平面向量三点共线定理的推论及空间推广

平面向量三点共线定理的推论及空间推广

一．问题的来源

平面向量三点共线定理:

对于共面向量,,OA OB OC ,OC xOA yOB =+，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是1x y +=．

二．问题的提出

问题1.在上述定理中，如果1x y +<、1x y +>时，分别有什么结论？

问题2.x 、y 有什么特定的意义吗？

问题3.上述问题可以推广到空间吗？

三．问题的解决

推论1. 对于不共线向量,OA OB ,若OC xOA yOB =+，则

(1)点C 在直线AB 外侧(不含点O 一侧)的充要条件是1x y +>．

(2)点C 在直线AB 内侧(含点O 一侧)的充要条件是1x y +<．

证明：(1)必要性：如图1-1，连OC 交AB 于点C '，则存在实数λ，使得(1)OC OC λλ'=>，(1)OC x OA y OB x y '''''=++=，OC x OA y OB λλ''∴=+，,x x y y λλ''==，()1x y x y λ''∴+=+>．

充分性：1x y +>，∴存在1λ>，使得,x x y y λλ''==且1x y ''+=．

()OC x OA y OB OC λλ'''∴=+=，C '在直线AB 上，C ∴在直线AB 外侧．

同理可证(2)．

推论1'. 对于不共线向量,OA OB ,若OC xOA yOB =+，则

(1)连接AB 得直线1，过点O 作平行于1的直线2，则1、2将平面OAB 分成三个区域，如图1-2点C 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：(Ⅰ)区：1x y +>；(Ⅱ)区：01x y <+<；

(Ⅲ)区：0x y +<．特别地，当点C 落在1上时，1x y +=；当点C 落在2上时，0x y +=．

(2)直线OA 、OB 将平面OAB 分成四个区域，如图1-3，则点C 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：(Ⅰ)区：00x y >⎧⎨>⎩；(Ⅱ)区：00x y <⎧⎨>⎩；(Ⅲ)区：00x y <⎧⎨<⎩；(Ⅳ)区：00x y >⎧⎨<⎩

． 推论2.若OC xOA yOB =+(1x y +=,0)xy ≠,则

||||||||AC y BC x =,且当0,0x y >>,则点C 在线段AB 上；当0,0x y ><，则点C 在线段BA 的延长线上；当0,0x y <>，则点C 在线段AB 的延长线上． 证明：OC xOA yOB =+且1x y +=，OC xOC yOC xOA yOB ∴=+=+，xCA yBC =， ||||||||

AC y BC x ∴=。当0,0x y >>时，CA 与BC 同向，如图2-1所示，则点C 在线段AB 上；当0,0x y ><时，CA 与BC 反向，且||||AC BC <，如图2-2所示，则点C 在线段BA 的延长线上；当0,0x y <>时，

CA 与BC 反向，且||||AC BC >，如图2-3所示，则点C 在线段AB 的延长线上．

推论3. 点O 是ABC ∆所在平面上且与,,A B C 不重合的一点，若0,0xOA yOB zOC xyz ++=≠，则||||OAB ABC S z S x y z ∆∆=++，||||OBC ABC S x S x y z ∆∆=++，||||

OCA ABC S y S x y z ∆∆=++． 证明：只证,,0x y z >的情形，其它情形可类似证明．

由0xOA yOB zOC ++=得()y z y z AO OB OC x y z y z

+=+++，1y z y z y z +=++，∴存在点D 使得y z OD OB OC y z y z

=+++，且||||BD z DC y =，y z AO OD x

+∴=，||||AO y z OD x +∴=，如图3，OAB ABC S z y z z S y z x y z x y z ∆∆+∴=⨯=+++++，同理有||OBC ABC S x S x y z ∆∆=++，||||

OCA ABC S y S x y z ∆∆=++，命题得证． 将以上结论拓展到空间，得：

推论4. 对于不共面的向量,,OA OB OC ,若OP xOA yOB zOC =++，则：

(1)若1x y z ++=，则点P 在平面ABC 上(空间向量基本定理)；

(2)若1x y z ++>，则点P 在平面ABC 的外侧(不含点O 一侧)；

(3)若1x y z ++<，则点P 在平面ABC 的内侧(含点O 一侧)．

推论5. 对于不共面的向量,,OA OB OC ，若(1)OP xOA yOB zOC x y z =++++=，则

(1)||||PAB ABC S z S x y z ∆∆=++，||||PBC ABC S x S x y z ∆∆=++，||||

PCA ABC S y S x y z ∆∆=++； (2)::||:||:||PAB PBC PAC S S S z x y ∆∆∆=；

(3)||||O PAB O PABC V z V x y z --=++，||||O PBC O PABC V x V x y z --=++，||||

O PCA O PABC V y V x y z --=++． 证明：(1)()OP xOA yOB zOC x y z OP =++=++，0xPA yPB zPC ∴++=，由推论3知结论成立．

(2)由(1)得证．

(3)||||O PAB PAB O PABC ABC V S z V S x y z -∆-∆==++，同理可证||||O PBC O PABC V x V x y z --=++，||||

O PCA O PABC V y V x y z --=++． 推论6.已知四面体ABCD 及与其顶点不重合的点O ，若0aOA bOB cOC dOD +++=，则

:::||:||:||:||O BCD O ACD O ABD O ABC V V V V a b c d ----=．

证明：只证,,,0a b c d >的情形，其它情形可类似证明． 由

0aOA

bOB cOC dOD +++=，得