高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (18)(含解析)

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训
练 (18)
题号一总分
得分
一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）
1.已知函数f(x)=x+a
，a>0．
x
(1)求证f(x)在区间(0,√a]上为减函数，在区间上为增函数；
(任意选择一个证明即可)
(2)若函数f(x)在[2,4]上的最大值比最小值大1，求实数a的值．
2.若函数f(x)的定义域为D，集合M⊆D，若存在非零实数t使得任意x∈M都有x+t∈D，且f(x+
t)>f(x)，则称f(x)为M上的t−增长函数．
−增长函数，
(1)已知函数g(x)=x，函数ℎ(x)=x2，判断g(x)和ℎ(x)是否为区间[−1,0]上的3
2并说明理由;
(2)如果f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=|x−a2|−a2，且f(x)为R上的4−增
长函数，求实数a的取值范围．
3.已知函数f(x)=log2(2a x)⋅log2x
8
，a为常数．
(1)当a=2时，求不等式f(x)≤0的解集；
(2)当x∈[1
4
,8]时，求f(x)的最小值．
4.已知函数且a≠1).
(1)判断并证明f(x)的奇偶性；
(2)求使f(x)>0的x的取值范围；
(3)若g(x)=log a 
m
(1−x)|1
2
−x|
,ℎ(x)=f(x)−g(x)，是否存在实数m，使得ℎ(x)有三个不同的零点，
若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
5.知函数f(x)=log2x+1，g(x)=f(x2)+[f(x)]2．
(1)若f(x)的定义域是[1,16]，求函数g(x)的最值；
(2)若不等式[f(x)]2+log2x+4>m⋅f(x)对于∀x∈[1,16]恒成立，求m的取值范围．6.设函数f(x)=t−x−t x(t>0,t≠1),f(−1)=3
．
2
(1)求t的值；
(2)判断并用定义证明函数f(x)在R上单调性；
(3)求函数g(x)=4−x+4x+2kf(x),x∈[0,1]的最小值ℎ(k).
7.设函数f(x)=√x2+9−ax
(1)证明：当a≥1时，f(x)在[0,+∞)上单调递减。

(2)已知g(x)=x2−mx+2，当a=1时，对于∀x1∈[0,4]，都∃x2∈[−1
2,3
2
]，使得f(x1)=g(x2)，
求m的取值范围。

8.已知向量a⃗,b⃗ ,c⃗,d⃗以及实数x,y满足|a⃗|=|b⃗ |=1，c⃗=a⃗+(x2−3)⋅b⃗ ，d⃗=−y⋅a⃗+x⋅b⃗ ，若
，且|c⃗|⩽√10．
(1)求y关于x的函数关系式y=f(x)及其定义域．
(2)若x∈(1,√6)时，不等式f(x)≥mx−16恒成立，求实数m的取值范围．
9.为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中
释放的浓度y(单位：毫克/米3)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y=
{
16
8−x
−1,0≤x≤4
5−1
2x,4<x≤10
.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应
时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/米3)时，它才能起到净化空气的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后，再喷洒a(1≤a ≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求实数a 的最小值(精确到0.1，参考数据：√2取1.4)．
10. 已知log 12
(x +1)≥−2且22x+1−9⋅2x−1+1>0， (1)求x 的取值的集合A ；
(2)x ∈A 时，求函数f(x)=log 2x 2⋅log √2√x 2
的值域． (3)g(t)=−t 2+2at −a +14，在(1)，(2)问的条件下，若任取x 1,x 2∈A ，总存在t 0∈(0,3)，使|f(x 1)−f(x 2)|≤g(t 0)成立，求a 的取值范围。

11. 已知函数y =f 1(x)，y =f 2(x)，定义函数f(x)={f 1(x ),f 1(x )≤f 2(x )
f 2(x ),f 1(x )>f 2(x
)． (1)设函数f 1(x)=x +3，f 2(x)=x 2−x ，求函数y =f(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，g(x)=mx +2(m ∈R)，函数ℎ(x)=f(x)−g(x)有三个不同的零点，求实数m 的取值范围；
(3)设函数f1(x)=x2−2，f2(x)=|x−a|，函数F(x)=f1(x)+f2(x)，求函数F(x)的最小值．
12.已知函数f(x)=x2−4x+a+3，a∈R．
(1)若函数y=f(x)的图象与x轴无交点，求a的取值范围；
(2)若函数y=f(x)−3
x
在区间[2,+∞)上是增函数，利用函数的单调性定义求实数a的取值范围；
(3)设函数g(x)=bx+5−2b，b∈R，当a=0时若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使
得f(x1)=g(x2)，求b的取值范围．
13.己知函数f(x)=sin(ωx+φ)+m(ω>0,−π
2
<φ<0)满足下列4个条件中的3个，4个条件依
次是：①ω=3
2；②周期T=π；③过点(0,0)；④f(π
3
)=3
2。

(1)写出所满足的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的图像与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．
(a>0,a≠1)且f(x)为奇函数。

14.已知f(x)=1−4
2a x+a
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)若函数g(x)=(2x+1)f(x)+k有零点，求实数k的取值范围；
(Ⅲ)当x∈(0,1)时，f(x)>m·2x−2恒成立，求实数m的取值范围。

15.对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+
(b+1)x+(b−1)(a≠0)．
(1)当a=1,b=2时，求函数f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
(3)已知在(2)的条件下a的取值集合为A，若ℎ(x)=x2−t
在A上单调递减求实数t的最大值
x。