（除数0b ≠）
，则称P 是一个数域.例如有理数集Q
是数域；数集{,}F a b Q =+∈也是数域.有下列命题：
①整数集是数域； ②若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知向量(sin ,cos )m A A =,(3,1)n =-，1m n ⋅=，且A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin f x x A x =+（x R ∈）的值域. 18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，则面PAD ⊥底面
ABCD ，侧棱PA PD ==面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 中点.
（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求异面直线PB 与CD 所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD 上是否存在点Q
，使得它到平面PCD 的距离为
2
？若存在，求出AQ
QD
的值；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分12分）
已知函数321
()23
f x x x =+-.
（Ⅰ）设{}n a 是正数组成的数列，前n 项和为n S ，其中13a =.若点2
11(,2)
n n n a a a ++-A
B
D
O P
（n N *∈）在函数()y f x '=的图象上，求证：点(,)n n S 也在()y f x '=的图象上； （Ⅱ）求函数()f x 在区间(1,)a a -内的极值. 20.（本小题满分12分）
某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可
获得证书.现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为2
3
，科目B
每次考试成绩合格的概率均为1
2.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E ξ. 21.（本小题满分12分）
如图、椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的一个焦点是(1,0)F ，O 为坐标原点.
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，恒有
2
2
2
OA OB AB +<,求a 的取值范围.
22.（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)f x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）记()f x 在区间[0,]π（n N *∈）上的最小值为n b ，令ln(1)n n a n b =+-； （Ⅲ）如果对一切n
<恒成立，求实数c 的取值范围；
（Ⅳ）求证：
13
132112242421n n
a a a a a a a a a a a a -+++<L L L
.。