高一数学必修一函数知识点总结--新版

高一数学必修一函数知识点总结

二、函数的有关概念

1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任

意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f : A T B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x) , x€ A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x € A }叫做函数的值域.

1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的•那么，它的定义域是使各部分都有意义

的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义

相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ；②定义域一致(两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

2.值域：先考虑其定义域

(1)观察法

⑵配方法

(3)代换法

3.函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x € A)中的x 为横坐标，函数值y为纵坐标

的点P(x，y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x € A)的图象.C上每一点的坐标(x , y)均满足函数关系

y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x , y)，均在C上. ⑵画法

A、描点法：

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1)平移变换

2)伸缩变换

3)对称变换

4 .区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2 )无穷区间

(3)区间的数轴表示.

5.映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一

个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f: A》B为从集合A到集合B的一个映射。记作“ f (对应关系)：A (原象)> B (象)”

对于映射f : ATB来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.

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补充：复合函数

如果 y=f(u)(u € M),u=g(x)(x € A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x

€ A) 称为 f 、g 的复合函数。

二•函数的性质

1. 函数的单调性(局部性质) (1) 增函数

设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x i ，X 2，当 x i

x i , X 2,当x i f(x 2),那么就说f(x)

在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质；

(2) 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)

单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的

(3) .函数单调区间与单调性的判定方法

(A)

定义法：

(通常是因式分解和配方)；

(即判断差f(x i ) — f(X 2)的正负)；

(B) 图象法(从图象上看升降)

(C) 复合函数的单调性

f(x)在给定的区间D 上的单调性) x i , X 2€ D,且 X i

f(x i ) — f(X

；

下结论(指出函数

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x) , y=f(u)的单调性密切相关，其规律："同增

异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并

集.

8 •函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f( —x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X ,都有f( —x)= —f(x),那么f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

②确定f( —x)与f(x)的关系；

◎作出相应结论：若f( —x) = f(x) 或f( —x) —f(x) = 0 ，贝U f(x)是偶函数；若f( —x)=—

f(x) 或f( —x) + f(x) = 0 ，贝U f(x)是奇函数.

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原

点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数•若对称，(1)再根据定义判定；(2)由f(-x) ± f(x)= 0 或f(x) /f(-x)= ± 1来判定；(3)利用定理，或借助函数的图象判定•

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们

之间的对应法则，二是要求出函数的定义域

(2)求函数的解析式的主要方法有：

1) 凑配法