工程力学A2复习提纲

两端面扭转角：
Tl T 180 T [ ] (°/m) (rad) 单位长度的扭转角： (rad) G I π G I GI P p p
G E 2(1 )
G
3. 弯曲梁的变形计算
1


M （中性层的曲率公式） EI z
（1）积分法 EIw' ' M ( x) 解题步骤：① 写出弯矩方程；②写出挠曲线的近似微分方程， 积分一次得到转角方程，再积分一次得到挠度方程；③ 利用边界条件、连续条件、对称条 件确定积分常数。 （2）叠加法 用六个基本梁的挠度和转角的公式，采用载荷叠加的方法计算
主平面的方位： tan 2 0
2 xy
max 和 min 和零比较，确定 1 、 2 和 3
x y
2
极值切应力：
max x y 2 xy min 2
1 3
2
2. 三向应力状态
最大切应力： max 方位：和 2 平行，和 1 、 3 成 45˚
FN l ； ④ 补充方程；⑤ 联立，求解 EA
2. 扭转超静定
变形协调条件为各截面的扭转角之间的关系，物理方程为
Tl GI P
3. 弯曲超静定——变形比较法 解题步骤：① 解除某些约束，用约束力（偶）代替，化成静定相当系统； ② 将静定系统和原系统比较，列出变形协调方程； ③ 用叠加法解变形，求出未知数。
临界应力总图：欧拉公式、经验公式、强度条件对应什么样的压杆（柔度、临界应力的范围） （七） 应力状态分析
1. 平面应力状态

任意斜截面上的应力：
x y
2 x y 2

x y
2
cos 2 xy sin 2

sin 2 xy cos 2
2
x y x y 2 主应力： max xy min 2 2
《工程力学 B2》复习提纲
（一） 内力及内力图——截面法 1. 轴力和轴力图 （注意：均布轴向力，轴力图为 轴力 FN：拉为正、压为负（背离截面为正、指向截面为负） 线性） 参考习题：第二章课后习题第 1 题、PPT 上例题 2. 扭矩和扭矩图 扭矩 T：右手螺旋法则，指向截面外法线为正（背离截面为正、指向截面为负） （注意：均 布力偶，扭矩图为线性） 参考习题：第三章课后习题第 1 题、PPT 上例题 3. 剪力和弯矩、剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 i) 剪力 Fs：左上右下为正 弯矩 M：左顺右逆为正，上压（凹）下拉（凸）为正 ii）剪力方程和弯矩方程： （1）求支反力； （2）分段； （3）建立坐标系； （4）分段写出剪力 方程和弯矩方程（注意区间的开闭）——应用：求梁下边缘总伸长量、积分法求梁的弯曲变 形等 iii) 剪力图和弯矩图： （1）用剪力方程和弯矩方程作图； （2）利用载荷集度、剪力和弯矩之 间的关系作图（重点）—— ① 先求支反力，一矩一投影，静力学平衡必须学好；② 注意 形状，零——平——斜，平——斜——抛 ，零——零——平；③集中力处剪力图突变，弯 矩图尖点，集中力偶处剪力图不变，弯矩图突变；④ 剪力图，从左往右，看着上就上，看 着下就下；⑤ 弯矩图，从左往右，根据剪力图画弯矩图，斜直线斜率由剪力正负决定，抛 物线开口由 q 决定，斜率由剪力正负决定，剪力为零的点为极值点；⑥ 数值用积分法确定， 下面一个图的两点插值等于上面一个图对应的面积。 参考习题：第四章课后习题、PPT 上例题 （二） 基本变形的应力及强度计算 1. 拉（压）杆强度计算 i) 单根拉压杆的三类基本计算： 校核强度、 设计截面、 确定许可载荷 max
3. 弯曲梁的正应力强度计算
（1）应力及强度计算 i) 中性轴是对称轴（矩形、工字形等） （会画横截面上正应力分布图） 计算公式：
My Iz
max
M Wz
矩形： I z
bh3 bh 2 ， Wz 12 6 Iz 其他形状：平行移轴公式计算惯性矩 Wz ymax
岩石
压缩
沿纵向劈裂
第二强度理论 最大伸长线应变
r1 1 r2 1 ( 2 3 ) ★ 相当应力 r3 1 3 r4
1 [( 1 2 )2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2
纯剪切应力状态： 1 , 2 0, 3 , r 3 2 , r 4 3 （九） 图形的几何性质 静矩： S z ydA
FN A max
ii) 多根拉压杆、固定载荷：每一根杆分别进行强度计算，或找出最危险杆进行强度计算 iii) 两根拉压杆、可移动载荷：⑴ 结构的许可载荷[F]——最危险位置，应力最大； ⑵ 移到什么位置， 许可载荷最大——最安全位置， 两根杆应力同时达到各自的许用应力。
（五） 组合变形及强度计算
1. 斜弯曲
矩形：
M t M = y z c W y Wz
2 My + M z2 , max
圆形： M =
M W
2. 拉（压）弯组合——偏心拉伸（压缩）
t FN M = c A W
3. 弯扭组合
M2 T2 r3 W 2 0.75T 2 M r4 W
K d 1
d d
a g
st
K
2. 构件作匀速转动

d
v 2
g

3. 构件受冲击载荷 （1）自由落体
K d 1 1
2h st
（2）水平冲击
Kd Kd 2
v2 g st
（3）突加载荷
4. 构件受交变应力
m
max min
2
Fcr
2 EI 注意：若各个面的约束形式相同 I = I min l 2
1
2 一端固支，一端铰支 0.7
一端固支，一端自由
两端固支
0.5 l
i
i= I A
实心圆： i =
柔度、惯性半径的计算 =
d 4
空心圆： i =
D2 + d 2 4
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F 稳定性条件 n = cr ³ nst F
圆形： I z 解题步骤： （1）求 M
max
πd4 πd3 ， Wz 64 32
（2）用 max
M 进行强度计算 Wz
ii）中性轴不是对称轴（T 形、U 形等）——常用铸铁梁，抗压强度远大于抗拉强度 布置方式：中性轴（形心轴）靠近受拉侧
计算公式：
My 算出 t 和 c Iz
解题步骤： （1）画弯矩图，分别计算最大正弯矩和最大负弯矩（绝对值的最大值） （2） M 0 时，上压下拉，求出 t 和 c （3） M 0 时，上拉下压，求出 t 和 c （4）用 t t ， c c 进行强度计算 （2）设计截面 尽量使抗弯截面系数 Wz 增大，而横截面积 A 减小 矩形梁该怎么放？圆形、矩形、工字形哪种好？ y 铸铁采用 T 形梁，该如何放置？怎样设计？ 1 t y2 c （3）合理布置载荷和约束 尽量使 M max 减小 加副梁——主梁、副梁同时达到许用应力 支座向中间移动，使最大正弯矩和最大负弯矩绝对值相等 （4）中性轴的曲率相关问题
,a
max min
2
,r
min max
r 1 对称循环
（十一） 能量法
1. 杆件应变能的计算 2. 互等定理 3. 卡式定理 4. 莫尔积分 5. 莫尔积分的图乘法 6. 能量法解超静定 7. 力法解超静定 8. 对称和反对称的应用
cos 2 iv) 斜截面上的应力计算： ，横截面上正应力最大，45°斜截面上切应力最 sin 2 2
大，纵截面上正应力和切应力均为零。
2. 扭转圆轴的强度计算 i) 外力偶矩的计算： M e Nm 9 549
PkW nr/min
4. 拉、弯、扭组合
r 3 2 4 2 2 2 r 4 3
解题步骤： （1）利用力的平移定理，确定是何种组合变形 （2）找出危险截面和危险点 （3）计算危险截面上的内力，分析危险点的应力状态 （4）用合适的强度理论进行强度计算 （六） 压杆稳定性计算 细长压杆的欧拉公式 两端铰支
简单图形对形心轴：记公式 I z 注意： （1）移轴必需有一个轴是形心轴 （2）对形心轴惯性矩最小，由形心往外移是加，由外面往形心移是减 惯性积： I yz yzdA 性质：若一个或两个轴为对称轴，则对这对正交轴的惯性积为零。
A
（十） 内力及内力图——截面法 1. 构件作匀加速直线运动——动静法
Ml Fl 2 ql 3
w Ml 2 Fl 3 ql 4
① 直接载荷叠加，或利用力的平移定理；② 加支座或固定端，注意和原图比较； ③ 利用对称或反对称 （四） 超静定问题 1. 拉压超静定 解题步骤：① 静力平衡方程；② 变形协调条件（作图，找出各杆的伸长量之间的关系）
③物理方程 l
A
S z yC A
性质：若 S z 0 ，则 z 轴必过形心，反之也成立 惯性矩： I z y 2 dA
A
I z iz2 A
bh3 πd4 π D4 Iz Iz (1 4 ) 12 64 64 组合图形：平行移轴公式 I z I zc a 2 A I y I yc b2 A I yz I yczc abA
1 [ 1 ( 2 3 )] E 1 3. 广义胡克定律 2 [ 2 ( 1 3 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
1
（八） 四个强度理论 关于脆断的理论：第一（最大拉应力理论） 、第二（最大伸长线应变理论） 关于塑性屈服的理论：第三（最大切应力理论） 、第四（畸变能密度理论） 适用范围：i) 第一、第二一般适用于脆性材料，第三、第四一般适用于塑性材料 ii)高温可提高塑性，低温可提高脆性；动载荷提高脆性，静载荷可保持塑性 iii)三向拉应力（三个主应力近似相等）用第一强度理论，失效形式为脆性断裂 三向压应力（三个主应力近似相等）用第三或第四强度理论，失效形式为塑性屈服 例子：低碳钢 拉伸 出现 45˚滑移线 第三强度理论 最大切应力 扭转 沿横截面破坏 第三强度理论 最大切应力 铸铁 拉伸 沿横截面断裂 第一强度理论 最大拉应力 压缩 沿 45˚斜截面断裂 第三强度理论 最大切应力 扭转 沿 45˚螺旋面断裂 第一强度理论 最大拉应力
M （中性层的曲率公式） EI z y y , E （已知曲率，可以求应力、应变）
1


4. 弯曲梁的切应力强度计算
=
Fs S z* Izb
矩形： max =
3 Fs 2 A
圆形： max =
4 Fs 3 A
（三） 基本变形的变形量计算
1. 拉（压）杆变形计算
l
ii) 圆轴扭转时横截面上的切应力及强度计算

T IP
max
I T Wt p （会画横截面上切应力分布图） max Wt
Ip 实心圆：
πd4 πd3 π ( D 4 d 4 ) π D 4 (1 4 ) π D3 (1 4 ) Wt Ip Wt ， ， 空心圆： ， 32 16 32 32 16
Fl ， ， E EA
常见题型： （1）求直杆的总伸长量（每段叠加，或积分）——计算每一段的轴力 （2）求节点位移——解题步骤：① 求各杆轴力（静力学） ；② 求各杆伸长量 F l l N ；③ 作图，找出各杆伸长量之间的关系，以切代弧；④ 解图形 EA
2. 扭转圆轴的变形及刚度计算