求数列通项公式的6种方法

求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的7种方法:

累加法、 累乘法、 待定系数法、 倒数变换法、 由和求通项 定义法

（根据各班情况适当讲)

二。基本数列:等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。

四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。

五.数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1.适用于:1()n n a a f n +=+ -----－---－这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n

n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =。

例２ 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一:由1231n n n a a +=+⨯+得1231n

n n a a +-=⨯+则

11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3

2(3333)(1)3

3(13)2(1)3

13

331331

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-

所以3 1.n

n a n =+-

解法二:13231n n n a a +=+⨯+两边除以1

3n +,得

11

121

3333

n n n n n a a +++=++， 则

111

21

3333n n n n n a a +++-=+

,故 11223

211

223

2111122122()()()(

)33333333

212121213

()()()()3333333332(1)11111()1

333333

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++

因此11

(13)2(1)211

3133133223

n n n n n

a n n ---=++=+--⨯， 则211

33.322

n n n a n =

⨯⨯+⨯- 练习

1.已知数列{}n a 的首项为

1,且

*12()

n n a a n n N +=+∈写出数列

{}n a 的通项公

式． 答案：12

+-n n

练习2.已知数列

}

{n a 满足31=a ，

)

2()1(1

1≥-+

=-n n n a a n n ，求此数列的通项公

式． 答案:裂项求和

n a n 1

2-

=

评注:已知a a =1，)

(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于ｎ的一次函数、二次函数、指数

函数、分式函数，求通项

n

a .

①若f （n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(ｎ）是关于n 的二次函数,累加后可分组求和;

③若ｆ（n)是关于ｎ的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若ｆ（ｎ)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。 二、累乘法

1.适用于: 1()n n a f n a += ---－----－－这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。

2.若

1()n n a f n a +=,则31212(1)(2)()n n

a a

a

f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1

11

1()n

n k a a f k a +==⋅∏ 例４.设{}n a 是首项为1的正项数列,且

()0112

21=+-+++n n n n a a na a n (n

=1，2， ３,…），则

它的通项公式是n a =__＿_____.

解：已知等式可化为：

[]0

)1()(11=-++++n n n n na a n a a

0>n a （*

N n ∈）∴(n ＋1)01

=-+n n na a , 即11+=

+n n

a a n

n

∴2≥n 时，n n a a n n 1

1

-=

- ∴

112211a a a

a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=

--- =121121⋅⋅--⋅- n n n

n =n 1． 评注：本题是关于n

a 和

1

+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解(一般情况时用求根公式）得到

n

a 与

1

+n a 的更为明显的关系式，从而求出

n

a .