高阶偏导数与全微分

y
z y
(1, 2)
(3x 2 y) (1,2)
7
dz z dx z dy x y
dz 1,2 8dx 7dy
例7 求 z xexy的全微分
解 z exy xexy y exy 1 xy
x
z xexy x y
dz z dx z dy exy 1 xy dx x2exydy
yx x
2z
y 2
y
x3 4xy 9 y2
4x 18 y
问题: 在什么条件下混合偏导数相等?
定理 若 f xy (x, y) 和 f yx (x, y) 在点 ( x, y) 处连续,则 fxy (x, y) f yx(x, y).
此定理说明，二阶混合偏导数在连续条 件下与求导的次序无关.
dy
z
z y y
称为函数关于 y 的偏微分.
d z dx z dy z
这与物理中的叠加原理相符.
例6 求 z x3 y2 在点 (2, 1) 处, 当x 0.03, y 0.02
时的全增量和全微分.
解
z x
3x2 y2
z 2x3 y
y
dz z x z y (3x2 y2 )x (2x3 y)y x y
高阶偏导数
一元函数的高阶导数
yx
dy dx
二元函数的高阶导数
z
z
xx yz
y
x
d2y
dx2
x 2z
x2
y 2z
xy
x 2z
yx
y 2z
y 2
定义 函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
z y y
2z y 2
f yy ( x, y)
当x 2, y 1, x 0.03, y 0.02时
dz 0.68
z 2 0.033 1 0.022 23 12 0.7033
例 求 z x2 3xy y2 在点 (1, 2) 处的全微分 .
解
z (2x 3y) x
z x
(1, 2)
(2x 3y) (1,2) 8
z (3x 2y)
dz Ax By .
一元函数的微分
微分 导数 增量
dபைடு நூலகம் f (x)x dy f (x)dx
dx x
二元函数的微分
微分 导数 增量
d z z x z y x y
dz zdx z d y x y
回头看全微分公式
d z z x z y x y
dx
z
z x x
称为函数关于 x 的偏微分.
高 等 数 学（下）
第十章 多元函数微积分
多元函数的极限与连续 偏导数与全微分 多元函数的极值
多元函数的偏导数是一元函数导数的推广,其计算往往 是借用一元函数的计算公式和方法,但实际计算往往较繁.
在推广中有一些东西将起质的变化.我们通常介绍二元 函数的情形, 所得结果可以推广到更高元的函数中, 一般 不会遇到原则性问题.
xy
y
y x2 y2
y2 x2 x2 y2 2
三. 全微分
我们以二元函数为主, 进行讲解, 所得结论可容易地推广至三 元和三元以上的函数中.
运用多元函数的全增量概念, 将一元函数的微分概念推广到多元 函数中.
一元函数的增量 多元函数的全增量
1. 全微分的定义
定义 二元函数 z f (x, y) 在点( x0 , y0 ) 处的全增量
x y
2. 全微分在近似计算中的应用
一元函数的微分
y dy
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x
二元函数的微分
z dz
f x0 x, y0 y f x0, y0 fx x0, y0 x f y x0, y0 y
x
解
z x
1
1 y x
2
y
x
x
1
1
y x
2
y
1 x2
y x2 y2
z y
1
1
y x
2
y x
y
1
1
y x
2
1 x
x2
x
y2
2z
x2
x
y x2 y2
2xy x2 y2 2
2z
y 2
y
x2
x
y2
2xy x2 y2 2
2z
纯偏导
z 2z y x xy
f xy
(
x,
y), x
z y
2z yx
f yx ( x, y)
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
同样可得三阶、四阶以至n阶偏导数(如果存在的话).一个多元函数的 n–1阶偏导数的偏导数，称为原来函数的n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导 数称为高阶偏导数.
f x0 x, y0 y f x0, y0 fx x0, y0 x fy x0, y0 y
例8 计算 z (1.04)2.02的近似值 解 设函数 f (x, y) x y
x0 1, y0 2, x 0.04, y 0.02
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 如果可以表示为
z Ax By o(), 0
其中 A, B 与 x, y 无关, x2 y2 ,
则称 z f (x, y) 在点( x0 , y0 ) 处可微分,而 Ax By 称为 z f (x, y) 在( x0 , y0 ) 处的全微分,记为dz ,即
练 求 z x3 y 3x2 y3的二阶偏导数.
解
z 3x2 y 6xy3,
z x3 9x2 y2 ,
x
y
2z x 2
6xy
6y3,
2 z 3x2 18xy2 , xy
2z y 2
18x2 y,
2 z 3x2 18xy2. yx
例 f ( x, y, z) = xy2 + yz2 + zx2 ,
例4 设z x3 y 2xy2 3y3, 求其二阶偏导数
解 z 3x2 y 2 y2 x
z x3 4xy 9 y2 y
2z
x2 x
3x2 y 2y2
6xy
2 z 3x2 y 2 y2 3x2 4 y
xy y
2 z x3 4xy 9 y2 3x2 4 y
求f xx (1,1,2), f xyz(1,1,1)
解 fx x, y, z y2 2xz fxxx, y, z 2z fxyx, y, z 2 y fxyzx, y, z 0
f xx (1,1,2) 4
f xyz(1,1,1) 0
例5 设z arctan y ,求其二阶偏导数